pemilihan portofolio dengan menggunakan metode cat …

Pemilihan Portofolio dengan Menggunakan Metode Cat Swarm Optimization

Fadhilah Futri Syofyany1, Bevina D. Handari2, Gatot F. Hertono3

Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Kampus Baru UI Depok, Depok, 16424, Indonesia

Email : [email protected],

Abstrak

Investor melakukan investasi untuk mendapatkan imbal hasil yang besar dengan risiko minimum. Untuk

mengoptimalkan imbal hasil dan risiko yang didapatkan dari investasi, investor dapat melakukan diversifikasi

yang efisien. Salah satu bentuk diversifikasi yang efisien adalah dengan melakukan pemilihan portofolio.

Pemilihan portofolio merupakan masalah optimisasi dalam pemilihan kombinasi aset yang dapat menghasilkan

imbal hasil dan risiko yang optimal. Model yang digunakan dalam menyelesaikan masalah pemilihan portofolio

pada skripsi ini adalah model standar Markowitz dengan diberikan kendala tambahan yaitu banyaknya aset yang

diinvestasikan dan kendala batasan proporsi untuk masing-masing aset. Terdapat banyak metode yang bisa

digunakan untuk menyelesaikan masalah pemilihan portofolio dengan model tersebut, salah satunya adalah

metode Cat Swarm Optimization (CSO). Hasil implementasi pemilihan portofolio dengan menggunakan metode

CSO berupa pasangan imbal hasil dan risiko beserta proporsi investasi untuk setiap aset. Hasil implementasi

tersebut kemudian di analisis untuk melihat kinerja metode CSO dalam masalah pemilihan portofolio.

Portfolio Selection Using Cat Swarm Optimization

Abstract

The purpose of investments is to get high return with minimum risk. To optimize return and risk from

investments, investors should diversify their assets efficiently. One such method is portfolio selection. Portfolio

selection is an optimization problem in selecting asset combinations which produce an optimal risk and return. In

this thesis, the model for solving the optimization problem is Markowitz standard model with some additional

constraints. The constraints are the number of assets that are held in a portfolio and bounding asset proportion

constraint. There are some methods to solve portfolio selection with this model. One of the methods is Cat

Swarm Optimization. The implementation results from portfolio selection using Cat Swarm Optimization are

some pairs of return and risk with their asset proportions. The results are analyzed to test the performance of Cat

Swarm Optimization in portfolio selection.

Keywords: investments, portfolio, markowitz models, cat swarm optimization

Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016

1. Pendahuluan

Investasi merupakan penanaman uang atau modal dalam suatu perusahaan atau proyek

untuk tujuan memperoleh keuntungan (KBBI). Imbal hasil atau keuntungan yang besar diikuti

risiko yang besar. Untuk mengoptimalkan imbal hasil dan risiko suatu investasi diperlukan

diversifikasi yang efisien pada pengalokasian aset, salah satunya adalah portofolio.

Portofolio adalah salah satu bentuk diversifikasi investasi sejumlah uang terhadap beberapa

aset yang tersedia (Fernandez, 2007). Untuk menghasilkan diversifikasi yang efisien

dilakukan pemilihan portofolio. Pemilihan portofolio merupakan masalah optimisasi dalam

pemilihan kombinasi investasi aset yang dapat menghasilkan imbal hasil dan risiko yang

optimal (Kamili, 2015).

Untuk menyelesaikan permasalahan pemilihan portofolio, model standar yang digunakan

adalah model Mean-Variansi Markowitz (Chang, 2000). Model ini menggunakan pendekatan

mean dan variansi untuk menghitung ekspektasi imbal hasil dan risiko (Markowitz,1952).

Penyelesaian masalah ini menghasilkan efficient frontier, yaitu kurva kontinu yang

menunjukkan trade-off antara imbal hasil dan risiko yang dapat ditentukan dengan

menggunakan quadratic programming (QP) (Chang, 2000).

Ditemukan beberapa kendala yang tidak terdapat pada model standar Markowitz yaitu

kendala kardinalitas (batasan banyaknya aset berbeda di dalam portofolio) dan kendala

batasan proporsi aset yang dapat diinvestasikan (Cura,2009). Penambahan dua kendala

tersebut pada modeL Markowitz menghasilkan model yang disebut Cardinality Constraints

Efficient Frontier yang berbentuk Mixed-Integer Quadratic Programming (MIQP). Karena

tidak terdapat algoritma quadratic programming yang efektif untuk menyelesaikan masalah

MIQP, maka digunakan metode pendekatan untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Terdapat beberapa metode pendekatan yang telah dilakukan untuk menyelesaikan

masalah pemilihan portofolio dengan kendala kardinalitas dan batasan proporsi, seperti

metode Simulated Anneling, Tabu Search dan Genetic Algorithm oleh (Chang, 2000), metode

Neuron Networks oleh (Fernandez, 2007), metode Particle Swarm Optimization oleh (Cura,

2009) dan metode Cat Swarm Optimization oleh (Kamili, 2015).

Penyelesaian masalah pemilihan portofolio pada skripsi ini dengan menggunakan metode

Cat Swarm Optimization (CSO). Metode CSO termasuk dalam Swarm Intelligence dengan

memperhatikan tingkah laku kucing dalam mengejar mangsanya (Chu, 2007). Hasil yang

diperoleh dari implementasi metode CSO dibandingkan dengan hasil metode quadratic

programming sebagai benchmark solusi optimal (Chang, 2000).


2. Tinjauan Teoritis 2.1. Portofolio

Menurut (Fernandez, 2007), portofolio adalah salah satu bentuk diversifikasi sejumlah

uang terhadap beberapa aset yang tersedia. Menurut teori portofolio, salah satu cara mengukur

risiko pada suatu investasi adalah dengan menggunakan variansi dari imbal hasil investasi

tersebut. Tujuan dari melakukan investasi adalah mendapatkan imbal hasil yang besar. Akan

tetapi imbal hasil yang besar disertai dengan risiko yang besar, sehingga untuk meminimalkan

risiko dilakukan pemilihan portofolio. Pemilihan portofolio merupakan masalah optimisasi

dalam pemilihan kombinasi investasi aset yang dapat menghasilkan imbal hasil dan risiko

yang optimal (Kamili, 2015).

2.2. Model Optimisasi Portofolio

Model optimisasi dasar yang digunakan dalam pemilihan portofolio adalah model

standar Markowitz atau yang disebut dengan model Unscontrained Efficient Frontier (UEF) .

Berikut adalah model UEF tersebut (Chang, 2000):

𝑀𝑖𝑛 !!!! !

!!! 𝑥!𝑥!𝜎!" , (1)

dengan kendala :

!!!! 𝑥!𝜇! = 𝑅∗, (2)

!!!! 𝑥! = 1, (3)

0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁, (4)

dengan 𝑁 adalah banyaknya aset, 𝜎!" adalah kovarian antara imbal hasil aset ke-𝑖 dan aset

ke-𝑗, 𝑥! adalah proporsi aset ke-𝑖, 𝜇! adalah imbal hasil aset ke-𝑖 dan 𝑅∗ adalah imbal

hasil rata-rata portofolio yang diinginkan. Fungsi tujuan model pada persamaan (1)

menunjukkan variansi imbal hasil yang disebut dengan risiko portofolio (Chang, 2000).

Pada model tersebut, persamaan (1) meminimumkan kovariansi antara aset i dan aset

j. Sehingga persamaan tersebut meminimumkan risiko portofolio. Menurut Chang (2000),

persamaan (2) memastikan portofolio menghasilkan imbal hasil rata-rata sebesar 𝑅∗

sedangkan persamaan (3) memastikan jumlah proporsi semua aset sama dengan satu. Model

Markowitz tersebut menghasilkan sebuah kombinasi proporsi aset yang optimal beserta nilai

risiko portofolio sesuai dengan persamaan (1) untuk setiap imbal hasil 𝑅∗ yang diinginkan.

Namun, untuk menghasilkan efficient frontier dibutuhkan berbagai nilai imbal hasil yang

berbeda beserta nilai risiko portofolio yang dihasilkan. Untuk mempermudah perhitungan


fungsi tujuan dengan nilai imbal hasil (𝑅∗) yang berbeda, maka imbal hasil 𝑅∗ dipindahkan

pada persamaan (1) dengan penambahan parameter risiko 𝜆 ∈ [0,1]. Parameter ini

menunjukkan bobot kontribusi antara imbal hasil dan risiko pada fungsi tujuan. Hasil

modifikasi persamaan (1) setelah penambahan parameter 𝜆 dan persamaan (2) pada model

standar Markowitz dapat dilihat pada persamaan berikut :

𝑀𝑖𝑛 𝜆 !!!! !

!!! 𝑥!𝑥!𝜎!" − (1− 𝜆) !!!! 𝑥!𝜇! (5)

dengan kendala :

!!!! 𝑥! = 1, (6)

0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁. (7)

Menurut Cura (2009), nilai 𝜆 yang memenuhi 0 < 𝜆 < 1 menunjukkan trade off antara

imbal hasil dan risiko yang menghasilkan solusi di antara dua nilai 𝜆 tersebut dengan

sensitivitas terhadap risiko semakin besar ketika nilai 𝜆 semakin mendekati 1.

Perhatikan model Markowitz di atas. Fungsi tujuan pada model tersebut merupakan

perkalian antara beberapa variabel yang digunakan sehingga model tersebut merupakan model

optimisasi berbentuk quadratic programming. Quadratic Programming merupakan salah satu

kelas khusus dari Non Linear Programming (NLP) dengan kendala berbentuk linear

sedangkan fungsi tujuan berbentuk quadratic dan concave (Hillier, 2015).

3. Pemilihan Portofolio dengan Menggunakan Metode Cat Swarm Optimization

3.1. Model Cardinality Constraint Efficient Frontier

Model yang digunakan dalam penyelesaian masalah pemilihan portofolio pada tugas

akhir ini adalah model Cardinality Constraint Efficient Frontier (CCEF) (Kamili, 2015).

Untuk memodelkan model CCEF, ditambahkan beberapa variabel baru kepada model standar

Markowitz, yaitu parameter 𝐾 sebagai kardinalitas portofolio, 𝜀! sebagai batas bawah

proporsi aset ke 𝑖 (minimal proporsi investasi aset ke 𝑖) dan 𝛿! sebagai batas atas proporsi

aset ke 𝑖 (maksimal proporsi investasi aset ke 𝑖). Selain parameter tersebut, diperkenalkan

variabel keputusan apakah suatu aset dipilih atau tidak, yaitu variabel 𝑧! ∈ {0,1} dengan 𝑧!

bernilai 1 jika aset ke 𝑖 terpilih dan bernilai 0 jika aset tersebut tidak terpilih (Cura, 2009),

sehingga model CCEF berbentuk :

𝑀𝑖𝑛 𝜆 !!!! !

!!! 𝑥!𝑥!𝜎!" − (1− 𝜆) !!!! 𝑥!𝜇! (8)

dengan kendala :

!!!! 𝑥! = 1, (9)


0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁, (10)

!!!! 𝑧! = 𝐾, (11)

𝜀!𝑧! ≤ 𝑥! ≤ 𝛿!𝑧! , 𝑖 = 1,… ,𝑁, (12)

𝑧! ∈ {0,1}, 𝑖 = 1,… ,𝑁. (13)

Untuk mempermudah perhitungan fungsi tujuan, pada skripsi ini fungsi tujuan

direpresentasikan dalam bentuk perkalian matriks dengan notasi sebagai berikut :

𝑋 = 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! ,

𝜇 = 𝜇!, 𝜇!,… , 𝜇! ,

𝑀 =𝜎!! … 𝜎!!… … …𝜎!! … 𝜎!!

.

Berdasarkan notasi-notasi di atas, model CCEF dapat ditulis kembali menjadi

𝑀𝑖𝑛 𝜆 𝑋!𝑀𝑋 − (1− 𝜆) 𝑋!𝜇 , (14)

dengan kendala :

!!!! 𝑥! = 1, (15)

0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁, (16)

!!!! 𝑧! = 𝐾, (17)

𝜀!𝑧! ≤ 𝑥! ≤ 𝛿!𝑧! , 𝑖 = 1,… ,𝑁. (18)

3.2. Metode Cat Swarm Optimization

Metode Cat Swarm Optimization adalah salah satu metode pendekatan yang

dikembangkan berdasarkan Swarm Intelligence dengan memperhatikan perilaku hewan. Pada

metode ini, model matematika dibentuk dengan menganalisa pergerakan kucing dalam

mencari mangsa (Chu, 2007).

Secara umum, kebiasaan utama dalam pergerakan kucing dapat dibedakan menjadi

dua macam yang disebut sebagai seeking mode dan tracing mode. Seeking mode adalah

kondisi ketika kucing dalam keadaan siaga sambil memperhatikan sekitar, sedangkan tracing

mode adalah kondisi ketika kucing bergerak aktif dalam mengejar mangsa.

3.2.1. Alur Kerja Metode Cat Swarm Optimization

Menurut Chu (2007), alur kerja metode CSO secara umum terdiri atas 6 tahap, yaitu:

1. Masukkan nilai-nilai paramater. Bentuk sebanyak C kucing. Lakukan inisialisasi

ukuran dimensi kucing (N), posisi dan kecepatan awal untuk masing-masing kucing.

2. Hitung nilai fungsi fitness masing-masing kucing. Simpan posisi kucing terbaik.


3. Tentukan mode masing-masing kucing secara acak sesuai dengan nilai MR.

4. Pindahkan masing-masing kucing sesuai dengan modenya.

5. Hitung kembali nilai fungsi fitness dan perbarui posisi kucing terbaik.

6. Periksa apakah kriteria berhenti telah dipenuhi atau tidak. Jika telah dipenuhi, proses

selesai. Jika belum dipenuhi kembali ke tahap 3. 3.2.2. Alur kerja Seeking Mode dan Tracing Mode

Berikut adalah alur kerja seeking mode dan tracing mode pada tahap 5 alur kerja metode

CSO. Seeking mode terdiri atas beberapa tahap seperti yang dijelaskan berikut ini:

1. Duplikatkan posisi kucing sebanyak j. Jika SPC = 0, maka j = SMP. Sedangkan jika

SPC = 1, maka j = SMP-1.

2. Untuk masing-masing duplikat ke k posisi kucing, tentukan komponen dimensi posisi

yang bermutasi sebanyak 𝐶𝐷𝐶×𝑁. Perhitungan mutasi untuk komponen dimensi terpilih

dapat ditulis menjadi :

𝑥!,! = 𝑥!,! ± 𝑆𝑅𝐷×𝑥!,! , (19)

dengan 𝑥!,! adalah posisi duplikat kucing ke 𝑘 pada komponen dimensi ke-𝑖.

3. Hitung nilai fungsi fitness yaitu fungsi objektif masalah.

4. Jika semua nilai fungsi fitness bernilai sama, maka semua duplikat kucing memiliki

nilai probabilitas terpilih 1. Sebaliknya, jika tidak semua nilai fungsi fitness bernilai

sama, maka hitung nilai probabilitas terpilih sesuai dengan persamaan:

𝑃! =|!!!!!!!|

!!!"#!!!!"#, (20)

dengan 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi fitness kucing ke-𝑘, 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi fitness

terbaik, 𝐹𝑆!"# adalah nilai fungsi fitness maksimum dan 𝐹𝑆!"# adalah nilai fungsi

fitness minimum.

4. Pilih secara acak salah satu posisi duplikat kucing (kandidat posisi) untuk menjadi

posisi berikutnya dengan menggunakan roulette wheel selection.

Selanjutnya diberikan alur kerja Tracing mode yang terdiri dari tiga tahapan, yaitu :

1. Untuk setiap kucing, perbarui kecepatan kucing untuk setiap komponen dimensi 𝑣!,!

sesuai persamaan

𝑣!,! = 𝑣!,! + 𝑟 ⋅ 𝑐 ⋅ (𝑥!"#$,! − 𝑥!,!), (21)

dengan 𝑥!"#$,! adalah posisi dengan nilai fitness terbaik pada komponen dimensi ke-𝑖

dan 𝑥!,! adalah posisi kucing ke 𝑐 pada komponen dimensi ke 𝑖.


2. Periksa apakah kecepatan berada di dalam jangkauan kecepatan yang diinginkan.

Jika kecepatan melebihi batasan, maka kurangi kecepatan menjadi kecepatan maksimum.

Sebaliknya jika kecepatan di dalam batasan, pertahankan kecepatan

3. Untuk setiap kucing, perbarui posisi masing-masing kucing sesuai dengan persamaan

𝑥!,! = 𝑥!,! + 𝑣!,! . (22)

3.3. Penyelesaian Masalah Pemilihan Portofolio dengan Menggunakan Metode CSO

Pada penyelesaian masalah pemilihan portofolio menggunakan metode Cat Swarm

Optimization, adaptasi yang dilakukan yaitu :

1. Kucing merepresentasikan portofolio yang dibentuk.

2. Dimensi kucing menunjukkan banyaknya aset yang tersedia. Dengan kata lain,

dimensi ke i kucing j menunjukkan aset ke i pada portfolio j.

3. Posisi kucing ke i menunjukkan proporsi semua aset yang tersedia.

4. Terdapat vektor 𝑍 yang bersesuaian dengan vektor posisi 𝑋. Vektor 𝑍 ini

merepresentasikan variabel keputusan dan bernilai 0 atau 1. Seperti vektor posisi 𝑋, vektor 𝑍

juga memiliki vektor kecepatan.

5. Penambahan suatu fungsi yang disebut dengan fungsi arrange (Cura, 2009). Fungsi

ini digunakan sebelum menghitung nilai fungsi fitness dan bertujuan untuk memastikan

semua kendala terpenuhi. 3.3.1. Fungsi Arrange

Fungsi arrange bertujuan untuk memastikan semua kendala terpenuhi. Misalkan

portofolio ke-𝑐 memiliki 𝐾∗ aset yaitu banyaknya aset yang terpilih dan 𝑄 adalah

himpunan aset-aset yang terpilih. Jika 𝐾∗ ≠ 𝐾 dengan 𝐾 adalah kardinalitas yang

diinginkan, maka beberapa aset pada himpunan 𝑄 harus dikurangi atau ditambah sampai

memenuhi 𝐾∗ = 𝐾.

Dalam fungsi arrange dibutuhkan nilai 𝑐!, yaitu nilai yang menunjukkan proporsi antara

imbal hasil rata-rata dengan risiko rata-rata sesuai dengan nilai parameter risiko. Berikut

adalah proses menghitung nilai 𝑐! (Cura, 2009).:

𝜃! = 1+ (1− 𝜆)𝜇! , (23)

𝜌! = 1+ 𝜆( !

!!!!!"!

), (24)

Ω = −1×𝑚𝑖𝑛(0,𝜃!,𝜃!,… ,𝜃!), (25)

Ψ = −1×𝑚𝑖𝑛(0,𝜌!,𝜌!,… ,𝜌!), (26)


𝑐! =!!!!!!!!

, 𝑖 = 1,… ,𝑁. (27)

Nilai 𝑐! digunakan dalam memilih aset mana yang harus ditambahkan atau dikurangi pada

sebuah portofolio. Setelah menghitung nilai 𝑐!, selanjutnya dibahas alur dari fungsi arrange ,

yaitu (Cura, 2009) :

1. Hitung nilai kardinalitas 𝐾. Jika nilai 𝐾∗ < 𝐾, masuk ke tahap 2. Sebaliknya jika

𝐾∗ > 𝐾, masuk ke tahap 3. Sedangkan jika 𝐾∗ = 𝐾, maka lanjut ke tahap 4.

2. Pilih bilangan acak 𝑟. Jika 𝑟 < 0,5, maka tambahkan aset 𝑖 secara acak pada

himpunan 𝑄. Jika 𝑟 > 0,5, maka tambahkan aset 𝑖 dengan nilai 𝑐! terbesar. Aset 𝑖 yang

dipilih merupakan aset yang tidak terdapat pada himpunan 𝑄. Kemudian kembali ke tahap 1.

3. Pilih sebuah bilangan secara acak 𝑟. Jika 𝑟 < 0,5, maka keluarkan aset 𝑖 secara

acak dari himpunan 𝑄. Sedangkan jika 𝑟 > 0,5, maka keluarkan aset 𝑖 dengan nilai 𝑐!

terkecil. Kemudian kembali ke tahap 1.

4. Periksa apakah kendala batasan telah dipenuhi sesuai persamaan

𝑋 = ! 𝑥!" , 𝑖 ∈ 𝑄, (28)

𝑥!" =!!"!, ∀𝑖 ∈ 𝑄, (29)

𝜂 = ! 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑥!" − 𝛿!), 𝑖 ∈ 𝑄, (30)

𝜙 = ! 𝑚𝑎𝑥(0, 𝜀! − 𝑥!"), 𝑖 ∈ 𝑄. (31)

dengan 𝑥!" adalah proporsi aset ke-𝑖. Jika 𝜂 = 0 dan 𝜙 = 0, maka semua aset telah

memenuhi kendala batasan proporsi. Jika 𝜂 > 0, maka masuk ke tahap 5. Sedangkan jika

𝜙 > 0, maka masuk ke tahap 6.

5. Atur proporsi setiap aset 𝑖 yang terpilih sesuai persamaan

𝑡! = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝛿! − 𝑥!") ∀𝑖 ∈ 𝑄, (32)

𝛿∗ = ! 𝑡! , 𝑖 ∈ 𝑄, (33)

𝑥!" = 𝑥!" +!!!∗𝜂. (34)

Setelah semua proporsi aset diatur, masuk ke tahap 7.

6. Atur proporsi aset yang terpilih sesuai persamaan

𝑒! = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑥!" − 𝜀!), ∀𝑖 ∈ 𝑄, (35)

𝜀∗ = ! 𝑡! , 𝑖 ∈ 𝑄, (36)

𝑥!" = 𝑥!" −!!!∗𝜙. (37)

Setelah semua proporsi aset diatur, masuk ke tahap 7.

7. Hitung ulang nilai 𝜂 dan 𝜙. Jika 𝜂 > 0, kembali ke tahap 5. Jika 𝜙 > 0, kembali


tahap 6. Jika 𝜂 = 0 dan 𝜙 = 0, maka semua kendala telah terpenuhi. 3.3.2. Adaptasi Pada Seeking Mode 1. Duplikat proporsi portofolio beserta nilai keputusannya sebanyak j = SMP

2. Pilih aset yang bermutasi sebanyak 𝐶𝐷𝐶×𝑁. Lakukan perubahan keputusan sesuai

persamaan :

𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! = 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! ± 𝑆𝑅𝐷×𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,!. (38)

Jika 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! = 0,

𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! = 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! ± 𝑆𝑅𝐷×𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! , (39)

dengan 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! adalah duplikat keputusan portofolio ke 𝑘 untuk aset ke 𝑖 dan

𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! adalah duplikat proporsi portofolio ke 𝑘 untuk aset ke 𝑖.

3. Lakukan fungsi arrange

4. Hitung nilai fungsi fitness sesuai persamaan (14).

5. Jika semua nilai fungsi fitness bernilai sama, maka semua duplikat portofolio

memiliki nilai probabilitas terpilih 1. Jika tidak, maka hitung nilai probabilitas terpilih sesuai

dengan persamaan:

𝑃! =|!!!!!!!|

!!!"#!!!!"#, (40)

dengan 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi fitness duplikat portofolio ke-𝑘, 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi

fittnes terbaik, 𝐹𝑆!"# adalah fungsi fitness maksimum, dan 𝐹𝑆!"# adalah fungsi fitness

minimum.

5. Pilih salah satu duplikat proporsi portofolio (kandidat proporsi) untuk menjadi

proporsi portofolio terbaru dengan menggunakan roulette wheel selection.

3.3.3. Adaptasi pada Tracing mode

Menurut Kamili (2015), pada tracing mode untuk pemilihan portofolio, perubahan

keputusan didefinisikan oleh :

𝑣𝑍!,! = 𝑣𝑍!,! + 𝑟×𝑐×(𝐺𝑍!,! − 𝑍!,!), (41)

𝑍!,! = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑( !!!!!!

− 𝛼), (42)

dengan :

𝑣𝑍!,! adalah kecepatan keputusan komponen dimensi ke-𝑖,

𝐺𝑍!" adalah keputusan terbaik pada komponen dimensi ke-𝑖,

𝑍!" adalah keputusan pada komponen dimensi ke-𝑖,


𝑟 adalah bilangan random antara 0 sampai 1,

𝑐 adalah konstanta bernilai 2 (Chang, 2000),

𝛼 adalah parameter bernilai 0,6 (Cura, 2009), dan

𝜉 = 𝑍!,! + 𝑣𝑍!,!.

Sedangkan perubahan proporsi didefinisikan oleh:

𝑣𝑋!,! =𝑣𝑋!,! + 𝑟×𝑐×(𝐺𝑋!,! − 𝑋!,!) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍!,! = 1𝑣𝑋!,! 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (43)

𝑋!,! =𝑣𝑋!,! + 𝑋!,! 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍!,! = 1𝑋!,! 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (44)

dengan :

𝑣𝑋!,! adalah kecepatan perubahan proporsi aset ke-𝑖,

𝐺𝑋!,! adalah proporsi terbaik aset ke-𝑖,

𝑋!,! adalah proporsi pada aset ke-𝑖, dan

𝑣𝑋!,! + 𝑋!,! harus bernilai positif.

3.3.3. Metode CSO pada Pemilihan Portofolio

Berikut adalah metode CSO setelah dilakukan penyesuaian dalam menyelesaikan

masalah pemilihan portofolio : 1. Bentuk sebanyak C portofolio. Lakukan inisialisasi ukuran dimensi portofolio (N)

yaitu banyaknya aset yang tersedia lalu berikan proporsi, keputusan, dan kecepatan awal perubahan proporsi dan keputusan setiap aset untuk masing-masing portofolio secara acak.

2. Lakukan fungsi arrange. Hitung nilai fungsi fitness, yaitu nilai fungsi tujuan pada persamaan (14) untuk masing-masing portofolio. Simpan proporsi portofolio yang memiliki nilai fitnesss terbaik 𝑥!"#$, yaitu proporsi yang meminimumkan fungsi objektif.

3. Tentukan tanda mode masing-masing portofolio sesuai nilai mixed ratio (MR) secara acak.

4. Ubah proporsi aset untuk setiap portofolio sesuai dengan modenya. Jika portofolio bertanda seeking mode maka lakukan seeking mode dan begitu juga sebaliknya, jika portofolio bertanda tracing mode maka lakukan tracing mode. Proses pada seeking mode dan tracing mode sesuai dengan proses yang telah dijelaskan sebelumnya pada Sub-Subbab 3.3.1 dan 3.3.2.

5. Hitung kembali nilai fungsi fitness dan perbarui proporsi terbaik dengan proporsi pada portofolio dengan nilai fungsi objektif minimum.

6. Periksa apakah kriteria berhenti telah dipenuhi atau tidak. Dalam pemilihan portofolio, kriteria berhenti yang digunakan adalah banyaknya iterasi yang dilakukan. Jika telah dipenuhi, maka program selesai. Jika belum terpenuhi maka kembali ke tahap 4.

Alur kerja metode CSO pada pemilihan portofolio di atas dapat dilihat pada Gambar 1.


Gambar 1. Diagram alur metode cat swarm optimization

4. Hasil Implementasi Metode Cat Swarm Optimization pada Masalah Pemilihan

Portofolio

Pada tugas akhir ini, semua data yang digunakan diunduh dari

http://people.brunel.ac.uk/ mastjjb/jeb/orlib/portinfo.html dengan nama indeks Hang Seng

milik Hongkong yang terdiri dari 31 saham. Kumpulan saham tersebut masing-masing

memiliki nilai imbal hasil, korelasi antara saham-saham dan variansi imbal hasil saham.

Selain itu juga terdapat 2000 pasang imbal hasil rata-rata dan risiko dari himpunan saham

yang dinyatakan sebagai koordinat yang membentuk kurva efficient frontier. Titik-titik

tersebut merupakan hasil penyelesaian masalah pemilihan portofolio terhadap 31 saham yang

tersedia dengan menggunakan metode quadratic programming pada model standar markowitz

(UEF) (Cura, 2009). Kurva efficient frontier digunakan sebagai benchmark karena titik-titik

pada efficient frontier tersebut merupakan hasil optimal penyelesaian masalah pemilihan

portofolio (Chang, 2000).


Selain data yang disebutkan di atas, implementasi metode CSO terhadap pemilihan

portofolio membutuhkan nilai beberapa parameter. Parameter dasar yang digunakan pada

pemilihan portofolio yaitu 𝑆𝑀𝑃 = 5, 𝑆𝑅𝐷 = 0,2, 𝐶𝐷𝐶 = 0,8, 𝑀𝑅 = 0,3, 𝑆𝑃𝐶 = 0,

𝑐 = 2,dan 𝑟 ∈ [0,1] (Kamili, 2015). Sedangkan nilai untuk batas bawah 𝜀 = 0,01, dan batas

atas 𝛿 = 1 (Cura, 2009).

Banyak iterasi 𝑇 yang dilakukan untuk satu simulasi terdiri dari tiga nilai yang berbeda,

yaitu 50, 100 dan 150. Untuk 𝑇 = 50 dan 𝑇 = 150 dilakukan simulasi dengan banyak

𝐶 = 125. Sedangkan untuk 𝑇 = 100, dilakukan simulasi dengan menggunakan lima nilai 𝐶

yang berbeda, yaitu 𝐶 = 100, 𝐶 = 111, 𝐶 = 125, 𝐶 = 130, dan 𝐶 = 150. Setiap simulasi

yang dilakukan menggunakan nilai kardinalitas yang berbeda, dari nilai 𝐾 = 1 sampai

dengan 𝐾 = 10.

Pada skripsi ini, satu simulasi menggunakan 51 nilai 𝜆 ∈ [0,1] dengan Δ = 0,02 dan

menghasilkan 51 pasang nilai imbal hasil dan resiko terbaik untuk masing-masing nilai 𝜆.

Contoh hasil satu simulasi dengan 5 aset, 100 portofolio dan 50 iterasi dapat dilihat pada

Tabel 1.

Tabel 1

𝝀 Iter ke Imbal hasil rata-rata Risiko Nilai fungsi tujuan

0 1 0,0093838 0,0032978 -0,0093838

0 2 0,0095919 0,0033903 -0,0095919

… … … … …

0 50 0,0098258 0,0033821 -0,0098258

,02 1 0,0081393 0,0020017 -0,0079365

,02 2 0,0095982 0,0034382 -0,0093375

,02 50 0,0098262 0,0034356 -0,0095609

1 0,0033667 0,00076087 0,00076087

2 0,0033746 0,00075377 0,00075377

50 0,0028967 0,00074004 0,00074004

Untuk setiap nilai 𝜆 pada 4.1 dilakukan 50 iterasi. Pada masing-masing iterasi

digunakan 100 portofolio. Portofolio dengan nilai fungsi tujuan minimum sesuai persamaan

(14) dipilih sebagai portofolio terbaik untuk iterasi tersebut. Selanjutnya untuk

masing-masing nilai 𝜆 dipilih portofolio dengan nilai fungsi tujuan minimum. Karena


terdapat 51 nilai 𝜆, maka didapatkan 51 portofolio dengan masing-masingnya menghasilkan

pasangan nilai imbal hasil rata-rata dan risiko terbaik.

Lebih lanjut, 51 pasang nilai imbal hasil rata-rata dan risiko tersebut dinyatakan dalam

grafik yang disebut sebagai heuristic efficient frontier beserta kurva efficient frontier aset-aset

yang digunakan. Contoh grafik tersebut berdasarkan hasil simulasi di atas dapat dilihat pada

gambar 2.

Gambar 2. Contoh grafik efficient frontier

Sebelum disajikan hasil simulasi metode CSO pada pemilihan portofolio, terlebih dahulu

dibahas tiga ukuran yang digunakan pada simulasi tersebut untuk mengukur kinerja metode

CSO pada masalah pemilihan portofolio, yaitu (Cura, 2009):

• Mean Euclidean Distance yaitu rata-rata jarak titik pada heuristic efficient frontier

dengan titik terdekat pada kurva efficient frontier.

• Variance of Return Error yaitu rata-rata selisih risiko pada heuristic efficient frontier

dengan risiko terdekat pada kurva efficient frontier.

• Mean Return Error adalah rata-rata selisih imbal hasil rata-rata pada heuristic efficient

frontier dengan imbal hasil rata-rata terdekat pada kurva efficient frontier.

Untuk menghitung mean euclidean distance, variance of return error, dan mean return

error terlebih dahulu dicari titik pada kurva efficient frontier yang terdekat dengan heuristic

efficient frontier. Misalkan (𝑣!!, 𝑟!!), 𝑖 = 1,… ,2000 merupakan titik imbal hasil rata-rata dan

risiko pada kurva efficient frontier dan (𝑣!! , 𝑟!!), 𝑗 = 1,… ,51 merupakan titik-titik imbal

hasil rata-rata dan risiko pada heuristic efficient frontier. Maka (𝑣!!! , 𝑟!!

!), 𝑗 = 1,… ,51


0.00000000.00050000.0010000

1 as

et

2 as

et

3 as

et

4 as

et

5 as

et

6 as

et

7 as

et

8 as

et

9 as

et

10 a

set

T=100,C=100

0.00000000.00050000.0010000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=111

0.00000000.00050000.0010000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=150

0.00000000.00050000.0010000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=130

0.00000000.00050000.0010000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=125

merupakan titik-titik pada efficient frontier yang terdekat dengan titik-titik

(𝑣!! , 𝑟!!), 𝑖 = 1,… ,51 yang didefinisikan oleh

(𝑣!!! , 𝑟!!

!) = argmin (𝑣!! − 𝑣!!)! + (𝑟!! − 𝑟!!)!, 𝑖 = 1,… ,2000, 𝑗 = 1,… ,51. (45)

Sehingga, mean eucliden distance didefinisikan oleh

!"

!!! (!!!! !!!

!)!!(!!!! !!!

!)!

!". (46)

Kedua ukuran lainnya yaitu variance of return error dan mean return error didefinisikan

berturut-turut sebagai berikut :

!"

!!!!""|!!!! !!!

!|/!!!

!", (47)

!"

!!!!""|!!!! !!!

!|/!!!

!". (48)

Grafik yang menunjukkan nilai Mean Euclidean Distance untuk nilai parameter 𝐶

dan 𝑇 yang berbeda dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4.

Gambar 3. Grafik mean euclidean distance dengan nilai 𝐶 yang berbeda


0.00000000.00050000.0010000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=50,C=125

0.00000000.00050000.0010000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=150,C=125

0

0.02

0.04

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=111

0

0.05

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=100

0

0.05

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=125

0

0.05

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=130

0

0.05

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=150

0

0.05

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=50,C=125

0

0.05

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=150,C=125

Gambar 4. Grafik mean euclidean distance dengan nilai 𝑇 yang berbeda

Grafik Variance of Return Error dengan nilai parameter 𝑇 dan 𝐶 yang berbeda dapat

dilihat pada gambar 5.

Gambar 5. Grafik variance of returen error denga nilai 𝐶 dan 𝑇 yang berbeda


0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=100

0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=111

0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=125

0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,130

0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=100,C=150

0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=50,C=125

0.000010.000020.0000

1aset

2aset

3aset

4aset

5aset

6aset

7aset

8aset

9aset

10aset

T=150,C=125

Selanjutnya grafik Mean of Return Error dengan nilai parameter 𝑇 dan 𝐶 yang berbeda

dapat dilihat pada gambar 6.

Gambar 6. Grafik mean of return error dengan nilai 𝑇 dan 𝐶 yang berbeda

Selanjutnya pada Gambar 7 sampai dengan Gambar 11 disajikan hasil simulasi berbentuk

grafik untuk melihat pengaruh banyaknya aset yang digunakan (𝐾) terhadap imbal hasil

rata-rata dan risiko.


Gambar 7. Grafik (a) 𝐾 = 1 (b) 𝐾 = 2

Gambar 7 : Grafik (a) 𝐾 = 3 (b) 𝐾 = 4

Figure 10: Grafik (a) 5 Aset (b) 6 Aset

Grafik (a) 7 Aset (b) 8 Aset


Grafik (a) 9 Aset (b) 10 Aset

5. Analisis Kinerja Metode CSO pada Pemilihan Portofolio

Pada grafik yang menunjukkan nilai Mean Euclidean Distance dapat dilihat bahwa

tidak terdapat perbedaan yang signifikan di antara ke-7 grafik dengan menggunakan nilai

parameter 𝐶 dan 𝑇 yang berbeda. Hal yang sama terjadi pada grafik yang menunjukkan

nilai Mean of Return Error. Artinya, nilai parameter 𝐶 dan 𝑇 yang digunakan tidak terlalu

mempengaruhi kinerja metode. Selain itu dapat dilihat bahwa metode memberikan hasil yang

lebih baik pada nilai kardinalitas aset 𝐾 = 3 sampai dengan 𝐾 = 5 karena menghasilkan

nilai kedua ukuran kinerja yang lebih kecil dibandingkan nilai 𝐾 lainnya. Pada grafik yang

menunjukkan Variance of Return Error, dapat dilihat bahwa nilai yang dihasilkan tidak

beraturan sehingga tidak dapat diambil kesimpulan.

Analisis berikutnya dilakukan terhadap grafik hasil simulasi pada 4.2 sampai dengan

4.6 untuk melihat pengaruh banyaknya aset atau kardinalitas 𝐾 terhadap imbal hasil rata-rata

dan risiko. Pada saat 𝐾 = 1, terdapat dua pasang titik imbal hasil rata-rata dan resiko dengan

salah satu titik merupakan titik dengan nilai resiko dan imbal hasil tertinggi. Saat kardinalitas

𝐾 = 2, titik-titik dengan imbal hasil di atas 7×10!! hampir sama dengan grafik efficient

frontier. Namun, pada saat 𝐾 = 3 dan 𝐾 = 4, titik-titik heuristic efficient frontier mulai

tidak beraturan tetapi masih berada di sekitar grafik efficient frontier. Untuk nilai 𝐾 = 5 dan

𝐾 = 6, titik-titik tersebut mulai berada di bawah grafik efficient frontier dan mulai menjauh

pada nilai 𝐾 = 7 dan nilai 𝐾 = 8. Terakhir pada nilai 𝐾 = 9 dan 𝐾 = 10, titik-titik

heuristic efficient frontier semakin menjauh ke bawah dari grafik efficient frontier. Hal

tersebut menunjukkan semakin besar nilai kardinalitas, nilai imbal hasil dan resiko yang

didapatkan semakin kurang optimal untuk imbal hasil yang cukup besar. Tetapi, untuk nilai

imbal hasil rata-rata dibawah 7×10!!, pada grafik dapat dilihat bahwa semakin besar

kardinalitas maka titik-titik heuristic efficient frontier semakin mendekati grafik efficient


frontier. Berdasarkan analisis tersebut, kardinalitas yang kecil lebih cocok untuk investor

yang berani megambil risiko. Sedangkan kardinalitas yang lebih besar, cocok untuk investor

yang lebih menyukai risiko yang kecil.

Selain itu pada grafik untuk 𝐾 = 2 sampai dengan 𝐾 = 10 terjadi penumpukan

titik-titik pada nilai resiko dan imbal hasil rata-rata tertinggi dengan nilai resiko dan imbal

hasil yang semakin berkurang seiring dengan penambahan kardinalitas. Hal tersebut

menunjukkan semakin banyak aset yang dipilih, maksimal risiko dan imbal hasil yang

mungkin didapatkan semakin berkurang.

Kesimpulan

Berdasarkan hasil implementasi dengan menggunakan data imbal hasil dan risiko 31

saham dengan nama indeks Hangseng yang telah dilakukan, metode CSO menunjukkan

kinerja yang cukup baik dalam memilih aset beserta proporsinya yang harus diinvetasikan.

Hal tersebut dapat dilihat dari titik-titik yang menunjukkan risiko dan imbal hasil yang

didapatkan tidak berbeda jauh dengan kurva efficient frontier. Kurva efficient frontier tersebut

merupakan hasil terbaik dari pemilihan 31 saham yang digunakan dan dijadikan benchmark

untuk melihat kinerja metode CSO dalam masalah pemilihan portofolio.

Berdasarkan hasil analisis implementasi dapat disimpulkan bahwa untuk imbal hasil

rata-rata yang kecil, kardinalitas yang besar memberikan hasil yang mendekati efficient

frontier. Sebaliknya untuk imbal hasil rata-rata yang besar, kardinalitas yang kecil

memberikan hasil yang mendekati nilai efficient frotier.

Saran

Metode CSO adalah salah satu metode pendekatan yang dapat digunakan dalam

menyelesaikan masalah pemilihan portofolio dengan kendala tambahan seperti kendala

kardinalitas dan batasan proporsi aset. Dalam hal ini metode pendekatan lain dapat digunakan

guna memperbaiki hasil metode CSO untuk kardinalitas portofolio yang cukup besar.


Daftar Referensi

Bodie, Z., Kane, A., dan Marcus, A.J.(1996). Investments, (3!" ed). United States : The

McGraw-Hill Companies, Inc.

Chang, T.J., Meade, N., Beasley, J.E., dan Sharaiha, Y.M.(2000). Heuristics for Cardinality

Constraint Portfolio Optimization. Computer & Operation Research 27 1271-1302

Chu, S.C.,dan Tsai, P.W.(2007). Computational Intelligence Based on The Behaviour of Cats,

Int. J. Innov. Comp. Inf. Control, Vol. 3 No.1, 163-173.

Cura, T.(2009). Particle Swarm Optimization Approach to Portfolio Optimization. Nonlinear

Analysis : Real World Application 10,2396-2406.

Fernandez, A., dan Gomez, S.(2007). Portfolio Selection Using Neural Networks. Computer

& Operation Research 34, 1177-1191.

Hillier, Frederick S. dan Liberman, Gerald J.(2015). Introduction to Operation Research

(10!!𝑒𝑑). United States : The McGraw-Hill Education.

Kamili, H dan Riffi, M.E.(2015). Portfolio Selection Using Cat Swarm Optimization. Journal

of Theoretical and Applied Information Technology, Vol. 74 No.3, 374-380.

Markowitz, H.M. (1952). Portfolio Selection. Journal of Finance, 77-91.

Reilly, F.K., Brown, K.C.(1997). Investment Analysis and Portfolio Management, (5!! ed.).

United States : The Dryden Press.


pemilihan portofolio dengan menggunakan metode cat …

Documents