Pemilihan Portofolio dengan Menggunakan Metode Cat Swarm Optimization
Fadhilah Futri Syofyany1, Bevina D. Handari2, Gatot F. Hertono3
Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Kampus Baru UI Depok, Depok, 16424, Indonesia
Email : [email protected],
Abstrak
Investor melakukan investasi untuk mendapatkan imbal hasil yang besar dengan risiko minimum. Untuk
mengoptimalkan imbal hasil dan risiko yang didapatkan dari investasi, investor dapat melakukan diversifikasi
yang efisien. Salah satu bentuk diversifikasi yang efisien adalah dengan melakukan pemilihan portofolio.
Pemilihan portofolio merupakan masalah optimisasi dalam pemilihan kombinasi aset yang dapat menghasilkan
imbal hasil dan risiko yang optimal. Model yang digunakan dalam menyelesaikan masalah pemilihan portofolio
pada skripsi ini adalah model standar Markowitz dengan diberikan kendala tambahan yaitu banyaknya aset yang
diinvestasikan dan kendala batasan proporsi untuk masing-masing aset. Terdapat banyak metode yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan masalah pemilihan portofolio dengan model tersebut, salah satunya adalah
metode Cat Swarm Optimization (CSO). Hasil implementasi pemilihan portofolio dengan menggunakan metode
CSO berupa pasangan imbal hasil dan risiko beserta proporsi investasi untuk setiap aset. Hasil implementasi
tersebut kemudian di analisis untuk melihat kinerja metode CSO dalam masalah pemilihan portofolio.
Portfolio Selection Using Cat Swarm Optimization
Abstract
The purpose of investments is to get high return with minimum risk. To optimize return and risk from
investments, investors should diversify their assets efficiently. One such method is portfolio selection. Portfolio
selection is an optimization problem in selecting asset combinations which produce an optimal risk and return. In
this thesis, the model for solving the optimization problem is Markowitz standard model with some additional
constraints. The constraints are the number of assets that are held in a portfolio and bounding asset proportion
constraint. There are some methods to solve portfolio selection with this model. One of the methods is Cat
Swarm Optimization. The implementation results from portfolio selection using Cat Swarm Optimization are
some pairs of return and risk with their asset proportions. The results are analyzed to test the performance of Cat
Swarm Optimization in portfolio selection.
Keywords: investments, portfolio, markowitz models, cat swarm optimization
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
1. Pendahuluan
Investasi merupakan penanaman uang atau modal dalam suatu perusahaan atau proyek
untuk tujuan memperoleh keuntungan (KBBI). Imbal hasil atau keuntungan yang besar diikuti
risiko yang besar. Untuk mengoptimalkan imbal hasil dan risiko suatu investasi diperlukan
diversifikasi yang efisien pada pengalokasian aset, salah satunya adalah portofolio.
Portofolio adalah salah satu bentuk diversifikasi investasi sejumlah uang terhadap beberapa
aset yang tersedia (Fernandez, 2007). Untuk menghasilkan diversifikasi yang efisien
dilakukan pemilihan portofolio. Pemilihan portofolio merupakan masalah optimisasi dalam
pemilihan kombinasi investasi aset yang dapat menghasilkan imbal hasil dan risiko yang
optimal (Kamili, 2015).
Untuk menyelesaikan permasalahan pemilihan portofolio, model standar yang digunakan
adalah model Mean-Variansi Markowitz (Chang, 2000). Model ini menggunakan pendekatan
mean dan variansi untuk menghitung ekspektasi imbal hasil dan risiko (Markowitz,1952).
Penyelesaian masalah ini menghasilkan efficient frontier, yaitu kurva kontinu yang
menunjukkan trade-off antara imbal hasil dan risiko yang dapat ditentukan dengan
menggunakan quadratic programming (QP) (Chang, 2000).
Ditemukan beberapa kendala yang tidak terdapat pada model standar Markowitz yaitu
kendala kardinalitas (batasan banyaknya aset berbeda di dalam portofolio) dan kendala
batasan proporsi aset yang dapat diinvestasikan (Cura,2009). Penambahan dua kendala
tersebut pada modeL Markowitz menghasilkan model yang disebut Cardinality Constraints
Efficient Frontier yang berbentuk Mixed-Integer Quadratic Programming (MIQP). Karena
tidak terdapat algoritma quadratic programming yang efektif untuk menyelesaikan masalah
MIQP, maka digunakan metode pendekatan untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Terdapat beberapa metode pendekatan yang telah dilakukan untuk menyelesaikan
masalah pemilihan portofolio dengan kendala kardinalitas dan batasan proporsi, seperti
metode Simulated Anneling, Tabu Search dan Genetic Algorithm oleh (Chang, 2000), metode
Neuron Networks oleh (Fernandez, 2007), metode Particle Swarm Optimization oleh (Cura,
2009) dan metode Cat Swarm Optimization oleh (Kamili, 2015).
Penyelesaian masalah pemilihan portofolio pada skripsi ini dengan menggunakan metode
Cat Swarm Optimization (CSO). Metode CSO termasuk dalam Swarm Intelligence dengan
memperhatikan tingkah laku kucing dalam mengejar mangsanya (Chu, 2007). Hasil yang
diperoleh dari implementasi metode CSO dibandingkan dengan hasil metode quadratic
programming sebagai benchmark solusi optimal (Chang, 2000).
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
2. Tinjauan Teoritis 2.1. Portofolio
Menurut (Fernandez, 2007), portofolio adalah salah satu bentuk diversifikasi sejumlah
uang terhadap beberapa aset yang tersedia. Menurut teori portofolio, salah satu cara mengukur
risiko pada suatu investasi adalah dengan menggunakan variansi dari imbal hasil investasi
tersebut. Tujuan dari melakukan investasi adalah mendapatkan imbal hasil yang besar. Akan
tetapi imbal hasil yang besar disertai dengan risiko yang besar, sehingga untuk meminimalkan
risiko dilakukan pemilihan portofolio. Pemilihan portofolio merupakan masalah optimisasi
dalam pemilihan kombinasi investasi aset yang dapat menghasilkan imbal hasil dan risiko
yang optimal (Kamili, 2015).
2.2. Model Optimisasi Portofolio
Model optimisasi dasar yang digunakan dalam pemilihan portofolio adalah model
standar Markowitz atau yang disebut dengan model Unscontrained Efficient Frontier (UEF) .
Berikut adalah model UEF tersebut (Chang, 2000):
𝑀𝑖𝑛 !!!! !
!!! 𝑥!𝑥!𝜎!" , (1)
dengan kendala :
!!!! 𝑥!𝜇! = 𝑅∗, (2)
!!!! 𝑥! = 1, (3)
0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁, (4)
dengan 𝑁 adalah banyaknya aset, 𝜎!" adalah kovarian antara imbal hasil aset ke-𝑖 dan aset
ke-𝑗, 𝑥! adalah proporsi aset ke-𝑖, 𝜇! adalah imbal hasil aset ke-𝑖 dan 𝑅∗ adalah imbal
hasil rata-rata portofolio yang diinginkan. Fungsi tujuan model pada persamaan (1)
menunjukkan variansi imbal hasil yang disebut dengan risiko portofolio (Chang, 2000).
Pada model tersebut, persamaan (1) meminimumkan kovariansi antara aset i dan aset
j. Sehingga persamaan tersebut meminimumkan risiko portofolio. Menurut Chang (2000),
persamaan (2) memastikan portofolio menghasilkan imbal hasil rata-rata sebesar 𝑅∗
sedangkan persamaan (3) memastikan jumlah proporsi semua aset sama dengan satu. Model
Markowitz tersebut menghasilkan sebuah kombinasi proporsi aset yang optimal beserta nilai
risiko portofolio sesuai dengan persamaan (1) untuk setiap imbal hasil 𝑅∗ yang diinginkan.
Namun, untuk menghasilkan efficient frontier dibutuhkan berbagai nilai imbal hasil yang
berbeda beserta nilai risiko portofolio yang dihasilkan. Untuk mempermudah perhitungan
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
fungsi tujuan dengan nilai imbal hasil (𝑅∗) yang berbeda, maka imbal hasil 𝑅∗ dipindahkan
pada persamaan (1) dengan penambahan parameter risiko 𝜆 ∈ [0,1]. Parameter ini
menunjukkan bobot kontribusi antara imbal hasil dan risiko pada fungsi tujuan. Hasil
modifikasi persamaan (1) setelah penambahan parameter 𝜆 dan persamaan (2) pada model
standar Markowitz dapat dilihat pada persamaan berikut :
𝑀𝑖𝑛 𝜆 !!!! !
!!! 𝑥!𝑥!𝜎!" − (1− 𝜆) !!!! 𝑥!𝜇! (5)
dengan kendala :
!!!! 𝑥! = 1, (6)
0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁. (7)
Menurut Cura (2009), nilai 𝜆 yang memenuhi 0 < 𝜆 < 1 menunjukkan trade off antara
imbal hasil dan risiko yang menghasilkan solusi di antara dua nilai 𝜆 tersebut dengan
sensitivitas terhadap risiko semakin besar ketika nilai 𝜆 semakin mendekati 1.
Perhatikan model Markowitz di atas. Fungsi tujuan pada model tersebut merupakan
perkalian antara beberapa variabel yang digunakan sehingga model tersebut merupakan model
optimisasi berbentuk quadratic programming. Quadratic Programming merupakan salah satu
kelas khusus dari Non Linear Programming (NLP) dengan kendala berbentuk linear
sedangkan fungsi tujuan berbentuk quadratic dan concave (Hillier, 2015).
3. Pemilihan Portofolio dengan Menggunakan Metode Cat Swarm Optimization
3.1. Model Cardinality Constraint Efficient Frontier
Model yang digunakan dalam penyelesaian masalah pemilihan portofolio pada tugas
akhir ini adalah model Cardinality Constraint Efficient Frontier (CCEF) (Kamili, 2015).
Untuk memodelkan model CCEF, ditambahkan beberapa variabel baru kepada model standar
Markowitz, yaitu parameter 𝐾 sebagai kardinalitas portofolio, 𝜀! sebagai batas bawah
proporsi aset ke 𝑖 (minimal proporsi investasi aset ke 𝑖) dan 𝛿! sebagai batas atas proporsi
aset ke 𝑖 (maksimal proporsi investasi aset ke 𝑖). Selain parameter tersebut, diperkenalkan
variabel keputusan apakah suatu aset dipilih atau tidak, yaitu variabel 𝑧! ∈ {0,1} dengan 𝑧!
bernilai 1 jika aset ke 𝑖 terpilih dan bernilai 0 jika aset tersebut tidak terpilih (Cura, 2009),
sehingga model CCEF berbentuk :
𝑀𝑖𝑛 𝜆 !!!! !
!!! 𝑥!𝑥!𝜎!" − (1− 𝜆) !!!! 𝑥!𝜇! (8)
dengan kendala :
!!!! 𝑥! = 1, (9)
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁, (10)
!!!! 𝑧! = 𝐾, (11)
𝜀!𝑧! ≤ 𝑥! ≤ 𝛿!𝑧! , 𝑖 = 1,… ,𝑁, (12)
𝑧! ∈ {0,1}, 𝑖 = 1,… ,𝑁. (13)
Untuk mempermudah perhitungan fungsi tujuan, pada skripsi ini fungsi tujuan
direpresentasikan dalam bentuk perkalian matriks dengan notasi sebagai berikut :
𝑋 = 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! ,
𝜇 = 𝜇!, 𝜇!,… , 𝜇! ,
𝑀 =𝜎!! … 𝜎!!… … …𝜎!! … 𝜎!!
.
Berdasarkan notasi-notasi di atas, model CCEF dapat ditulis kembali menjadi
𝑀𝑖𝑛 𝜆 𝑋!𝑀𝑋 − (1− 𝜆) 𝑋!𝜇 , (14)
dengan kendala :
!!!! 𝑥! = 1, (15)
0 ≤ 𝑥! ≤ 1, 𝑖 = 1,… ,𝑁, (16)
!!!! 𝑧! = 𝐾, (17)
𝜀!𝑧! ≤ 𝑥! ≤ 𝛿!𝑧! , 𝑖 = 1,… ,𝑁. (18)
3.2. Metode Cat Swarm Optimization
Metode Cat Swarm Optimization adalah salah satu metode pendekatan yang
dikembangkan berdasarkan Swarm Intelligence dengan memperhatikan perilaku hewan. Pada
metode ini, model matematika dibentuk dengan menganalisa pergerakan kucing dalam
mencari mangsa (Chu, 2007).
Secara umum, kebiasaan utama dalam pergerakan kucing dapat dibedakan menjadi
dua macam yang disebut sebagai seeking mode dan tracing mode. Seeking mode adalah
kondisi ketika kucing dalam keadaan siaga sambil memperhatikan sekitar, sedangkan tracing
mode adalah kondisi ketika kucing bergerak aktif dalam mengejar mangsa.
3.2.1. Alur Kerja Metode Cat Swarm Optimization
Menurut Chu (2007), alur kerja metode CSO secara umum terdiri atas 6 tahap, yaitu:
1. Masukkan nilai-nilai paramater. Bentuk sebanyak C kucing. Lakukan inisialisasi
ukuran dimensi kucing (N), posisi dan kecepatan awal untuk masing-masing kucing.
2. Hitung nilai fungsi fitness masing-masing kucing. Simpan posisi kucing terbaik.
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
3. Tentukan mode masing-masing kucing secara acak sesuai dengan nilai MR.
4. Pindahkan masing-masing kucing sesuai dengan modenya.
5. Hitung kembali nilai fungsi fitness dan perbarui posisi kucing terbaik.
6. Periksa apakah kriteria berhenti telah dipenuhi atau tidak. Jika telah dipenuhi, proses
selesai. Jika belum dipenuhi kembali ke tahap 3. 3.2.2. Alur kerja Seeking Mode dan Tracing Mode
Berikut adalah alur kerja seeking mode dan tracing mode pada tahap 5 alur kerja metode
CSO. Seeking mode terdiri atas beberapa tahap seperti yang dijelaskan berikut ini:
1. Duplikatkan posisi kucing sebanyak j. Jika SPC = 0, maka j = SMP. Sedangkan jika
SPC = 1, maka j = SMP-1.
2. Untuk masing-masing duplikat ke k posisi kucing, tentukan komponen dimensi posisi
yang bermutasi sebanyak 𝐶𝐷𝐶×𝑁. Perhitungan mutasi untuk komponen dimensi terpilih
dapat ditulis menjadi :
𝑥!,! = 𝑥!,! ± 𝑆𝑅𝐷×𝑥!,! , (19)
dengan 𝑥!,! adalah posisi duplikat kucing ke 𝑘 pada komponen dimensi ke-𝑖.
3. Hitung nilai fungsi fitness yaitu fungsi objektif masalah.
4. Jika semua nilai fungsi fitness bernilai sama, maka semua duplikat kucing memiliki
nilai probabilitas terpilih 1. Sebaliknya, jika tidak semua nilai fungsi fitness bernilai
sama, maka hitung nilai probabilitas terpilih sesuai dengan persamaan:
𝑃! =|!!!!!!!|
!!!"#!!!!"#, (20)
dengan 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi fitness kucing ke-𝑘, 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi fitness
terbaik, 𝐹𝑆!"# adalah nilai fungsi fitness maksimum dan 𝐹𝑆!"# adalah nilai fungsi
fitness minimum.
4. Pilih secara acak salah satu posisi duplikat kucing (kandidat posisi) untuk menjadi
posisi berikutnya dengan menggunakan roulette wheel selection.
Selanjutnya diberikan alur kerja Tracing mode yang terdiri dari tiga tahapan, yaitu :
1. Untuk setiap kucing, perbarui kecepatan kucing untuk setiap komponen dimensi 𝑣!,!
sesuai persamaan
𝑣!,! = 𝑣!,! + 𝑟 ⋅ 𝑐 ⋅ (𝑥!"#$,! − 𝑥!,!), (21)
dengan 𝑥!"#$,! adalah posisi dengan nilai fitness terbaik pada komponen dimensi ke-𝑖
dan 𝑥!,! adalah posisi kucing ke 𝑐 pada komponen dimensi ke 𝑖.
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
2. Periksa apakah kecepatan berada di dalam jangkauan kecepatan yang diinginkan.
Jika kecepatan melebihi batasan, maka kurangi kecepatan menjadi kecepatan maksimum.
Sebaliknya jika kecepatan di dalam batasan, pertahankan kecepatan
3. Untuk setiap kucing, perbarui posisi masing-masing kucing sesuai dengan persamaan
𝑥!,! = 𝑥!,! + 𝑣!,! . (22)
3.3. Penyelesaian Masalah Pemilihan Portofolio dengan Menggunakan Metode CSO
Pada penyelesaian masalah pemilihan portofolio menggunakan metode Cat Swarm
Optimization, adaptasi yang dilakukan yaitu :
1. Kucing merepresentasikan portofolio yang dibentuk.
2. Dimensi kucing menunjukkan banyaknya aset yang tersedia. Dengan kata lain,
dimensi ke i kucing j menunjukkan aset ke i pada portfolio j.
3. Posisi kucing ke i menunjukkan proporsi semua aset yang tersedia.
4. Terdapat vektor 𝑍 yang bersesuaian dengan vektor posisi 𝑋. Vektor 𝑍 ini
merepresentasikan variabel keputusan dan bernilai 0 atau 1. Seperti vektor posisi 𝑋, vektor 𝑍
juga memiliki vektor kecepatan.
5. Penambahan suatu fungsi yang disebut dengan fungsi arrange (Cura, 2009). Fungsi
ini digunakan sebelum menghitung nilai fungsi fitness dan bertujuan untuk memastikan
semua kendala terpenuhi. 3.3.1. Fungsi Arrange
Fungsi arrange bertujuan untuk memastikan semua kendala terpenuhi. Misalkan
portofolio ke-𝑐 memiliki 𝐾∗ aset yaitu banyaknya aset yang terpilih dan 𝑄 adalah
himpunan aset-aset yang terpilih. Jika 𝐾∗ ≠ 𝐾 dengan 𝐾 adalah kardinalitas yang
diinginkan, maka beberapa aset pada himpunan 𝑄 harus dikurangi atau ditambah sampai
memenuhi 𝐾∗ = 𝐾.
Dalam fungsi arrange dibutuhkan nilai 𝑐!, yaitu nilai yang menunjukkan proporsi antara
imbal hasil rata-rata dengan risiko rata-rata sesuai dengan nilai parameter risiko. Berikut
adalah proses menghitung nilai 𝑐! (Cura, 2009).:
𝜃! = 1+ (1− 𝜆)𝜇! , (23)
𝜌! = 1+ 𝜆( !
!!!!!"!
), (24)
Ω = −1×𝑚𝑖𝑛(0,𝜃!,𝜃!,… ,𝜃!), (25)
Ψ = −1×𝑚𝑖𝑛(0,𝜌!,𝜌!,… ,𝜌!), (26)
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
𝑐! =!!!!!!!!
, 𝑖 = 1,… ,𝑁. (27)
Nilai 𝑐! digunakan dalam memilih aset mana yang harus ditambahkan atau dikurangi pada
sebuah portofolio. Setelah menghitung nilai 𝑐!, selanjutnya dibahas alur dari fungsi arrange ,
yaitu (Cura, 2009) :
1. Hitung nilai kardinalitas 𝐾. Jika nilai 𝐾∗ < 𝐾, masuk ke tahap 2. Sebaliknya jika
𝐾∗ > 𝐾, masuk ke tahap 3. Sedangkan jika 𝐾∗ = 𝐾, maka lanjut ke tahap 4.
2. Pilih bilangan acak 𝑟. Jika 𝑟 < 0,5, maka tambahkan aset 𝑖 secara acak pada
himpunan 𝑄. Jika 𝑟 > 0,5, maka tambahkan aset 𝑖 dengan nilai 𝑐! terbesar. Aset 𝑖 yang
dipilih merupakan aset yang tidak terdapat pada himpunan 𝑄. Kemudian kembali ke tahap 1.
3. Pilih sebuah bilangan secara acak 𝑟. Jika 𝑟 < 0,5, maka keluarkan aset 𝑖 secara
acak dari himpunan 𝑄. Sedangkan jika 𝑟 > 0,5, maka keluarkan aset 𝑖 dengan nilai 𝑐!
terkecil. Kemudian kembali ke tahap 1.
4. Periksa apakah kendala batasan telah dipenuhi sesuai persamaan
𝑋 = ! 𝑥!" , 𝑖 ∈ 𝑄, (28)
𝑥!" =!!"!, ∀𝑖 ∈ 𝑄, (29)
𝜂 = ! 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑥!" − 𝛿!), 𝑖 ∈ 𝑄, (30)
𝜙 = ! 𝑚𝑎𝑥(0, 𝜀! − 𝑥!"), 𝑖 ∈ 𝑄. (31)
dengan 𝑥!" adalah proporsi aset ke-𝑖. Jika 𝜂 = 0 dan 𝜙 = 0, maka semua aset telah
memenuhi kendala batasan proporsi. Jika 𝜂 > 0, maka masuk ke tahap 5. Sedangkan jika
𝜙 > 0, maka masuk ke tahap 6.
5. Atur proporsi setiap aset 𝑖 yang terpilih sesuai persamaan
𝑡! = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝛿! − 𝑥!") ∀𝑖 ∈ 𝑄, (32)
𝛿∗ = ! 𝑡! , 𝑖 ∈ 𝑄, (33)
𝑥!" = 𝑥!" +!!!∗𝜂. (34)
Setelah semua proporsi aset diatur, masuk ke tahap 7.
6. Atur proporsi aset yang terpilih sesuai persamaan
𝑒! = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑥!" − 𝜀!), ∀𝑖 ∈ 𝑄, (35)
𝜀∗ = ! 𝑡! , 𝑖 ∈ 𝑄, (36)
𝑥!" = 𝑥!" −!!!∗𝜙. (37)
Setelah semua proporsi aset diatur, masuk ke tahap 7.
7. Hitung ulang nilai 𝜂 dan 𝜙. Jika 𝜂 > 0, kembali ke tahap 5. Jika 𝜙 > 0, kembali
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
tahap 6. Jika 𝜂 = 0 dan 𝜙 = 0, maka semua kendala telah terpenuhi. 3.3.2. Adaptasi Pada Seeking Mode 1. Duplikat proporsi portofolio beserta nilai keputusannya sebanyak j = SMP
2. Pilih aset yang bermutasi sebanyak 𝐶𝐷𝐶×𝑁. Lakukan perubahan keputusan sesuai
persamaan :
𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! = 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! ± 𝑆𝑅𝐷×𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,!. (38)
Jika 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! = 0,
𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! = 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! ± 𝑆𝑅𝐷×𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! , (39)
dengan 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑍!,! adalah duplikat keputusan portofolio ke 𝑘 untuk aset ke 𝑖 dan
𝑑𝑢𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑡𝑋!,! adalah duplikat proporsi portofolio ke 𝑘 untuk aset ke 𝑖.
3. Lakukan fungsi arrange
4. Hitung nilai fungsi fitness sesuai persamaan (14).
5. Jika semua nilai fungsi fitness bernilai sama, maka semua duplikat portofolio
memiliki nilai probabilitas terpilih 1. Jika tidak, maka hitung nilai probabilitas terpilih sesuai
dengan persamaan:
𝑃! =|!!!!!!!|
!!!"#!!!!"#, (40)
dengan 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi fitness duplikat portofolio ke-𝑘, 𝐹𝑆! adalah nilai fungsi
fittnes terbaik, 𝐹𝑆!"# adalah fungsi fitness maksimum, dan 𝐹𝑆!"# adalah fungsi fitness
minimum.
5. Pilih salah satu duplikat proporsi portofolio (kandidat proporsi) untuk menjadi
proporsi portofolio terbaru dengan menggunakan roulette wheel selection.
3.3.3. Adaptasi pada Tracing mode
Menurut Kamili (2015), pada tracing mode untuk pemilihan portofolio, perubahan
keputusan didefinisikan oleh :
𝑣𝑍!,! = 𝑣𝑍!,! + 𝑟×𝑐×(𝐺𝑍!,! − 𝑍!,!), (41)
𝑍!,! = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑( !!!!!!
− 𝛼), (42)
dengan :
𝑣𝑍!,! adalah kecepatan keputusan komponen dimensi ke-𝑖,
𝐺𝑍!" adalah keputusan terbaik pada komponen dimensi ke-𝑖,
𝑍!" adalah keputusan pada komponen dimensi ke-𝑖,
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
𝑟 adalah bilangan random antara 0 sampai 1,
𝑐 adalah konstanta bernilai 2 (Chang, 2000),
𝛼 adalah parameter bernilai 0,6 (Cura, 2009), dan
𝜉 = 𝑍!,! + 𝑣𝑍!,!.
Sedangkan perubahan proporsi didefinisikan oleh:
𝑣𝑋!,! =𝑣𝑋!,! + 𝑟×𝑐×(𝐺𝑋!,! − 𝑋!,!) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍!,! = 1𝑣𝑋!,! 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (43)
𝑋!,! =𝑣𝑋!,! + 𝑋!,! 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍!,! = 1𝑋!,! 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (44)
dengan :
𝑣𝑋!,! adalah kecepatan perubahan proporsi aset ke-𝑖,
𝐺𝑋!,! adalah proporsi terbaik aset ke-𝑖,
𝑋!,! adalah proporsi pada aset ke-𝑖, dan
𝑣𝑋!,! + 𝑋!,! harus bernilai positif.
3.3.3. Metode CSO pada Pemilihan Portofolio
Berikut adalah metode CSO setelah dilakukan penyesuaian dalam menyelesaikan
masalah pemilihan portofolio : 1. Bentuk sebanyak C portofolio. Lakukan inisialisasi ukuran dimensi portofolio (N)
yaitu banyaknya aset yang tersedia lalu berikan proporsi, keputusan, dan kecepatan awal perubahan proporsi dan keputusan setiap aset untuk masing-masing portofolio secara acak.
2. Lakukan fungsi arrange. Hitung nilai fungsi fitness, yaitu nilai fungsi tujuan pada persamaan (14) untuk masing-masing portofolio. Simpan proporsi portofolio yang memiliki nilai fitnesss terbaik 𝑥!"#$, yaitu proporsi yang meminimumkan fungsi objektif.
3. Tentukan tanda mode masing-masing portofolio sesuai nilai mixed ratio (MR) secara acak.
4. Ubah proporsi aset untuk setiap portofolio sesuai dengan modenya. Jika portofolio bertanda seeking mode maka lakukan seeking mode dan begitu juga sebaliknya, jika portofolio bertanda tracing mode maka lakukan tracing mode. Proses pada seeking mode dan tracing mode sesuai dengan proses yang telah dijelaskan sebelumnya pada Sub-Subbab 3.3.1 dan 3.3.2.
5. Hitung kembali nilai fungsi fitness dan perbarui proporsi terbaik dengan proporsi pada portofolio dengan nilai fungsi objektif minimum.
6. Periksa apakah kriteria berhenti telah dipenuhi atau tidak. Dalam pemilihan portofolio, kriteria berhenti yang digunakan adalah banyaknya iterasi yang dilakukan. Jika telah dipenuhi, maka program selesai. Jika belum terpenuhi maka kembali ke tahap 4.
Alur kerja metode CSO pada pemilihan portofolio di atas dapat dilihat pada Gambar 1.
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
Gambar 1. Diagram alur metode cat swarm optimization
4. Hasil Implementasi Metode Cat Swarm Optimization pada Masalah Pemilihan
Portofolio
Pada tugas akhir ini, semua data yang digunakan diunduh dari
http://people.brunel.ac.uk/ mastjjb/jeb/orlib/portinfo.html dengan nama indeks Hang Seng
milik Hongkong yang terdiri dari 31 saham. Kumpulan saham tersebut masing-masing
memiliki nilai imbal hasil, korelasi antara saham-saham dan variansi imbal hasil saham.
Selain itu juga terdapat 2000 pasang imbal hasil rata-rata dan risiko dari himpunan saham
yang dinyatakan sebagai koordinat yang membentuk kurva efficient frontier. Titik-titik
tersebut merupakan hasil penyelesaian masalah pemilihan portofolio terhadap 31 saham yang
tersedia dengan menggunakan metode quadratic programming pada model standar markowitz
(UEF) (Cura, 2009). Kurva efficient frontier digunakan sebagai benchmark karena titik-titik
pada efficient frontier tersebut merupakan hasil optimal penyelesaian masalah pemilihan
portofolio (Chang, 2000).
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
Selain data yang disebutkan di atas, implementasi metode CSO terhadap pemilihan
portofolio membutuhkan nilai beberapa parameter. Parameter dasar yang digunakan pada
pemilihan portofolio yaitu 𝑆𝑀𝑃 = 5, 𝑆𝑅𝐷 = 0,2, 𝐶𝐷𝐶 = 0,8, 𝑀𝑅 = 0,3, 𝑆𝑃𝐶 = 0,
𝑐 = 2,dan 𝑟 ∈ [0,1] (Kamili, 2015). Sedangkan nilai untuk batas bawah 𝜀 = 0,01, dan batas
atas 𝛿 = 1 (Cura, 2009).
Banyak iterasi 𝑇 yang dilakukan untuk satu simulasi terdiri dari tiga nilai yang berbeda,
yaitu 50, 100 dan 150. Untuk 𝑇 = 50 dan 𝑇 = 150 dilakukan simulasi dengan banyak
𝐶 = 125. Sedangkan untuk 𝑇 = 100, dilakukan simulasi dengan menggunakan lima nilai 𝐶
yang berbeda, yaitu 𝐶 = 100, 𝐶 = 111, 𝐶 = 125, 𝐶 = 130, dan 𝐶 = 150. Setiap simulasi
yang dilakukan menggunakan nilai kardinalitas yang berbeda, dari nilai 𝐾 = 1 sampai
dengan 𝐾 = 10.
Pada skripsi ini, satu simulasi menggunakan 51 nilai 𝜆 ∈ [0,1] dengan Δ = 0,02 dan
menghasilkan 51 pasang nilai imbal hasil dan resiko terbaik untuk masing-masing nilai 𝜆.
Contoh hasil satu simulasi dengan 5 aset, 100 portofolio dan 50 iterasi dapat dilihat pada
Tabel 1.
Tabel 1
𝝀 Iter ke Imbal hasil rata-rata Risiko Nilai fungsi tujuan
0 1 0,0093838 0,0032978 -0,0093838
0 2 0,0095919 0,0033903 -0,0095919
… … … … …
0 50 0,0098258 0,0033821 -0,0098258
,02 1 0,0081393 0,0020017 -0,0079365
,02 2 0,0095982 0,0034382 -0,0093375
,02 50 0,0098262 0,0034356 -0,0095609
1 0,0033667 0,00076087 0,00076087
2 0,0033746 0,00075377 0,00075377
50 0,0028967 0,00074004 0,00074004
Untuk setiap nilai 𝜆 pada 4.1 dilakukan 50 iterasi. Pada masing-masing iterasi
digunakan 100 portofolio. Portofolio dengan nilai fungsi tujuan minimum sesuai persamaan
(14) dipilih sebagai portofolio terbaik untuk iterasi tersebut. Selanjutnya untuk
masing-masing nilai 𝜆 dipilih portofolio dengan nilai fungsi tujuan minimum. Karena
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
terdapat 51 nilai 𝜆, maka didapatkan 51 portofolio dengan masing-masingnya menghasilkan
pasangan nilai imbal hasil rata-rata dan risiko terbaik.
Lebih lanjut, 51 pasang nilai imbal hasil rata-rata dan risiko tersebut dinyatakan dalam
grafik yang disebut sebagai heuristic efficient frontier beserta kurva efficient frontier aset-aset
yang digunakan. Contoh grafik tersebut berdasarkan hasil simulasi di atas dapat dilihat pada
gambar 2.
Gambar 2. Contoh grafik efficient frontier
Sebelum disajikan hasil simulasi metode CSO pada pemilihan portofolio, terlebih dahulu
dibahas tiga ukuran yang digunakan pada simulasi tersebut untuk mengukur kinerja metode
CSO pada masalah pemilihan portofolio, yaitu (Cura, 2009):
• Mean Euclidean Distance yaitu rata-rata jarak titik pada heuristic efficient frontier
dengan titik terdekat pada kurva efficient frontier.
• Variance of Return Error yaitu rata-rata selisih risiko pada heuristic efficient frontier
dengan risiko terdekat pada kurva efficient frontier.
• Mean Return Error adalah rata-rata selisih imbal hasil rata-rata pada heuristic efficient
frontier dengan imbal hasil rata-rata terdekat pada kurva efficient frontier.
Untuk menghitung mean euclidean distance, variance of return error, dan mean return
error terlebih dahulu dicari titik pada kurva efficient frontier yang terdekat dengan heuristic
efficient frontier. Misalkan (𝑣!!, 𝑟!!), 𝑖 = 1,… ,2000 merupakan titik imbal hasil rata-rata dan
risiko pada kurva efficient frontier dan (𝑣!! , 𝑟!!), 𝑗 = 1,… ,51 merupakan titik-titik imbal
hasil rata-rata dan risiko pada heuristic efficient frontier. Maka (𝑣!!! , 𝑟!!
!), 𝑗 = 1,… ,51
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
0.00000000.00050000.0010000
1 as
et
2 as
et
3 as
et
4 as
et
5 as
et
6 as
et
7 as
et
8 as
et
9 as
et
10 a
set
T=100,C=100
0.00000000.00050000.0010000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=111
0.00000000.00050000.0010000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=150
0.00000000.00050000.0010000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=130
0.00000000.00050000.0010000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=125
merupakan titik-titik pada efficient frontier yang terdekat dengan titik-titik
(𝑣!! , 𝑟!!), 𝑖 = 1,… ,51 yang didefinisikan oleh
(𝑣!!! , 𝑟!!
!) = argmin (𝑣!! − 𝑣!!)! + (𝑟!! − 𝑟!!)!, 𝑖 = 1,… ,2000, 𝑗 = 1,… ,51. (45)
Sehingga, mean eucliden distance didefinisikan oleh
!"
!!! (!!!! !!!
!)!!(!!!! !!!
!)!
!". (46)
Kedua ukuran lainnya yaitu variance of return error dan mean return error didefinisikan
berturut-turut sebagai berikut :
!"
!!!!""|!!!! !!!
!|/!!!
!", (47)
!"
!!!!""|!!!! !!!
!|/!!!
!". (48)
Grafik yang menunjukkan nilai Mean Euclidean Distance untuk nilai parameter 𝐶
dan 𝑇 yang berbeda dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3. Grafik mean euclidean distance dengan nilai 𝐶 yang berbeda
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
0.00000000.00050000.0010000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=50,C=125
0.00000000.00050000.0010000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=150,C=125
0
0.02
0.04
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=111
0
0.05
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=100
0
0.05
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=125
0
0.05
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=130
0
0.05
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=150
0
0.05
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=50,C=125
0
0.05
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=150,C=125
Gambar 4. Grafik mean euclidean distance dengan nilai 𝑇 yang berbeda
Grafik Variance of Return Error dengan nilai parameter 𝑇 dan 𝐶 yang berbeda dapat
dilihat pada gambar 5.
Gambar 5. Grafik variance of returen error denga nilai 𝐶 dan 𝑇 yang berbeda
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=100
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=111
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=125
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,130
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=100,C=150
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=50,C=125
0.000010.000020.0000
1aset
2aset
3aset
4aset
5aset
6aset
7aset
8aset
9aset
10aset
T=150,C=125
Selanjutnya grafik Mean of Return Error dengan nilai parameter 𝑇 dan 𝐶 yang berbeda
dapat dilihat pada gambar 6.
Gambar 6. Grafik mean of return error dengan nilai 𝑇 dan 𝐶 yang berbeda
Selanjutnya pada Gambar 7 sampai dengan Gambar 11 disajikan hasil simulasi berbentuk
grafik untuk melihat pengaruh banyaknya aset yang digunakan (𝐾) terhadap imbal hasil
rata-rata dan risiko.
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
Gambar 7. Grafik (a) 𝐾 = 1 (b) 𝐾 = 2
Gambar 7 : Grafik (a) 𝐾 = 3 (b) 𝐾 = 4
Figure 10: Grafik (a) 5 Aset (b) 6 Aset
Grafik (a) 7 Aset (b) 8 Aset
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
Grafik (a) 9 Aset (b) 10 Aset
5. Analisis Kinerja Metode CSO pada Pemilihan Portofolio
Pada grafik yang menunjukkan nilai Mean Euclidean Distance dapat dilihat bahwa
tidak terdapat perbedaan yang signifikan di antara ke-7 grafik dengan menggunakan nilai
parameter 𝐶 dan 𝑇 yang berbeda. Hal yang sama terjadi pada grafik yang menunjukkan
nilai Mean of Return Error. Artinya, nilai parameter 𝐶 dan 𝑇 yang digunakan tidak terlalu
mempengaruhi kinerja metode. Selain itu dapat dilihat bahwa metode memberikan hasil yang
lebih baik pada nilai kardinalitas aset 𝐾 = 3 sampai dengan 𝐾 = 5 karena menghasilkan
nilai kedua ukuran kinerja yang lebih kecil dibandingkan nilai 𝐾 lainnya. Pada grafik yang
menunjukkan Variance of Return Error, dapat dilihat bahwa nilai yang dihasilkan tidak
beraturan sehingga tidak dapat diambil kesimpulan.
Analisis berikutnya dilakukan terhadap grafik hasil simulasi pada 4.2 sampai dengan
4.6 untuk melihat pengaruh banyaknya aset atau kardinalitas 𝐾 terhadap imbal hasil rata-rata
dan risiko. Pada saat 𝐾 = 1, terdapat dua pasang titik imbal hasil rata-rata dan resiko dengan
salah satu titik merupakan titik dengan nilai resiko dan imbal hasil tertinggi. Saat kardinalitas
𝐾 = 2, titik-titik dengan imbal hasil di atas 7×10!! hampir sama dengan grafik efficient
frontier. Namun, pada saat 𝐾 = 3 dan 𝐾 = 4, titik-titik heuristic efficient frontier mulai
tidak beraturan tetapi masih berada di sekitar grafik efficient frontier. Untuk nilai 𝐾 = 5 dan
𝐾 = 6, titik-titik tersebut mulai berada di bawah grafik efficient frontier dan mulai menjauh
pada nilai 𝐾 = 7 dan nilai 𝐾 = 8. Terakhir pada nilai 𝐾 = 9 dan 𝐾 = 10, titik-titik
heuristic efficient frontier semakin menjauh ke bawah dari grafik efficient frontier. Hal
tersebut menunjukkan semakin besar nilai kardinalitas, nilai imbal hasil dan resiko yang
didapatkan semakin kurang optimal untuk imbal hasil yang cukup besar. Tetapi, untuk nilai
imbal hasil rata-rata dibawah 7×10!!, pada grafik dapat dilihat bahwa semakin besar
kardinalitas maka titik-titik heuristic efficient frontier semakin mendekati grafik efficient
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
frontier. Berdasarkan analisis tersebut, kardinalitas yang kecil lebih cocok untuk investor
yang berani megambil risiko. Sedangkan kardinalitas yang lebih besar, cocok untuk investor
yang lebih menyukai risiko yang kecil.
Selain itu pada grafik untuk 𝐾 = 2 sampai dengan 𝐾 = 10 terjadi penumpukan
titik-titik pada nilai resiko dan imbal hasil rata-rata tertinggi dengan nilai resiko dan imbal
hasil yang semakin berkurang seiring dengan penambahan kardinalitas. Hal tersebut
menunjukkan semakin banyak aset yang dipilih, maksimal risiko dan imbal hasil yang
mungkin didapatkan semakin berkurang.
Kesimpulan
Berdasarkan hasil implementasi dengan menggunakan data imbal hasil dan risiko 31
saham dengan nama indeks Hangseng yang telah dilakukan, metode CSO menunjukkan
kinerja yang cukup baik dalam memilih aset beserta proporsinya yang harus diinvetasikan.
Hal tersebut dapat dilihat dari titik-titik yang menunjukkan risiko dan imbal hasil yang
didapatkan tidak berbeda jauh dengan kurva efficient frontier. Kurva efficient frontier tersebut
merupakan hasil terbaik dari pemilihan 31 saham yang digunakan dan dijadikan benchmark
untuk melihat kinerja metode CSO dalam masalah pemilihan portofolio.
Berdasarkan hasil analisis implementasi dapat disimpulkan bahwa untuk imbal hasil
rata-rata yang kecil, kardinalitas yang besar memberikan hasil yang mendekati efficient
frontier. Sebaliknya untuk imbal hasil rata-rata yang besar, kardinalitas yang kecil
memberikan hasil yang mendekati nilai efficient frotier.
Saran
Metode CSO adalah salah satu metode pendekatan yang dapat digunakan dalam
menyelesaikan masalah pemilihan portofolio dengan kendala tambahan seperti kendala
kardinalitas dan batasan proporsi aset. Dalam hal ini metode pendekatan lain dapat digunakan
guna memperbaiki hasil metode CSO untuk kardinalitas portofolio yang cukup besar.
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016
Daftar Referensi
Bodie, Z., Kane, A., dan Marcus, A.J.(1996). Investments, (3!" ed). United States : The
McGraw-Hill Companies, Inc.
Chang, T.J., Meade, N., Beasley, J.E., dan Sharaiha, Y.M.(2000). Heuristics for Cardinality
Constraint Portfolio Optimization. Computer & Operation Research 27 1271-1302
Chu, S.C.,dan Tsai, P.W.(2007). Computational Intelligence Based on The Behaviour of Cats,
Int. J. Innov. Comp. Inf. Control, Vol. 3 No.1, 163-173.
Cura, T.(2009). Particle Swarm Optimization Approach to Portfolio Optimization. Nonlinear
Analysis : Real World Application 10,2396-2406.
Fernandez, A., dan Gomez, S.(2007). Portfolio Selection Using Neural Networks. Computer
& Operation Research 34, 1177-1191.
Hillier, Frederick S. dan Liberman, Gerald J.(2015). Introduction to Operation Research
(10!!𝑒𝑑). United States : The McGraw-Hill Education.
Kamili, H dan Riffi, M.E.(2015). Portfolio Selection Using Cat Swarm Optimization. Journal
of Theoretical and Applied Information Technology, Vol. 74 No.3, 374-380.
Markowitz, H.M. (1952). Portfolio Selection. Journal of Finance, 77-91.
Reilly, F.K., Brown, K.C.(1997). Investment Analysis and Portfolio Management, (5!! ed.).
United States : The Dryden Press.
Pemilihan portofolio ..., Fadhilah Futri Syofyany, FMIPA UI, 2016