PEMBUKTIAN TEOREMA

TEOREMA 5.3.1.

Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut:

(a) Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S.

(b) Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

Bukti :

(a) Anggap S = {v1, v2,..., vr} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita asumsikan bahwa S tak bebas secara linear, maka ada skalar-skalar k1, k2,..., kr tidak semuanya nol, sedemikian sehingga

k1v2 + k2v2 + ... + krvr = 0 (1)

Secara khusus, anggap k1 ≠ 0. Maka (1) dapat ditulis ulang sebagai

V1 = −k2

k1 v1 + ... +

−k2

k1 vr

Yang menyatakan v1 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S. Demikian juga, jika kj ≠ 0 dalam (1) untuk j = 2, 3, ..., r, maka vj

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

Sebaliknya, mari kita mengasumsikan bahwa paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Secara khusus, anggap bahwa

v1 = c1v2 + c2v2 + ... + crvr

sehingga

v1 - c1v2 - c2v2 - ... - crvr = 0

dipenuhi oleh

k1 = 1, k2 = -c2, ... , kr = -cr

yang tidak semuanya nol. Bukti dalam kasus dimana suatu vektor selain v1

dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S adalah serupa.

(b) Anggap S = {v1, v2,..., vr} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita asumsikan bahwa S bebas secara linear, maka skalar-skalar k1, k2,..., kr semuanya nol, sedemikian sehingga

k1v2 + k2v2 + ... + krvr = 0

diperoleh

k1 = 0, k2 = 0, ... , kr = 0

Karena semua skalar bernilai nol, dengan demikian dapat dinyatakan bahwa suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor yang bebas secara linear, tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

TEOREMA 5.3.2

(a) Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol tak bebas secara linear.

(b) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya.

Bukti :

(a) Untuk setiap vektor v1 , v2 , ... , vr himpunan S = {v1, v2,...,vr , 0} tak bebas secara linear karena persamaan

0v1 + 0v2 + ... +0vr + 1 (0) = 0menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dengan koefisien-koefisienyang tidak semuanya nol.

(c) Anggap S = {v1, v2} adalah suatu himpunan dengan dua vektor. Jika kita asumsikan bahwa S bebas secara linear, maka skalar-skalar k1 dan k2

semuanya nol, sedemikian sehinggak1v2 + k2v2 = 0

secara khusus anggap k1 = 0, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai

0v1 + k2v2 = 0

k2v2 = 0

k2 = 0v2

k2 = 0

Dengan demikian,dapat dinyatakan bahwa dua vektor dalam S yang bebas secara linear dengan koefisien-koefisien yang semuanya nol, yaitu vektor yang satu bukan merupakan penggandaan dari vektor yang lainnya.

TEOREMA 5.3.3

Anggap S = { v1, v2, … , vr } adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam Rn . Jika r ˃ n, maka S tak bebas secara linear.

Bukti :

Anggap bahwa

v1 = (v11, v12, ..., v1n)

v2 = (v21, v22, ..., v2n)

⋮ ⋮

vr = (vr1, vr2, ..., vr n)

Tinjau persamaan

k1v2 + k2v2 + ... + krvr = 0

jika, kita menyatakan kedua ruas persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen dan kemudian menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, maka kita dapatkan sistem

v11k1 + v21k2 + ... + vr1kr = 0

v12k1 + v22k2 + ... + vr2kr = 0

⋮ ⋮

v1nk1 + v2nk2 + ... + vrnkr = 0

Ini adalah suatu sistem homogen n persamaan dalam r peubah k1, ..., kr. Karena r>n, maka dari Teorema 1.2.1 kita dapatkan bahwa sistem tersebut mempunyai

penyelesaian-penyelesaian tak trivial. Dengan demikian, S = { v1, v2, … , vr } adalah suatu himpunan yang tak bebas secara linear.

TEOREMA 5.3.4

Jika fungsi f1, f2, …, fn, mempunyai n – 1 turunan yang kontinu pada selang (-∞,

∞) dan jika Wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak sama dengan nol pada (-∞, ∞),

maka fungsi-fungsi ini membentuk suatu himpunan vektor yang bebas secara

linear dalam C(n-1) (-∞, ∞).

Bukti :

Jika f1 = f1(x),f2= f2(x) ,,,,,,,,fn= fn(x)adalahfungsi-fungsi yang dapatditurunkan n-1

kali padaselang(−∞ , ∞ )maka determinan dari

f1 (x) f2 (x) ... fn(x)W(x) = f1'(x) f2'(x) ... fn'(x)

⋮ ⋮ ⋮f1

(n-1)(x) f2(n-1)(x) ... fn

(n-1)(x)disebut Wronskian* dari f1 , f2 , ..., fn. Sebagaimana yang akan kami tunjukkan sekarang, determinan ini berguna untuk memastikan apakah fungsi-fungsi f1 , f2 , ..., fn membentuk suatu himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam ruang vektor C(n-1)(-∞,∞).

Anggap, untuk sementara, bahwa f1 , f2 , ..., fn adalah vektor-vektor yang tak bebas secara linear dalam C(n-1)(-∞,∞). Maka ada skalar k1 , k2 , ..., kn , tidak semuanya nol, Sedemikian sehingga

k1f1(x) + k2f2(x) + ... + knfn(x) = 0

Untuk semua x dalam selang (-∞,∞). Dengan mengkombinasikan persamaan ini dengan persamaan-persamaan yang diperoleh dengan n – 1 diferensiasi berturut-turut, kita akan mendapatkan

k1f1(x) + k2f2(x) + ... + knfn(x) = 0 k1f1‘(x) + k2f2‘(x) + ... + knfn‘(x) = 0 k1f1

(n-1)(x) + k2f2(n-1)(x) + ... + knfn

(n-1)(x) = 0

Jadi, ketakbebasan linear dari f1 , f2 , ..., fn mengimplikasikan bahwa sistem linear

f1 (x) f2 (x) ... fn(x) k1 0 f1' (x) f2'(x) ... fn'(x) k2 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ f1

(n-1)(x) f2(n-1)(x) ... fn

(n-1)(x) kn 0

Mempunyai suatu penyelesaian trivial untuk setiap x dalam selang (-

∞,∞). Ini pada gilirannya mengimplikasikan bahwa untuk setiap x dalam (-∞,∞)

matriks koefisiennya tidak dapat dibalik, atau secara setara, bahwa determinannya

(Wronskian) nol untuk setiap x dalam (-∞,∞). Jadi, jika Wronskian tidak identik

dengan nol pada (-∞,∞), maka fungsi-fungsi f1 , f2 , ..., fn pastilah merupakan

vektor-vektor yang bebas secara linear dalam C(n-1)(-∞,∞)

TEOREMA 5.4.1

Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk

v = c1v1 + c2v2+ … + cnvn

dalam tepat satu cara.

Bukti :

Karena S merentangkan V, maka dari definisi suatu himpunan rentang kita dapatkan bahwa setiap vektor dalam V dapat diyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S. Untuk melihat bahwa hanya ada satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, anggap bahwa suatu vektor v dapat ditulis sebagai

v = c1v1 + c2v2+ … + cnvn (2)

dan juga sebagai

v = k1v1 + k2v2+ … + knvn (3)

Dengan mengurangkan persamaan (2) dan (3) akan didapatkan

0 = (c1 – k1)v1 + (c2 – k2)v2+ … + (cn – kn)vn

Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, maka kebebasan linear dari S mengimplikasikan bahwa

c1 – k1 = 0 c2 – k1 = 0 ... cn – kn = 0

Yaitu,

c1 = k1 c2 = k1 ... cn = kn

Jadi, kedua ekspresi untuk v adalah sama.

TEOREMA 5.4.2

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1, v2, …, vn} adalah sembarang basis, maka :

(a) Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear.

(b) Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V.

Bukti :

(a) Anggap S’ = {w1 , w2, ..., wm} adalah sembarang himpunan m vektor dalam V, dimana m > n. Kita ingin menunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear. Karena S = {v1 , v2, ..., vn} adalah suatu basis, maka setiap wi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, misalkan

w1 = a11 v1 + a21 v2 + ... + an1 vn

w2 = a12 v1 + a22 v2 + ... + an2 vn

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

wm= a1mv1 + a2mv2 + ... + anmvn (4)

Untuk menunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear, kita harus mencari skalar k1 , k2 , ... , km , yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga

k1 w1 + k2 w2 + ... + km wm = 0 (5)

Dengan menggunakan persamaan dalam (4), kita dapat menulis ulang (5) sebagai

(k 1 a11 + k2 a12 + ... + km a1m )v1

+ (k 1 a21 + k2 a22 + ... + km a2m )v2

⋱

+ (k 1an1 + k2an2 + ... + kmanm )vn = 0

Jadi, dari kebebasan linear S, masalah membuktikan bahwa S’ adalah suatu himpunan yang tak bebas secara linear berubah menjadi

menunjukkan bahwa skalar k1 , k2 , ..., km , yang tidak semuanya nol, yang memenuhi

a11 k1 + a12 k2 + ... + a1m km = 0

a21 k1 + a22 k2 + ... + a2m km = 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

an1 k1 + an2 k2 + ... + anm km = 0 (6)

Akan tetapi, (6) mempunyai peubah yang lebih banyak dari persamaannya,

sehingga bukti ini menjadi lengkap karena Teorema 1.2.1 menjamin

adanya penyelesaian yang tak trivial.

(b) Anggap S’ = {w1 , w2, ..., wm} adalah sembarang himpunan m vektor

dalam V, dimana m < n. Kita ingin menunjukkan bahwa S’ tidak

merentang V. Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi : Kita akan

menunjukkan bahwa mengasumsikan bahwa S’ merentang V akan

membawa kita pada suatu kontradiksi kebebasan linear dari {v1, v2, ..., vn}.

Jika S’ merentang V, maka setiap vektor dalam V adalah suatu kombinasi

linear dari vektor-vektor dalam S’. Secara khusus, setiap vektor basis v i

adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S’, misalkan

v1 = a11 w1 + a21 w2 + ... + am1 wm

v2 = a12 w1 + a22 w2 + ... + am2 wm

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

vn = a1n w1 + a2n w2 + ... + amn wm (7)

Untuk memperoleh kontradiksi, kita akan menunjukkan bahwa ada skalar

k1 , k2 , ..., kn , yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga

k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn = 0 (8)

Akan tetapi, amati bahwa (7) dan (8) mempunyai bentuk yang sama

dengan (4) dan (5), kecuali bahwa m dan n dipertukarkan, serta w dan v

dipertukarkan. Jadi, perhitungan yang membawa pada (8) sekarang

menghasilkan

a11 k1 + a12 k2 + ... + a1n kn = 0

a21 k1 + a22 k2 + ... + a2n kn = 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

am1k1 + am2k2 + ... + amn kn = 0

Sistem ini mempunyai peubah yang lebih banyak daripada persamaan, dan

dengan demikian mempunyai penyelesaian tak trivial berdasarkan teorema 1.2.1.

TEOREMA 5.4.3

Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Bukti :

Dari teorema sebelumnya kita ketahui bahwa jika S = {v1 , v2, ..., vn} adalah sembarang basis untuk suatu ruang vektor V, maka semua himpunan dalam V yang secara simultan merentang V dan merupakan himpunan yang bebas secara linear pasti mempunyai n vektor. Jadi, semua basis untuk V harus mempunyai tepat n vektor. Teorema 5.4.3 mengimplikasikan bahwa semua basis untuk Rn

mempunyai n vektor. Secara khusus, setiap basis untuk R3 mempunyai tiga vektor, setiap basis untuk R2 mempunyai dua vektor, dan setiap basis untuk R1 (=R) mempunyai satu vektor. Secara intuitif, R3 berdimensi tiga, R2 (ruang bidang) berdimensi dua, dan R (suatu garis) berdimensi satu. Jadi, untuk ruang-ruang vektor yang kita kenal, jumlah vektor dalam suatu basis sama dengan dimensinya

TEOREMA 5.4.4 (TEOREMA PLUS/MINUS)

Anggap S adalah himpunan vektor tak kosong dalam suatu ruang vektor V.

(a) Jika S adalah himpunan yang bebas secara linear, dan jika v adalah suatu dalam V yang berada diluar rentang (S), maka himpunan S {v} yang dihasilkan dengan menyelipkan v ke S tetap bebas secara linear.

(b) Jika v adalah suatu vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S, dan jika S - {v} menyatakan himpunan yang diperoleh dengan memindahkan v dari S, maka S dan S - {v} merentangkan ruang vektor yang sama; yaitu

rent(S) = reng(S - │v│)

Bukti :

(a) Anggap S = {v1 , v2, ..., vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam V, dan v adalah suatu vektor dalam V di luar rent(S). Untuk menunjukkan bahwa S’ = {v1 , v2, ..., vr, v} adalah himpunan yang bebas secara linear, kita harus menunjukkan bahwa satu-satunya skalar yang memenuhi

k1v1 + k2v2 + ... + krvr + kr+1 v = 0 (9)

adalah k1 = k2 = ... = kr = kr+1 = 0. Akan tetapi, kita harus mendapatkan kr+1= 0; jika tidak, kita dapat menyelesaikan (9) untuk v sebagai suatu kombinasi linear dari v1, v2, ..., vr, yang berlawanan dengan asumsi bahwa v berada di luar rent(S). Jadi, (9) tersederhana menjadi

k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0 (10)

yang, berdasarkan kebebasan linear dari {v1 , v2, ..., vr}, mengimplikasikan bahwa

k1 = k2 = ... = kr = 0

(b) Anggap S = {v1 , v2, ..., vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam V, dan secara khusus anggap vr adalah kombinasi linear dari v1, v2, ..., vr, misalkan

vr = c1v1 + c2v2 + ... + cr-1 vr-1 (11)

Kita ingin menunjukkan bahwa jika vr dihilangkan dari S, maka himpunan vektor-vektor yang tersisa {v1 , v2, ..., vr-1} tetap merentangkan rent(S); yaitu, kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor w dalam rent(S) dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari {v1 , v2, ..., vr-1}. Akan tetapi, jika w berada dalam rent(S), maka w dapat dinyatakan dalam bentuk

w = k1v1 + k2v2 + ... + kr-1vr-1 + krvr

atau dengan mensubsitusikan (11)

w = k1v1 + k2v2 + ... + kr-1vr-1 + kr (c1v1 + c2v2 + ... + cr-1 vr-1)

yang menyatakan w sebagai suatu kombinasi linear dari v1, v2, ..., vr-1.

TEOREMA 5.4.5

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan

dalam V dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V atau S bebas

secara linear.

Bukti :

Anggap S tepat mempunyai n vektor dan merentang V. Untuk

membuktikan bahwa S adalah suatu basis, kita harus menunjukkan bahwa S

adalah himpunan yang bebas secara linear. Akan tetapi, jika tidak demikian

adanya, maka suatu vektor v dalam S adalah suatu kombinasi linear dari vektor-

vektor lainnya. Jika kita hilangkan vektor ini dari S, maka Teorema Plus/Minus

(5.4.4b) kita dapatkan bahwa himpunan n-1 vektor yang lainnya tetap merentang

V. Akan tetapi, ini tidak mungkin, karena dari teorema 5.4.2b kita ketahui bahwa

tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang dapat merentang suatu

ruang vektor berdimensi n. Jadi, S bebas secara linear.

Anggap S tepat mempunyai n vektor, dan merupakan suatu himpunan

yang bebas secara linear. Untuk membuktikan bahwa S adalah suatu basis, kita

harus menunjukkan bahwa S merentangkan V. Akan tetapi, jika tidak demikian

adanya, maka ada suatu vektor v dalam V yang tidak berada dalam rent(S). Jika

kita selipkan vektor ini ke dalam S, maka dari Teorema Plus/Minus (5.4.4a) kita

dapatkan bahwa himpunan n+1 vektor ini tetap bebas secara linear. Akan tetapi,

ini tidak mungkin, karena dari Teorema 5.4.2a kita ketahui bahwa tidak ada

himpunan dengan vektor lebih dari n dalam suatu ruang vektor berdimensi n yang

dapat bebas secara linear. Jadi, S merentangkan V.

TEOREMA 5.4.6

Anggap S adalah suatu himpunan terhingga vektor-vektor dalam suatu ruang vektor berdimensi terhingga V.

(a) Jika S merentang V, tetapi bukan merupakan basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan menghilangkan vektor yang tepat dari S.

(b) Jika S adalah suatu himpunan yang bebas secara linear yang belum menjadi suatu basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V dengan menyelipkan vektor-vektor yang tepat ke dalam S.

Bukti :

(a) Jika S adalah suatu himpunan vektor-vektor yang merentang V, tetapi bukan merupakan suatu basis untuk V, maka S adalah himpunan yang tak bebas secara linear. Jadi, suatu vektor v dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S. Berdasarkan Teorema Plus/Minus (5.4.4b), kita dapat menghilangkan v dari S, dan himpunan S’ yang dihasilkan akan tetap merentang V. Jika S’ bebas secara linear, maka S’ adalah suatu basis untuk V, dan tugas kita selesai. Jika S’ tak bebas secara linear, maka kita dapat meghilangkan vektor yang tepat dari S’ untuk menghasilkan himpunan S” yang tetap merentang V. Kita dapat terus menghilangkan vektor-vektor dengan cara ini sampai akhirnya kita sampai pada suatu vektor-vektor dalam S yang bebas secara linear dan merentang V. Himpunan bagian dari S ini merupakan basis untuk V.

(b) Anggap dim(V) = n. Jika S merupakan suatu himpunan yang bebas secara linear yang belum merupakan basis untuk V, maka S gagal merentang V, dan ada suatu vektor v dalam V yang tidak berada dalam rent(S). Menurut Teorema Plus/Minus (5.4.4a), kita dapat menyelipkan v ke S, dan himpunan S’ yang dihasilkan akan tetap bebas secara linear. Jika S’ merentang V, maka S’ merupakan suatu basis untuk V, dan kita dapat berhenti sampai disini. Jika S’ tidak merentang V, maka kita dapat menyelipkan suatu vektor yang tepat ke dalam S’ untuk menghilangkan suatu himpunan S” yang tetap bebas secara linear. Kita dapat terus

menyelipkan vektor-vektor dengan cara ini sampai kita sampai pada suatu himpunan dengan n vektor yang bebas secara linear dalam V. Himpunan ini akan menjadi basis untuk V menurut Teorema 5.4.5.

TEOREMA 5.4.7

Jika W adalah suatu subruang dari ruang vektor berdimensi terhingga V, maka

dim(W) ≤ dim(V); lebih jauh, jika dim(W) = dim(V), maka W = V.

Bukti :

Anggap S = {w1, w2, ..., wm} adalah basis untuk W. S dapat merupakan

basis untuk V atau dapat juga tidak. Jika S adalah basis untuk V, maka dim(W) =

dim(V) = m. Jika tidak, maka berdasarkan Teorema 5.4.6b, vektor-vektor dapat

ditambahkan ke himpunan S yang bebas secara linear untuk membuatnya menjadi

basis untuk V sehingga dim(W) < dim(V). Jadi, dim(W) ≤ dim(V) dalam semua

kasus. Jika dim(W) = dim(V), maka S adalah suatu himpunan dari m vektor-

vektor yang bebas secara linear dalam ruang vektor yang berdimensi m; dengan

demikian, S adalah suatu basis untuk V berdasarkan Teorema 5.4.5. Hal ini

mengimplikasikan bahwa W = V.