20 pembuktian teorema pythagoras oleh kelompok 1

22
Kelompok 1 Geometri Pembuktian Teorema Pythagoras PENDAHULUAN Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana. Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid. Segitiga Siku-Siku yang dibentuk dari seutas tali Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui. Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?” Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer..Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi: Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.

Upload: rahma-siska-utari

Post on 23-Jun-2015

12.630 views

Category:

Education


13 download

DESCRIPTION

Teorema Pythagoras, Pythagorean's Theorem

TRANSCRIPT

Page 1: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Pembuktian Teorema Pythagoras

PENDAHULUAN

Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia

sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan

Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun

570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir

sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.

Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5

akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul

pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada

bangunan-bangunan mereka termasuk piramid.

Segitiga Siku-Siku yang dibentuk dari seutas tali

Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5

yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk

segitiga siku-siku belum mereka ketahui.

Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini.

Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun

sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan

memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal.

What is the breadth?”

Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi

populer..Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:

Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku)

sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.

Page 2: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Pembuktian Teorema Pythagoras

1. Pembuktian Teorema Pythagoras Euclid

Gambar segitiga ABC dengan sudut siku-siku di A.

Kemudian buat garis sejajar BD melalui titik A. garis tersebut akan

memotong BC di titik K dan memotong DE di titik L. Lalu tarik garis FC dan AD,

seperti gambar berikut.

∠GAB dan ∠BAC adalah siku-siku sehingga garis G, A, C adalah kolinear

begitu juga dengan garis B, A, H.

∠FBA dan ∠CBD adalah siku-siku, ∠FBA + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC

sehingga ∠FBC = ∠ABD

Page 3: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Segitiga FBC = segitiga ABD

Perhatikan persegi ABGF dan segitiga FBC memiliki panjang alas dan

tinggi yang sama yaitu FB dan AB

Luas persegi ABGF = 2 x luas ∆ FBC

FB x AB = 2 (½ x FB x AB), karena FB = AB

AB2 = AB2

Perhatikan juga persegi panjang BDLK dan segitiga ABD. Persegi panjang

alas dan tinggi yang sama yaitu BD dan BK.

Luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ ABD

Kita ketahui ∆ ABD = ∆ FBC

Sehingga luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ FBC

BD x BK = 2 (½ x BD x BK)

BD x BK = AB2

Sehingga luas segitiga ABGF = luas persegi BDLK

Sama halnya juga dengan luas KLEC = luas ACIH yaitu AC2

AB2 + AC2 = (BD x BK) + (KL x KC)

KL = BD, sehingga

AB2 + AC2 = (BD x BK) + (BD x KC)

= BD ( BK + KC)

= BD x BC

= BC2

Dengan demikian terbukti bahwa AB2 + AC2 = AC2 Terbukti

2. Pembuktian oleh Astronom India Bhaskara (1114 – 1185)

Langkah pertama buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c

Page 4: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Pembuktian aljabar ini merupakan pembuktian teorema Pythagoras dengan

menggunakan 4 segitiga siku-siku yang sama dengan panjang sisi a, b dan c.

Segitiga siku-siku disusun dengan sisi c diletakkan diluar sehingga menjadi

persegi dengan luas c2 sebagai berikut.

Luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi = ½ ab,

Sedangkan luas persegi kecil yang berada di dalam segitiga siku-siku adalah

(b - a)2.

Jadi diketahui bahwa luas persegi ABCD adalah 4 x luas segitiga siku-siku +

luas persegi kecil.

c2 = 4 x +

=

Jadi terbukti

3. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Segitiga yang

Sebangun (Pembuktian Baskhara yang kedua)

Pembuktian ini berdasarkan perbandingan dari dua segitiga yang sebangun.

Buat segitiga siku-siku ABC , dengan sudut siku-siku di C

Page 5: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Kemudian buat garis tinggi melalui titik C memotong garis AB di titik D

Segitiga ADC sebangun dengan segitiga ABC, begitu juga dengan segitiga

CDB sebangun dengan segitiga ABC.

Perhatikan segitiga ABC dan segitiga ADC.

Perbandingan segitiga ABC dengan segitiga ADC, diperoleh

……… (1)

Perhatikan segitiga ABC dan segitiga CDB

Perbandingan segitiga ABC dengan segitiga CDB, diperoleh

……… (2)

Dari persamaan 1 dan 2, maka diperoleh

because

terbukti

Page 6: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden James Garfield

Pertama kita buat segitiga yang identik dengan panjang sisi a, b dan c.

c sebagai sisi miring

Kemudian sisi a disusun dan bertemu dengan sisi b sehingga membentuk

satu garis seperti gambar berikut:

Kemudian tarik garis sehingga

membentuk trapesium seperti gambar berikut:

Page 7: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Trapesium terbentuk dari 3 segitiga siku-siku sehingga luas trapesium sama

dengan luas segitiga penyusunnya

dikalikan 2

Terbukti

5. Pembuktian Thabit Ibn Qurra

Buat persegi dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan

seperti gambar berikut.

Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu

Persegi di atas kita gabungkan,kemudian buat garis sedemikian rupa

sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, di mana sisi c menjadi sisi miring.

Page 8: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yatu

sampingkanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar di bawah ini

∠GAB dan ∠BAC adalah siku-siku sehingga garis G, A, C adalah kolinear

begitu juga dengan garis B, A, H.

∠FBA dan ∠CBD adalah siku-siku, ∠FBA + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC

sehingga ∠FBC = ∠ABD

Segitiga FBC = segitiga ABD

Perhatikan persegi ABGF dan segitiga FBC memiliki panjang alas dan tinggi

yang sama yaitu FB dan AB

Luas persegi ABGF = 2 x luas ∆ FBC

FB x AB = 2 (½ x FB x AB), karena FB = AB

AB2 = AB2

Perhatikan juga persegi panjang BDLK dan segitiga ABD. Persegi panjang

alas dan tinggi yang sama yaitu BD dan BK.

Luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ ABD

Kita ketahui ∆ ABD = ∆ FBC

Sehingga luas persegi BDLK = 2 x luas ∆ FBC

BD x BK = 2 (½ x BD x BK)

BD x BK = AB2

Sehingga luas segitiga ABGF = luas persegi BDLK

Sama halnya juga dengan luas KLEC = luas ACIH yaitu AC2

AB2 + AC2 = (BD x BK) + (KL x KC)

KL = BD, sehingga

AB2 + AC2 = (BD x BK) + (BD x KC)

= BD ( BK + KC)

= BD x BC

= BC2

Sehingga terbukti bahwa AB2 + AC2 = AC2 Terbukti

Page 9: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

6. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Segitiga Sama Sisi

Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c.

Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b dan c di setiap sisi-

sisinya sehingga akan tampak seperti gambar berikut.

Dari gambar di atas, diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring

sama dengan jumlah segitiga sama-sisi lainnya.

Untuk segitiga dengan panjang sisi k, l, dan m maka luas segitiga tersebut adalah

dengan

Page 10: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

dengan

Karena luas segitiga sama sisi pada sisi c (sisi miring) sama dengan jumlah

dari luas segitiga sama sisi pada sisi a dan b, maka:

= ……… di kalikan dengan

terbukti

Page 11: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

7. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Identitas Trigonometri

Pythagoras

Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c seperti gambar berikut.

Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan

cosines sudut Ɵ yaitu sebagai berikut.

Hubungan antara sinus dan cosines dinamakan sebagai identitas

trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui

bahwa

terbukti

Page 12: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

8. Pembuktian dengan Persamaan Differensial

Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut.

b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc.

Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus

terhadap sisi mirirng) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.

Oleh karena itu rasio atau perbandingan antara sisi-sisi pada segitiga

tersebut harus sama, yaitu:

Dapat di tulis sebagai berikut

Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c.

Artinya, a=c. Maka konstanta = c2 = a2

Sehingga terbukti

Page 13: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

9. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Menggunakan Segitiga

Sembarang oleh Thabit Ibn Qurra

Pertama gambar segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b dan c.

∠ ACB = 900. AB = c, AC = b, dan BC = a.

Buat titik D dan C memotong AB sehingga AD = AE = b.

Kemudian buat lingkaran yang dengan titik pusat A, jari-jari b dan lingkaran

menyinggung titik C.

Karena diameter lingkaran adalah DE (sisi miring segitiga siku-siku) dan

sudut siku-siku menyinggung lingkaran maka ∠DCE = 900.

Sehingga ∠BCD = ∠ACE.

Karena segitiga ACE segitiga sama kaki maka ∠ACE = ∠AEC.

Page 14: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Segitiga DBC dan BEC memiliki sudut yang sama di ∠CEB. Sebelumnya

juga diketahui bahwa ∠BCD = ∠ACE sehingga segitiga DBC dan BEC adalah

sebangun.

Oleh karena it, diperoleh perbandingan:

terbukti

10. Pembuktian dari Pappus

Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu

generalisasi. Buat Sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajaran genjang

CADE (di sisi CA) dan sebarang jajaran genjang CBFG (di sisi BC). Kemudian

Perpanjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian Lukis Al dan

BM sejajar dan sama panjang dengan HC.

Page 15: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C)

serta jajaran genajng di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar. Makan akan

terbukti bahwa luas CADE + Luas CBFG = Luas ABML

b2 + a2 = c2 terbukti

11. Pembuktian dari Leonardo Da Vinci

Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHJ kongruen dengan

ABC. Maka segiempat ABHJ, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.

Page 16: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

12. Bukti dari Sekolah Pythagoras

Bukti dari sekolah phytagoras tersaji pada diagram di bawah.

13. Bukti Menggunakan Transformasi

Misal Segitiga ABC siku-siku di C. Putar segitiga ABC sebesar 900

berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi di titik C. Segitiga

A1B1C1 berhimpit dengan segitiga ABC.

Page 17: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

14. Bukti dengan “Putaran”

Perhatikan gamb ar perputan di bawah

Page 18: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

15. Pembuktian dengan Dasar Perbandingan

Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c.

Lalu bentuk dua segitiga dengan ABC seperti pada gambar pada segitiga-

segitiga sebangun, dari konstruksi gambar di atas jelas terlihat bahwa c2 = a2 + b2 .

Terbukti

16. Pembuktian dengan Jajaran Genjang

Page 19: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

17. Pembuktian 17 dengan Kontruksi

18. Pembuktian 18 Konstruksi

Page 20: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

19. Pembuktian John Kawamura

Pembuktian ini dilakukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis,

guru geometri nya di Head-Rouce School, Oakland, CA

Page 21: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama

dengan c ² / 2. Sehingga

c²/2 = Luas (ABCD)

= Luas (BCD) + Luas (ABD)

= a·a/2 + b·b/2

c2 = a2 + b2 terbukti

20. Pembuktian Tao Tong

Biarkan ABC dan segitiga BED menjadi hak yang sama, dengan E pada AB.

Kami akan mengevaluasi daerah ΔABD dalam dua cara:

Luas(ΔABD) = BD·AF/2 = DE·AB/2.

Menggunakan notasi seperti yang ditunjukkan dalam diagram kita mendapatkan c

Page 22: 20 Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Kelompok 1

Kelompok 1 Geometri

(c - x) / 2 = b · b / 2. x = CF dapat ditemukan dengan mencatat kesamaan (BD

AC) segitiga BFC dan ABC:

x = a²/c.

Kedua formula dengan mudah b

Daftar Pustaka

Bogomolny, A. 2013. Pythagorean Theorem and its many proofs : from

Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml, diakses 10 Oktober

2013

Head, Angel. 2013. Pythagorean Theorem.

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/emt668.student.folders/HeadAngela/ess

ay1/Pythagorean.html diakses 11 Oktober 2013

Kristanto, Y. 2013. Pembuktian Teorema Pythagoras dengan menggunakan Luas

Segitiga Sama Sisi.

http://yos3prens.wordpress.com/2013/02/04/membuktikan-teorema-

pythagoras-dengan-menggunakan-luas-segitiga-sama-sisi/ diakses 11

Oktober 2013

Wikipedia. 2013. Pythagorean Theorem.

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem diakses 10 Oktober 2013