pembahasansoalosnmatematikasmptkkota2012

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP SELEKSI TINGKAT KAB/KOTA TAHUN 2012

PILIHAN GANDA

Soal No. 1Pernyataan yang benar di antara pernyataan-pernyataan berikut adalah .... Jawab :Soal ini menuntut pemahaman peserta tentang notasi himpunan yaitu tentang elemen (anggota) suatu himpunan dan himpunan bagian (subset) dari suatu suatu himpunan.Himpunan kosong () merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Untuk siswa yang paham notasi rangkap seperti; (kurang dari atau sama), ≥ (lebih dari atau sama), maka akan memilih opsi C .Opsi C artinya adalah himpunan bagian dari atau sama dengan .Opsi A { } salah , seharusnya { } “himpunan dari himpunan kosong memuat (superset) himpunan kosong”Opsi B { } salah seharusnya { } Opsi D salah seharusnya { {a, b}} { a, b, {{a, b}} }Opsi E salah , seharusnya { a , } { a , { a, } }

Soal No. 2Diketahui persegi ABCD. Titik E terletak pada BC dan titik F terletak pada CD sehingga AE dan AF membagi persegi menjadi 3 bagian yang luasnya sama. Maka perbandingan luas segitiga AEF terhadap luas persegi ABCD adalah ....Jawab :Menyelesaikan soal geometri, buatlah sketsa gambarnya !

Luas segitiga ADF = luas segiempat AECF = luas segitiga ABE = 1/3 luas persegi ABCD.Jika panjang sisi persegi ABCD = a , maka luas persegi ABCD = a2 .Luas ADF = 1/3 luas persegi ABCD½ . AD . DF = 1/3 a2

½ a . DF = 1/3 a2

DF = 2/3 a, maka panjang CF = CE = 1/3 a .

Luas segitiga AEF = luas segiempat AECF – luas segitiga ECFLuas segitiga AEF = 1/3 a2 – ½ . 1/3 a . 1/3 aLuas segitiga AEF = 1/3 a2 – 1/6 . 1/3 a2

Luas segitiga AEF = 5/6 . 1/3 a2

Luas segitiga AEF = 5/18 a2

Luas segitiga AEF = 5/18 luas persegi ABCDJadi, perbandingan luas segitiga AEF terhadap luas persegi ABCD = 5 / 18 B

Soal No. 3Jika kedua akar persamaan p2 x2 – 4px + 1 = 0 bernilai negatif, maka nilai p adalah .... Jawab :Jika kita pandang x sebagai variabel dalam persamaan kuadrat tersebut, maka x1 dan x2 adalah akar-akarnya, dimana jumlah kedua akarnya bernilai negatif dan hasil kali kedua akarnya bernilai positif.

SOAL & PEMBAHASAN LENGKAP MAT OSN TK. KOTA 2012

x1+ x2< 0 dan x1 . x2> 0 - (-4p) / p2< 0 1/p2> 0 4/ p< 0 p2> 0 p < 0 dan (irisan) p > 0 atau p < 0Dari kedua kondisi ini disimpulkan bahwa p < 0 A

Review (lihat kembali bentuk soal persamaan kuadrat tsb!)Perhatikan bentuk PK ; p2 x2 – 4px + 1 = 0 konstantanya tidak memuat variabel, dan tidak ada redaksi kalimat seperti lajimnya “ jika x1 dan x2 adalah akar-akarnya”, sehingga Jika kita pandang p sebagai variabelnya maka x sebagai koefisiennya bentuk PK masih sama dan dari pernyataan bahwa kedua akarnya bernilai negatif, maka p bernilai negatif atau p < 0 .Dengan demikian soal ini tidak perlu kita kerjakan seperti di atas... OK. Jika kita rajin mengamati bentuk-bentuk persamaan kuadrat...

Soal No. 4Jika f(x) = 3x + 1 , g(x) = 1 – 2x dan f( g(a) ) = 28, maka nilai a adalah .... Jawab : Soal fungsi komposisi g(x) = 1 – 2x , maka g(a) = 1 – 2a, sehingga f ( g(a) ) = f (1 – 2a) = 28

3(1 – 2a) + 1 = 28 3 – 6a + 1 = 28 - 6a = 28 – 4 a = 24 / -6 = -4 B

Soal No. 5Suatu bytedidefinisikansebagai susunan angka yang terdiri dari 8 angka (digit), yaitu 0 atau 1 .Contoh byte: 01110111 . Banyaknya jenis byteyang memuat angka 1 tepat sebanyak 5 adalah .... Jawab : Soal ini tentang penyusuan angka-angka 0 dan 1 yang terdiri dari 8 digit.Soal ini termasuk permutasi dari n objek yang terdiri dari k1 yang sama dan k2 objek yang sama dimana k1 + k2 n .Karena tepat ada 5 angka 1 maka angka 0 ada sebanyak 3.Jadi banyaknya susunan angka 1 tepat sebanyak 5 adalah

n !k1! ×k2

= 8 !5 !×3 !

=8 ×7 ×6 × 5 !5 !×3 × 2× 1

=8 ×7=56 C

Soal No. 6Perhatikan pola bilangan berikut! Bilangan 2012 akan terletak di bawah huruf ...

Jawab :Langkah awal menjawab soal ini tuliskan bilangan berikutnya, maka diperoleh susunan bilangan setiap lajur(kolom) pada masing-masing huruf sebagai berikut;P ; 7 , 14, 21, 28, ...Q ; 1 , 8 , 15, 22, ...R ; 6 , 13, 20, 27, ...


S ; 2 , 9, 16, 23, ...T ; 5 , 12, 19, 26, ...U ; 3 , 10 , 17, 24, ...V ; 4 , 11, 18, 25, ...Tampak barisan bilangan yang membentuk barisan aritmetika dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan tetap yaitu 7. Selanjutnya tentukan rumus suku ke-n dari masing-masing barisan.Un = a + (n – 1) b , dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda yaitu 7 .Tetapi kita nyatakan rumus Un tersebut dengan bentuk yg lebih mudah dituliskan, yaituUn = bn + (a – b) , atau Un = bn + k , dengan demikian rumus suku ke- n barisan bilangan pada hurufP ; Un = 7n + k . Untuk menentukan nilai k , periksa nilai suku ke-1 (U1)dengan substitusi n = 1 sehingga U1= 7 + k , karena U1= 7 maka nilai k = 0 , jadi Un = 7n .Untuk barisan bilangan dibawah huruf Q ; Un = 7n + k, substitusi n=1 maka U1 = 7 + k=1 , maka k = -6Jadi, Q ; Un = 7n – 6 ,Dengan cara yang seperti ini akan lebih ringan dari pada kita menghitung nilai (a – b), maka dengan ,kita mudah menuliskan rumus suku ke-n barisan lainnya.R ; Un = 7n – 1 S ; Un = 7n – 5T ; Un = 7n – 2U; Un = 7n – 4V; Un = 7n – 3Selanjutnya kita periksa bilangan 2012, berapakah sisanya jika dibagi 7? Lakukan pembagian2012 : 7 = 287 sisa 3 , dengan demikian jika 2012 di tambah 4 maka hasilnya merupakan bilangan kelipatan 7 (habis dibagi 7).Jadi, 2012 adalah bilangan pada barisan bilangan di bawah huruf U . opsi E

Soal No. 7Jika m dan n adalah bilangan bulat positif sehingga m2 + 2m +3n = 33, maka banyaknya bilangan n yang memenuhi adalah .... Jawab : Mencari nilai dua variabel yang memenuhi dalam satu persamaan, nyatakan satu variabel secara ekplisit dalam variabel lainnya:Dengan melengkapi bentuk kuadrat sempurna.

m2 + 2m = 33 – 3nKedua ruas ditambah (kuadrat dari 1/2 koefien m) yaitu (1/2 x 2)2 = 1, sehingga ditulis:

m2 + 2m + 1 = 33 – 3n + 1 (m + 1)2 = 34 – 3nTampak ruas kiri bilangan kuadrat, sehingga nilai 34 – 3n merupakan bilangan kuadrat sempurna.Karena m dan n bilangan bulat positif, maka bilangan kuadrat yang mungkin yaitu 4, 9, 16, dan 25 .Selanjutnya periksa nilai n !34 – 3n = 4 3n = 34 – 4 = 30 diperoleh nilai n = 1034 – 3n = 9 3n = 34 – 9 = 25 diperoleh nilai n = 25/3 bukan bilangan bulat34 – 3n = 16 3n = 34 – 16 = 18 diperoleh nilai n = 634 – 3n = 25 3n = 34 – 25 = 9 diperoleh nilai n = 3Jadi, nilai n bilangan bulat yang memenuhi sebanyak 3 E

Dengan menyatakan n secara ekplisit dalam m3n = - m2 – 2m + 33, atau

n=−m(m+2)

3+11


Karena m dan n bilangan bulat positif, maka tampak - m (m + 2) harus merupakan bilangan kelipatan 3 , dimana - 11 < -m ( m + 2)/3< 0. Selanjutnya coba dan periksa untuk nilai-nilai m harus diperoleh nilai n bulat positif.Untuk nilai m = 1 , maka diperoleh n = -1(3) / 3 + 11 = -1 + 11 =10.Untuk nilai m = 2 , maka diperoleh n = -2(4) / 3 + 11 = -8/3 + 11 bukan bilangan bulat.Untuk nilai m = 3 , maka diperoleh n = -3(5) / 3 + 11 = - 5 + 11 = 6Untuk nilai m = 4 , maka diperoleh n = -4(6) / 3 + 11 = - 8 + 11 = 3Jadi, banyaknya nilai n yang memenuhi sebanyak 3 E

Soal No. 8Enam pipa besar dapat mengeringkan sebuah kolam dalam waktu 5 jam, sedangkan delapan pipa kecil dapat mengeringkan kolam dalam waktu 10 jam. Waktu yang diperlukan untuk mengeringkan kolam tersebut apabila menggunakan 3 pipa besar dan 5 pipa kecil adalah .... jam.Jawab : Dalam soal ini kolam yang dikeringkan tentu kolam yang sama.Kita sebut Pipa Besar = PB dan Pipa Kecil = PK .Dengan konsep debit air yang mengalir dalam pipa yaitu banyaknya volume air yang mengalir setiap waktu.

Hitung kecepatan masing-masing pipa dalam mengeringkan sebuah kolam.Kecepatan 1 PB mengeringkan 1 kolamadalah VPB = 1/(6 x 5) = 1/30 kolam/jam , maka

kecepatan 3 PB mengeringkan 1 kolam adalah V3PB = 3 x1/30= 1/10kolam/jam.Kecepatan 1 PK mengeringkan 1 kolam adalah VPK = 1/(8x10) kolam/jam , maka

kecepatan 5PK mengeringkan 1 kolam adalah V5PK = 5 x1/80= 5/80 kolam/jam.Karena kedua pipa mengeringkan 1 kolam secara bersama-sama, maka

Waktu yang diperlukan= 1V 3 PB+V 5 PK

Waktu yang diperlukan= 11

10+

580

= 11380

=8013

jam B

Dengan uraian secara ekplisit dapat dilihat tentang Perbandingan Tak Senilai pada daftar isi !

Soal No. 9Lima orang guru akan ditempatkan pada tiga sekolah yang berbeda. 2 orang di sekolah pertama, 2 di sekolah kedua dan 1 orang di sekolah ketiga. Banyaknya cara menempatkan kelima orang guru tersebut adalah .... Jawab : Aturan Mengalikan:Jika suatu urutan pengerjaan dapat dilakukan dalam 3 langkahyang saling lepas (tidak dapat dilakukan dalam waktu bersamaan), dan langkah pengerjaan pertama dapat dilakukuan dengan n1 cara, langkah kedua dalam n2 cara dan langkah ketiga dalam n3 cara, maka secara keseluruhan pengerjaan itu dapat dilakukan dalam n1 x n2 x n3 cara.Pada sekolah pertama hitung banyaknya cara menempatkan 2 orang guru dari 5 orang.Ini kombinasi 2 dari 5 yaitu;

C25= 5 !

(5−2 ) !×2 !=5 ×4 ×3 !

3 !×2 !=5× 4

2 ×1=10

Pada sekolah kedua hitung banyaknya cara menempatkan 2 orang guru dari 3 orang tersisa.Ini kombinasi 2 dari 3 yaitu;

C23= 3 !

(3−2 ) !×2 !=3 ×2 ×1

1!× 2!= 6

2× 1=3

Pada sekolah ketiga hanya ada 1 cara karena tersisa 1 orang guru.


Jadi, banyaknya cara menempatkan lima orang guru = 10 x 3 x 1 = 30 B

Secara singkat :

Banyaknya caramenempatkan 5orang=(52)(32)(1

1)=10 × 3× 1=30 B

Jika dihitung mulai dari sekolah ketiga, lalu kedua dan kesatu akan diperoleh hasil yang sama.

Banyaknya caramenempatkan 5orang=(51)(42)(22)=5× 6 ×1=30 B

Soal No. 10Diketahui persegi panjang PQRS. Panjang PV = QT = PS = 6. Tititk U adalah perpotongan garis SV dan RT (seperti gambar di bawah). Jika PQ = 10 , maka luas luas segiempat PTUS adalah ....

Jawab :

Lengkapi ukuran-ukuran segmen garis pada gambar !Karena panjang PQ = 10 , dan PV = QT = PS = 6 , maka panjang PT = QV = PQ – PT =10 – 6 = 4, sehingga panjang TV = 2.

Dengan menggunakan aksioma penjumlahan luas, kita akan menghitung luas segiempat PTUS.Buat garis WX melalui titik U sejajar PS, maka segmen garis WX PQ dan WX SR. Perhatikan segitiga TUV dan segitiga RUS, karena segmen garis PQ // SR, makabesar VTU = besar SRU, dan besar TVU = besar RSU (sudut dalam bersebrangan)sehingga segitiga TUV segitiga RUS (sebangun), akibatnya

WUUX

=TVSR

= 210

=15

PS = WU + UX = 6, maka WU = 1/6 x 6 = 1Luas segiempat PTUS = luas siku-siku PSV – luas TUV

= 1/2 x PS x PV – 1/2 x TV x WU= 1/2 x 6 x 6 – 1/2 x 2 x 1= 18 – 1 = 17 B

Soal No. 11


Empat bola bernomor 1, 2, 3, dan 4 diletakkan dalam sebuah kotak. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Nomor yang muncul dicatat, kemudian bola dikembalikan ke kotak semula.Jika proses pengambilan bola dilakukan sampai tiga kali dengan cara yang serupa, maka peluang nomor bola yang terambil berjumlah 5 adalah .... Jawab : Tentukan kemungkinan kejadian terambilnya nomor bola yang berjumlah 5 yaitu: Pertama terambilnya nomor bola 1, kedua 1, dan ketiga 3 dan kita tulis (1, 1, 3).Dalam hal ini urutan diperhatikan, kemungkinan lain (1, 3, 1) dan (3, 1, 1).Kemungkinan nomor lainnya (1, 2, 2) , (2, 1, 2), (2, 2, 1)Jadi banyaknya kejadian yang mungkin sebanyak 6 . Masing-masing kejadian merupakan hal yang saling lepas (artinya tidak mungkin terjadi secara bersamaan), sehingga;Peluang (terambilnya nomor bola berjumlah 5) = 6 x 1/4 x 1/4 x 1/4 = 3/32 D

Soal No. 12Suatu antrian pembelian tiket masuk pertandingan sepak bola terdiri dari 2012 orang. Jika diantara 2 pria paling sedikit terdapat 3 wanita, maka banyaknya pria pada antrian tersebut paling banyak adalah .... Jawab : Urutan ke- 12 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 14 15 16 17

LWWWL WWWL WWWL WWWL ....Perhatikan bilangan yang menyatakan urutan laki-laki yaitu;1 , 5 , 9 , 13 , 17 .... , membentuk barisan aritmetika dengan beda = 4, sehingga rumus suku ke-n barisan tersebut ; Un = 4n – 3 , dengan n bilangan asli.

4n – 3 2012 4n 2015 n 2015 / 4 n 503 ¾ n = 503Jadi, banyak laki-laki paling banyak 503 C

Soal No. 13Diketahui abc dan defadalah bilangan yang terdiri dari tiga angka (digit) sehingga abc + def = 1000.Jika a, b, c, d, e, atau f tak satupun yang sama dengan 0, maka nilai a + b + c + d adalah .... Jawab : Diketahui abc + def = 1000 , maka

c + f = 10 b + e + 1 = 10 a + d + 1 = 10

___________________ +a + b + c + d + e + f + 2 = 30a + b + c + d + e + f = 28, Jika, a + b + c + d = 26, maka e + f = 2 atau e = f = 1 tak memenuhi, Jadi, haruslah a + b + c + d = 25 A

Soal No. 14Suatu tes matematika terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan lima pilihan dan hanya ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika Mulan menjawab soal secara menerka (secara acak atau asal-asalan), maka peluang tepat dua soal dijawab dengan benar adalah .... Jawab : Peluang menjawab 1 soal dengan benar adalah 1/5, sedangkan peluang menjawab 1 soal salah 4/5.Selanjutnya tentukan banyaknya kejadian yang dimaksudyaitu tepat 2 soal dijawab dengan benar.Kejadian No. 1 dijawab benar, no. 2 benar, no. 3,4,5 dijawab salah , kita tulis (BBSSS)


Cara menentukan banyaknya kejadian yang dimaksud sama dengan soal No. 5, yaitu 5 !

2!× 3!=5 × 4 × 3!

2 ×1 ×3 !=10

Karena masing-masing kejadian saling lepas, makaPeluang (tepat dua soal dijawab dengan benar) = 10 x 1/5 x 1/5 x 4/5 x 4/5 x 4/5

= 128/625 E

Soal No. 15Untuk setiap bilanganbulat x didefinisikan fungsi f dengan f(x) adalah banyaknya angka (digit) dari x.Contoh: f(125) = 3, dan f(2012) = 4. Nilai f(22012) + f(52012) adalah .... Jawab :Mengerjakan soal dengan bilangan yang besar, mulailah dari bilangan yang kecil !

f(21) = f(2) = 1, f(51) = f(5) = 1, maka f(21) + f(51) = 1 + 1 = 2f(22) = f(4) = 1, f(52) = f(25) = 2, maka f(22) + f(52) = 1 + 2 = 3f(23) = f(8) = 1, f(53) = f(125) = 3, maka f(23) + f(53) = 1 + 3 = 4f(24) = f(16) = 2, f(54) = f(625) = 3,maka f(24) + f(54) = 2 + 3 = 5

. + . = = .f(22012) + f(52012) = ...?

Perhatikan polanya bilangan pangkatnya dengan bilangan hasil penjumlahan nilai fungsi, yaitu bertambah 1, maka f(22012) + f(52012) = 2013 A

Soal No. 16Dalam sebuah karung terdapat 60 kaos bernomor 11, 12, 13, ..., 40 . Ada 2 kaos untuk setiap nomor(nomor 11 ada 2 kaos, nomor 12 ada 2 kaos, dan seterusnya). Jika diambil 2 kaos secara acak, maka peluang kaos yang bernomor sama adalah .... Jawab :Soal ini termasuk kajadian tak bebas atau bersayarat, sehingga;Peluang (terambilnya kaos pertama nomor 11) = 2/60, danPeluang (terambilnya kaos kedua nomor 11) = 1/59 .Kejadian yang dimaksud terambilnya kaos pertama dan kedua bernomor sama yaitu: (11, 11), (12, 12) , (13, 13) ....(40, 40) . Banyaknya kejadian yang dimaksud = 30Masing-masing kejadian saling lepas, sehinggaPeluang (terambilnya kedua kaos bernomor sama) = 30 x 2/60 x 1/59 = 1/59 A

Soal No. 17Sehabis belanja, Ratina membawa pulang uang kembalian berupa 8 koin (uang receh), yang terdiri dari ratusan, lima-ratusan, dan ribuan. Total nilai uang kembalian adalah tiga ribu rupiah. Sayangnya dalam pelajaran pulang salah satu uang koin jatuh (hilang). Jika peluang kehilangan untuk satu ratusan, satu lima-ratusan, dan satu ribuan adalah sama, maka peluang kehilangan satu koin lima-ratusan adalah .... Jawab :Langkah awal cari berapa banyaknya uang koin masing-masing!Misalkan x, y, dan z adalah banyaknya uang koin ribuan, lima-ratusan dan ratusan, maka

x + y + z = 8 dan 1000x + 500y + 100z = 3000 , maka nilai x, y, z yang memenuhi berturut-turut

adalah 2 , 1, dan 5.Jadi, peluang kehilangan 1 koin lima-ratusan = 1/8 A

Soal No. 18Jika 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, ... adalah barisan yang terdiri dari semua bilangan asli yang bukan bilangan kuadrat dan bilangan pangkat tiga, maka bilangan 270 adalah suku ke- ...Jawab :Cari banyaknya bilangan asli kudrat dan bilangan asli pangkat tiga berurutan yang kurang dari 270.


ab

c

Barisan bilangan asli kuadrat; adalah Un = n2 ; 1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 ...., 256. Maka banyaknya bilangan asli kuadrat = 16.Barisan bilangan asli pangkat tiga ; adalah Un = n3 ; 1 , 8, 27, 64, 125, 216 . Maka banyaknya bilangan asli pangkat tiga = 6.Dengan demikian banyaknya bilangan asli kuadrat dan bilangan asli pangkat tiga = 16 + 6 – 2 = 20(karena 1 dan 64 termasuk dua kali).Jadi bilangan 270 adalah suku ke- = 270 – 20 = 250 D

Soal No. 19Suatu balok dengan volume 240 satuan mempunyai panjang a, lebar b, dan tinggi c ( a, b, dan c adalah bilangan asli) . Jika a + b + c = 19 dan a> b > c > 3, maka luas permukaan balok yang sisinya mempunyai rusuk b dan c adalah .... Jawab : Agar lebih jelas buatlah sketsa gambarnya!

Diketahui:a + b + c = 19 , dengan a> b > c > 3, dana . b . c = 240

Selanjutnya cari nilai a, b, dan c yang memenuhi.Dengan coba dan periksa:

Jika c = 4 , maka a + b = 19-4 =15 dan a . b = 240/4 = 60Dan tak ada sepasang faktor dari 60 yang berjumlah 15 Jadi, dengan c = 4 tidak ada nilai a, dan b yang memenuhi

Jika c = 5, maka a + b = 14 dan a . b = 48Temukan sepasang-sepasang faktor dari 48 yang jumlahnya 14 yaitu 8 dan 6.Dengan demikian nilai a = 8, b = 6 , dan c = 5 .

Sehingga luas permukaan balok yang sisinya mempunyai rusuk b dan c = 2 x 6 x 5= 60 B

Soal No. 20Perhatikan gambar di bawah ini. Jika besar lingkaran berjari-jari 4 dan lingkaran kecil berjari-jari 2, serta luas daerah yang diarsir 5/12 luas lingkaran besar, maka besar RPQ adalah ....

Jawab :

Misalkan besar RPQ = a


Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran kecil – luas juring PAB + luas juring PQR – luas juring PABLuas daerah yang diarsir = luas lingkaran kecil + luas juring PQR – 2 x luas juring PAB

⟺ 512

π × 42=π × 22+ a

360°× π × 42−2 ×

a

360°π ×22

⟺ 512

π × 16=4 π+ a

360°×16 π− 2a

360°4 π

Kedua ruas dibagi 4 , maka diperoleh

⟺ 512

× 4=1+ 4 a

360°− 2 a

360°

⟺ 53−1= 2a

360°

⟺ 23= a

180°

⟺a=23

×180o=1200

Jadi, besar sudut RPQ = 1200 C

ISIAN SINGKATSoal No. 1Diketahui 2012 bilangan bulat positif berurutan. Jika setiap bilangan tersebut dibagi 5, kemudian sisa-sisa pembagiannya dijumlahkan, maka hasil penjumlahan sisa-sisanya adalah ....

Jawab :Suatu bilangan bulat dibagi 5 sisanya kemungkinan 0, 1, 2, 3, atau 4. Sisa pembagian 0 , maka bilangan tersebut habis dibagi 5 atau merupakan bilangan kelipatan 5.Langkah termudah mencari jumlah sisa-sisa pembagian oleh 5, yaitu menemukan banyaknya bilangan kelipatan 5.Dapat kiita tulis bilangan kelipatan 5 dengan 5n dengan n bilangan bulat positif.5n 2012, maka n = 402, jadi banyanya bilangan kelipatan 5 adalah 402.Dengan demikian banyaknya bilangan selain kelipatan 5 adalah 2012 – 402 = 1610Dari 1610 bilangan bulat ini terdapat 1610 : 4 = 402 bilangan masing-masing bersisa 1, 2, 3, atau 4, dan 2 bilangan yang bersisa 1 dan 2.Jadi, jumlah sisa-sisa pembagian 2012 bilangan bulat positif dibagi oleh 5 adalah 402 x (1 + 2 + 3 + 4) + 1 + 2 = 402 x 10 + 3 = 4023 .

Soal No. 2Jika a = b + 2 , a2 = b2 + 6 dan 3(a + b)2 c + 3(a + b)c2 + c3 = 10 + (a + b)3 , maka nilai c adalah ....

Jawab :Diketahui: a = b + 2 a – b = 2 ........1)

a2 = b2 + 6 a2 - b2 = 6(a – b)(a + b) = 6 2 (a + b) = 6 (a + b) = 3 ...... 2)

Substitusi ..1) dan ..2) ke persamaan terakhir diperoleh:3 x 32 c + 3 x 3 . c2+ c3 = 10 + 33

27 c + 9 c2 + c3 = 37


Ruas kiri = ruas kanan, maka dengan mudah diterka nilai c = 1

Soal No. 3Jika segitiga ABC siku-siku di B, AB=6 , AC=10 , dan AD adalah garis bagi sudut BAC, maka panjang AD adalah ....

Jawab :Menjawab soal ini anda bisa menggunakan rumus panjang garis bagi sudut, jika tidak hapal seperti penulis, dapat kita jawab seperti uraian berikut: Buatlah sketsa gambarnya !

Diketahui: panjang AB=6 dan AC= 10, maka panjang BC = 8 ( ingat tripel Pythagoras).Segmen garis AD adalah garis bagi sudut BAC (bisector of an angle).Garis AD membagi dua sudut BAC sama besar, tetapi yang kita perlukan adalah bahwa,garis bagi suatu sudut BAC merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap kaki-kaki sudut BAC yaitu AB dan AC.Dengan demikian jika kita buat garis DE AC , DB AB , maka panjang DE = DB.Dengan pendekatan luas segitiga kita hitung panjang BD.

Luas ABC = luas ABD + luas ACD1/2 x AB x BC =1/2 x AB x BD + 1/2 x AC x DE

AB x BC = AB x BD + AC X BD AB x BC = (AB + AC) X BD BD= AB x BC /(AB + AC) BD= 6 X 8 / (6 + 10) BD= 48/16 = 3Perhatikan ABD siku-siku di B, maka menurut teorema Pythagoras;Panjang AD=√ AB2+BD2=√62+32=√45=√9 ×5=3√5

Soal No. 4Semua nilai x yang memenuhi persamaan

√(6 x−2)−√4 x−3=1adalah….

Jawab :√(6 x−2)=√4 x−3+1 kemudiankuadratkan kedua ruasdiperole h ;

⟺6 x−2=4 x−3+1+2√4 x−3⟺2 x=2√4 x−3⟺ x=√4 x−3 kuadratkan keduaruas diperole h;⟺ x2=4 x−3 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x – 1 = 0 atau x – 3 = 0 x = 1 atau x = 3Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan tersebut x= 1 atau x = 3 .

Soal No. 5Jika rata-rata 1000 bilangan ganjil positif berurutan adalah 2012, maka bilangan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah ....


Jawab :Kita ketahui bilangan ganjil positif berurutan membentuk barisan aritmetika dengan beda=2, sehingga dapat kita tulis; n + (n+2) + n + 4 + (n + 6) + (n + 8) + ... + (n + 1998) . dengan n bilangan ganjil.Berdasarkan informasi soal, rata-rata 1000 bilangan ganjil positif berurutan adalah 2012, maka kita tulis;n+(n+2 )+ (n+4 )+(n+6 )+…+(n+1998)

1000=2012

n + (n+2) + n + 4 + (n + 6) + (n + 8) + ... + (n + 1998) = 1000 x 2012⇔ 1000 n+(2+4+6+8+…+1998 )⏟

sebanyak 1000−1=999suku

=1000× 2012

1000 n + 1/2 x 999 x(2 + 1998) = 1000 x 2012 1000 n + 999 x1000 = 1000 x 2012Kedua ruas bagi 1000 diperoleh; n + 999 = 2012 n = 2012 – 999 = 1013Jadi, bilangan ganjil positif terkecil adalah 1013

Soal No. 6Jalan Majapahit sejajar dengan jalur kereta api yang membentang lurus. Anton menumpang bus OSN di jalan Majapahit dengan kecepatan konstan (tetap) 40 km/jam. Dari arah berlawanan, bus yang ditumpangi Anton berpapasan dengan kereta api barang yang bergerak dengan kecepatan konstan 20 km/jam. Anton mencatat bahwa bus dan kereta api berpapasan selama seperempat menit terhitung mulai dari lokomotif (bagian paling depan) sampai bagian paling belakang. Panjang kereta api tersebut adalah .... meter.

Jawab :Hakikat kecepatan suatu benda. Soal ini termasuk jenis soal mat-fis (matematika-fisika),tentang kecepatan relatif yang termasuk kedalam besaran vektor karena mempunyai besar (panjang/jarak) dan arah.Disebut kecepatanitu relatif, karena kecepatan suatu benda yang bergerak diukur menurut pegamatan si Pengamat. Kondisi si Pengamat bisa diam bisa juga bergerak.Adalah Albert Einstein ilmuwan pencetus kecepatan itu bersifat relative, yang dikenal dgn relativitas Einstein, dan banyak konsep lainnya seperti relativitas panjang, massa, waktu, dan teori kuantum yang terkenal (materi ini dulu dipelajari di SMA).Kembali ke persoalan:Berdasarkan informasi soal; bahwa kecepatan bus 40 km/jamdan kecepatan kereta api 20 km/jam itu terhadap Bumi (artinya pengamat berada di Bumi)Sekarang sebagai pengamat adalah Anton yang berada di dalam bus yang bergerak sejajar dengan arah yang berlawanan dengan pergerakan kereta api.Secara fakta jika kita pernah naik kereta api kemudian mengamati kereta api lain yang berpapasan di stasiun dan bergerak sejajar tetapi berlawanan arah, maka pergerakkan kereta api lain atau kereta yang kita tumpangi meninggalkan kereta lain terasa lebih cepat, sebaliknya jika jalurnya sejajar tetapi bergerak searah terasa lebih lambat. Pengalaman nyata yang penulis alami saat menjadi guru private siswa SMA setiap 3 bln sekali bolak-balik Bdg-Yogyakarta naik kereta api karena PATRAH(cepat n murah) hanya RP. 5000,- saat itu.

Karena Anton sebagai pengamat di dalam bus, maka kecepatan relatif bus terhadap kereta api adalah (40 + 20) = 60 km/jamJadi, panjang kereta api yang diamati = 60 km/jam x 15 detik

= (60.000 m / 3600 detik) x 15 detik= (600/36) x 15 m= (600/12) x 5 m= 50 x 5 = 250 m


Secara umum: (materi ini akan anda peroleh di SMA)Jika suatu benda A bergerak dengan kecepatan vA , benda B bergerak dengan kecepatan vB terhadap bumi, dan kedua benda bergerak membentuk sudut , maka;Kecepatan relatif benda A terhadap B, adalah

vA /B=√v A2+vB

2−2v A . vB cos α

Dari soal tsb, misalkan kecepatan bus adalah vA = 40 km/jam , dan kecepatan kereta api vB= 20 km/jam bergerak sejajar tetapi dengan arah berlawanan.Karenabergerak sejajar tetapi dengan arah berlawanan, maka sudut yang dibentuk = 1800 dan diketahui nilai cos 1800 = -1 ,

sehingga vA /B=√v A

2+vB2−2 v A . vB cos1800

vA /B=√v A2+vB

2−2v A . vB(−1)

vA /B=√v A2+vB

2+2 v A . vB=√( v A+vB )2=v A+vB

Jadi, v A /B=40+20=60 km / jam

Jika Bus dan kereta api bergerak sejajar dan searah, maka sudut yang dibentuk = 0o ,

maka nilai Cos 0o = 1, sehingga diperoleh;Kecepatan relatif bus terhadap kereta api = VA - VB = 40 – 20 = 20 km/jam

Soal No. 7Banyaknya himpunan bagian dari himpunan { a, b, c, d, e, f }, yang memuat sedikitnya satu huruf vokal adalah ....

Jawab :Jika A adalah suatu himpunan terhingga dengan banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = m, maka banyaknya semua himpunan bagian dari A adalah 2m .Strategi penyelesaian yang dilakukan berikut ini adalah; Menghitung semua himpunan bagian dari A yang tidak memuat himpunan kosong, kemudian menghitung banyaknya himpunan bagian dari huruf-huruf konsonan yang tidak memuat himpunan kosong.

Misalkan A = { a, b, c, d, e, f } , maka banyaknya anggota A = 6 , dan banyaknya semua himpunan bagian dari A yang tidak kosong sebanyak 26 – 1 = 64 – 1 = 63.Misalkan B = { b, c, d, f} , maka banyaknya himpunan bagian dari B yang tidak memuat himpunan kosong adalah 24 – 1 = 16 – 1 = 15.Jadi, banyaknya himpunan bagian dari A yang memuat sedikitnya satu huruf vokal adalah sebanyak 63 – 15 = 48 .

Soal No. 8Empat titik ditempatkan ditempatkan pada lingkaran berjari-jari 1/2 satuan . Jika keempat titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk persegi panjang, maka luas terbesar (maksimum) yang mungkin bagi persegi panjang tersebut adalah ....


Jawab :Ini soal aplikasi (terapan) nilai maksimum suatu fungsi kuadrat.Untuk menghitung luas persegi panjang tersebut persoalannya adalah berapa ukuran panjang sisi-sisi persegi panjang tersebut ?Jika anda buat sembarang lingkaran, kemudian buat di dalam lingkaran tersebut lebih dari 1 persegi panjang sembarang, maka jumlah panjang sisi-sisinya akan tetap sama. (silahkan anda coba tunjukkan dengan gambar!!).Tetapi yang memiliki luas yang paling besar (maksimum) adalah persegi panjang dengan panjang dan lebarnya sama, dengan kata lain merupakan persegi ( dimana panjang AB = BC = CD = AD)

Besar ABC = 900 , maka diagonal AC merupakan diameter (sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter), dan panjang AC = 1Karena ABC siku-siku , menurut teorema Pythatgoras;

AB2 + BC2 = AC2

2AB2 = 12 (karena panjang AB = BC) AB2 = 1/2 AB x AB = 1/2 Luas persegi= 1/2 satuan luas

Dasar Teori :Ada satu teorema redaksinya kurang lebih sebagai berikut:Diketahui ada dua variabel dan jika kedua varibel berjumlah konstan (tetap), makahasil kali kedua variabel mencapai maksimum dengan kedua variabel bernilai sama.Bukti:Misalkan kedua variabel tersebut adalah x dan y , Kedua variabel berjumlah konstan dan kita tulis; x + y = k , dengan k adalah kontanta

y = k – x ..... (1), dan x . y maksimum , x ( k – x) = - x2 + kx

Fungsi kuaddrat tersebut bernilai maksimum untuk x = -k / -2 = k/2 (lihat nilai maksimum fungsi kuadrat) !Substitusi x = k/2 ke persamaaan (1) diperoleh y = k/2Tampak bahwa x = y (kedua variabel bernilai sama) q.e.d

Soal No. 9Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 2 cm. Jika titik T adalah titik potong diagonal bidang BCGF, titik P adalah titik tengah rusuk AB, dan titik Q adalah titik tengah rusuk DC, maka jarak antara titik T dengan bidang PQHE adalah ....

Jawab :Menjawab soal geometri, buatlah sketsa gambarnya, kemudian lengkapi ukurannya serta konstruksi titik, garis atau bidang yang diperlukan, untuk memudahkandalam menghitung hal yang dicari.

Seditkit tips dalam mencari jarak sebuah titik terhadap bidang pada Bangun Ruang Sisi Datar (BRSD):


Prosedurnya cukup tiga langkah dalam mencari jarak suatu titik pada bidang dalam BRSD, yaitu; Buat atau konstruksi bidang yang memuat titik T yang memotong tegak lurus bidang

PQHE (irisan atau perpotongan kedua bidang datar membentuk suatu garis lurus);

Buat garis dari titik T tegak lurus terhadap garis perpotongan(irisan) kedua bidang tersebut, misal di titik N ;

Hitung panjangsegmen garis TN .Panjang TN = Jarak dari titik T terhadap bidang PQHE.

Buat (konstruksi) bidang IJKL yang memuat titik T dan memotong tegak lurus bidang PQHE.

( karena bidang PQHE memotong tegak lurus bidang ABFE dan bidang IJKL // bidang ABFE)Perpotongan bidang IJKL dan bidang PQHE adalah segmen garis IM.Perhatikan pada bidang IJKL , untuk memudahkan perhitungan buatlah gambarnya seperti berikut!

Buatlah segmen garis IT !Perhatikan segitiga IJM siku-siku di J, maka panjang IM = 5 cm . (T. Pyhagoras)Perhatikan segitiga ILT siku-siku di L, maka panjang IT = 5 cm . (T. Pyhagoras)Perhatikan segitiga MKT siku-siku di K, maka panjang TM = 2 cm . (T. Pyhagoras)

Selanjutnya perhatikan segitiga IMT adalah segitiga sama kaki, panjang IM = IT.Dengan pendekatan luas segitiga kita hitung jarak terdekat dari titik T terhadap garis IM.Buatlah garis melalui IO tegak lurus TM dan garis TN tegak lurus IM.

Karena segitiga IMT sama kaki dan IO garis tinggi, maka panjang MO = TO = ½ 2 .Segitiga IOT siku-siku di O, maka menurut teorema Pythagoras;

Panjang IO=√¿2−¿2=√(√5 )2−(√22 )

2

=√5−12=√ 9

2= 3

√2


Luas segitiga IMT = 1/2 x TN x IM = 1/2 x TM x IO TN x IM = TM x IO

⇔ TN=TM × IOℑ =

√2 ×3

√2√5

= 3√5

= 3√5

× √5√5

=35

√5 cm

Jarak TN adalah jarak terdekat dari titik T terhadap bidang PQHE.

Jadi, jarak dari titik T terhadapbidang PQHE=35√5 cm

Soal No. 10Misalkan ab adalah bilangan terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah 45, maka diperoleh bilangan ba . Pada bilangan ab, Jika diantara a dan bdisisipkan angka 0, maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 2/3 kali bilangan ab. Bilangan ab tersebut adalah ....

Jawab :Soal ini termasuk soal klasik, karena soal ini terdapat pada buku terbitan tahun 1950-an, angkanya pun tidak dirubah, hanya redaksi kalimatnya yang diperjelas.Dengan Penyajian BilanganDiketahui: bilangan ab jika ditambah 45 diperoleh bilangan baKarena abbilangan puluh-an dapat kita tulis;

10 x a + b + 45 = 10 x b + a 10 x a + b + 4 x 10 + 5 = 10 x b + aKarena ab ditambah 45 menghasilkan angka satuan a, makadapat ditulis; (a + 4) x 10 + b + 5 = 10 x b – 10 + 10 + a (a + 4) x 10 + (b + 5)= 10 x (b – 1) + (10 + a)

(b + 5) = (10 + a)Atau b – a = 10 – 5 Atau b – a = 5 ................ (1)

Dari persamaan (1) dapat ditentukan pasangan angka (a, b) yang mungkin yaitu;(1, 6), (2, 5), (3, 8), dan (4, 9).Tetapi berdasarkan informasi soal , ada syarat kedua yang harus dipenuhi, yaitu

Jika diantara a dan bdisisipkan angka 0, maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 2/3 kali bilangan ab . Sehingga dapat ditulis

100 x a + b = 7 2/3 x (10 x a + b)atau 100 x a + b = 23/3 x (10 x a + b) ................. (2)Perhatikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (2)Karena 100 x a + b merupakan bilangan bulat, maka haruslah (10 x a + b) merupakan bilangan habis dibagi 3 (bilangan kelipatan 3).Dengan demikian dari pasangan angka (a, b) yang memenuhi adalah (2, 7)Jadi, bilangan ab = 27Ciri bilangan habis dibagi 3 yaitu jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.Contoh: 27 habis dibagi 3 karena (2 + 7) = 9, dan 9 : 3 = 3 sisa 0

16 tidak habis dibagi 3, karena (1 + 6) = 7, dan 7 : 3 = 2 sisa 1

Periksa Kebenaran :27 + 45 = 72 dan 207 = 23/3 (27) = 23 x 9

Pembahasan tentang sifat bilangan dengan penambahan bilangan kelipatan 9, dapat anda simak pada pembahasan soal PASIAD 2012, pada Daftar Isi

Alhamdulillah pembahasan 30 soal tuntas


semoga dapat dipahami dan bermanfaat..Jika ada kekeliruan semata karena kesalahan penulis, mohon dikoreksi.


pembahasansoalosnmatematikasmptkkota2012

Documents