Peluruhan Pion Berdasarkan Teori PerturbasiChiral

Skripsi

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Nofirwan0398020493

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Depok2004

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi : Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Nama : Nofirwan

NPM : 0398020493

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, 7 Juni 2004

Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. L.T. Handoko Dr. Anto Sulaksono

Gambar 1: Foto Tunangan

iii

Kata Pengantar

Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT, atas selesainya penyusunan skrip-

si ini sebagai syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains.

Skripsi ini merupakan rangkaian terakhir dari sekian banyak tugas yang penulis

harus jalani ketika menempuh pendidikan di Departemen Fisika UI. Topik penelitian

yang penulis angkat pada kesempatan kali ini adalah mengenai neutrino. Topik ini

cukup menarik karena beberapa tahun belakangan ini banyak dibicarakan mengenai

neutrino bermassa yang tentu berlawanan dengan konsep dalam Standard Model.

Pada kesempatan kali ini penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Dr.

L. T. Handoko dan Dr. Terry Mart yang telah dengan sabar membimbing penulis

dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyampaikan apresiasi yang setinggi-

tingginya kepada mereka berdua. Juga kepada penguji penulis, Dr. Na Peng Bo dan

Dr. Muhammad Hikam atas masukannya, dan kepada Dr. Anto Sulaksono dan Dr.

Chairul Bahri untuk diskusi-diskusi yang menarik dan juga untuk bantuan literatur.

Penulis menyadari bahwa tidak ada kesuksesan yang diraih tanpa dukungan

dari rekan-rekan penulis. Oleh karena itu penulis tak lupa mengucapkan terima

kasih kepada para kolega penulis di grup fisika nuklir dan partikel dan teman-teman

penulis lainnya di Departemen Fisika UI, khususnya angkatan ’99 untuk saat-saat

menyenangkan selama kuliah.

Pada akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua dan

adik-adik penulis atas dukungan dan doanya selama ini. Semoga Allah SWT mem-

balas kebaikan kalian semua.

Tiada diskusi melainkan pengayaan pemikiran dan perenungan. Terus berpikir

berarti terus hidup. Sedangkan terus berpikir dan berbuat berarti hidup dalam ke-

sejatian.

iii

Nofirwan

iv

Abstrak

Diberikan elemen-elemen utama dan metode-metode dari teori perturbasi chiral

(ChPT), teori medan efektif dari Standard Model menurut skala kerusakan simetri

chiral secara spontan. Dasar teori ini adalah simetri global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V

dari Lagrangian QCD dalam batas quark u, d, dan s tak bermassa, diasumsikan se-

cara spontan rusak ke SU(3)V×U(1)V yang menghasilkan delapan boson Goldstone

tak bermassa. Teori medan efektif memperkenalkan Lagrangian efektif dengan orde

terendah yang akan digunakan untuk menerangkan proses pada peluruhan pion.

Kata kunci: chiral.

Abstract

The main elements and methods of chiral perturbation theory, the effective field

theory of the Standard Model below the scale of sponaneous chiral symmetry break-

ing, are summarized. The basis of ChPT is the global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V

symmetry of the QCD Lagrangian in the limit of massless u, d, and s quarks, is

assumed to be spontaneously broken down to SU(3)V×U(1)V giving rise to eight

massless Goldstone bosons. The effective field theory, introducing to the effective

Lagrangian at lowest order is used to describe pion decay processes.

Keywords: chiral.

v

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Tinjauan Pustaka 5

2.1 Quantum Electrodynamics (QED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Quantum Chromodynamics (QCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Beberapa Sifat pada SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Lagrangian QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Simetri Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Medan quark Left-Handed dan Right-Handed . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Teorema Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan . . . . . . . . . 19

2.3.4 Aljabar Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5 QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal . . . . . . . . 24

vi

3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif 30

3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark . . . . . . . . . 30

3.2 Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian . . . 33

3.3 Teorema Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1 Spektrum Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2 Condensate Quark skalar 〈qq〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Lagrangian Efektif Orde Terendah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Konstruksi Lagrangian Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Hasil dan Pembahasan 57

4.1 Peluruhan Pion π+ → µ+νµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Kesimpulan dan Saran 61

A Mekanika Kuantum Relativistik 62

A.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

A.2 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

B Transformasi Grup U(1),U(3) dan SU(3) 66

Daftar Acuan 67

vii

Daftar Tabel

2.1 Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol. 8

2.2 Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol. . . . . . . . . 9

2.3 Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms

ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan

untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark

ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori

perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai ma-

sukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing diten-

tukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B. . 10

2.4 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. 25

2.5 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konju-

gasi muatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Perbandingan kerusakan simetri spontan. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C),

dan paritas (P ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

viii

Daftar Gambar

1 Foto Tunangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

3.1 Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2+

y2) + (x2+y2)2

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Peluruhan Pion π+ → µ+νµ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ix

Bab 1

Pendahuluan

Sampai sekarang orang masih mencari tahu apa yang menjadi penyusun alam semes-

ta ini. Secara garis besar, partikel yang menyusun alam semesta dibagi menjadi dua

golongan, yaitu quark dan lepton. Quark dibedakan menjadi enam citarasa (fla-

vor) yaitu, u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), dan b (bottom) yang

datang dengan tiga derajat kebebasan warna (color) dan bertransformasi sebagai

triplet menurut transformasi fundamental SU(3). Lepton terdiri atas elektron (νe, e),

muon (νµ, µ), dan tau (ντ , τ). Lepton terbagi menjadi dua kelas menurut muatan

listriknya, neutrino netral νe, νµ, ντ dan yang bermuatan negatif e−, µ−, τ−. Selain

lepton ada juga yang dinamakan meson dan baryon. Meson memiliki massa yang

terletak di antara massa lepton dan massa baryon. Partikel-partikel di atas dapat

saling berinteraksi melalui empat interaksi dasar, yaitu interaksi elektromagnetik,

lemah, kuat, dan gravitasi. Meson memiliki spin nol atau satu sedangkan baryon

memiliki spin kelipatan 1/2. Meson dan baryon dapat mengalami interaksi kuat,

karena itu mereka termasuk dalam golongan hadronik. Saat ini hanya interaksi elek-

tromagnetik yang benar-benar dapat dimengerti, yang tercantum dalam Quantum

Electrodynamics (QED). Interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah tergabung

dalam interaksi elektro lemah (electroweak). Sedangkan untuk interaksi kuat terda-

pat dalam Quantum Chromodynamics (QCD). Keseluruhan teori mengenai partikel

dan interaksinya di atas (tidak termasuk gravitasi), merupakan kesatuan teori yang

disebut Standard Model (SM). SM adalah teori yang mampu menjelaskan hampir

sebagian besar fenomena interaksi dalam fisika energi tinggi.

1

1.1 Latar Belakang

Pada tahun 1950-an, gambaran tentang interaksi kuat dalam kerangka teori medan

kuantum nampaknya gagal karena menimbulkan konstanta kopling yang terlalu be-

sar pada energi tingkat rendah. Spektrum hadron yang kaya bersama dengan uku-

rannya merupakan petunjuk awal terhadap substruktur dalam unsur-unsur pokok

yang lebih fundamental.

Saat ini, hadron adalah obyek-obyek kompleks yang dibangun dari banyak dera-

jat kebebasan yang fundamental. Banyak hasil-hasil empiris dari fisika medium dan

fisika energi tinggi seperti produksi hadron dalam pemusnahan elektron-positron,

berhasil diterangkan menggunakan metode gangguan dalam kerangka kerja dari

teori gauge SU(3) yang mengacu pada Quantum Chromodynamics (QCD). Masih

belum ada metode analitik yang menjelaskan QCD pada jarak yang jauh, yaitu pa-

da energi-energi rendah. Sebagai contoh, bagaimana hadron-hadron diamati secara

asimtotik, termasuk spektrum resonansinya yang kaya, yang diciptakan oleh QCD

masih belum secukupnya dipahami. Ada tiga masalah QCD pada level kuantum,

yaitu, ”masalah gap”,”quark confinement”, dan ”kerusakan simetri chiral secara

spontan”.

Pada energi sangat rendah (cenderung ke nol), konstanta kopling QCD akan

sangat besar. Namun pada energi tinggi, didapat konstanta kopling yang rendah

dan lebih rendah lagi. Inilah yang biasanya dikenal sebagai asymptotic freedom.

Hanya terhadap masalah asymptotic freedom teori perturbasi dapat dilakukan.

Masih ada usaha lain dalam mengatasi hal ini, yakni dengan teori simetri, yang

terdiri dari simetri chiral SU(3)L×SU(3)R dan realisasinya, yaitu kerusakan simetri

spontan ke SU(3)V pada apa yang dinamakan kerapatan Lagrangian efektif. Hal ini

kemudian ditulis dalam suku-suku dari medan boson Goldstone pseudoskalar yang

diamati secara asimtotik dan menjelaskan sifat energi rendah dari QCD. Sekarang

boleh dilakukan perturbasi non-konvensional, yaitu perturbasi bukan lagi dalam

pangkat konstanta kopling tapi dalam pangkat momentum boson Goldstone ekster-

nal (rendah) dan massa quark (kecil). Metode ini yang dikenal sebagai mesonic

chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral sektor meson).

2

1.2 Perumusan Masalah

Pada energi rendah, perturbasi tidak dapat dilakukan karena adanya konstanta ko-

pling yang besar sehingga dibutuhkan suatu teori dimana perturbasi masih dapat

dilakukan. Teori tersebut dikenal sebagai teori perturbasi chiral. Spektrum hadron

yang diamati dalam percobaan masih belum dapat dimengerti. Ternyata derajat

kebebasan hadronik pada energi rendah muncul sebagai keadaan asimtotik yang

dapat diamati. Timbul pertanyaan bagaimana keadaan ini dapat dijelaskan secara

teoritik? Keadaan ini hanya dapat diperiksa melalui teori perturbasi chiral yang

diperkenalkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17]. Karena dasar teori ini memeriksa

proses-proses interaksi kuat QCD pada tingkat energi rendah atau keadaan dengan

suku massa quark sama dengan nol yang biasa disebut sebagai batas chiral. Pa-

da batas ini, medan quark left- dan right-handed dipisahkan satu sama lain dalam

Lagrangian efektif QCD. Pada tingkat klasik, Lagrangian efektif memperlihatkan

simetri global SU(3)L × SU(3)R. Namun, pada tingkat kuantum arus aksial vektor

singlet mengembangkan suatu anomali [1, 2, 3, 4, 5] sehingga perbedaan bilangan

quark left- dan right-handed bukanlah suatu konstanta gerak. Dengan kata lain,

dalam batas chiral, Hamiltonian QCD mempunyai simetri SU(3)L×SU(3)R×U(1)V .

Dengan ini orang dapat mempelajari lebih dalam tentang struktur hadron yang sam-

pai saat ini masih hangat dibicarakan.

1.3 Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan

suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang

terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori Medan Kuantum Efek-

tif (Effective Quantum Field Theory) yang di dalamnya tercakup teori perturbasi

chiral. Teori ini dikembangkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17] yang menganalisis

konsekuensi simetri SU(3)L × SU(3)R dari LQCD dengan memperkenalkan kopling

dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial vektor dan juga kerapatan quark

skalar dan pseudoskalar ke dalam Lagrangian QCD dan mempromosikan simetri

global ke simetri lokal.

3

1.4 Tujuan

Pada energi rendah QCD terdapat konstanta kopling yang besar sehingga tidak

memungkinkan untuk dilakukannya teori gangguan. Sementara itu pada energi

tinggi terdapat kopling yang kecil dan makin kecil yang biasa dikenal sebagai asymp-

totic freedom (kebebasan asimtotik). Hanya pada daerah asimtotik teori perturbasi

(gangguan) dapat dilakukan. Namun, agar teori perturbasi dapat dilakukan pada

energi rendah, maka ekspansi pangkat dalam perturbasi bukan dilakukan terhadap

kopling melainkan terhadap momentum boson Goldstone dan massa quark. Metode

ini yang dikenal sebagai chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral). Dengan

teori ini akan dilihat bagaimana menjelaskan dinamika boson Goldstone (termasuk

pion) pada tingkat energi rendah dalam kerangka kerja teori medan efektif.

4

Bab 2

Tinjauan Pustaka

Teori perturbasi chiral memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis untuk

memeriksa proses-proses interaksi kuat pada energi rendah. Dasar teori perturbasi

chiral adalah simetri global SU(3)L × SU(3)R ×U(1)V dari Lagrangian QCD dalam

batas quark tak bermasa u, d, dan s yang diasumsikan rusak ke SU(3)V ×U(1)V se-

cara spontan dan menimbulkan delapan boson Goldstone. Sebelumnya akan diperke-

nalkan prinsip gauge. Prinsip gauge adalah metode yang amat sukses dalam fisi-

ka partikel elementer untuk membangkitkan interaksi antara medan-medan materi

melalui pertukaran boson-boson gauge (tera) tak bermassa.

2.1 Quantum Electrodynamics (QED)

Quantum Electrodynamics (QED) adalah teori gauge yang menerangkan interaksi-

interaksi elektromagnetik antar partikel, dihasilkan dari promosi simetri global U(1)

dari Lagrangian yang menggambarkan elektron bebas ke dalam bentuk simetri

lokal.1

Ψ 7→ exp (−iΘ) Ψ : Lfree = Ψ (iγµ∂µ −m) Ψ 7→ Lfree, (2.1)

Dalam proses ini parameter 0 ≤ Θ ≤ 2π menggambarkan sebuah elemen dari U(1)

yang diperbolehkan untuk bervariasi secara mulus dalam ruang-waktu, Θ → Θ(x),

yang menunjuk kepada menterakan grup U(1). Untuk menjaga keinvarianan La-

grangian menurut transformasi lokal, diperkenalkan potensial-empat Aµ ke dalam

teori yang bertransformasi menurut transformasi gauge Aµ 7→ Aµ − ∂µΘ/e. Agar

1Penulis menggunakan representasi matriks-matriks Dirac.

5

diperoleh suku kinetik dalam Aµ harus juga dimasukkan suku interaksi berupa ten-

sor kuat medan Fµν . Oleh karena itu dengan merujuk pada menterakan Lagrangian

yang berkenaan dengan U(1) diperoleh Lagrangian QED:

LQED = Ψ [iγµ (∂µ − ieAµ)−m] Ψ− 1

4FµνFµν , (2.2)

dimana Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Kemudian turunan kovarian ∂µ dari Ψ diganti dengan

Dµ,

Dµ ≡ (∂µ − ieAµ) Ψ,

didefinisikan sedemikian hingga menurut transformasi gauge jenis kedua

Ψ(x) 7→ exp [−iΘ(x)] Ψ(x), Aµ(x) 7→ Aµ(x)− ∂µΘ(x)/e, (2.3)

turunan kovarian bertransformasi dengan cara yang sama, yaitu hanya bekerja pada

Ψ sendiri:

DµΨ(x) 7→ D′µΨ

′(x)

=[∂µ − ieA′

µ(x)]exp [−iΘ(x)] Ψ

′(x)

= [∂µ − ie (Aµ(x)− ∂µΘ/e)] exp [−iΘ(x)] Ψ(x)

= exp[−iΘ(x)][∂µ − ieA(x)]Ψ(x)

= exp[−iΘ(x)]DµΨ(x) (2.4)

Suku massa M2A2/2 tidak dimasukkan ke dalam Lagrangian karena suku ini akan

melanggar invarian gauge dan oleh karena itu prinsip gauge membutuhkan boson-

boson gauge tak bermassa.2 Dalam hal ini dikenal Aµ sebagai potensial-empat

elektromagnetik dan Fµν sebagai tensor kuat medan yang mengandung medan listrik

dan medan magnet. Prinsip gauge ini (secara alami) telah mengembangkan interaksi

medan elektromagnetik dengan materi.

2.2 Quantum Chromodynamics (QCD)

2.2.1 Beberapa Sifat pada SU(3)

Grup SU(3) memainkan peranan penting dalam konteks interaksi kuat, karena SU(3)

adalah grup tera (gauge) dari QCD. Pada sisi lain flavor SU(3) kira-kira direalisa-

sikan sebagai simetri global dari spektrum hadron [6, 7, 8], supaya hadron-hadron

2Massa dari medan-medan gauge dimunculkan melalui kerusakan spontan dari simetri gauge.

6

(massa rendah) yang diamati dapat disusun kira-kira dalam multiplet-multiplet yang

terdegenerasi dengan mencocokkan dimensi dari representasi irredusibel SU(3). Pa-

da akhirnya, hasil kali langsung dari SU(3)L× SU(3)R adalah grup simetri chiral

untuk menghilangkan massa-massa quark u, d dan s. Grup SU(3) ditentukan seba-

gai himpunan matriks unitari, unimodular, 3× 3 U , yakni U †U = 1 dan det( U)=1.

Dalam hal matematika, SU(3) adalah delapan parameter yang secara sederhana

dihubungkan dengan grup Lie yang compact.

Elemen-elemen SU(3) dapat ditulis dalam bentuk

U(Θ) = exp

(−i

8∑a=1

Θaλa

2

), (2.5)

dengan Θa bilangan-bilangan riil, dan delapan matriks λa disebut matriks-matriks

Gell-Mann, yang memenuhi

λa

2= i

∂U

∂Θa

(0, . . . , 0), (2.6)

λa = λ†a, (2.7)

Tr(λaλb) = 2δab, (2.8)

Tr(λa) = 0. (2.9)

Representasi eksplisit dari matriks Gell-Mann adalah

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

, λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

, λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

,

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

, λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

, λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

,

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

, λ8 =

1√3

1 0 00 1 00 0 −2

(2.10)

Himpunan {iλa} merupakan basis aljabar Lie su(3) dari SU(3), yakni, himpunan

semua matriks skew Hermitian 3×3 yang tidak mempunyai trace. Hasil dari grup Lie

kemudian ditentukan dalam suku-suku perkalian matriks biasa sebagai komutator

dua elemen dari su(3). Definisi seperti itu secara alami memenuhi sifat-sifat anti-

komutatif Lie

[A,B] = −[B, A] (2.11)

7

abc 123 147 156 246 257 345 367 458 678

fabc 1 12

−12

12

12

12

−12

12

√3 1

2

√3

Tabel 2.1: Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

dan juga identitas Jacobi

[A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]] = 0. (2.12)

Struktur dari grup Lie diberi kode dalam hubungan komutasi dari matriks-

matriks Gell-Mann, [λa

2,λb

2

]= ifabc

λc

2, (2.13)

dimana fabc adalah konstanta struktur riil yang sepenuhnya anti-simetrik.

[λa, λb] = 2ifabcλc

[λa, λb] λc = 2ifabcλ2c

Tr ([λa, λb])(2.8)= 2ifabcTr

(λ2

c

)

Tr ([λa, λb]) = 4ifabc

fabc =1

4iTr ([λa, λb] λc) (2.14)

Lebih jelasnya, konstanta-konstanta stuktur ini adalah sebuah pengukuran non-

komutatif dari grup SU(3). Hubungan anti-komutasi memberikan

{λa, λb} =4

3δab + 2dabcλc, (2.15)

dimana simetri dabc sepenuhnya diberikan oleh

dabc =1

4Tr ({λa, λb}λc) (2.16)

Selain itu, ada baiknya memperkenalkan matriks ke-sembilan

λ0 =

√2

3diag(1, 1, 1),

agar persamaan (2.7) dan (2.8) masih dipenuhi oleh sembilan matriks λa. Khusus-

nya, kumpulan {iλa|a = 1, · · · , 8}merupakan basis aljabar Lie u(3) dari U(3), yakni,

8

abc 118 146 157 228 247 256 338 344dabc

1√3

12

12

1√3

−12

12

1√3

12

abc 355 366 377 448 558 668 778 888dabc

12

−12

−12

− 12√

3− 1

2√

3− 1

2√

3− 1

2√

3− 1√

3

Tabel 2.2: Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

kumpulan dari semua matriks 3×3 skew Hermitian kompleks. Akhirnya, sebuah

matriks sembarang 3×3 dapat ditulis sebagai

M =8∑

a=0

λaMa, (2.17)

dimana Ma adalah bilangan-bilangan kompleks yang diberikan oleh

λbM =8∑

a=0

λbλaMa

Tr (λbM) =8∑

a=0

Tr (λbλa) Ma

Tr (λbM) =8∑

a=0

2δbaMa

Tr (λbM) = 2Mb

Mb =1

2Tr (λbM)

Ma =1

2Tr (λaM)

2.2.2 Lagrangian QCD

QCD adalah teori gauge dari interaksi-interaksi kuat [9, 10, 11] dengan color SU(3)

yang mendasari grup gauge. Medan materi QCD adalah quark-quark yang meru-

pakan fermion spin-1/2, dengan enam flavor berbeda untuk tiga warna yang mungkin

(lihat tabel 2.3). Karena quark tidak diamati sebagai keadaan bebas secara asim-

totik, pengertian massa quark dan nilai-nilai numeriknya sangat dekat dihubungkan

dengan metode dimana massa quark diekstrak dari sifat-sifat hadronik. Berke-

naan dengan apa yang dinamakan nilai-nilai massa current-quark dari quark-quark

ringan, seharusnyalah memandang suku-suku massa quark semata-mata hanya seba-

gai parameter-parameter symmetry breaking (kerusakan simetri) dengan besar massa

9

flavor u d smuatan[e] 2/3 −1/3 −1/3

massa[MeV] 5.1± 0.9 9.3± 1.4 175± 25

flavor c b tmuatan[e] 2/3 −1/3 2/3

massa[GeV] 1.15− 1.35 4.0− 4.4 174.3± 3.2± 4.0

Tabel 2.3: Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms

ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massaberlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasiomassa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massaquark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B.

tersebut memberikan pengukuran secara luas untuk simetri chiral yang telah rusak.

Sebagai contoh, rasio dari massa-massa quark ringan dapat diduga dari massa-massa

oktet psudoskalar ringan [12]. Perbandingan antara massa proton, mp = 938 MeV,

dengan jumlah dua massa current-quark up dan down (lihat tabel 2.3)

mp À 2mu + md, (2.18)

menunjukkan bahwa interpretasi massa proton dalam suku-suku parameter massa

current-quark harus sangat berbeda dari, katakan saja keadaan atom hidrogen, di-

mana massa secara esensial diberikan oleh jumlah massa proton dan elektron yang

dikoreksi oleh sejumlah kecil energi ikat.

Lagrangian QCD dihasilkan dari prinsip gauge yaitu [13, 14]

LQCD =∑

f=u,d,sc,b,t

qf (iD/−mf ) qf − 1

4Gµν,aGµν

a . (2.19)

Untuk setiap flavor quark f , medan quark qf terdiri dari triplet warna (indeks bawah

r, g, dan b untuk ”red”, ”green”, dan ”blue”),

qf =

qf,r

qf,g

qf,b

, (2.20)

yang bertransformasi menurut transformasi gauge g(x) yang digambarkan oleh him-

10

punan parameter-parameter Θ(x) = [Θ1(x), · · · , Θ8(x)] menurut3

qf 7→ q′f = exp

[−i

8∑a=1

Θa(x)λC

a

2

]qf = U [g(x)]qf . (2.21)

Secara teknis, setiap medan quark qf bertransformasi menurut representasi funda-

mental dari warna SU(3). Karena SU(3) adalah delapan parameter grup, turunan

kovarian persamaan (2.19) mengandung delapan parameter potensial gauge Aµ,a,

Dµ

qf,r

qf,g

qf,b

= ∂µ

qf,r

qf,g

qf,b

− ig

8∑a=1

λCa

2Aµ,a

qf,r

qf,g

qf,b

(2.22)

Perlu dicatat bahwa interaksi antara quark dan gluon tidak bergantung pada flavor

quark. Dengan menuntut adanya invarian gauge LQCD, memaksa sifat transformasi

berikut dari medan-medan gauge

λCa

2Aµ,a(x) 7→ U [g(x)]

λCa

2Aµ,a(x)U †[g(x)]− i

g∂µU [g(x)]U †[g(x)]. (2.23)

Sekali lagi, dengan syarat ini turunan kovarian Dµqf bertransformasi pada qf , yakni

Dµqf 7→ D′µq

′f = U(g)Dµqf .

D′µq

′f =

[∂µ − ig

8∑a=1

λCa

2Aµ,a

]q′f

=

[∂µ − igU

(8∑

a=1

λCa

2Aµ,a

)U † − (∂µU)U †

]Uqf

= (∂µU)qf + U(∂µqf )− igU

8∑a=1

λCa

2Aµ,aqf − (∂µU)qf

= U

(∂µ − ig

8∑a=1

λCa

2Aµ,a

)qf

= UDµqf

Menurut transformasi gauge jenis pertama, yakni transformasi global SU(3), suku

kedua pada sisi sebelah kanan pers. (2.23) akan menghilang dan medan-medan

gauge akan bertransformasi menurut representasi adjoint.

3Demi kejelasan, matriks-matriks Gell-Mann mengandung indeks atas C yang menjelaskanbekerja pada ruang warna.

11

Sejauh ini hanya bagian medan materi LQCD yang dipertimbangkan termasuk

interaksinya dengan medan-medan gauge. Persamaan (2.19) juga berisi generalisasi

dari tensor kuat medan untuk kasus non-Abelian,

Gµν,a = ∂µAν,a − ∂νAµ,a + gfabcAµ,bAν,c, (2.24)

dengan fabc konstanta struktur SU(3) yang diberikan dalam tabel 2.1. Seperti

pers. (2.23) tensor kuat medan bertransformasi menurut SU(3) sebagai

Gµν ≡ λCa

2Gµν,a 7→ U [g(x)]GµνU

†[g(x)]. (2.25)

Dengan menggunakan pers. (2.8) bagian gluonic murni LQCD dapat ditulis

Tr

(λC

a

2Gµν,a

λCb

2Gµν

b

)= Tr

(UGµνU

†UGµνU †)

Gµν,aGµνb Tr

(λC

a

2

λCb

2

)= Tr(GµνGµνU †U)

1

2Gµν,aδabGµν

b = Tr(GµνGµν)

Gµν,aGµνa = 2Tr(GµνGµν)

maka

−1

4Gµν,aGµν

a = −1

2TrC(GµνGµν)

yang diperoleh dengan menggunakan sifat trace, Tr(ABCD)=Tr(BCDA), bersama

dengan UU † = U †U = 1, dengan mudah dapat dilihat Lagrangian QCD invarian

terhadap transformasi pers. (2.25).

Perbedaannya terhadap kasus Abelian QED, tensor kuat medan yang dikuadrati

menimbulkan interaksi diri medan gauge yang melibatkan verteks dengan tiga dan

empat medan gauge masing-masing dengan kekuatan g dan g2. Suku-suku interak-

si seperti ini merupakan karakteristik dari teori gauge non-Abelian dan suku-suku

tersebut membuat non-Abelian lebih rumit daripada teori Abelian.

12

2.3 Simetri Chiral

Enam flavor quark secara umum dibagi menjadi tiga kuark ringan u, d, dan s, dan

tiga flavor berat c, b, dan t.

mu = 0.005 GeVmd = 0.009 GeVms = 0.175 GeV

¿ 1 GeV ≤

mc = (1.15− 1.35) GeVmb = (4.0− 4.4) GeV

mt = 174 GeV

, (2.26)

dimana skala ΛCSB = 1 GeV dikaitkan dengan massa-massa hadron paling ringan

yang berisi quark-quark ringan, contohnya mρ = 770 MeV, yang bukan merupakan

boson Goldstone yang diakibatkan dari kerusakan simetri spontan. Skala yang

dikaitkan dengan kerusakan simetri spontan, 4πFπ ≈ 1170 MeV, memiliki besar

orde yang sama. Berikutnya, akan diperkirakan Lagrangian QCD lengkap dengan

versi flavor quark ringan, yakni, mengabaikan efek pasangan quark-antiquark berat

hh. Secara khusus, persamaan (2.18) memberi kesan bahwa Lagrangian L0QCD hanya

mengandung flavor quark-quark ringan di dalam apa yang dinamakan batas chiral

mu,md, ms → 0, menjadi awal yang baik dalam membicarakan QCD energi-rendah:

L0QCD =

∑

l=u,d,s

qliD/ql − 1

4Gµν,aGµν

a (2.27)

Turunan kovarian D/ ql hanya bekerja pada color (warna) dan indeks Dirac, tetapi

tidak bergantung flavor.

2.3.1 Medan quark Left-Handed dan Right-Handed

Agar selengkapnya simetri-simetri global dari persamaan (2.27) terlihat, dipertim-

bangkanlah suatu matriks chirality γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3, {γµ, γ5} = 0, γ25 = 1, dan

memperkenalkan operator-operator proyeksi

PR =1

2(1 + γ5) = P †

R, PL =1

2(1− γ5) = P †

L (2.28)

dimana indeks R dan L mengacu pada right-handed dan left-handed, seperti akan

menjadi lebih jelas di bawah ini. Nampak jelas bahwa matriks 4×4 PR dan PL

memenuhi hubungan kelengkapan

PR + PL = 1 (2.29)

13

P 2R = PR, P 2

L = PL (2.30)

dan hubungan ortogonalitas

PRPL = PLPR =1

4(1− γ2

5) = 0 (2.31)

Sifat-sifat gabungan dari persamaan (2.28) - (2.31) menjamin bahwa PR dan PL

sungguh-sungguh operator proyeksi yang memproyeksikan variabel medan Dirac q

ke komponen-komponen chiral-nya qR dan qL.

qR = PRq, qL = PLq. (2.32)

Kita ingat dalam konteks ini variabel (medan) chiral adalah variabel yang terhadap

paritas ditransformasikan menjadi varabel asal maupun variabel negatifnya. Ter-

hadap paritas, medan quark ditransformasikan menjadi konjugate paritasnya,

P : q(t, ~x) 7→ γ0q(t,−~x),

maka

qR(t, ~x) = PRq(t, ~x) 7→ PRγ0q(t,−~x) = γ0PLq(t,−~x) = γ0qL 6= ±qR(t,−~x),

dan serupa untuk qL.

PRγ0 =1

2(1 + γ5)γ0 =

1

2(γ0 + γ5γ0)

=1

2(γ0 − γ0γ5) = γ0

1

2(1− γ5) = γ0PL

qL(t, ~x) = PLq(t, ~x) 7→ PLγ0q(t,−~x) = γ0PRq(t,−~x) = γ0qR 6= ±qL(t,−~x)

Istilah medan right-handed dan left-handed dengan mudah dapat divisualisasikan di

dalam suku-suku dari solusi untuk persamaan Dirac partikel bebas. Untuk mak-

sud tersebut, akan dipertimbangkan solusi energi-positif relativistik ekstrim dengan

momentum-tiga ~p 4

u(~p,±) =√

E + M

(χ±

~σ·~pE+M

χ±

)E À M→

√E

(χ±

±χ±

)≡ u±(~p ),

4Disini penulis mengadopsi normalisasi kovarian dari spinor-spinor, u(α)†(~p)u(β)†(~p) = 2Eδαβ ,dan sebagainya.

14

dimana telah diasumsikan bahwa spin dalam kerangka diam sejajar terhadap yang

lain atau antiparalel terhadap arah momentum

~σ · ~p χ± = ~σ · p |~p| χ± = |~p| ~σ · p χ±

jika momentum diambil arah ~z

p = k, ~σ · p = ~σ · k = σz =

(1 00 −1

)

χ+ =

(10

), χ−

(0

−1

)

~σ · k = σz

maka

σzχ+ =

(1 00 −1

)(10

)=

(10

)= +χ+

σzχ− =

(1 00 −1

)(10

)=

(0

−1

)= −χ−

∴ (~σ · p)χ± = ±χ±

(~σ · ~p)χ± = (~σ · p)|~p|χ± = |~p|(~σ · p)χ± =√

E2 −M2 (±χ±)

dan

u(~p,±) =√

E + M

(χ±

~σ·~pE+M

χ±

)=√

E + M

(χ±√

E2−M2

E+M± χ±

)E À M7→

√E

(χ±

±χ±

)≡ u±(~p)

u+ =√

E

(χ+

χ+

), u− =

√E

(χ−

−χ−

)

Dalam representasi standar matriks-matriks Dirac kita dapatkan

PR =1

2(1 + γ5) =

1

2

(12×2 12×2

12×2 12×2

), PL =

1

2

(12×2 −12×2

−12×2 12×2

)

sehingga

PR u+ =1

2

√E

(1 11 1

)(χ+

χ+

)=

1

2

√E

(2χ+

2χ+

)=√

E

(χ+

χ+

)= u+

15

PL u+ =1

2

√E

(1 −1

−1 1

) (χ+

χ+

)=

1

2

√E

(00

)= 0

PR u− =1

2

√E

(1 11 1

)(χ−

−χ−

)=

1

2

√E

(00

)= 0

PL u− =1

2

√E

(1 −1

−1 1

)(χ−

−χ−

)=

1

2

√E

(2χ−

−2χ−

)=√

E

(χ−

−χ−

)= u−

Dalam batas relativistik ekstrim (atau lebih baik, dalam batas massa nol), operator

PR dan PL melakukan proyeksi ke keadaan eigen dengan helisitas positif dan negatif,

yaitu dalam batas ini chirality sama dengan helicity.

Di sini tujuannya adalah untuk menganalisis simetri dari lagrangian QCD dengan

mematuhi sifat transformasi global yang independen dari medan left-handed dan

right-handed. Untuk mengkomposisikan 16 bentuk kuadratik menjadi proyeksinya

masing-masing terhadap medan left-handed dan right-handed, dibuatlah menggu-

nakan

qΓiq =

{qRΓ1qR + qLΓ1qL untuk Γ1 ∈ {γµ, γµγ5}qRΓ2qL + qLΓ2qR untuk Γ2 ∈ {1, γ5, σ

µν} , (2.33)

dimana

qR = q†Rγ0 = (PRq)†γ0 = q†P †Rγ0 = q†

1

2(1 + γ5)γ0 = q†γ0

1

2(1− γ5) = qPL

qL = q†Lγ0 = (PLq)†γ0 = q†P †Lγ0 = q†

1

2(1− γ5)γ0 = q†γ0

1

2(1 + γ5) = qPR

dengan

σµν =i

2(γµγν − γνγµ)

Persamaan (2.33) dengan mudah dibuktikan dengan memasukkan hubungan ke-

lengkapan dari persamaan (2.29) sekaligus ke sebelah kiri dan kanan dari Γi,

qΓiq = q(PR + PL)Γi(PR + PL)q = (qL + qL)Γi(qR + qL)

dan dengan catatan {Γ1, γ5} = 0 dan [Γ2, γ5] = 0. Untuk Γ1 = γµ :

qγµq = (qL + qL)γµ(qR + qL) = qLγµqR + qRγµqR + qLγµqL + qRγµqL

qLγµqR = qPRγµPRq =1

4q(1 + γ5)γ

µ(1 + γ5)q =1

4qγµ(1− γ5)(1 + γ5)q = 0

qRγµqL = qPLγµPLq =1

4q(1− γ5)γ

µ(1− γ5)q =1

4qγµ(1 + γ5)(1− γ5)q = 0

16

∴ qγµq = qRγµqR + qLγµqL

dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk Γi yang lain. Bersama dengan

hubungan orthogonalitas dari persamaan (2.31) kemudian dihasilkan

PRΓ1PR =1

4(1 + γ5)Γ1(1 + γ5) =

1

4(Γ1 + γ5Γ1)(1 + γ5)

=1

4Γ1(1− γ5)(1 + γ5) = Γ1PLPR = 0,

PLΓ1PL =1

4(1− γ5)Γ1(1− γ5) =

1

4(Γ1 − γ5Γ1)(1− γ5)

=1

4Γ1(1 + γ5)(1− γ5) = 0,

PRΓ2PL =1

4(1 + γ5)Γ2(1− γ5) =

1

4(Γ2 + γ5Γ2)(1 + γ5)

=1

4Γ2(1 + γ5)(1 + γ5) = 0,

PLΓ2PR =1

4(1− γ5)Γ2(1 + γ5) =

1

4(Γ2 − γ5Γ2)(1 + γ5)

=1

4Γ2(1− γ5)(1 + γ5) = 0.

Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.33) untuk suku yang mengandung

kontraksi dari turunan kovarian dengan γµ, bentuk kuadratik quark ini memisah

menjadi jumlah dua suku yang hanya menghubungkan medan quark left-handed

dan right-handed. Maka lagrangian QCD dapat ditulis dalam batas chiral sebagai

berikut

L0QCD =

∑

l=u,d,s

(qR,liD/qR,l + qL,liD/qL,i)− 1

4Gµν,aGµν

a . (2.34)

Karena flavor tidak saling bergantung, turunan kovarian invarian terhadap

uL

dL

sL

→ UL

uL

dL

sL

= exp

(−i

8∑a=1

ΘLa

λa

2

)e−iΘL

uL

dL

sL

uR

dR

sR

→ UR

uR

dR

sR

= exp

(−i

8∑a=1

ΘRa

λa

2

)

︸ ︷︷ ︸SU (3)

e−iΘR

︸ ︷︷ ︸U(1)

uR

dR

sR

(2.35)

dimana UL dan UR adalah matriks-matriks unitari 3×3 yang saling bebas.

17

L0QCD mempunyai simetri global klasik U(3)L×U(3)R. Dengan mempergunakan

teorema Noether dari invarian semacam itu, diharapkan seluruhnya ada 2×(8+1) =

18 arus yang kekal.

2.3.2 Teorema Noether

Teorema Noether : Simetri-simetri kontinu ⇔ Kuantitas-kuantitas yang kekal.

Teorema Noether menentukan hubungan antara simetri-simetri kontinu dari sis-

tem yang dinamis dan kuantitas-kuantitas yang kekal (konstanta gerak). Untuk

memeriksa kekekalan arus yang diasosiasikan dengan invarian di atas, digunakan

metode dari acuan [15] dan mempertimbangkan variasi dari pers. (2.34). Agar

lebih sederhana hanya dipertimbangkan simetri-simetri internal dimulai dengan se-

buah lagrangian L yang bergantung pada n medan bebas Φi dan turunan-turunan

parsial pertamanya,

L = L(Φi, ∂µΦi), (2.36)

dimana akan dihasilkan n persamaan gerak

∂L∂Φi

− ∂µ∂L

∂∂µΦi

= 0, i = 1, · · · , n. (2.37)

Andaikata dipertimbangkan transformasi yang bergantung pada r parameter-

parameter lokal yang riil εa(x). Untuk masing-masing r generator dari transfor-

masi infinitesimal yang merepresentasikan dasar grup simetri, dipertimbangkan su-

atu transformasi infinitesimal lokal dari medan.

Φi(x) 7→ Φ′i(x) = Φi(x) + δΦi(x) = Φi(x)− iεa(x)F a

i [Φj(x)], (2.38)

dan dengan mengabaikan suku kedua (orde ε2), kita menghasilkan variasi lagrangian

δL = L(Φ′i, ∂µΦ′

i)− L(Φi, ∂µΦi)

=∂L∂φi

δΦi +∂L

∂∂µΦi

∂µδΦi

= εa(x)

(−i

∂L∂Φi

F ai − i

∂L∂∂µΦi

∂µFai

)+ ∂µεa(x)

(−i

∂L∂∂µΦi

F ai

)

≡ εa(x)∂µJµ,a + ∂µεa(x)Jµ,a. (2.39)

18

Teorema Noether: Untuk setiap transformasi simetri global kontinu, yangmemberikan Lagrangian dan persamaan gerak invarian akan menimbulkansuatu kekekalan arus Jµ,a dan suatu konstanta gerak Qa.

Di sini didefinisikan kerapatan arus-empat

Jµ,a = −i∂L

∂∂µΦi

F ai . (2.40)

Dengan menghitung divergensi ∂µJµ,a dari persamaan (2.40)

∂µJµ,a = −i

(∂µ

∂L∂∂µΦi

)F a

i − i∂L

∂∂µΦi

∂µFai

= −i∂L∂Φi

F ai − i

∂L∂∂µΦi

∂µFai ,

dimana telah digunakan persamaan gerak (2.37). Dari persamaan (2.39) dihasilkan

persamaan arus-empat dan divergensinya sebagai berikut

Jµ,a =∂δL∂∂µεa

, (2.41)

∂µJµ,a =

∂δL∂εa

. (2.42)

Untuk arus yang kekal, ∂µJµ,a = 0, muatan

Qa(t) =

∫d3xJa

0 (t, ~x) (2.43)

dandQa(t)

dt= 0

adalah tidak bergantung waktu, artinya sebuah konstanta gerak.

2.3.3 Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan

Metode acuan [15] sekarang dapat dengan mudah dipergunakan pada Lagrangian

QCD untuk menghitung variasi menurut bentuk lokal yang infinitesimal. Lagrangian

dari persamaan (2.34) dapat ditulis

L0QCD = qRiγµ(∂µ − igAµ)qR + qLiγµ(∂µ − igAµ)qL − 1

4Gµν,aGµν

a .

19

Bentuk lokal infinitesimal persamaan (2.35)

q′L =

[1− i(

8∑a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL)

]qL, q

′L = qL

[1 + i

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)]

q′R =

[1− i

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)]qR, q

′R = qR

[1 + i

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)]

Untuk medan quark right-handed

δL0 RQCD =

∂L0QCD

∂qR

δqR +∂L0

QCD

∂∂µqR

∂µδqR + δqR

∂L0QCD

∂qR

+ ∂µδqR

∂L0QCD

∂∂µqR︸ ︷︷ ︸0

= qRiγµ(−igAµ)

[−i

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)]qR

+qRiγµ∂µ

[−i

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)]qR

+qR

[i

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)]iγµ (∂µ − igAµ) qR

= −iqRγµgAµ

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)qR + qRγµ

(8∑

a=1

∂µΘRa

λa

2+ ∂µΘR

)qR

+qRγµ

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)∂µqR − qR

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)γµ∂µqR

+iqR

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)γµgAµqR

= qRiγµ

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)qR

dengan cara yang sama untuk medan quark left-handed

δL0 LQCD = qLiγµ

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)qL

Maka diperoleh

δL0QCD = δL0 R

QCD + δL0 LQCD

= qRiγµ

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)qR + qLiγµ

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)qL (2.44)

20

dari sini dengan memakai sifat persamaan (2.41) dan (2.42) akan dihasilkan arus-

arus yang dikaitkan dengan transformasi quark left-handed dan right-handed

Lµ,a =∂δL0

QCD

∂∂µΘLa

= qLγµ λa

2qL, ∂µL

µ,a = 0,

Rµ,a =∂δL0

QCD

∂∂µΘRa

= qRγµ λa

2qR, ∂µR

µ,a = 0 (2.45)

Delapan arus Lµ,a bertransformasi menurut SU(3)L×SU(3)R sebagai multiplet

(8,1), yaitu masing-masing sebagai oktet dan singlet menurut transformasi medan

left-handed dan right-handed. Hal yang sama, arus right-handed bertransformasi

sebagai multiplet (1,8) menurut SU(3)L×SU(3)R. Sebagai pengganti arus chiral

lebih sering digunakan kombinasi linear,

V µ,a = Rµ,a + Lµ,a

= qRγµ λa

2qR + qLγµ λa

2qL

= qγµ(PR + PL)λa

2q

= qγµ λa

2q (2.46)

dan

Aµ,a = Rµ,a − Lµ,a

= qRγµ λa

2qR − qLγµ λa

2qL

= qγµ(PR − PL)λa

2q

= qγµγ5λa

2q (2.47)

masing-masing bertransformasi terhadap paritas sebagai kerapatan arus vektor dan

kerapatan arus aksial-vektor,

P : V µ,a(t, ~x) 7→ V aµ (t,−~x), (2.48)

P : Aµ,a(t, ~x) 7→ −Aaµ(t,−~x) (2.49)

Dari persamaan (2.41) dan (2.42) juga diperoleh arus vektor singlet yang diaki-

batkan oleh transformasi semua medan quark left-handed dan right-handed dengan

21

fase yang sama,

Lµ =∂δL

∂∂µΘL= qLγµqL

Rµ =∂δL

∂∂µΘR= qRγµqR

V µ = Rµ + Lµ

= qRγµqR + qLγµqL

= qγµ(PR + PL)q

= qγµq, ∂µVµ = ∂µR

µ + ∂µLµ = 0. (2.50)

karena

∂µRµ =

∂δL∂ΘR

= 0, ∂µLµ =

∂δL∂ΘL

= 0

Arus aksial-vektor singlet,

Aµ = Rµ − Lµ

= qRγµqR − qLγµqL

= qγµ(PR − PL)q

= qγµγ5q (2.51)

berasal dari transformasi semua medan quark left-handed dengan fase sama dan

semua medan right-handed dengan fase berlawanan. Bagaimanapun juga, arus

aksial-vektor singlet hanya kekal pada tingkatan klasik. Simetri ini tidak diperta-

hankan oleh kuantisasi dan akan ada suku-suku ekstra, yang merujuk pada keanehan

(anomali), yang menghasilkan

∂µAµ =

3g2

32π2εµνρσGµν

a Gρσa , ε0123 = 1, (2.52)

dimana faktor 3 berasal dari jumlah flavor.

2.3.4 Aljabar Chiral

Invarian L0QCD menurut transformasi global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V juga menya-

takan secara tidak langsung bahwa operator Hamilton QCD, H0QCD, dalam batas

chiral, memperlihatkan simetri global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V . Seperti biasanya,

22

”operator-operator muatan” didefinisikan sebagai integral ruang dari kerapatan mu-

atan,

QaL(t) =

∫d3xL0,a =

∫d3x qLγ0λa

2qL =

∫d3x q†Lγ0γ0λa

2qL

=

∫d3x q†L(t, ~x)

λa

2qL(t, ~x), a = 1, · · · , 8, (2.53)

QaR(t) =

∫d3xR0,a =

∫d3x qRγ0λa

2qR =

∫d3x q†Rγ0γ0λa

2qR

=

∫d3x q†R(t, ~x)

λa

2qR(t, ~x), a = 1, · · · , 8, (2.54)

QV (t) =

∫d3xV 0 =

∫d3x qRγ0qR + qLγ0qL =

∫d3x q†Rγ0γ0qR + q†Lγ0γ0qL

=

∫d3x q†R(t, ~x)qR(t, ~x) + q†L(t, ~x)qL(t, ~x). (2.55)

untuk arus simetri yang kekal, operator-operator ini tidak bergantung waktu, yaitu

operator-operator tersebut komutatif dengan Hamiltonian,

[QaL, H0

QCD] = [QaR, H0

QCD] = [QV , H0QCD] = 0. (2.56)

Hubungan komutasi dari operator muatan dengan yang lainnya dihasilkan dengan

menggunakan hubungan komutasi kesamaan waktu (equal-time) dari medan-medan

quark dalam gambaran Heisenberg,

{qα,r(~x, t), q†β,s(~y, t)} = δ3(~x− ~y)δαβδrs, (2.57)

{qα,r(~x, t), qβ,s(~y, t)} = 0, (2.58)

{q†α,r(~x, t), q†β,s(~y, t)} = 0, (2.59)

dimana α dan β adalah indeks-indeks Dirac dan r dan s indeks-indeks flavor. Ko-

mutator equal-time dari dua bentuk quark berbentuk

[q†(~x, t)Γ1F1q(~x, t), q†(~y, t)Γ2F2q(~y, t)] =

Γ1,αβΓ2,γδF1,rsF2,tu[q†α,r(~x, t)qβ,s(~x, t), q†γ,t(~y, t)qδ,u(~y, t)], (2.60)

dimana Γi dan Fi berturut-turut adalah matriks-matriks Dirac 4 × 4 dan matriks-

matriks flavor 3× 3. Dengan memakai

[ab, cd] = a{b, c}d− ac{b, d}+ {a, c}db− c{a, d}b, (2.61)

23

ekspresi komutator dari medan-medan Fermi dalam suku-suku anti-komutator dan

dengan memakai hubungan komutasi pers. (2.57)-(2.59) menjadi

[q†α,r(~x, t)qβ,s(~x, t), q†γ,t(~y, t)qδ,u(~y, t)] =

q†α,r(~x, t)qδ,u(~y, t)δ3(~x− ~y)δβγδst − q†γ,t(~y, t)qβ,s(~x, t)δ3(~x− ~y)δαδδru.

Dengan hasil ini pers. (2.60)

[q†(~x, t)Γ1F1q(~x, t), q†(~y, t)Γ2F2q(~y, t)] =

δ3(~x− ~y)[q†(~x, t)Γ1Γ2F1F2q(~y, t)− q†(~y, t)Γ2Γ1F2F1q(~x, t)

]. (2.62)

Setelah memasukkan proyektor-proyektor yang cocok PL/R, pers.(2.62) dengan mu-

dah dipergunakan untuk operator-operator dari pers.(2.53), (2.54), dan (2.55), me-

nunjukkan bahwa operator-operator ini sungguh-sungguh memenuhi hubungan ko-

mutasi yang berkorenpondensi dengan aljabar Lie dari SU(3)L × SU(3)R × U(1)V ,

[Qa

L, QbL

]= ifabcQ

cL, (2.63)

[Qa

R, QbR

]= ifabcQ

cR, (2.64)

[Qa

L, QbR

]= 0, (2.65)

[QaL, QV ] = [Qa

R, QV ] = 0. (2.66)

Bukti (ingat P †L = PL dan P 2

L = PL)

[Qa

L, QbL

]=

∫d3xd3y

[q†L

λa

2qL, q†L

λb

2qL

]

=

∫d3xd3y

[(PLq)†

λa

2PLq, (PLq)†

λb

2PLq

]

=

∫d3xd3y

[q†(t, ~x)P †

L

λa

2PLq(t, ~x), q†(t, ~y)P †

L

λb

2PLq(t, ~y)

]

= ifabcQcL.

2.3.5 QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal

Mengikuti prosedur dari Gasser dan Leutwyler [16, 17], diperkenalkan ke dalam

Lagrangian QCD kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial-vektor

dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar untuk medan-medan eksternal

bilangan kompleks vµ(x), vµ(s), a

µ(x), s(x), dan p(x),

L = L0QCD + Lext = L0

QCD + qγµ

(vµ +

1

3vµ

(s) + γ5aµ

)q − q(s− iγ5p)q. (2.67)

24

Γ 1 γµ σµν γ5 γµγ5

γ0Γγ0 1 γµ σµν −γ5 −γµγ5

Tabel 2.4: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas.

Medan-medan eksternal adalah color-netral, matriks Hermitian 3× 3, dimana

vµ =8∑

a=1

λa

2vµ

a , aµ =8∑

a=1

λa

2aµ

a , s =8∑

a=1

λasa, p =8∑

a=1

λapa, (2.68)

Biasanya tiga flavor lagrangian QCD diperoleh dengan memasang vµ = vµ(s) = aµ =

p = 0 dan s = diag(mu,md,ms) di dalam pers. (2.67).

Lagrangian yang dibutuhkan dari pers. (2.67) adalah Hermitian dan invari-

an terhadap P, C, dan T yang menimbulkan batasan-batasan pada sifat transfor-

masi dari medan-medan eksternal. Kenyataannya, keadaan ini hanya cukup dengan

memikirkan P dan C karena T kemudian secara otomatis memperlihatkan peng-

gabungan ke teorema CPT .

Terhadap paritas, medan-medan quark bertransformasi sebagai

qf (t, ~x)P7→ γ0qf (t,−~x), (2.69)

dan syarat kekekalan paritas

L(t, ~x)P7→ L(t,−~x), (2.70)

dengan memakai hasil-hasil dari tabel 2.4, medan-medan eksternal bertransformasi

terhadap paritas seperti

vµ P7→ vµ, vµ(s)

P7→ v(s)µ , aµ P7→ −aµ, s

P7→ s, pP7→ −p. (2.71)

Pada pers.(2.71) tersebut, dipahami bahwa argumen-argumen berubah dari (t, ~x) ke

(t,−~x). Hal yang sama, terhadap konjugasi muatan medan-medan quark bertrans-

formasi sebagai

qα,fC7→ Cαβ qβ,f , qα,f

C7→ −qβ,fC−1βα , (2.72)

dimana indeks bawah α dan β adalah indeks-indeks spinor Dirac,

C = iγ2γ0 = i

(0 σ2

−σ2 0

) (1 00 −1

)= i

(0 −σ2

−σ2 0

)

25

Γ 1 γµ σµν γ5 γµγ5

−CΓT C 1 −γµ −σµν γ5 γµγ5

Tabel 2.5: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasimuatan.

=

0 0 0 −10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0

= −C−1 = −C† = −CT

adalah matriks konjugasi muatan dan f merujuk pada flavor. Dengan menggunakan

qΓFq = qα,fΓαβFff′qβ,f

′

C7→ −qγ,fC−1γα ΓαβFff

′ qδ,f′

Statistik Fermi= qδ,f

′ Fff′︸︷︷︸

F T

ff′

C−1γα ΓαβCβδ︸ ︷︷ ︸(C−1ΓC)T

δγ

qγ,f

= qF T (C−1ΓC)T

︸ ︷︷ ︸CT ΓT C−1T

q

= −qCΓT CF T q

dengan kombinasi dalam tabel 2.5 secara langsung ditunjukkan bahwa invarian dari

Lext terhadap konjugasi muatan membutuhkan sifat-sifat transformasi

vµC→ −vT

µ , v(s)µ

C→ −v(s)Tµ , aµ

C→ aTµ , s, p

C→ sT , pT , (2.73)

Akhirnya, pers. (2.67) dapat ditulis dalam suku-suku medan quark left-handed

dan right-handed. Disamping sifat-sifat dari pers. (2.29) - (2.31) dan, menggunakan

formula pembantu

γ5PR = PRγ5 = PR, γ5PL = PLγ5 = −PL

dan

γµPR = PLγµ, γµPL = PRγµ

untuk menghasilkan

qγµ(vµ +1

3v(s)

µ + γ5aµ)q = qγµ

(vµ + aµ + vµ − aµ

2+

1

3v(s)

µ + γ5aµ

)q,

26

dan juga memisalkan

rµ = vµ + aµ, lµ = vµ − aµ ⇔ vµ =1

2(rµ + lµ), aµ =

1

2(rµ − lµ). (2.74)

sehingga

qγµ(vµ +1

3v(s)

µ + γ5aµ)q =1

2qγµ

[rµ + lµ +

2

3v(s)

µ + γ5(rµ − lµ)

]q

=1

2(qL + qR)γµ

[2rµqR +

2

3v(s)

µ qR + 2lµqL +2

3v(s)

µ qL

]

= qRγµ

(rµ +

1

3v(s)

µ

)qR + qLγµ

(lµ +

1

3v(s)

µ

)qL.

Hal yang sama, dapat ditulis kembali bagian kedua yang berisi medan skalar dan

pseudoskalar eksternal,

q(s− iγ5p)q = q(PR + PL)(s− iγ5p)(PR + PL)q

= qLsqR + qRsqL − iqLpqR + iqRpqL

= qL(s− ip)qR + qR(s + ip)qL,

yang Lagrangian (2.67) menjadi

L = LQCD0 + qγµ

(vµ +

1

3v(s)

µ + γ5aµ

)q − q(s− iγ5p)q

= L0QCD + qLγµ

(lµ +

1

3v(s)

µ

)qL + qRγµ

(rµ +

1

3v(s)

µ

)qR

−qR(s + ip)qL − qL(s− ip)qR. (2.75)

Persamaan (2.75) tetap invarian terhadap transformasi lokal

qR 7→ exp

(−i

Θ(x)

3

)VR(x)qR,

qL 7→ exp

(−i

Θ(x)

3

)VL(x)qL, (2.76)

dimana VR(x) and VL(x) adalah matriks-matriks SU(3) yang bergantung ruang-

waktu yang bebas, asalkan medan-medan eksternal tunduk pada transformasi

rµ 7→ VRrµV†R + iVR∂µV

†R,

lµ 7→ VLlµV†L + iVL∂µV

†L ,

v(s)µ 7→ v(s)

µ − ∂µΘ,

s + ip 7→ VR(s + ip)V †L ,

s− ip 7→ VL(s− ip)V †R. (2.77)

27

Suku-suku turunan di dalam pers. (2.77) menyajikan maksud yang sama seperti

dalam konstruksi teori gauge, yaitu, suku-suku tersebut membatalkan suku-suku

analog yang berasal dari bagian kinetik dari Lagrangian quark.

Pada penggambaran interaksi-interaksi semileptonik seperti π− → µ−νµ, π− →π0e−νe, atau peluruhan neutron n → pe−νe, diperlukan interaksi quark dengan

boson lemah bermuatan dan massive W±µ = (W1µ ∓ iW2µ)/

√2,

rµ = 0, lµ = − g√2(W+

µ T+ + h.c.), (2.78)

dimana h.c. mengacu pada konjugat Hermitian dan

T+ =

0 Vud Vus

0 0 00 0 0

.

Disini, Vij merupakan elemen-elemen matriks quark-mixing Cabibbo-Kobayashi-

Maskawa (CKM) yang menggambarkan transformasi antara keadaan eigen QCD

dan keadaan eigen lemah

|Vud| = 0.9735± 0.0008, |Vus| = 0.2196± 0.0023.

Pada orde paling rendah dalam teori perturbasi, konstanta Fermi dihubungkan ke

kopling gauge g dan massa W sebagai

GF =√

2g2

8M2W

= 1.16639(1)× 10−5 GeV−2.

Dengan menggunakan

qLγµW+µ T+qL = qPRγµW+

µ T+PLq

= W+µ (u d s) PRγµ

︸ ︷︷ ︸γµPL

0 Vud Vus

0 0 00 0 0

PL

uds

= W+µ (u d s)γµ 1

2(1− γ5)

Vudd + Vuss00

=1

2W+

µ [Vuduγµ(1− γ5)d + Vusuγµ(1− γ5)s],

dengan memasukkan pers. (2.78) ke dalam pers. (2.75) menimbulkan interaksi

lemah arus muatan standar dalam sektor quark ringan,

Lext = qLγµ

(lµ +

1

3v(s)

µ

)qL + qRγµ

(rµ +

1

3v(s)

µ

)qR

28

−qR(s + ip)qL − qL(s− ip)qR

= qLγµlµqL

= −qLγµ g√2

(W+T+ + h.c)qL

= − g

2√

2

{W+µ [Vuduγµ(1− γ5)d + Vusuγµ(1− γ5)s] + h.c.

}.

29

Bab 3

Kerusakan Simetri Spontan danLagrangian Efektif

3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa

Quark

Persamaan (2.42) memperbolehkan untuk mendiskusikan divergensi dalam kehadi-

ran massa-massa quark. Untuk mencapai maksud tersebut, sekarang dipertim-

bangkan matriks massa quark dari tiga quark ringan dan proyeksinya pada sembilan

matriks λ dari persamaan (2.17),

M =

mu 0 00 md 00 0 ms

=mu + md + ms√

6λ0 +

(mu + md)/2−ms√3

λ8 +mu −md

2λ3 (3.1)

Pada khususnya, menggunakan pers. (2.33) dapat dilihat bahwa suku massa quark

mencampur medan left-handed dan right-handed,

L = −qMq = −(qRMqL + qLMqR) (3.2)

Dari LM dihasilkan variasi δLM terhadap transformasi pers. (2.35)

δLM =∂LM

∂qR

δqR +∂LM

∂∂µqR

∂µδqR

︸ ︷︷ ︸0

+δqR∂LM

∂qR

+ ∂µδqR∂LM

∂∂µqR︸ ︷︷ ︸0

∂LM

∂qL

δqL +∂LM

∂∂µqL

∂µδqL

︸ ︷︷ ︸0

+δqL∂LM

∂qL

+ ∂µδqL∂LM

∂∂µqL︸ ︷︷ ︸0

30

= −qLM

[−i

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)qR

]− qRi

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)MqL

−qRM

[−i

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)qL

]− qLi

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)MqR

= −i

[qR

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)MqL − qRM

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)qL

+qL

(8∑

a=1

ΘLa

λa

2+ ΘL

)MqR − qLM

(8∑

a=1

ΘRa

λa

2+ ΘR

)qR

]

= −i

[8∑

a=1

ΘRa

(qR

λa

2MqL − qLM

λa

2qR

)+ ΘR (qRMqL − qLMqR)

+8∑

a=1

ΘLa

(qL

λa

2MqR − qRM

λa

2qL

)+ ΘL (qLMqR − qRMqL)

](3.3)

yang menghasilkan divergensi-divergensi berikut

∂µLµ,a =

∂δLM

∂ΘLa

= −i

(qL

λa

2MqR − qRM

λa

2qL

),

∂µRµ,a =

∂δLM

∂ΘRa

= −i

(qR

λa

2MqL − qLM

λa

2qR

),

∂µLµ =

∂δLM

∂ΘL= −i (qLMqR − qRMqL) ,

∂µRµ =

∂δLM

∂ΘR= −i (qRMqL − qLMqR) . (3.4)

Anomali masih belum dipikirkan. Mempergunakan pers. (2.33) untuk masalah arus

vektor dan memasukkan operator-operator proyeksi dalam penurunan pers. (2.51)

untuk arus aksial-vektor, divergensi yang sesuai adalah

∂µVµ,a = ∂µR

µ,a + ∂µLµ,a

= −i

(qR

λa

2MqL − qLM

λa

2qR

)− i

(qL

λa

2MqR − qRM

λa

2qL

)

= iq

[M,

λa

2

]q,

∂µAµ,a = ∂µR

µ,a − ∂µLµ,a

= −i

(qR

λa

2MqL − qLM

λa

2qR

)+ i

(qL

λa

2MqR − qRM

λa

2qL

)

= i

(qLM

λa

2qR + qL

λa

2MqR

)− i

(qR

λa

2MqL + qRM

λa

2qL

)

31

= iq

{λa

2,M

}γ5q,

∂µVµ = ∂µR

µ + ∂µLµ

= −i (qRMqL − qLMqR)− i (qLMqR − qRMqL)

= 0

∂µAµ = ∂µR

µ − ∂µLµ

= −i (qRMqL − qLMqR) + i (qLMqR − qRMqL)

= 2iqM(PR − PL)q

= 2iqMγ5q +3g2

32πεµνρσGµν

a Gρσa , ε0123 = 1, (3.5)

dimana anomali aksial juga diambil ke dalam hitungan. Kesimpulan yang diperoleh

dalam variasi simetri dari interaksi kuat dalam kombinasi arus-arus terkait dan

divergensinya adalah sebagai berikut.

• Di dalam batas quark tak bermassa, 16 arus Lµ,a dan Rµ,a, atau dengan alter-

natif V µ,a dan Aµ,a adalah kekal. Hal yang sama juga benar untuk arus vektor

singlet V µ, sedangkan arus aksial-vektor Aµ mempunyai anomali.

• Untuk beberapa nilai dari massa-massa quark, arus flavor individu uγµu, dγµd,

dan sγµs selalu kekal dalam interaksi kuat yang mencerminkan kebebasan

flavor dari kopling kuat dan diagonalitas dari matriks massa quark. Tentunya,

arus vektor singlet V µ adalah jumlah dari tiga arus flavor, selalu kekal.

• Disamping anomali, arus aksial-vektor singlet mempunyai divergensi eksplisit

karena massa-massa quark.

• Untuk massa quark sama, mu = md = ms, delapan arus vektor V µ,a kekal,

karena [λa, 1] = 0. Skenario semacam itu adalah awal dari simetri SU(3)

yang mula-mula diajukan oleh Gell-Mann dan Ne’eman. Delapan arus aksial

Aµ,a tidak kekal. Divergensi dari arus aksial-vektor oktet dari pers. (3.5) se-

banding dengan bentuk kuadratik pseudoskalar. Ini dapat diartikan sebagai

asal mula mikroskopik dari hubungan PCAC (partially conserved axial-vector

current) yang menyatakan bahwa divergensi dari arus aksial-vektor sepadan

terhadap operator-operator medan ternormalisasi yang mewakili oktet pseu-

doskalar terendah.

32

3.2 Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kon-

tinu, Non-Abelian

Sekarang akan dibahas masalah kerusakan simetri yang nantinya akan menimbulkan

massa boson Goldstone. Untuk tujuan tersebut akan diperhatikan sistem dengan

simetri SO(3) yang kontinu, non-Abelian dan mempertimbangkan suatu lagrangian

berikut

L(~Φ, ∂µ~Φ) = L(Φ1, Φ2, Φ3, ∂µΦ1, ∂µΦ2, ∂µΦ3)

=1

2∂µΦi∂

µΦi − m2

2ΦiΦi − λ

4(ΦiΦi)

2, (3.6)

dimana m2 < 0, λ > 0, dengan medan-medan Hermitian Φi. Lagrangian dari pers.

(3.6) adalah invarian terhadap rotasi ”isospin” global ,1

g ∈ SO(3) : Φi → Φ′i = Dij(g)Φj = (e−iαkTk)ijΦj. (3.7)

Untuk Φ′i juga Hermitian, Tk harus Hermitian yang murni imajiner dan anti-simetrik.

iTk memberikan basis dari sebuah representasi aljabar Lie so(3) dan yang memenuhi

hubungan komutasi [Ti, Tj] = iεijkTk.2 Di sini akan dipakai representasi dengan

elemen-elemen matriks yang diberikan oleh tijk = −iεijk. Potensial minimum yang

tidak bergantung pada x adalah

V(Φ) =m2

2Φ2 +

λ

4Φ4

∂V∂Φ

= m2Φ + λΦ3 = 0

Φ(m2 + λΦ2) = 0

Φ2 = −m2

λ

|~Φmin| =√−m2

λ≡ v, |~Φ| =

√Φ2

1 + Φ22 + Φ2

3. (3.8)

Perturbasi eksternal yang infinitesimal dan tidak invarian terhadap SO(3) akan dip-

ilih pada satu arah tertentu, dengan orientasi yang tepat dari kerangka koordinat

internal, yaitu arah-3,

~Φmin = ve3. (3.9)

1Tentunya, Lagrangian invarian terhadap grup lengkap O(3) yang dapat diuraikan menjadi duakomponennya : rotasi sebenarnya yang dihubungkan terhadap identitas, SO(3), dan rotasi-refleksi.Maksud kita adalah cukup membicarakan SO(3).

2Lihat apendiks

33

Jelas, ~Φmin dari pers. (3.8) tidak invarian menurut grup lengkap G = SO(3) karena

rotasi melalui sumbu-1 dan sumbu-2 mengubah ~Φmin. Untuk kasus tertentu, jika

~Φmin = v

001

,

diperoleh

T1~Φmin = v

0−i0

, T2

~Φmin = v

i00

, T3

~Φmin = 0. (3.10)

Catatan bahwa himpunan transformasi yang tidak membiarkan ~Φmin invarian tidak

membentuk sebuah grup, karena transformasi tidak berisi identitas. Pada sisi lain,

~Φmin invarian terhadap subgrup H dari G, yaitu, rotasi melalui sumbu-3 :

h ∈ H : ~Φ′ = D(h)~Φ = e−iα3T3~Φ, D(h)~Φmin = ~Φmin. (3.11)

Sekarang dengan menambahkan suatu medan disekitar Φmin yaitu v, maka

Φ3 = v + η, (3.12)

dan menghasilkan ekspresi baru untuk potensial

V =m2

2Φ2 +

λ

4Φ4

=m2

2

(Φ2

1 + Φ22 + (v + η)2

)+

λ

4

(Φ2

1 + Φ22 + (v + η)2

)2

=m2

2

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)+

λ

4

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)2+ (v2 + 2vη)

(m2

2+

λ

4(v2 + 2vη)

)

+λ

2

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)(v2 + 2vη)

=(Φ2

1 + Φ22 + η2

)

m2

2︸︷︷︸m2=−λv2

+λ

2(v2 + 2vη)

+

λ

4

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)2+ (v2 + 2vη)

(−λ

2v2 +

λ

4v2 +

λ

2vη

)

= λvη(Φ2

1 + Φ22 + η2

)+

λ

4

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)2 − λ

4v4 − λ

2v3η +

λ

2v3η + λv2︸︷︷︸

−m2

η2

= −m2η2 + λvη(Φ2

1 + Φ22 + η2

)+

λ

4

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)2 − λ

4v4

=1

2(−2m2)η2 + λvη

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)+

λ

4

(Φ2

1 + Φ22 + η2

)2 − λ

4v4. (3.13)

34

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

0

2

4

-2

-1

0

1

2

Gambar 3.1: Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2 +

y2) + (x2+y2)2

4.

Dengan memeriksa suku-suku kuadratik dalam medan-medan, setelah kerusakan

simetri spontan, diperoleh dua boson Goldstone tak bermassa dan satu boson yang

massive:

m2Φ1

= m2Φ2

= 0,

m2η = −2m2. (3.14)

Ciri-ciri model bebas dari contoh di atas diberikan oleh kenyataan bahwa untuk

setiap generator T1 dan T2 yang tidak memusnahkan keadaan dasar, dihasilkan bo-

son Goldstone tak bermassa. Dengan memakai penyederhanaan dua dimensi (li-

hat potensial “topi orang Meksiko” yang ditunjukkan Gb. 3.1) mekanisme yang

ada dapat dengan mudah dibayangkan. Variasi-variasi infinitesimal yang ortogonal

(tegak lurus) terhadap lingkaran dari potensial minimum menghasilkan suku-suku

kuadratik, yaitu, “gaya-gaya pemulih yang linear terhadap pergeseran,” mengingat

variasi-variasi tangensial mengalami gaya-gaya pemulih hanya pada orde-orde yang

lebih tinggi.

3.3 Teorema Goldstone

Diberikan sebuah operator Hamilton dengan grup simetri global G = SO(3), mis-

alkan ~Φ(x) = (Φ1(x), Φ2(x), Φ3(x)) merupakan triplet dari operator-operator Her-

35

mitian yang mengalami transformasi sebagai sebuah vektor pada G,

g ∈ G : ~Φ(x) 7→ ~Φ′(x) = eiP3

k=1 αkQk ~Φ(x)e−iP3

l=1 αlQl

= e−iP3

k=1 αkTk ~Φ(x) 6= ~Φ(x), (3.15)

dimana Qi adalah generator-generator dari SO(3) yang bertransformasi pada ruang

Hilbert yang memenuhi [Qi, Qj] = iεijkQk dan dan Ti = (tijk) adalah matriks-matriks

dari representasi tiga dimensi yang memenuhi tijk = −iεijk. Diasumsikan satu kom-

ponen dari multiplet memperoleh sebuah harga ekspektasi vakum yang tidak nol:

〈0|Φ1(x)|0〉 = 〈0|Φ2(x)|0〉 = 0, 〈0|Φ3(x)|0〉 = v 6= 0. (3.16)

Maka dua generator Q1 dan Q2 tidak memusnahkan keadaan dasar, dan untuk setiap

generator seperti itu berhubungan dengan sebuah boson Goldstone tak bermassa.

Untuk membuktikan dua pernyataan ini, diekspansikan pers. (3.15) untuk orde

pertama dalam αk:

~Φ′ = ~Φ + i

3∑

k=1

αk[Qk, ~Φ] = (1− i

3∑

k=1

αkTk)~Φ = ~Φ + ~α× ~Φ.

Dengan membandingkan suku-suku linear di dalam αk

i

3∑

k=1

αk[Qk, ~Φ] = ~α× ~Φ

i[αkQk, Φl] = εlkmαkΦm

dan dengan memperhatikan semua αk diperoleh

i[Qk, Φl] = εlkmΦm = −εklmΦm,

yang secara sederhana menyatakan fakta bahwa operator-operator medan Φi bertrans-

formasi sebagai sebuah vektor. Dengan memakai εklmεkln = 2δmn, didapatkan

iεkln[Qk, Φl] = −iεklmεklnΦm = −2δmnΦm

− i

2εkln[Qk, Φl] = δmnΦm = Φn.

Khususnya, untuk Φ3

Φ3 = − i

2ε123[Q1, Φ2]− i

2ε213[Q2, Φ1]

= − i

2([Q1, Φ2]− [Q2, Φ1]), (3.17)

36

Untuk membuktikan bahwa Q1 dan Q2 tidak memusnahkan keadaan dasar, pers.

(3.15) diaplikasikan untuk ~α = (0, π/2, 0),

e−iα2T2 = 1− iα2T2 − α22T

22

2!+

α32T

32

3!+ · · ·

=

(1− α22/2! + · · ·) 0 (α2 − α3

2/3! + · · ·)0 1 0

−(α2 − α32/3! + · · ·) 0 (1− α2

2/2! + · · ·)

=

cos α2 0 sin α2

0 1 0− sin α2 0 cos α2

maka

e−i π2T2~Φ =

cos(π/2) 0 sin(π/2)0 1 0

− sin(π/2) 0 cos(π/2)

Φ1

Φ2

Φ3

=

0 0 10 1 0−1 0 0

Φ1

Φ2

Φ3

=

Φ3

Φ2

−Φ1

= ei π2Q2

Φ1

Φ2

Φ3

e−i π

2Q2 .

Dari baris pertama diperoleh

Φ3 = ei π2Q2Φ1e

−i π2Q2 .

Dengan mengambil harga ekspektasi vakum

v = 〈0|Φ3|0〉 = 〈0|ei π2Q2Φ1e

−i π2Q2|0〉

dan dengan menggunakan pers. (3.16) jelas Q2|0〉 6= 0. Argumen yang serupa me-

nunjukkan Q1|0〉 6= 0.

Pada poin ini, ada dua rangkuman. ”Keadaan-keadaan” Q1(2)|0〉 tidak dapat

dinormalisasi. Dalam penurunan yang lebih tepat digunakan integral dengan bentuk

∫d3x〈0|[J0,b(~x, t), Φc(0)]|0〉,

dan mula-mula ditentukan dahulu komutator sebelum menghitung integral. Bebera-

pa penurunan dari teorema Goldstone mulai dengan anggapan Q1(2)|0〉 6= 0. Namun,

37

untuk membicarakan kerusakan simetri spontan dalam kerangka kerja QCD, adalah

menguntungkan untuk menetapkan hubungan antara keberadaan boson-boson Gold-

stone dan harga ekspektasinya yang tidak nol.

Kemudian dengan mengambil harga ekspektasi vakum dari pers. (3.17)

0 6= v = 〈0|Φ3(0)|0〉 = − i

2〈0| ([Q1, Φ2(0)]− [Q2, Φ1(0)]) |0〉 ≡ − i

2(A−B).

Mula-mula akan ditunjukkan A = −B. Untuk hal itu maka dilakukan sebuah rotasi

pada medan dan juga generator dengan π/2 melalui sumbu-3 [lihat pers. (3.15)

dengan ~α = (0, 0, π/2)]:

e−iα3T3 = 1− iα3T3 − α23T

23

2!+

α33T

33

3!+ · · ·

=

(1− α23/2! + · · ·) −(α3 − α3

3/3! + · · ·) 0(α3 − α3

3/3! + · · ·) (1− α23/2! + · · ·) 0

0 0 1

=

cos α3 − sin α3 0sin α3 cos α3 0

0 0 1

maka

e−i π2T3~Φ =

cos(π/2) − sin(π/2) 0sin(π/2) cos(π/2) 0

0 0 1

Φ1

Φ2

Φ3

=

0 −1 01 0 00 0 1

Φ1

Φ2

Φ3

=

−Φ2

Φ1

Φ3

= ei π

2Q3

Φ1

Φ2

Φ3

e−i π

2Q3 ,

dan analog untuk operator-operator muatan

e−i π2T3 ~Q =

cos(π/2) − sin(π/2) 0sin(π/2) cos(π/2) 0

0 0 1

Q1

Q2

Q3

=

0 −1 01 0 00 0 1

Q1

Q2

Q3

=

−Q2

Q1

Q3

= ei π

2Q3

Q1

Q2

Q3

e−i π

2Q3 .

38

maka diperoleh

B = 〈0|[Q2, Φ1(0)]|0〉 = 〈0 |Q2Φ1(0)− Φ1(0)Q2 |0〉= 〈0 | ei π

2Q3(−Q1)Φ(0)e−i π

2Q3 + ei π

2Q3Φ2(0)Q1e

−i π2Q3 |0〉

= −〈0|ei π2Q3 [Q1, Φ2(0)]e−i π

2Q3|0〉

= −〈0|[Q1, Φ2(0)] + iπ

2Q3[Q1, Φ2(0)]− i[Q1, Φ2(0)]

π

2Q3

+π2

4Q3[Q1, Φ2(0)]Q3|0〉

= −〈0|[Q1, Φ2(0)]〉0 = −A,

dimana telah dibuat menggunakan Q3|0〉 = 0, yaitu, vakum invarian terhadap rotasi

sumbu-3.

〈0 |Φ1 |0〉 = 〈0 | ei π2Q3Φ2(x)e−i π

2Q3 |0〉

= 〈0 |(1 + i

π

2Q3

)Φ2(x)

(1− i

π

2Q3

)|0〉

=

〈0 |Φ2(x) |0〉︸ ︷︷ ︸

0

+iπ

2〈0 |Q3Φ2 − Φ2Q3 |0〉 +

π2

4〈0 |Q2

3 |0〉

= 0

∴ Q3 |0〉 = 0.

Oleh karena itu, harga ekspektasi vakum v yang tidak nol dapat juga ditulis

seperti

0 6= v = 〈0|Φ3(0)|0〉 = −i(A−B) = −iA = −i〈0|[Q1, Φ2(0)]|0〉= −i

∫d3x〈0|[J1

0 (t, ~x), Φ2(0)]|0〉. (3.18)

Jika dimasukkan himpunan kelengkapan dari keadaan-keadaan 1 =∑

n

∫ |n〉〈n| ke

dalam komutator 3

v = −i∑

n

∫ ∫d3x

(〈0|J10 (t, ~x)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉 − 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J1

0 (t, ~x)|0〉) ,

3Singkatan∑

n

∫ |n〉〈n| menunjukkan integral terhadap seluruh momentum total ~p dan juga bi-langan kuantum lain yang diperlukan untuk menentukan keadaan-keadaan secara lengkap.

39

dan dengan memakai invarian translasi

v = −i∑

n

∫ ∫d3x

(e−iPn·x〈0|J1

0 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉

− 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J10 (0)|0〉eiPn·x)

= −i∑

n

∫ ∫d3x

(e−iEnt+i ~Pn·~x〈0|J1

0 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉

− 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J10 (0)|0〉eiEnt−i ~Pn·~x

)

= −i∑

n

∫(2π)3δ3(~Pn)

(e−iEnt〈0|J1

0 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉

−eiEnt〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J10 (0)|0〉) .

Integrasi terhadap momentum, menghasilkan ekspresi berbentuk

= −i(2π)3

′∑n

(e−iEnt · · · − eiEnt · · ·) ,

dimana menyatakan bahwa hanya keadaan dengan ~P = 0 yang perlu dipertim-

bangkan. Karena sifat Hermitian dari operator-operator arus simetri Jµ,a dan juga

Φl, terdapat

cn := 〈0|J10 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉 = 〈n|J1

0 (0)|0〉∗〈0|Φ2(0)|n〉∗

c∗n := 〈n|Φ2(0)|0〉∗〈0|J10 (0)|n〉∗ = 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J1

0 (0)|0〉

sehingga

v = −i(2π)3

′∑n

(cne

−iEnt − c∗neiEnt). (3.19)

Dari pers. (3.19) terdapat kesimpulan sebagai berikut:

1. Karena asumsi awal tidak menghilangkan harga ekspektasi vakum v, maka

harus ada keadaan |n〉 untuk 〈0|J01(2)(0)|n〉 dan 〈n|Φ1(2)(0)|0〉 yang keduanya

tidak menghilang (nol). Vakum sendiri tidak dapat memberikan kontribusi ke

pers. (3.19) sebab 〈0|Φ1(2)(0)|0〉 = 0.

2. Keadaan-keadaan dengan En > 0 memberikan kontribusi (ϕn adalah fase dari

cn)

(2π)3

i

(cne

−iEnt − c∗neiEnt

)=

(2π)3

i|cn|

(eiϕne−iEnt − e−iϕneiEnt

)︸ ︷︷ ︸

2i sin(ϕn − Ent)

= 2|cn| sin(ϕn − Ent)

40

ke dalam sumasi. Namun, v tidak bergantung pada waktu dan oleh karena itu

keadaan-keadaan dengan (En > 0,~0) harus hilang.

3. Sisi kanan dari pers. (3.19) oleh karena itu harus berisi kontribusi dari keadaan-

keadaan dengan energi nol dan juga momentum nol, maka akibatnya timbul

suku massa nol. Keadaan-keadaan dengan massa nol inilah yang merupakan

boson-boson Goldstone.

3.4 Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD

Dari bagian 3.2, suatu model mainan dengan suatu konstruksi telah menimbulkan

kerusakan simetri spontan, namun hal ini tidak sepenuhnya dipahami secara teori

mengapa QCD seharusnya memperlihatkan fenomena ini. Di sini, mula-mula akan

diperhatikan mengapa suatu input eksperimen, yaitu spektrum hadron dari dunia

”nyata” mengindikasikan bahwa tidak menghilangnya singlet condensate quark skalar

adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.

3.4.1 Spektrum Hadron

Lagrangian QCD memiliki simetri SU(3)L× SU(3)R×U(1)V yang dalam batas chi-

ral massa-massa quark ringan menghilang (nol). Dari pemikiran simetri yang hanya

melibatkan Hamilton H0QCD, diharapkan bahwa hadron-hadron menyusun dirinya ke

dalam multiplet-multiplet terdegenerasi yang dimensinya cocok dari representasi ir-

redusibel dari grup SU(3)L×SU(3)R×U(1)V . Simetri U(1)V menghasilkan kekekalan

bilangan baryon 4 dan menimbulkan pengelompokan hadron menjadi meson (B = 0)

dan baryon (B = 1). Kombinasi linear QaV = Qa

R + QaL dan Qa

A = QaR − Qa

L dari

operator-operator muatan left- dan right-handed komutatif dengan H0QCD, mempun-

yai paritas yang berlawanan, dan oleh karena itu untuk beberapa keadaan dari

paritas positif diharapkan adanya keadaan terdegenerasi dari paritas negatif (pari-

tas ganda) yang dapat dilihat sebagai berikut. Misalkan |i, +〉 menunjukkan sebuah

4Lihat D.E Groom et al. [Particle Data Group Collaboration], Eur. Phys. J. C 15, (2000)untuk batas-batas empiris pada peluruhan pion seperti halnya bilangan baryon yang melanggarpeluruhan Z dan τ .

41

keadaan eigen dari H0QCD dengan harga eigen Ei,

H0QCD|i, +〉 = Ei|i, +〉,

mempunyai paritas positif,

P |i, +〉 = +|i, +〉,

seperti contohnya, anggota dari keadaan dasar baryon oktet (dalam batas chiral).

Dengan mendefinisikan |φ〉 = QaA|i, +〉, karena [H0

QCD, QaA] = 0, maka diperoleh

H0QCD|φ〉 = H0

QCDQaA|i, +〉 = Qa

AH0QCD|i, +〉 = EiQ

aA|i, +〉 = Ei|φ〉,

yaitu, keadaan baru |φ〉 juga merupakan keadaan eigen dari H0QCD dengan harga

eigen yang sama Ei tapi paritas berlawanan:

P |φ〉 = PQaAP−1P |i, +〉 = −Qa

A(+|i, +〉) = −|φ〉.

Keadaan |φ〉 dapat diekspansikan dalam suku-suku dari anggota multiplet dengan

paritas negatif,

|φ〉 = QaA|i, +〉 = −taij|j,−〉.

Akan tetapi, spektrum energi rendah dari baryon tidak berisi baryon oktet terdegen-

erasi dari paritas negatif. Secara alami timbul pertanyaan apakah rangkaian argu-

men di atas tidak lengkap. Sungguh, diam-diam telah diasumsikan bahwa keadaan

dasar QCD dimusnahkan oleh QaA.

Misalkan a†i secara simbolik menunjukkan sebuah operator yang mengkreasikan

kuanta dengan bilangan kuantum dari keadaan |i, +〉, sedangkan b†j mengkreasikan

kuanta terdegenerasi dari paritas yang berlawanan. Asumsi bahwa keadaan-keadaan

|i, +〉 dan |j,−〉 adalah anggota sebuah basis representasi irredusibel dari SU(3)L×SU(3)R. Diasumsikan bahwa terhadap SU(3)L × SU(3)R operator-operator kreasi

dihubungkan oleh

[QaA, a†i ] = −taijb

†j.

Jika QaA dikerjakan pada keadaan |i, +〉 maka didapat

QaA|i, +〉 = Qa

Aa†i |0〉 =([Qa

A, a†i ] + a†i QaA︸︷︷︸

↪→ 0

)|0〉 = −taijb

†j|0〉. (3.20)

42

Akan tetapi, jika kedaan dasar tidak dimusnahkan oleh QaA, alasan dari pers. (3.20)

tidak lagi dipergunakan.

Dua fakta empiris tentang spektrum hadron bahwa kerusakan simetri spontan

terjadi dalam batas chiral QCD. Pertama, SU(3) sebagai SU(3)L × SU(3)R kira-

kira disadari sebagai simetri dari hadron. Kedua, oktet dari meson pseudoskalar

adalah istimewa, dalam pengertian bahwa massa dari anggota-anggotanya lebih kecil

dibandingkan dengan meson vektor 1− yang terkait. Mereka adalah calon-calon

untuk boson Goldstone dari kerusakan simetri spontan.

Untuk mengerti asal mula dari simetri SU(3), dipertimbangkan muatan-muatan

vektor QaV = Qa

R + QaL [lihat pers. (2.46)]. Mereka memenuhi hubungan komutasi

dari aljabar Lie SU(3) [lihat pers. (2.63) - (2.66)],

[QaR + Qa

L, QbR + Qb

L] = [QaR, Qb

R] + [QaL, Qb

L] = ifabcQcR + ifabcQ

cL = ifabcQ

cV . (3.21)

Dalam acuan [18] telah ditunjukkan bahwa, dalam batas chiral, keadaan dasar perlu

invarian terhadap SU(3)V × U(1)V , yaitu, delapan muatan vektor QaV operator5

bilangan baryon QV /3 yang memusnahkan keadaan dasar,

QaV |0〉 = QV |0〉 = 0. (3.22)

Jika vakum invarian terhadap SU(3)V ×U(1)V , maka Hamiltonian juga [19] (tetapi

tidak sebaliknya). Selain itu invarian dari keadaan dasar dan Hamiltonian menya-

takan secara tidak langsung bahwa keadaan fisik dari spektrum H0QCD dapat dis-

usun menurut representasi irredusibel SU(3)V × U(1)V . Indeks V (untuk vektor)

mengindikasikan bahwa generator-generator berasal dari integral komponen ke nol

dari operator-operator arus vektor dan oleh karena itu mereka bertransformasi de-

ngan paritas negatif. Kombinasi linear QaA = Qa

R −QaL memenuhi hubungan komu-

tasi [lihat pers. (2.63) - (2.66)]

[QaA, Qb

A] = [QaR −Qa

L, QbR −Qb

L] = [QaR, Qb

R] + [QaL, Qb

L]

= ifabcQcR + ifabcQ

cL = ifabcQ

cV ,

[QaV , Qb

A] = [QaR + Qa

L, QbR −Qb

L] = [QaR, Qb

R]− [QaL, Qb

L]

= ifabcQcR − ifabcQ

cL = ifabcQ

cA. (3.23)

5Ingat bahwa setiap quark ditandai dengan bilangan baryona 1/3.

43

Catatan bahwa operator-operator muatan tidak membentuk aljabar tertutup, artinya

komutator dari dua operator muatan aksial tidak lagi sebuah operator muatan ak-

sial. Karena paritas ganda tidak diamati pada keadaan rendah, maka diasumsikan

bahwa QaA tidak memusnahkan keadaan dasar,

QaA|0〉 6= 0, (3.24)

yaitu, keadaan dasar QCD tidak invarian terhadap transformasi “aksial”. Menurut

teorema Goldstone [20, 21, 22, 23, 24], untuk setiap generator aksial QaA, yang tidak

memusnahkan keadaan dasar, terkait dengan sebuah medan boson Goldstone tak

bermassa φa(x) dengan spin 0, mempunyai sifat simetri yang sangat dekat generator

yang dibicarakan. Boson-boson Goldstone mempunyai sifat transformasi yang sama

terhadap paritas,

φa(~x, t)P7→ −φa(−~x, t), (3.25)

yaitu, mereka adalah pseudoskalar, dan bertransformasi terhadap subgrup H =

SU(3)V , yang membiarkan vakum invarian, sebagai suatu oktet [lihat pers. (3.23)]:

[QaV , φb(x)] = ifabcφ

c(x). (3.26)

Masalah saat ini, G = SU(3)L × SU(3)R dengan nG = 16 dan H = SU(3)V dengan

nH = 8, diharapkan ada n = nG − nH delapan boson Goldstone.

3.4.2 Condensate Quark skalar 〈qq〉Berikut ini akan ditunjukkan bahwa tidak menghilangnya condensate quark skalar

dalam batas chiral adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan

dalam QCD.6

Sa(y) = q(y)λaq(y), a = 0, · · · , 8, (3.27)

Pa(y) = iq(y)γ5λaq(y), a = 0, · · · , 8. (3.28)

Relasi komutasi equal-time dari dua operator quark membentuk Ai(x) = q†(x)Aiq(x),

dimana Ai menunjukkan matriks Dirac- dan flavor, yang dapat ditulis sebagai [lihat

pers. (2.62)]

[A1(~x, t), A2(~y, t)] = δ3(~x− ~y)q†(x)[A1, A2]q(x). (3.29)

6Pada bagian ini semua kuantitas fisika seperti keadaan dasar, operator-operator quark dansebagainya dipertimbangkan dalam batas chiral.

44

Dengan definisi

QaV (t) =

∫d3xq†(~x, t)

λa

2q(~x, t),

dan menggunakan

[λa

2, γ0λ0] = 0,

[λa

2, γ0λb] = γ0ifabcλc,

setelah mengintegrasi pers. (3.29) terhadap ~x, kerapatan quark skalar dari pers.

(3.27) bertransformasi terhadap SU(3)V sebagai sebuah singlet dan sebagai oktet,

[QaV (t), S0(y)] = 0, a = 1, · · · , 8, (3.30)

[QaV (t), Sb(y)] = i

8∑c=1

fabcSc(y), a, b = 1, · · · , 8, (3.31)

hasil yang analog diperoleh untuk kerapatan quark pseudoskalar. Dengan menggu-

nakan8∑

a,b=1

fabcfabd = 3δcd (3.32)

untuk konstanta struktur SU(3), komponen oktet dari kerapatan quark skalar dapat

ditulis sebagai

Sa(y) = − i

3

8∑

b,c=1

fabc[QbV (t), Sc(y)], (3.33)

Dalam batas chiral, keadaan dasar perlu invarian terhadap SU(3)V [18], yaitu,

QaV |0〉 = 0, dan dari pers. (3.33) diperoleh

〈0|Sa(y)|0〉 = 〈0|Sa(0)|0〉 ≡ 〈Sa〉 = 0, a = 1, · · · , 8, (3.34)

diman telah digunakan invarian translasi dari keadaan dasar. Dengan kata lain,

komponen oktet dari condensate quark skalar harus hilang dalam batas chiral. Dari

pers. (3.34), untuk a = 3

〈uu〉 − 〈dd〉 = 0,

yaitu, 〈uu〉 = 〈dd〉 dan untuk a = 8

〈uu〉+ 〈dd〉 − 2〈ss〉 = 0,

45

yakni 〈uu〉 = 〈dd〉 = 〈ss〉. Pada pers. (3.30) argumen yang serupa tidak dap-

at digunakan untuk condensate singlet, dan jika diasumsikan tidak menghilangnya

condensate quark skalar singlet dalam batas chiral, maka dengan menggunakan pers.

(3.34) diperoleh

0 6= 〈qq〉 = 〈uu + dd + ss〉 = 3〈uu〉 = 3〈dd〉 = 3〈ss〉. (3.35)

Akhirnya, dengan memakai

(i)2[γ5λa

2, γ0γ5λa] = λ2

aγ0

dikombinasikan dengan

λ21 = λ2

2 = λ23 =

1 0 00 1 00 0 0

,

λ24 = λ2

5 =

1 0 00 0 00 0 1

,

λ26 = λ2

7 =

0 0 00 1 00 0 1

,

λ28 =

1

3

1 0 00 1 00 0 4

diperoleh

i[QAa (t), Pa(y)] =

uu + dd, a = 1, 2, 3uu + ss, a = 4, 5dd + ss, a = 6, 7

13(uu + dd + 4ss), a = 8.

(3.36)

Evaluasi pers. (3.36) untuk keadaan dasar yang invarian terhadap SU(3)V , dengan

asumsi tidak menghilangkan condensate singlet quark skalar,

〈0|i[QAa (t), Pa(y)]|0〉 =

2

3〈qq〉, a = 1, · · · , 8, (3.37)

dimana, karena invarian translasi, sebelah kanan tidak bergantung pada y. Kerap-

atan pseudoskalar Pa(y) dan juga operator-operator muatan aksial QaA harus mem-

punyai elemen matriks yang tidak nol antara vakum dan satu keadaan partikel tak

bermassa |φb〉. Khususnya, karena kovarian Lorentz, elemen matriks dari operator

46

Bagian 3.3 Model O(N) QCDsigma linier

Grup simetri G O(3) O(N) SU(3)L × SU(3)R

dari kerapatanLagrangian

Jumlah 3 N(N − 1)/2 16generator nG

Grup simetri H O(2) O(N − 1) SU(3)V

dari keadaandasar

Jumlah 1 (N − 1)(N − 2)/2 8generator nH

Jumlah boson 2 N − 1 8GoldstonenG − nH

Multiplet dari (Φ1(x), Φ2(x)) (Φ1(x), · · · , ΦN−1(x)) iq(x)γ5λaq(x)medan-medan

boson GoldstoneHarga v = 〈Φ3〉 v = 〈ΦN〉 v = 〈qq〉

ekspektasivakum

Tabel 3.1: Perbandingan kerusakan simetri spontan.

arus aksial vektor antara vakum dan keadaan tak bermassa ini, setelah dinormalisasi

dengan tepat, dapat ditulis seperti

〈0|Aaµ(0)|φb(p)〉 = ipµF0δ

ab, (3.38)

dimana F0 ≈ 93 MeV merupakan konstanta “peluruhan” boson Goldstone dalam

batas chiral. Dengan asumsi QaA|0〉 6= 0, sebuah nilai yang tidak nol dari F0 adalah

kriteria yang perlu dan cukup untuk kerusakan simetri chiral spontan. Pada sisi lain,

karena (3.37) tidak menghilangnya condensate quark skalar 〈qq〉 adalah kondisi yang

cukup (tapi tidak perlu) untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.

3.5 Lagrangian Efektif Orde Terendah

Pokok bahasan ini bertujuan untuk membangun teori paling umum yang men-

jelaskan dinamika boson Goldstone yang diasosiasikan dengan kerusakan simetri

47

spontan di dalam QCD. Dalam batas chiral, diharapkan Lagrangian efektif invarian

terhadap SU(3)L × SU(3)R × U(1)V . Lagrangian efektif seharusnya mengandung

delapan derajat kebebasan pseudoskalar yang bertransformasi sebagai sebuah oktet

terhadap subgrup H = SU(3)V . Selain itu, dengan menghitung kerusakan simetri

spontan, keadaan dasar seharusnya hanya invarian terhadap SU(3)V × U(1)V .

Variabel-variabel dinamis dalam matriks SU(3), U(x),

U(x) = exp

(iφ(x)

F0

),

φ(x) =8∑

a=1

λaφa(x) ≡

π0 + 1√3η

√2π+

√2K+

√2π− −π0 + 1√

3η

√2K0

√2K− √

2K0 − 2√3η

. (3.39)

Umumnya kerapatan Lagrangian efektif yang invarian secara chiral dengan jumlah

turunan minimal berbentuk

Leff =F 2

0

4Tr

(∂µU∂µU †) , (3.40)

dimana F0 ≈ 93 MeV parameter bebas yang kemudian akan dihubungkan ke pelu-

ruhan pion.π+ → µ+νµ.

Mula-mula Lagrangian invarian terhadap transformasi global SU(3)L × SU(3)R

U 7→ RUL†,

∂µU 7→ ∂µ(RUL†) = ∂µR︸︷︷︸0

UL† + R∂µUL† + RU ∂µL†

︸︷︷︸0

= R∂µUL†,

U † 7→ LU †R†,

∂µU† 7→ L∂µU

†R†,

oleh karena itu

Leff 7→ F 20

4Tr

(R∂µU L†L︸︷︷︸

1

∂µU †R†)

=F 2

0

4Tr

(R†R︸︷︷︸

1

∂µU∂µU †)

= Leff ,

dimana telah dibuat menggunakan sifat trace Tr(AB) = Tr(BA). Invarian global

U(1)V secara trivial dipenuhi, karena boson Goldstone mempunyai bilangan baryon

nol, maka bertransformasi sebagai φ 7→ φ menurut U(1)V yang juga menyatakan

U 7→ U . Maksud konstanta pengali F 20 /4 dalam pers. (3.40) adalah untuk meng-

hasilkan bentuk standar dari suku kuadratik 12∂µφa∂

µφa, yang dapat dilihat dengan

48

mengekspansikan eksponensial U = 1 + iφ/F0 + · · ·, ∂µU = i∂µφ/F0 + · · ·, meng-

hasilkan

Leff =F 2

0

4Tr

[i∂µφ

F0

(− i∂µφ

F0

)]+ · · · = 1

4Tr(λa∂µφaλb∂

µφb) + · · ·(2.8)=

1

4∂µφa∂

µφbTr(λaλb) + · · · = 1

2∂µφa∂

µφa + Lint,

Secara khusus,karena tidak ada suku-suku lain yang hanya dua medan (Lint dimulai

dengan suku interaksi yang mengandung sedikitnya empat medan), delapan medan

φa menggambarkan delapan partikel tak bermassa. Sebuah tipe Tr[(∂µ∂µU)U †] boleh

dinyatakan kembali sebagai7

Tr[(∂µ∂µU)U †] = ∂µ[Tr(∂µUU †)]− Tr(∂µU∂µU

†),

yakni, turunan totalnya adalah sebanding dengan Lagrangian dari pers. (3.30). Ben-

tuk umum medan SU(N)

U = exp

(iΛaφa(x)

F0

),

dengan N2 − 1 matiks Λa yang Hermitian, tidak mempunyai trace dan medan riil

φa(x). Dengan mendefinisikan Φ = Λaφa/F0, maka ekspansi eksponensialnya adalah

U = 1 + iΦ +1

2(iΦ)2 +

1

3!(iΦ)3 + · · ·

dan turunannya8

∂µU = i∂µΦ +1

2(i∂µΦiΦ + iΦi∂µΦ) +

1

3![i∂µΦ(iΦ)2 + iΦi∂µΦiΦ + (iΦ)2i∂µΦ] + · · · .

Maka diperoleh

Tr(∂µUU †) = Tr[i∂µΦU † +1

2(i∂µΦiΦ + iΦi∂µΦ)U † + · · ·]

= Tr[i∂µΦU † + i∂µΦiΦU † +1

2i∂µΦ(iΦ)2U † + · · ·]

= Tr(i∂µΦ UU †︸︷︷︸1

) = Tr(i∂µΦ) = iF0∂µφa Tr(Λa)︸ ︷︷ ︸0

= 0, (3.41)

dimana telah digunakan [Φ, U †] = 0. Kembali ke arus vektor dan aksial vektor yang

dikaitkan dengan simetri global SU(3)L × SU(3)R Lagrangian efektif pers. (3.40).

7Dalam hal ini Tr(∂µUU†) = 0.8Φ and ∂µΦ umumnya adalah matriks dan tidak komutatif.

49

Untuk maksud tersebut diparameterisasi

L = exp

(−iΘL

a

λa

2

), (3.42)

R = exp

(−iΘR

a

λa

2

). (3.43)

Untuk membangun Jµ,aL , dipasang ΘR

a = 0 dan dipilih ΘLa = ΘL

a (x). Maka untuk

orde pertama dalam ΘLa ,

U 7→ U ′ = RUL† = U

(1 + iΘL

a

λa

2

),

U † 7→ U ′† =

(1− iΘL

a

λa

2

)U †,

∂µU 7→ ∂µU′ = ∂µU

(1 + iΘL

a

λa

2

)+ Ui∂µΘL

a

λa

2,

∂µU† 7→ ∂µU

′† =

(1− iΘL

a

λa

2

)∂µU

† − i∂µΘLa

λa

2U †, (3.44)

dari sini diperoleh untuk δLeff :

δLeff =F 2

0

4Tr

[Ui∂µΘL

a

λa

2∂µU † + ∂µU

(−i∂µΘL

a

λa

2U †

)]

=F 2

0

4i∂µΘL

a Tr

[λa

2(∂µU †U − U †∂µU)

]

=F 2

0

4i∂µΘL

a Tr(λa∂

µU †U). (3.45)

(Langkah terakhir digunakan

∂µU †U = −U †∂µU,

yang didapat dengan mendiffrensialkan U †U = 1.) Maka diperoleh arus kiri (left-

currents)

Jµ,aL =

∂δLeff

∂∂µΘLa

= iF 2

0

4Tr

(λa∂

µU †U), (3.46)

dan analog dengan memilih ΘLa = 0 dan ΘR

a = ΘRa (x),

Jµ,aR =

∂δLeff

∂∂µΘRa

= −iF 2

0

4Tr

(λaU∂µU †) (3.47)

untuk arus kanan (right-currents). Kombinasi antara pers. (3.46) dan (3.47), arus

vektor dan aksial vektor menjadi

Jµ,aV = Jµ,a

R + Jµ,aL = −i

F 20

4Tr

(λa[U, ∂µU †]

), (3.48)

Jµ,aA = Jµ,a

R − Jµ,aL = −i

F 20

4Tr

(λa{U, ∂µU †}) . (3.49)

50

Selanjutnya, karena simetri dari Leff terhadap SU(3)L × SU(3)R, arus vektor dan

aksial vektor keduanya kekal. Kerapatan arus vektor Jµ,aV dari pers. (3.48) hanya

mengandung suku-suku dengan sejumlah genap boson Goldstone,

Jµ,aV

φ 7→ −φ7→ −iF 2

0

4Tr[λa(U

†∂µU − ∂µUU †)]

= −iF 2

0

4Tr[λa(−∂µU †U + U∂µU †)] = Jµ,a

V .

Pada sisi lain, ekspresi untuk arus aksial vektor memiliki jumlah boson Goldstone

ganjil,

Jµ,aA

φ 7→ −φ7→ −iF 2

0

4Tr[λa(U

†∂µU + ∂µUU †)]

= iF 2

0

4Tr[λa(∂

µU †U + U∂µU †)] = −Jµ,aA .

Untuk mendapatkan suku utama, medan dari pers. (3.49) diekspansikan ,

Jµ,aA = −i

F 20

4Tr

(λa

{1 + · · · ,−i

λb∂µφb

F0

+ · · ·})

= −F0∂µφa + · · ·

dari sini disimpulkan bahwa arsu aksial vektor tidak menghilangkan elemen ma-

triks saat dievaluasi diantara vakum dan satu keadaan boson Goldstone [lihat pers.

(3.38)]:

〈0|Jµ,aA (x)|φb(p)〉 = 〈0| − F0∂

µφa(x)|φb(p)〉= −F0∂

µ exp(−ip · x)δab = ipµF0 exp(−ip · x)δab.

F0 akan dihubungkan dengan konstanta peluruhan pion π+ → µ+νµ.

Suku massa dari QCD yang menghasilkan kerusakan simetri eksplisit adalah

LM = −qRMqL − qLM †qR, M =

mu 0 00 md 00 0 ms

. (3.50)

Meskipun M kenyataanya adalah matriks konstanta dan tidak bertransformasi de-

ngan medan quark, LM dari pers. (3.50) akan invarian jika M ditransformasikan

seperti ini

M 7→ RML†. (3.51)

Pada orde terendah dalam M diperoleh

Ls.b. =F 2

0 B0

2Tr(MU † + UM †), (3.52)

51

dimana indeks s.b. menunjuk pada kerusakan simetri (symmetry breaking). Untuk

menginterpretasikan parameter baru B0, diprtimbangkan suatu kerapatan energi

dari keadaan dasar (U = U0 = 1),

〈Heff〉 = −F 20 B0(mu + md + ms), (3.53)

dan membandingkan turunannya dengan massa quark ringan mq dengan kuantitas

yang terkait di dalam QCD,

∂〈0|HQCD|0〉∂mq

∣∣∣∣mu=md=ms=0

=1

3〈0|qq|0〉0 =

1

3〈qq〉,

dimana 〈qq〉 adalah condensate quark skalar dari pers. (3.35). Di dalam kerangka

kerja Lagrangian efektif orde terendah, konstanta B0 dihubungkan ke condencate

quark skalar

3F 20 B0 = −〈qq〉. (3.54)

Sedikit kesimpulan.

1. Suku Tr(M) terhadap M sendiri tidak invarian.

2. Kombinasi Tr(MU † − UM †) mempunyai sifat yang salah terhadap paritas

φ(~x, t) 7→ −φ(−~x, t), karena

Tr[MU †(~x, t)− U(~x, t)M †]P7→ Tr[MU(−~x, t)− U †(−~x, t)M †]

M=M†= −Tr[MU †(−~x, t)− U(−~x, t)M †].

3. Karena M = M †, Ls.b. hanya mengandung suku-suku genap di dalam φ.

Untuk menentukan massa-massa boson Goldstone, diperkenalkan suku kedua dalam

medan dari Ls.b.,

Ls.b = −B0

2Tr(φ2M) + · · · . (3.55)

Dengan menggunakan pers. (3.39) diperoleh

Tr(φ2M) = 2(mu + md)π+π− + 2(mu + ms)K

+K− + 2(md + ms)K0K0

+(mu + md)π0π0 +

2√3(mu −md)π

0η +mu + md + 4ms

3η2.

52

Demi penyederhanaan dipertimbangkanlah batas isospin-symmetric mu = md = m

supaya suku π0η menghilang dan tidak ada mixing π0-η. Maka dihasilkan massa

boson Goldstone, untuk orde terendah dalam massa quark,

M2π = 2B0m, (3.56)

M2K = B0(m + ms), (3.57)

M2η =

2

3B0 (m + 2ms) . (3.58)

Hasil-hasil ini dikombinasikan dengan pers. (3.54), B0 = −〈qq〉/(3F 20 ), dihasilkan

hubungan yang terkait dengan acuan [25] dan mengacu pada relasi Gell-Mann,

Oakes, dan Renner. Selanjutnya, massa-massa dari pers. (3.56) - (3.58) memenuhi

relasi Gell-Mann-Okubo

4M2K = 4B0(m + ms) = 2B0(m + 2ms) + 2B0m = 3M2

η + M2π (3.59)

yang tidak bergantung pada harga B0. Rasio massa quark dihasilkan dengan meng-

gunakan harga-harga empiris dari oktet psudoskalar,

M2K

M2π

=m + ms

2m⇒ ms

m= 25.9,

M2η

M2π

=2ms + m

3m⇒ ms

m= 24.3. (3.60)

3.6 Konstruksi Lagrangian Efektif

Di sini akan dibangun suatu Lagrangian efektif dengan mempromosikan simetri

global dari Lagrangian efektif ke simetri lokal dan memperkenalkan suatu kopling

yang sama terhadap terhadap medan-medan v, a, s, dan p seperti di dalam QCD.

Untuk lebih rinci mengenai pembentukan Lagrangian efektif untuk simetri lokal

G = SU(3)L × SU(3)R (lihat acuan. [26, 27, 28]).

Matrks U bertransformasi sepert U 7→ U ′ = VRUV †L , dimana VL(x) dan VR(x)

matriks-matriks SU(3) yang tidak bergantung ruang-waktu. Seperti dalam masalah

teori gauge, diperlukan medan-medan eksternal laµ(x) and raµ(x) [lihat pers. (2.68),

(2.74), (2.77), dan Tabel 3.2] berkorespondensi dengan parameter-parameter ΘLa (x)

dan ΘRa (x) dari VL(x) dan VR(x). Untuk setiap obyek A bertransformasi menjadi

53

VRAV †L , didefinisikan turunan kovarian DµA

DµA ≡ ∂µA− irµA + iAlµ

7→ ∂µ(VRAV †L)− i(VRrµV

†R + iVR∂µV

†R)VRAV †

L

+iVRAV †L(VLlµV

†L + iVL∂µV

†L)

= ∂µVRAV †L + VR∂µAV †

L + VRA∂µV†L − iVRrµAV †

L − ∂µVRAV †L

+iVRAlµV†L − VRA∂µV

†L

= VR(∂µA− irµA + iAlµ)V †L = VR(DµA)V †

L , (3.61)

dimana telah digunakan VR∂µV†R = −∂µVRV †

R. Karena Lagrangian efektif pada

akhirnya akan mengandung sembarang pangkat yang tinggi dari turunan, diperlukan

tensor kuat medan fLµν dan fR

µν yang terkait dengan medan-medan gauge.

fRµν ≡ ∂µrν − ∂νrµ − i[rµ, rν ], (3.62)

fLµν ≡ ∂µlν − ∂νlµ − i[lµ, lν ]. (3.63)

Tensor kuat medan adalah tidak mempunyai trace,

Tr(fLµν) = Tr(fR

µν) = 0, (3.64)

karena Tr(lµ) = Tr(rµ) = 0 dan trace dari setiap komutator juga nol. Akhirnya,

dengan mengikuti konvensi Gasser dan Leutwyler, diperkenalkanlah kombinasi linier

χ ≡ 2B0(s + ip) dengan medan eksternal skalar dan pseudoskalar dari pers. (2.68),

dimana B0 ditentukan dalam pers. (3.54). Tabel 3.2 berisi sifat-sifat transformasi

dari semua susunan dasar Lagrangian terhadap grup (G), konjugasi muatan (C),

dan paritas (P ).

Di dalam skema chiral counting, elemen-elemen teori perturbasi chiral dihitung

sebagai:

U = O(p0), DµU = O(p), rµ, lµ = O(p), fL/Rµν = O(p2), χ = O(p2). (3.65)

Pembentukan Lagrangian efektif dalam suku-suku susunan dasar dari pers. (3.65)

dihasilkan sebagai berikut. Obyek-obyek yang diberikan A,B, . . ., semuanya bertrans-

formasi menjadi A′ = VRAV †L , B′ = VRBV †

L , . . . , dapat dibentuk suatu invarian de-

ngan mengambil jenis AB†:

Tr(AB†) 7→ Tr[VRAV †L(VRBV †

L)†] = Tr(VRAV †LVLB†V †

R) = Tr(AB†V †RVR)

= Tr(AB†).

54

elemen G C P

U VRUV †L UT U †

Dλ1 · · ·DλnU VRDλ1 · · ·DλnUV †L (Dλ1 · · ·DλnU)T (Dλ1 · · ·DλnU)†

χ VRχV †L χT χ†

Dλ1 · · ·Dλnχ VRDλ1 · · ·DλnχV †L (Dλ1 · · ·Dλnχ)T (Dλ1 · · ·Dλnχ)†

rµ VRrµV†R + iVR∂µV

†R −lTµ lµ

lµ VLlµV†L + iVL∂µV

†L −rT

µ rµ

fRµν VRfR

µνV†R −(fL

µν)T fµν

L

fLµν VLfL

µνV†L −(fR

µν)T fµν

R

Tabel 3.2: Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C), danparitas (P ).

Generalisasi untuk suku-suku yang lebih banyak dan memiliki trace yang invarian

adalah:

Tr(AB†CD†), Tr(AB†)Tr(CD†), · · · . (3.66)

Daftar lengkap elemen-elemen yang termasuk orde O(p2) bertransformasi menjadi

VR · · ·V †L adalah

U,DµU,DµDνU, χ, UfLµν , f

RµνU. (3.67)

Bentuk invarian dari orde O(p0) hingga O(p2) adalah

O(p0) : Tr(UU †) = 3,

O(p) : Tr(DµUU †) ∗= −Tr[U(DµU)†] ∗

= 0,

O(p2) : Tr(DµDνUU †) ∗∗= −Tr[DνU(DµU)†] ∗∗= Tr[U(DνDµU)†],

Tr(χU †),

Tr(Uχ†),

Tr(UfLµνU

†) = Tr(fLµν) = 0,

Tr(fRµν) = 0. (3.68)

Tanda ∗ telah dibuat menggunakan dua sifat penting dari turunan kovarian DµU :

DµUU † = −U(DµU)†, (3.69)

Tr(DµUU †) = 0. (3.70)

55

Hubungan pertama berasal dari unitari U dikombinasikan dengan definisi dari tu-

runan kovarian, pers. (3.61).

DµUU † = ∂µUU †︸ ︷︷ ︸−U∂µU†

−irµ UU †︸︷︷︸1

+iUlµU†,

= −U∂µU† − irµ − U(−ilµU

†)

= −U(DµU)†

Persamaan (3.70) ditunjukkan menggunakan Tr(rµ) = Tr(lµ) = 0 bersama dengan

pers. (3.41), Tr(∂µUU †) = 0:

Tr(DµUU †) = Tr(∂µUU † − irµUU † + iUlµU†) = 0.

Hubungan ∗∗ dapat diperiksa dengan hitungan ekspilisit, atau lebih elegan menggu-

nakan aturan dari acuan [26] untuk turunan kovarian. Akhirnya dengan mengkon-

traksikan indeks Lorentz, menghasilkan tiga calon:

Tr[DµU(DµU)†], (3.71)

Tr(χU † ± Uχ†). (3.72)

Suku dalam pers. (3.72) dengan tanda negatif dikeluarkan karena suku ini mem-

punyai tanda yang salah terhadap paritas (lihat Tabel 3.2) dan dengan mengambil

invarian lokal, Lagrangian efektif pada orde terendah adalah

L2 =F 2

0

4Tr[DµU(DµU)†] +

F 20

4Tr(χU † + Uχ†). (3.73)

L2 mengandung dua parameter: konstanta peluruhan pion F0 dan B0 dari pers.

(3.54) yang tersembunyi di dalam χ.

56

Bab 4

Hasil dan Pembahasan

4.1 Peluruhan Pion π+ → µ+νµ

Setelah mempelajari tantang Lagrangian efektif, kini tiba saatnya untuk membahas

aplikasinya pada peluruhan lemah π+ → µ+νµ yang akan menghubungkan parameter

bebas F0 of L2 ke konstanta peluruhan pion. Pada tingkat derajat kebebasan dari

Standard Model (SM), peluruhan pion digambarkan dengan pemusnahan sebuah

quark u dan sebuah anti-quark d, yang membentuk π+, menjadi sebuah boson W+,

yang kemudian W+ merambat, dan menciptakan lepton µ+ dan νµ dalam keadaan

akhir (lihat Gambar 4.1). Kopling boson W terhadap lepton diberikan oleh

L = − g

2√

2

[W+µ νµγ

µ(1− γ5)µ +W−µ µγµ(1− γ5)νµ

], (4.1)

sedangkan interaksinya dengan quark yang membentuk boson Goldstone secara efek-

tif diambil ke dalam hitungan dengan memasukkan pers. (2.78) ke Lagrangian dari

pers. (3.73). Dengan memandang suku pertama pers. (3.73) dan memasang rµ = 0

serta lµ masih sembarang. Dengan menggunakan DµU = ∂µU + iUlµ didapat

F 20

4Tr[DµU(DµU)†] =

F 20

4Tr[(∂µU + iUlµ)(∂µU † − ilµU †)]

u

+

d W

νµ

µ+ +_π

Gambar 4.1: Peluruhan Pion π+ → µ+νµ.

57

= · · ·+ iF 2

0

4Tr(Ulµ∂

µU † − lµ U †∂µU︸ ︷︷ ︸−∂µU

†U

) + · · ·

= iF 2

0

2Tr(lµ∂

µU †U) + · · · ,

dimana hanya suku-suku linier dalam lµ yang ditunjukkan. Jika

lµ =8∑

a=1

λa

2laµ,

suku interaksi linier dalam lµ adalah

Lint =8∑

a=1

laµ

[iF 2

0

4Tr(λa∂

µU †U)

]=

8∑a=1

laµJµ,aL , (4.2)

dimana telah digunakan pers. (3.46) Jµ,aL . Sekali lagi, Jµ,a

L diekspansikan dengan

menggunakan pers. (3.39) untuk orde pertama dalam φ,

Jµ,aL =

F0

2∂µφa + O(φ2), (4.3)

dari sini diperoleh elemen matriks

〈0|Jµ,aL (0)|φb(p)〉 =

F0

2〈0|∂µφa(0)|φb(p)〉 = −ipµ F0

2δab. (4.4)

Dengan memasukkan lµ dari pers. (2.78) didapatkan untuk suku interaksi dari boson

Goldstone tunggal dengan sebuah W

LWφ =F0

2Tr(lµ∂

µφ) = − g√2

F0

2Tr[(W+

µ T+ +W−µ T−)∂µφ].

Maka perlu dihitung1

Tr(T+∂µφ)

= Tr

0 Vud Vus

0 0 00 0 0

∂µ

π0 + 1√3η

√2π+

√2K+

√2π− −π0 + 1√

3η

√2K0

√2K− √

2K0 − 2√3η

= Vud

√2∂µπ− + Vus

√2∂µK−,

Tr(T−∂µφ)

= Tr

0 0 0Vud 0 0Vus 0 0

∂µ

π0 + 1√3η

√2π+

√2K+

√2π− −π0 + 1√

3η

√2K0

√2K− √

2K0 − 2√3η

= Vud

√2∂µπ+ + Vus

√2∂µK+.

1Vud dan Vus adalah matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa yang riil.

58

Maka diperoleh suku interaksi

LWφ = −gF0

2[W+

µ (Vud∂µπ− + Vus∂

µK−) +W−µ (Vud∂

µπ+ + Vus∂µK+)]. (4.5)

Dikombinasikan dengan propagator Feynman untuk boson W ,

−gµν + kµkν

M2W

k2 −M2W

=gµν

M2W

+ O(kk

M4W

), (4.6)

aturan Feynman untuk inavariant amplitude pada peluruhan pion lemah adalah

M = i

[− g

2√

2uνµγν(1− γ5)vµ+

]igνµ

M2W

i

[−g

F0

2Vud(−ipµ)

]

= −GF VudF0uνµp/(1− γ5)vµ+ , (4.7)

dimana p menunjukkan momentum-empat pion dan

GF =g2

4√

2M2W

= 1.16639(1)× 10−5 GeV−2

adalah konstanta Fermi. Nilai dari |M|2 adalah

|M|2 = 4G2F |Vud|2F 2

0 m2π+m2

µ

(1− m2

µ

m2π+

)

Maka diperoleh laju peluruhan

dΓ =|M|2

64π2mπ+

(1− m2

µ

m2π+

)dφ d cos θ

Γ =G2

F |Vud|2F 20

16π2mπ+m2

µ

(1− m2

µ

m2π+

)2

dφ d cos θ︸ ︷︷ ︸4π

Γ =1

τ=

G2F |Vud|24π

F 20 mπ+m2

µ

(1− m2

µ

m2π+

)2

. (4.8)

4.2 Pembahasan

Seperti telah dibahas di atas dengan rinci, simetri chiral QCD SU(3)L × SU(3)R ×U(1)V dalam batas menghilangkan massa quark u, d, dan s bersama dengan asumsi

kerusakan spontannya ke SU(3)V × U(1)V dalam keadaan dasar, adalah salah satu

kunci untuk mengerti interaksi kuat pada daerah energi rendah. Dari sudut pan-

dang saat ini, simetri eksplisit rusak karena massa quark berhingga u, d, dan s yang

59

menimbulkan divergensi dari arus simetri yang tidak nol. Rusaknya simetri chiral ke

SU(3)V×U(1)V menghasilkan delapan boson Goldstone (π+, π0, π−, K+, K0, K−, K0, η)

yang semuanya dikumpulkan dalam sebuah matriks SU(3), U(x). s

Dengan mengikuti metode yang dilakukan Gasser dan Leutwyler [16, 17] un-

tuk Lagrangian efektif orde terendah, dapat diaplikasikan ke peluruhan pion. Dari

perhitungan di atas telah didapat invarian amplitude dari peluruhan pion dan laju

peluruhannya. Konstanta F0 mengacu pada konstanta peluruhan pion dalam batas

chiral. Konstanta ini mengukur kuat elemen matriks dari operator arus aksial vektor

diantara satu keadaan boson Goldstone dan sebuah vakum (3.38). Karena interaksi

boson W dengan quark memiliki tipe laµLµ,a = laµ(V µ,a − Aµ,a)/2 [lihat pers. (2.78)]

dan operator arus quark tidak memberikan kontribusi terhadap elemen matriks an-

tara pion tunggal dan vakum, maka peluruhan pion sepenuhnya ditentukan oleh

arus aksial vektor.

Dengan mengambil harga Vud dan data dari eksperimen, bahwa Γ(eksp)

π+→µ+νµ=

3, 841× 107 s−1, didapatkan harga konstanta peluruhan pion sebesar

F0 = 92, 4± 0, 2 MeV (4.9)

Terlihat bahwa harga ini cukup kecil yang menunjukkan proses tersebut terjadi pada

energi rendah.

60

Bab 5

Kesimpulan dan Saran

Teori perturbasi chiral merupakan teori yang sangat baik menerangkan fenomena

QCD pada tingkat energi rendah. Dengan rusaknya simetri chiral QCD SU(3)L ×SU(3)R × U(1)V ke SU(3)V × U(1)V ternyata menghasilkan delapan boson Gold-

stone. Karena pion adalah salah satu partikel elementer maka peluruhannya akan

menghasilkan partikel lain.

Lagrangian efektif yang telah diperkenalkan disini hanya sampai pada orde teren-

dah, yaitu mengandung dua turunan kovarian terhadap medan-medan boson, namun

sudah dapat menjelaskan fenomena peluruhan pion. Untuk orde yang lebih tinggi

lagi mungkin akan dapat menjelaskan fenomena yang lebih rumit lagi. Dengan hasil

yang kecil dari konstanta peluruhan pion maka disimpulkan interaksi ini terjadi pada

energi rendah.

Suatu hasil yang menarik mungkin akan muncul pada perhitungan orde yang

lebih tinggi. Di sini hanya disampaikan mengenai teori perturbasi chiral pada sektor

meson. Suatu pelajaran yang menarik untuk mempelajari ke dalam sektor baryon

yang terdiri dari tiga quark dengan melibatkan loop dalam perhitungan.

61

Lampiran A

Mekanika Kuantum Relativistik

A.1 Notasi

Sistem satuan yang digunakan penulis adalah sistem satuan alami (natural system

of units), di mana didefinisikan ~ = c = 1 dan tidak berdimensi. Energi, massa,

dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan satuan MeV. Dengan

demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi energi−1 dan energi−2.

Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi besaran yang ingin diketahui,

digunakan konversi berikut [29]:

~ = 6.58212233(49)× 10−22 MeV s (A.1)

~c = 197.327053(59) MeV fm (A.2)

(~c)2 = 0.38937966(23) GeV2 mbarn (A.3)

A.2 Aljabar Dirac

Dalam mekanika kuantum relativistik, ruang dan waktu dinyatakan dalam vektor

empat sebagai berikut

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) ≡ (t,x) ≡ (t, x, y, z), (A.4)

disebut vektor empat kontravarian, dan vektor empat kovariannya berbentuk

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) ≡ (t,−x) ≡ (t,−x,−y,−z).

= gµνxν , (A.5)

62

dimana gµν adalah matriks transformasi

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)

Operator differensial

∂µ =∂

∂xµ= (∂0, ∂1, ∂2, ∂3) =

(∂

∂t,

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)=

(∂

∂t,∇

)(A.7)

∂µ = gµν∂ν =

(∂

∂t,−∇

)(A.8)

Vektor-4 energi-momentum

pµ ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E,p), pµ ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E,p) (A.9)

di mana berlaku relasi

pµpµ ≡ p2 = pµgµνpν = E2 − p · p = m2. (A.10)

Matriks Dirac yang digunakan adalah:

γµ ≡ (γ0, γi), γ0† = γ0 γµ = γ0㵆γ0. (A.11)

memiliki representasi matriks

γ0 = γ0 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, γi =

(0 σi

−σi 0

). (A.12)

di mana ketiga matriks Pauli, σi dinyatakan oleh

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

), (A.13)

yang memenuhi hubungan antikomutatif

{σi, σj

} ≡ σiσj + σjσi = 2δij , (A.14)

dan hubungan komutatif

[σi, σj

] ≡ σiσj − σjσi = 2iεijkσk , (A.15)

63

di mana εijk merupakan bentuk nonkovarian tensor antisimetrik Levi-Civita yang

didefinisikan kemudian pada Pers. (A.21).

Matriks Dirac γ memunuhi hubungan antikomutatif berikut

{γµ, γν} ≡ γµγν + γνγµ = 2gµν , (A.16)

dan hubungan komutatif

[γµ, γν ] ≡ γµγν − γνγµ ≡ −2iσµν , (A.17)

Pada hubungan ini

σij =

(σk 00 σk

)dan σ0i = i

(0 σi

σi 0

). (A.18)

Kombinasi lainnya yang berguna adalah

γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3 = γ5 = 124

iεµνρσγµγνγργσ =

(0 11 0

), (A.19)

γ5γσ = −γσγ5 = 16iεµνρσγ

µγνγρ, (A.20)

tensor antisimetrik Levi-Civita didefinisikan sebagai

εµνρσ =

+1 untuk permutasi siklik−1 untuk permutasi anti− siklik

0 jika ada dua atau lebih indeks yang sama. (A.21)

Persamaan Klein-Gordon:

(¤ + m2)Φ = 0, ¤ ≡ ∂µ∂ν . (A.22)

Persamaan Dirac:

(i∂/−m)Ψ = 0 dimana a/ = aµγµ. (A.23)

Di dalam ruang momentum

(p/−m)u(p, s) = 0 , (A.24)

(p+ m)v(p, s) = 0 , (A.25)

dimana u(p, s) dan v(p, s) adalah spinor-spinor Dirac. Hubungan kelengkapan spinor

Dirac

∑s=1,2

= u(s)(p, s)u(s)(p, s) = (p/ + m) (A.26)

∑s=1,2

= v(s)(p, s)v(s)(p, s) = (p/−m) (A.27)

64

Representasi Matriks Adjoint Ti = tijk = −iεijk

Ti =

ti11 tti12 ti13

ti21 tti22 ti23

ti31 tti32 ti33

, T1 =

t111 tt112 t113

t121 tt122 t123

t131 tt132 t133

=

0 0 00 0 −i0 i 0

,

T2 =

t211 tt212 t213

t221 tt222 t223

t231 tt232 t233

=

0 0 i0 0 0−i 0 0

,

T3 =

t311 tt312 t313

t321 tt322 t323

t331 tt332 t333

=

0 −i 0i 0 00 0 0

.

65

Lampiran B

Transformasi Grup U(1),U(3) danSU(3)

Transformasi U(1) (transformasi fase)

Ψ → exp(−iΘ)Ψ (B.1)

Transformasi U(3)L×U(3)R

qL → ULqL = exp

(−i

8∑a=1

ΘLa

)e−iΘL

qL (B.2)

qR → URqL = exp

(−i

8∑a=1

ΘRa

)e−iΘR

qR (B.3)

Transformasi SU(3)L×SU(3)R

qL → ULqL = exp

(−i

8∑a=1

ΘLa

)qL (B.4)

qR → ULqR = exp

(−i

8∑a=1

ΘRa

)qR (B.5)

66

Daftar Acuan

[1] S. L. Adler, Phys. Rev. 139, B1638 (1965).

[2] S. L. Adler dan W. A. Bardeen, Phys. Rev. 182, 1517 (1969).

[3] W. A. Bardeen, Phys. Rev. 184 (1969)

[4] J. S. Bell dan R. Kackiw, Nuovo Cim. A 60, 47 (1969).

[5] S. L. Adler, dalam Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theo-

ry, 1970 Brandies University Summer Institute in Theoretical Physics, Volume

1, diedit oleh S. Deser, M. Grisaru, dan H. Pendleton (M.I.T. Press, Cambridge,

Massachusetts, 1970).

[6] Y. Ne’eman, Nucl. Phys. Rev. 26, 222 (1961).

[7] M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125, 1067 (1962).

[8] M. Gell-Mann dan Y. Ne’eman, The Eightfold Way (Benjamin, New York,

1964).

[9] D. J. Gross. dan F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).

[10] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 31, 494 (1973)

[11] H. Fritzsch, M. Gell-Mann, dan H. Leutwyler, Phys. Lett. B 47, 365 (1973).

[12] H. Leutwyler, Phys. Lett. B 378, 313 (1996).

[13] W. J. Marciano dan H. Pagels, Phys. Rept. 36, 137 (1978).

[14] G. Altarelli, Phys. Rept. 81, 1 (1982).

67

[15] M. Gell-Mann dan M. Levy, Nuovo Cim. 16, 705 (1960).

[16] J. Gasser dan H. Leutwyler, Annals Phys. 158, 142 (1984).

[17] J. Gasser dan H. Leutwyler, Nucl. Phys. B250, 465 (1985).

[18] C. Vafa dan E. Witten, Nucl. Phys. B234, 173 (1984).

[19] S. Coleman, J. Math. Pyhs. 7, 787 (1966).

[20] Y. Nambu, Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960).

[21] Y. Nambu dan G. jona-Lasinio, Phys. Rev. Lett. 122, 345 (1961).

[22] Y. Nambu dan G. jona-Lasinio, Phys. Rev. Lett. 124, 246 (1961)

[23] J. Goldstone, Nuovo Cim. 19, 154 (1961).

[24] J. Goldstone, A. Salam, dan S. Weinberg, Phys. Rev. 127, 965 (1962).

[25] M. Gell-Mann, R. J. Oakes, dan B. Renner, Phys. Rev. 175, 2195 (1999).

[26] H. W. Fearing dan S. Scherer, Phys. Rev. D 53, 315 (1996).

[27] J. Bijnens, G. Colangelo, dan P. Talavera, JHEP 9805, 014 (1998).

[28] T. Ebertshauser, H. W. Fearing, dan S. Scherer, Phys. Rev. D 65, 054033

(2002).

[29] Particle Data Group, Eur Phys. J. 3 (1998) 1.

68