BAB 2

Peluang

Standar Kompetensi: Menggunakan aturan statistika, kaidah pemecahan, dan sifat-

sifat peluang dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar: Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi

dalam pemecahan masalah.

Menentukan ruang sampel suatu percobaan.

Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

KAIDAH PENCACAHAN

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia (Aturan Perkalian)

Misalkan terdapat n buah tempat tersedia, dengan:

k adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama,

k adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,

k adalah banyak cara untuk mengisi tempata ketiga setelah tempat

pertama dan kedua terisi,

… , demikian seterusnya.

k adalah banyak cara untuk mengsi tempat ke-n setelah tempat-tempat pertama, kedua, ketiga, … , dan ke (n 1) terisi.

1

2

3

n

Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah

k k k … k1 2 3 n

c + c + c + … + c1 2 3 n

Misalkan terdapat n buah peristiwa yang saling lepas, dengan:

c adalah banyak cara pada peristiwa pertama,

c adalah banyak cara pada peristiwa kedua,

c adalah banyak cara pada peristiwa ketiga,

… . dan seterusnya.

c adalah banyak cara pada peristiwa ke-n.

Banyak cara n buah peristiwa itu secara keseluruhan adalah

1

2

3

n

Permutasi

Faktor dari Bilangan Asli

Definisi:

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:

Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial.

n! = 1 2 3 … (n 2) (n 1) n

1! = 1 dan 0! = 1

Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Definisi:

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r n).

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia

Banyak permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia

P nr

Pnn

P nn = n (n 1) (n 2) … 3 2 1 = n!

r (n r)!

Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan:

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan:

P n= n (n 1) (n 2) … (n r + 1) =

n!

Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama

Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama (k n), maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:

Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama (k + l + m n), maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:

P =n!

k!

P =k!

n!l! m!

Permutasi Siklis

Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan denga aturan:

P (n r)!=siklis

KombinasiDefinisi:

Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r n).

Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia

Banyak kombinasi r unsur yang diambilk dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan

Cnr

r! (n r)!n!

Cnr

=

Kegiatan melempar sekeping mata uang logam (satu atau beberapa kali) dinamakan percobaan.

Hasil percobaan pada pelemparan sekeping mata uang logam adalah munculnya sisi gambar (G) atau munculnya sisi tulisan (T).

PERCOBAAN, RUANG, CONTOH, DAN KEJADIAN

GAMBAR TULISAN{G} {T}

Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul dalam percobaan melempar sekeping mata uang logam, ditulis {G,T}, disebut ruang contoh atau ruang sampel.

1.Ruang contoh atau ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada sebuah percobaan.

2.Titik contoh atau titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang contoh atau ruang sampel.

Himpunan bagian dari ruang contoh S disebut kejadian atau peristiwa (event).

1. Kejadian sederhana atau kejadian elementer

Kejadian sederhana atau kejadian elementer adalah suatu kejadian yang mempunyai satu titik contoh.

Pada percobaan melempar dadu berisi enam, kejadian-kejadian sederhana adalah:

• {1} yaitu kejadian munculnya mata dadu 1, dan

• {6} yaitu kejadian munculnya mata dadu 6.

Kejadian

2.Kejadian majemuk

Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang mempunyai titik contoh lebih dari satu.

Pada percobaan melempar dadu berisi enam, bebrapa kejadian majemuk antaranya adalah:

• {3, 4} yaitu kejadian munculnya mata dadu lebih dari 2 tetapi kurang dari 5.

• {2, 4, 6} yaitu kejadian munculnya mata dadu genap.

PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMENNYA

Menghitung Peluang dengan Pendekatan Frekuensi Nisbi

Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali.

1. Jika kejadian E muncul sebanyak k kali (0 k n), maka frekuensi nisbi munculnya kejadian E ditentukan dengan rumus:

2. Jika nilai n mendekati tak-berhingga, maka nilai cenderung konstan mendekati nilai tertentu. Nilai peluang munculnya kejadian E ditentukan dengan rumus:

Catatan:F (E): frekuensi nisbi munculnya kejadian E.P (E): peluang munculnya kejadian E.

F (E) =n

k

P (E) = lim F (E) = lim knn n

Menghitung Peluang dengan Pendekatan Definisi Peluang Klasik

Misalkan dalam sebuah percobaan menyebabkan munculnya n hasil yang mungkin dengan masing-masing hasil mempunyai kesempatan yang sama (equelly likely). Jika kejadian E dapat muncul sebanyak k kali, maka peluang kejadian E ditentukan dengan rumus:

P (E) = kn

Menghitung Peluang dengan Menggunakan Ruang Contoh

Misalkan S adalah ruang contoh dari sebuah percobaan dan masing-masing dari anggota S memilki kesempatan yang sama untuk muncul. Jika E adalah suatu kejadian dengan E S maka peluang kejadian E ditentukan dengan rumus:

n(E) adalah banyak anggota dalam himpunan kejadian E,

n(S) adalah banyak anggota dalam himpunan ruang contoh S.

P (E) =n(E)

n(S)

Kisaran Nilai PeluangKisaran nilai peluang kejadian E mempunyai batas dari 0 sampai 1.

Jika P (E) = 0 maka dikatakan E adalah kejadian yang mustahil terjadi.

Jika P (E) = 1 maka dikatakan E adalah kejadian yang pasti terjadi.

Frekuensi Harapan suatu Kejadian

Frekuensi harapan adalah abnyak kejadian atau peristiwa yang diharapkan dapat terjadi pada sebuah percobaan.

Misalkan sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali dan P(E) adalah peluang kejadian E. Frekuensi harapan kejadian E ditentukan dengan aturan:

F (E) = n P(E) h

Peluang Komplemen suatu Kejadian

Jika E adalah komplemen kejadian E, maka peluang kejadian E ditentukan dengan aturan:

P(E) adalah peluang kejadian E dan P(E) dalah peluang komplemen kejadian E.

P (E) = 1 P(E)

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

Menghitung Peluang Gabungan Dua Kejadian

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang contoh S, maka peluang kejadian A B dientukan dengan aturan

P (A B) = P(A) + P(B) P(A B)

Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas itu ditentukan dengan aturan

P (A B) = P(A) + P(B)

Menghitung Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A tidak terpengaruh oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B tidak terpengaruh oleh kejadian A.

Catatan:

Bedakan pengertian antara dua kejadian yang saling bebas dengan pengertian dua kejadian yang saling lepas yang telah dibahas sebelumnya.

Jika kejadian A dan kejadian B saling bebas maka berlaku

Sebaliknya, jika P(A B) P(A) P(B) maka kejadian A dan kejadian B tidak saling bebas

P (A B) = P(A) P(B)

Menghitung Peluang Kejadian Bersyarat

S

BA

BA/B

Ruang contoh semula Ruang contoh yang baru Kejadian bersyarat A/B

Proses terbentuknya kejadian bersyarat A/B

• Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu, ditentukan dengan aturan

• Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu, ditentukan dengan aturan

P (A/B)P (B)

, P (B) 0 P(A B)=

P (B/A)P (A)

, P (A) 0 P(A B)=

Peluang Kejadian pada Pengambilan Contoh

Pengambilan kartu yang dilakukan secara acak disebut pengambilan contoh acak.

Proses pengambilan contoh sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan dapat dilakukan denga cara sebagai berikut

1. Pengambilan contoh dengan pengembalian

Misalkan kartu pertama telah diambil. Kartu ini dikembalikan lagi sehingga jumlah kartu tetap seperti jumlah kartu semula. Kemudian kartu-kartu tersebut dikocok lagi, baru diambil kartu kedua. Proses pengambilan contoh dengan cara seperti ini disebut pengambilan contoh dengan pengembalian.

2. Pengambilan contoh tanpa pengembalian

Misalkan kartu pertama telah diambil. Kartu yang telah diambil itu tidak dikembalikan. Jika jumlah kartu semula n, maka jumlah kartu berikutnya menjadi ( n 1). Kartu-kartu sebanyak (n 1) buah itu dikocok, kemudian diambil kartu kedua. Proses pengembalian contoh dengan cara seperti ini disebut pengambilan contoh tanpa pengembalian.