Universidad del Valle Probabilidad y estadstica Variables aleatorias Diez problemas para resolver en el saln (y antes del examen) 1) El prximo partido de la seleccin Colombia se jugar contra Brasil en la Copa Amrica, que se jugar en Chile en Junio del prximo ao . Ya apareci el experto locutor que pretende conocer mucho de ftbol. Ha descrito su pronstico con la siguiente tabla de goles: Colombia

Brasil 0 1 2 3 Total 0 15 8 6 3 32

1 18 10 4 2 34 2 12 6 3 1 22 3 5 4 2 1 12

Total 50 28 15 7 100

Se definen las siguientes variables aleatorias: X : Nmero de goles de Brasil; Y : Nmero de goles de Colombia Se definen los siguientes eventos para Colombia: A: Gana B : Pierde C: Empata Bajo la hiptesis del locutor, encuentre: E(X), E(Y), Var(X), Var(y), Cov(X,Y), P(A), E(X|A) Parece intuitivo que: = + () Se podra verificar en esta ocasin? 2) Diga si las siguientes proposiciones son ciertas o falsas; si son ciertas se deben demostrar, si son falsas, cualquier ejemplo, imginese el ms simple, sirve para el efecto. a) Sea X un v.a. con varianza !! ; sea = !; entonces !! > !! b) Para toda v.a. X positiva con media , y una constante positiva ( ) c) Si = (X y Y son variables aleatorias independientes) entonces: ! = !!

3) En el artculo Los grandes nmeros que tuvimos oportunidad de leer en el curso, se comenta el hecho de que un automovilista podra considerar que en promedio la distancia que se recorre entre dos pinchazos es de 20.000 kms. Es decir el autor sugiere que la distancia que se recorre con una llanta nueva es una variable aleatoria exponencial con promedio 20.000 kms. Recordemos que eso significa que la distancia X recorrida con una llanta hasta el primer pinchazo tiene la siguiente funcin de densidad: = !!" 0 y en este caso = !

!".!!! y x se expresa en kms.

i) Cul es la probabilidad de circular ms de 100.000 kms sin tener que cambiar la rueda? ii) Supongamos que el automovilista ha andado 10.000 kms sin pinchazos; Cul es ahora la probabilidad de que pueda seguir recorriendo los prximos 20.000 kms sin pinchazos? Observe que se pide una probabilidad condicional: ( 20.000| 10.000); En general encuentre ( + | ) Qu significa? iii) El automovilista compra y utiliza de inmediato las cuatro llantas del carro. Suponiendo que la duracin de las llantas son independientes unas de otras, lo cual es una suposicin fuerte, an as, calcule el recorrido esperado hasta que aparezca el primer pinchazo. 4) Calificacin por curva: Algunos profesores no tienen problemas de conciencia en la evaluacin de sus cursos. En primer lugar, creen firmemente en la distribucin normal de los atributos (competencia, inteligencia, habilidad,) de la vida. Adems utiliza los exmenes de opcin mltiple para este propsito. Una vez tiene los resultados de la OCR, ! , !, , ! de sus n estudiantes, ejecuta un programa en R que le suministra la media y la varianza del curso segn las frmulas conocidas: = !!

!!! y ! = !!!!

!! !

! ! =

!!!! !

= 1,2, , Luego procede algoritmicamente : Si el valor de z se encuentra:

z< -2 -2 z < -1 -1 z < 0 0 z < 1.0 1.0 z < 2.0 2 z 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 4.5

Cul es la probabilidad de pasar el curso ? Cul es el valor esperado de la nota transformada?

5) El juego del craps (descrito en Cara y Cruz ) Se juega lanzando repetidamente dos dados y sumando los resultados. Si la suma es igual a 2, 3, 12 el jugador pierde inmediatamente. Si la suma equivale a 7 o a 11 el jugador gana de inmediato. Si el resultado es cualquier otro valor (por ejemplo 4) este se convierte en el punto del jugador. El jugador lanza los dados hasta que sale el punto, en cuyo caso gana la apuesta o bien, sale 7, en cuyo caso pierde. Apostara Usted 10000 pesos al crap. Explique. Bibliografa: Rosenthal Jeffrey; Cara o cruz; Tusquets Metatemas; 2011 6) El problema del vendedor de peridicos: Un problema de probabilidad de la poca del la ingeniera industrial (se cree que fue propuesto por un economista matemtico Edgewort en 1888 - pero fue transformado por los ingenieros industriales que aplicaron la investigacin de operaciones en los aos cincuenta). NC Petruzzi, M Dada - Operations Research, 1999 - or.journal.informs.org ; veamos la versin ms simple: un vendedor de peridicos debe decidir el nmero de peridicos que va a adquirir; sabe que la demanda de peridicos es una variable aleatoria, que se puede suponer continua, de la cual se conoce su funcin de densidad >0; sabe que por cada peridico vendido gana pesos y que por cada peridico no vendido pierde pesos. Cuntos peridicos debe solicitar el vendedor (por la maana y una sola vez) para maximizar el valor esperado de la ganancia. Sugerencia: Suponga que el vendedor pide y peridicos. Establezca la ganancia como una variable aleatoria y calcule el valor esperado, que es una funcin de y. Para encontrar el mximo utilizamos la derivada y tenemos aqu una aplicacin til del clculo a la probabilidad. El final resulta bastante simple y muy razonable. 7) Un fabricante conoce que de un lote de 1000 artculos que l tiene en el almacn para la venta, la caracterstica ms importante es la longitud del eje central. Despus de muchos ensayos ha llegado al convencimiento que la longitud del eje central se distribuye normalmente con media 1.35 m y una desviacin estndar de 0.05 m; En el comercio de este tipo de artefactos se considera aceptable un artculo cuando la longitud del eje central se encuentra en el intervalo [1.31 1.38]. Un comprador propone que inspeccionar al azar 10 componentes. Si en la inspeccin pasan 8 o ms comprar el lote a $60000 /artculo; si pasan menos de ocho comprar slo a $40000/artculo. Cul es el valor esperado que el fabricante recibira de ese potencial comprador de todo el lote?

8) El problema del coleccionista de cupones, como se le ha llamado a este problema y otros de naturaleza similar, tiene un antecedente que se remonta al famoso tratado de Abraham de Moivre de 1712 hace trescientos dos aos de mensura sortis en el cual resolvi este problema clsico:

Un dado simtrico con N caras es lanzado r veces independientemente; Cul es la probabilidad de que todas las caras aparezcan al menos una vez? (Intentar otra vez con el principio de inclusin y exclusin). Suponga que se lanza un dado de seis caras seis veces cul es la probabilidad de obtener todas las caras? Y ahora, lancemos ese dado doce veces cul es la probabilidad de obtener cada cara dos veces? 9) El problema de Banach el fumador: Resulta que Banach, un gran matemtico del siglo XX, fumaba incansablemente en sus clases. Siempre llevaba dos cajas de cerillas para prender su cigarrillo. Una en cada bolsillo. Seleccionaba el bolsillo al azar para obtener una cerilla. Una vez un colega muy aventajado, quien fue tambin un enorme matemtico, Steinhaus, se dio cuenta, que Banach al tratar de sacar la cerilla de una de las cajas la encontr vaca. Como eran gentes giles, matemticamente hablando, Steinhaus le pregunt a Banach cul era la probabilidad de que la otra caja de cerillas tambin estuviera vaca y cul era el nmero de cerillas que haba en la otra caja o cul era su valor esperado? Las cajas de cerillas de la poca se vendan con cincuenta unidades. El problema se encuentra planteado en Feller 10) El problema de las coincidencias que le saca tanto partido Ross, en su libro de Introduccin a los modelos es una consecuencia del principio de inclusin y exclusin. De Moivre (1725) llega a demostrar que el nmero de coincidencias se distribuye con una distribucin de Poisson con media 1. Aos ms tarde se demostr que la varianza es 1. (Aunque De Moivre no utiliza esos trminos) Demuestre que la distribucin del nmero de coincidencias (tal como lo plantea Ross con los n sombreros) tiene media 1 y varianza 1 y que se trata de una distribucin de Poisson

Daniel Arbelaez Cali, Noviembre de 2014