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  • Estadstica para la toma de decisiones

  • ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

    1

    Sesin No. 5

    Nombre: Introduccin a la Probabilidad.

    Objetivo

    Al trmino de la sesin el estudiante distinguir las reglas de la adicin y de la

    multiplicacin, a travs de la resolucin de ejercicios para practicar el clculo de

    probabilidad simple, conjunta, condicional y suma de probabilidades, y resolver

    problemas del rea econmico administrativa.

    Contextualizacin En esta sesin aprenderemos el concepto de probabilidad, su teora, conceptos

    bsicos y las reglas de la adicin y multiplicacin aplicadas para la solucin de

    problemas econmicos administrativos.

    Aprenderemos a utilizar los diagramas de Venn y el diagrama de rbol para

    ilustrar de una manera grfica las probabilidades de los eventos.

    Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_pTLom3c-

    2K4/SPQSqfgp61I/AAAAAAAAAHI/ar5fVMWDjYc/s400/union.jpg

    http://1.bp.blogspot.com/_pTLom3c-2K4/SPQSqfgp61I/AAAAAAAAAHI/ar5fVMWDjYc/s400/union.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_pTLom3c-2K4/SPQSqfgp61I/AAAAAAAAAHI/ar5fVMWDjYc/s400/union.jpg
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    Introduccin al Tema Los administradores sustentan sus decisiones en un anlisis de incertidumbres

    como las siguientes:

    Qu posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los

    precios?

    Cules son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo?

    Qu oportunidad existe de que una nueva invencin sea rentable?

    La probabilidad dentro de las empresas participa en aquellos problemas y

    situaciones donde se presenta la incertidumbre y es requerida una toma de

    decisiones.

    Fuente: http://us.123rf.com/400wm/400/400/michaelstock/michaelstock1108/michaelstock110800011/10303

    960-el-grafico-muestra-las-ventas-mas-altas-fuente-nasa.jpg

    http://us.123rf.com/400wm/400/400/michaelstock/michaelstock1108/michaelstock110800011/10303960-el-grafico-muestra-las-ventas-mas-altas-fuente-nasa.jpghttp://us.123rf.com/400wm/400/400/michaelstock/michaelstock1108/michaelstock110800011/10303960-el-grafico-muestra-las-ventas-mas-altas-fuente-nasa.jpg
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    Explicacin La probabilidad es una medida numrica de la posibilidad de que ocurra un

    evento. Sus valores se encuentran en una escala de 0 a 1.

    Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_nr3ZfKjSXkY/TJ4MLCaZPgI/AAAAAAAAACA/2lw2iXQGdeQ/s1600/,.png

    Teora de la Probabilidad

    Experimento, es un proceso que produce uno de varios resultados

    posibles. Por ejemplo, un volado produce guila o Sol.

    Espacio muestral (U), es el conjunto formado por todos los resultados

    posibles de un experimento. Por ejemplo, en un volado: U = {guila, Sol}

    Evento es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, el evento:

    E1 = Caer guila en un volado.

    Probabilidad, es un nmero real que mide la posibilidad de que ocurra un

    resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo.

    casosdeTotalfavorablesCasosadProbabilid ==

    oexperimentdelposiblescasosdeNmerooexperimentdelfavorablescasosdeNmero

    Por ejemplo, la probabilidad de que caiga guila (A) en un volado es:

    50%0.521

    ====sol)oguila:posibles resultados (dos 2

    moneda) laen guila (una1P(A)

    http://3.bp.blogspot.com/_nr3ZfKjSXkY/TJ4MLCaZPgI/AAAAAAAAACA/2lw2iXQGdeQ/s1600/,.png
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    Ejemplo 1. Se lanza una vez un dado legal.

    El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados:

    U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Sea E1 = Obtener un 1 en la tirada.

    Casos favorables = 1 Todos los casos posibles = 6

    Su probabilidad es: 61

    =)( 1EP

    Sea E2 = Obtener un 2 en la tirada, su probabilidad es: 61

    =)( 2EP

    Considerando el espacio muestral se tiene:

    P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E4) + P(E5) + P(E6) = 1

    1==+++++== 6

    661

    61

    61

    61

    61

    61)(

    6

    1iEP i

    Sea E7 = Obtener un 2 o un 5 en la tirada, su probabilidad es:

    31

    ==+=62

    61

    61)( 7EP

    Complemento de un evento

    Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de

    todos los resultados que no estn en A. Su clculo es: P( E ) = 1 P(E)

    El diagrama de Venn ilustra claramente el concepto de complemento en la

    siguiente figura:

  • ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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    Fuente: http://matematicasdivertidas6.files.wordpress.com/2012/07/complemento1.jpg

    El complemento del evento A es toda la regin sombreada.

    Ejemplo 2. Calcular P( 7E ) = Probabilidad de no obtener un 2 o un 5 en la

    tirada.

    Si se excluyen los eventos E2 y E5 se obtiene:

    P(E1) + P(E3) + P(E4) + P(E6)

    32

    ==+++=64

    61

    61

    61

    61)( 7EP

    Otra solucin es: 32

    ====31

    33

    311)(1)( 77 EPEP

    Ejemplo 3. Para el experimento de lanzar una moneda al aire, se tiene como resultado el espacio muestral (cara, cruz) y para el lanzamiento de

    dos monedas al aire se tiene el siguiente espacio muestral

    representado en un diagrama de rbol.

    http://matematicasdivertidas6.files.wordpress.com/2012/07/complemento1.jpg
  • ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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    Fuente: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena12/imagenes12/arbol.g

    if

    Un diagrama de rbol es una representacin grfica que permite visualizar un

    experimento de pasos mltiples.

    Eventos mutuamente excluyentes

    Un conjunto de eventos es mutuamente excluyente si la ocurrencia de cualquiera

    de ellos excluye la posibilidad de que ocurra otro cualquiera.

    Ejemplo 1. En un volado si cae guila excluye que caiga sol y viceversa,

    entonces son eventos mutuamente excluyentes.

    Clculo probabilstico

    En la Tabla 1 puede observarse el comportamiento de los compradores de cierto

    producto, suponiendo que se ha tomado una muestra aleatoria de 500 clientes

    de una tienda departamental.

    http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena12/imagenes12/arbol.gifhttp://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena12/imagenes12/arbol.gif
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    Tabla 1

    Hombres ( H ) Mujeres ( H ) Total

    Compradores ( C ) 20 80 100

    No compradores ( C ) 130 270 400

    Total 150 350 500

    1. Probabilidad simple Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola caracterstica.

    resultadosdeTotal(A)nP(A) ==

    posiblesresultadosdeTotalAticacaracterslatienenqueeventosdeNmero

    1. Cul es la probabilidad de que el cliente escogido sea hombre?

    30%0.3===500150)()( HPHombreP

    2. Cul es la probabilidad de que el cliente sea mujer?

    70%0.7===500350)()( HPMujerP

    3. Cul es la probabilidad de que el cliente sea comprador?

    20%0.2===500100)()( CPCompradorP

    4. Cul es la probabilidad de que el cliente escogido no compre?

    80%0.8===500400)()( CPcompradorNoP

    2. Probabilidad conjunta Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con

    dos o ms caractersticas.

  • ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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    resultadosdeTotalB)y(AnB)P(A ==

    posiblesresultadosdeTotalByAticascaracterslasconeventosdeNmero

    1. Cul es la probabilidad de que el cliente sea al mismo tiempo hombre

    y comprador?

    4%0.04==50020)( CHP

    2. Cul es la probabilidad de que el cliente sea mujer y no compradora?

    54%0.54==500270)( CHP

    3. Cul es la probabilidad de que el cliente sea hombre y no comprador?

    26%0.26==500130)( CHP

    4. Cul es la probabilidad de que el cliente sea mujer y compradora?

    16%0.16==50080)( CHP

    Ley de la adicin. Sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Antes de presentar esta ley veremos la combinacin

    de eventos tales como la unin y la interseccin.

    Ley de la adicin:

  • ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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    Para dos eventos A y B: P(A U B) = P(A) + P (B) P(A B).

    Para tres eventos A, B y C:

    P(A U B U C)= P(A) +P (B) + P(C) - P(A B) - P(AC) - P(B C) - P(A B C)

    Ejemplo 1. Si las probabilidades de gana/pierde/empate para un equipo

    deportivo son 0.40, 0.23 y 0.37 respectivamente, Cul es la

    probabilidad de que este equipo no pierda?

    Sea G el evento gana y E el evento empate, por lo tanto:

    P (G U E) = P(G) + P(E) = 0.40 + 0.37 = 0.77

    3. Suma de probabilidades (reglas de la adicin) Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento

    con la caracterstica A, el evento con la caracterstica B o ambos, se representa

    como P(A o B) = P(A B).

    Caso 1: para eventos mutuamente excluyentes la regla es:

    resultadosdeTotaln(B)n(A)B)P(A +=+== )()(o BPAPB)P(A

    Caso 2: para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es:

    resultadosdeTotalB)yn(An(B)n(A)B)P(A +=+= )()()( BAPBPAP

    Ejemplo 1. Cuando se extrae una carta de una baraja, los eventos As (A) y Rey (R) son mutuamente excluyentes. Cul es la probabilidad de

    obtener un As o un Rey en una sola extraccin?

    132

    ==+=+==528

    524

    524)()(o RPAPR)P(AR)P(A

  • ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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    Ejemplo 2. Los eventos As (A) y Trbol (T) no son mutuamente excluyentes.

    Cul es la probabilidad de obtener un As, un Trbo

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