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Estadística para la toma de decisiones

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Estadística para la toma de decisiones

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

1

Sesión No. 5

Nombre: Introducción a la Probabilidad.

Objetivo

Al término de la sesión el estudiante distinguirá las reglas de la adición y de la

multiplicación, a través de la resolución de ejercicios para practicar el cálculo de

probabilidad simple, conjunta, condicional y suma de probabilidades, y resolver

problemas del área económico administrativa.

Contextualización En esta sesión aprenderemos el concepto de probabilidad, su teoría, conceptos

básicos y las reglas de la adición y multiplicación aplicadas para la solución de

problemas económicos administrativos.

Aprenderemos a utilizar los diagramas de Venn y el diagrama de árbol para

ilustrar de una manera gráfica las probabilidades de los eventos.

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_pTLom3c-

2K4/SPQSqfgp61I/AAAAAAAAAHI/ar5fVMWDjYc/s400/union.jpg

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

2

Introducción al Tema Los administradores sustentan sus decisiones en un análisis de incertidumbres

como las siguientes:

• ¿Qué posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los

precios?

• ¿Cuáles son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo?

• ¿Qué oportunidad existe de que una nueva invención sea rentable?

La probabilidad dentro de las empresas participa en aquellos problemas y

situaciones donde se presenta la incertidumbre y es requerida una toma de

decisiones.

Fuente: http://us.123rf.com/400wm/400/400/michaelstock/michaelstock1108/michaelstock110800011/10303

960-el-grafico-muestra-las-ventas-mas-altas-fuente-nasa.jpg

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

3

Explicación La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un

evento. Sus valores se encuentran en una escala de 0 a 1.

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_nr3ZfKjSXkY/TJ4MLCaZPgI/AAAAAAAAACA/2lw2iXQGdeQ/s1600/,.png

Teoría de la Probabilidad

• Experimento, es un proceso que produce uno de varios resultados

posibles. Por ejemplo, un volado produce Águila o Sol.

• Espacio muestral (U), es el conjunto formado por todos los resultados

posibles de un experimento. Por ejemplo, en un volado: U = {Águila, Sol}

• Evento es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, el evento:

E1 = Caer Águila en un volado.

• Probabilidad, es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un

resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo.

casosdeTotalfavorablesCasosadProbabilid ==

oexperimentdelposiblescasosdeNúmerooexperimentdelfavorablescasosdeNúmero

Por ejemplo, la probabilidad de que caiga Águila (A) en un volado es:

50%0.521

====sol)oáguila:posibles resultados (dos 2

moneda) laen águila (una1P(A)

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

4

Ejemplo 1. Se lanza una vez un dado legal.

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sea E1 = Obtener un 1 en la tirada.

Casos favorables = 1 Todos los casos posibles = 6

Su probabilidad es: 61

=)( 1EP

Sea E2 = Obtener un 2 en la tirada, su probabilidad es: 61

=)( 2EP

Considerando el espacio muestral se tiene:

P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E4) + P(E5) + P(E6) = 1

1==+++++=∑= 6

661

61

61

61

61

61)(

6

1iEP i

Sea E7 = Obtener un 2 o un 5 en la tirada, su probabilidad es:

31

==+=62

61

61)( 7EP

Complemento de un evento

Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de

todos los resultados que no están en A. Su cálculo es: P( E ) = 1 – P(E)

El diagrama de Venn ilustra claramente el concepto de complemento en la

siguiente figura:

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

5

Fuente: http://matematicasdivertidas6.files.wordpress.com/2012/07/complemento1.jpg

El complemento del evento A es toda la región sombreada.

Ejemplo 2. Calcular P( 7E ) = Probabilidad de no obtener un 2 o un 5 en la

tirada.

Si se excluyen los eventos E2 y E5 se obtiene:

P(E1) + P(E3) + P(E4) + P(E6)

32

==+++=64

61

61

61

61)( 7EP

Otra solución es: 32

=−=−=−=31

33

311)(1)( 77 EPEP

Ejemplo 3. Para el experimento de lanzar una moneda al aire, se tiene como

resultado el espacio muestral (cara, cruz) y para el lanzamiento de

dos monedas al aire se tiene el siguiente espacio muestral

representado en un diagrama de árbol.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

6

Fuente: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena12/imagenes12/arbol.g

if

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un

experimento de pasos múltiples.

Eventos mutuamente excluyentes

Un conjunto de eventos es mutuamente excluyente si la ocurrencia de cualquiera

de ellos excluye la posibilidad de que ocurra otro cualquiera.

Ejemplo 1. En un volado si cae águila excluye que caiga sol y viceversa,

entonces son eventos mutuamente excluyentes.

Cálculo probabilístico

En la Tabla 1 puede observarse el comportamiento de los compradores de cierto

producto, suponiendo que se ha tomado una muestra aleatoria de 500 clientes

de una tienda departamental.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

7

Tabla 1

Hombres ( H ) Mujeres ( H ) Total

Compradores ( C ) 20 80 100

No compradores ( C ) 130 270 400

Total 150 350 500

1. Probabilidad simple Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.

resultadosdeTotal(A)nP(A) ==

posiblesresultadosdeTotalAticacaracteríslatienenqueeventosdeNúmero

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente escogido sea hombre?

30%ó0.3===500150)()( HPHombreP

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer?

70%ó0.7===500350)()( HPMujerP

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea comprador?

20%ó0.2===500100)()( CPCompradorP

4. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente escogido no compre?

80%ó0.8===500400)()( CPcompradorNoP

2. Probabilidad conjunta Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con

dos o más características.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

8

resultadosdeTotalB)y(AnB)P(A ==∩

posiblesresultadosdeTotalByAticascaracteríslasconeventosdeNúmero

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea al mismo tiempo hombre

y comprador?

4%ó0.04==∩50020)( CHP

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer y no compradora?

54%ó0.54==∩500270)( CHP

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea hombre y no comprador?

26%ó0.26==∩500130)( CHP

4. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer y compradora?

16%ó0.16==∩50080)( CHP

Ley de la adición. Sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo

menos uno de dos eventos. Antes de presentar esta ley veremos la combinación

de eventos tales como la unión y la intersección.

Ley de la adición:

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

9

Para dos eventos A y B: P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A ∩ B).

Para tres eventos A, B y C:

P(A U B U C)= P(A) +P (B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A∩C) - P(B ∩ C) - P(A ∩ B ∩ C)

Ejemplo 1. Si las probabilidades de gana/pierde/empate para un equipo

deportivo son 0.40, 0.23 y 0.37 respectivamente, ¿Cuál es la

probabilidad de que este equipo no pierda?

Sea G el evento “gana” y E el evento “empate”, por lo tanto:

P (G U E) = P(G) + P(E) = 0.40 + 0.37 = 0.77

3. Suma de probabilidades (reglas de la adición) Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento

con la característica A, el evento con la característica B o ambos, se representa

como P(A o B) = P(A ∪ B).

Caso 1: para eventos mutuamente excluyentes la regla es:

resultadosdeTotaln(B)n(A)B)P(A +

=+=∪= )()(o BPAPB)P(A

Caso 2: para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es:

resultadosdeTotalB)yn(An(B)n(A)B)P(A −+

=∩−+=∪ )()()( BAPBPAP

Ejemplo 1. Cuando se extrae una carta de una baraja, los eventos As (A) y

Rey (R) son mutuamente excluyentes. ¿Cuál es la probabilidad de

obtener un As o un Rey en una sola extracción?

132

==+=+=∪=528

524

524)()(o RPAPR)P(AR)P(A

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

10

Ejemplo 2. Los eventos As (A) y Trébol (T) no son mutuamente excluyentes.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un As, un Trébol o ambos en

una sola extracción?

134

==−+=∩−+=∪=5216

521

5213

524)()()(o TAPTPAPT)P(AT)P(A

Ejemplo 3. Con los datos de la Tabla 1 calcule lo siguiente:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente elegido sea hombre o comprador?

46%ó0.46==−+=∩−+=∪=500230

50020

500100

500150)()()(o CHPCPHPC)P(HC)P(H

Observe que se sumó la probabilidad de hombre con la probabilidad de

comprador y se le restó la probabilidad de hombre comprador, ya que la

toma dos veces, y si no se restará la estaría duplicando. Si observa el

siguiente diagrama de Venn, se puede observar que sólo se interceptan

los datos una vez y no dos.

46%ó0.46==++

=∪500230

5008020130C)P(H

Sólo cuando se trabaja con una tabla de contingencias es más fácil

obtener la suma de probabilidades por medio de la cardinalidad de la

unión: | A ∪ B | = | A | + | B | – | A ∩ B |, que realizar un diagrama de

Venn para cada unión.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer o comprador? 74%ó0.74==−+=∩−+=∪=

500370

50080

500100

500350)()()(o CHPCPHPC)HP(C)HP(

H C

20 80 13

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

11

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea hombre o no comprador?

84%ó0.84==−+=∩−+=∪=500420

500130

500400

500150)()()(o CHPCPHP)CP(H)CP(H

4. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente sea mujer o no comprador?

96%ó0.96==−+=∩−+=∪=500480

500270

500400

500350)()()(o CHPCPHP)CHP()CHP(

4. Probabilidad condicional Es la probabilidad de que un segundo evento A ocurra, si el primer evento B ya

ha ocurrido, se denota P(A / B) y se lee ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el

evento A si ya ocurrió el evento B?

n(B)B)y(AnB)/P(A ==

∩=

BticacaracteríslaconeventosdeNúmeroByAticascaracteríslasconeventosdeNúmero

BPBAP

)()(

Ejemplo 1. En cierta ciudad, 75% de la gente consume el refresco A, 55% el

refresco B y 40% consume ambos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar

consuma el refresco B, dado que consume el A?

P(A) = 0.75, P(B) = 0.55, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.40

𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐴)

= 0.400.75

= 0.5333 = 53.33%

Condicional: lo

que ya sucedió

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

12

Ejemplo 2. Con los datos de la Tabla 1 calcule lo siguiente:

1. Suponga que el cliente elegido es hombre ¿cuál es la probabilidad de que también sea comprador?

13.33%ó0.1333==∩

=15020

)()(

HPHCPH)/P(C

Al dar por hecho que es hombre, nuestro universo se concreta a los

hombres (150) y buscando la probabilidad de comprador, se cuenta

únicamente los compradores hombres (20).

2. Calcular la probabilidad de que el cliente elegido sea comprador, dado el

hecho de que es mujer.

22.86%ó0.2286==∩

=35080

)()(

HPHCP)H/P(C

Reglas de la multiplicación

Se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A

y B, esto se refiere a la intersección de A y B: P(A ∩ B). Existen dos variaciones

a la regla de la multiplicación de acuerdo a si los eventos son independientes o

dependientes.

Caso 1: Regla de la multiplicación para eventos independientes es:

P(A ∩ B) = P(A y B) = P(A) P(B)

Ejemplo 1. Si se lanza una moneda dos veces, la probabilidad de que ambos

resultados sean águila es:

41

1 =

===∩

21

21)()()y( 2121 APAPAAP)AP(A 2

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

13

Ejemplo 2. Suponga que en una urna hay cinco fichas, tres blancas y dos

negras, calcule lo siguiente:

a ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos fichas blancas en dos extracciones si se repone la primera ficha después de haberla sacado?

B = Blanca y N = Negra

259

21 =

===∩

53

53)()()y( 2121 BPBPBBP)BP(B

La segunda extracción tiene la misma probabilidad porque se repone

la primera ficha extraída, por ello, las dos extracciones son eventos

independientes. Reponer la ficha extraída se conoce como muestreo

con reemplazo.

b ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra si se repone la primera ficha que fue blanca?

256

21 =

===∩

52

53)()()y( 2121 NPBPNBP)NP(B

c ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca si se repone la primera ficha que fue negra?

256

21 =

===∩

53

52)()()y( 2121 BPNPBNP)BP(N

d ) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos fichas negras en dos extracciones si se repone la primera ficha extraída?

254

21 =

===∩

52

52)()()y( 2121 NPNPNNP)NP(N

1ra. extracción

2da. extracción

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

14

Todos los cálculos anteriores son más fáciles de visualizar, si se realiza el

árbol de probabilidades correspondiente, que se presenta en la Figura 1.

Extracción 1 Extracción 2 Resultados posibles

( )53

2 =BP B2 259

==

53

53

( )53

1 =BP 5

31 =B ( )

52

2 =NP

N2 B1N 256

==

52

53

( )53

2 =BP B2 256

==

53

52

( )52

1 =NP 5

21 =N

( )52

2 =NP N1N 254

==

52

52

1.055

= 1.02525

=

Figura 1

Caso 2: Regla de la multiplicación para eventos dependientes es:

P(A ∩ B) = P(A y B) = P(A) P(B / A)

Ejemplo 1. Suponga que en una urna hay cinco fichas, tres blancas y dos

negras, calcule lo siguiente:

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos fichas blancas en dos intentos, sin reponer la primera ficha en la urna?

La probabilidad de sacar una ficha blanca en el primer intento es:

( ) 53

1 =BP ; ya que hay tres fichas blancas entre cinco fichas totales; la

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

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probabilidad de sacar otra ficha blanca es: ( ) 42

12=/BBP ; ya que quedan

en la urna dos fichas blancas entre cuatro fichas totales. De aquí que la

probabilidad de que en ambos intentos saquemos una ficha blanca es:

B = Blanca y N = Negra

206

21 =

==∩

42

53)/()( 121 BBPBP)BP(B

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en la segunda extracción, si se obtuvo primero una ficha blanca y no se repuso?

206

21 =

==∩

42

53)/()( 121 BNPBP)NP(B

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en el segundo intento, si se obtuvo primero una ficha negra y no se repuso?

202

21 =

==∩

41

52)/()( 121 NNPNP)NP(N

4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha blanca en la segunda extracción, si se obtuvo primero una ficha negra y no se repuso?

206

21 =

==∩

43

52)/()( 121 NBPNP)BP(N

Todos los cálculos anteriores son más fáciles de visualizar, si se realiza el

árbol de probabilidades correspondiente, que se presenta en la Figura 2.

1ra. extracción

2da. extracción

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

16

Extracción 1 Extracción 2 Resultados

( )42

2 =BP B2 206

==

42

53

( )53

1 =BP 5

31 =B

( )42

2 =NP N2 206

==

42

53

( )43

2 =BP B2 206

==

43

52

( )52

1 =NP 5

21 =N

( )41

2 =NP N2 202

==

41

52

1.055

= 1.02020

=

Figura 2

Independencia estadística

Dos eventos son estadísticamente independientes, cuando la ocurrencia de uno

no afecta a la probabilidad de que suceda el otro.

Cuando P(A / B) = P(A), significa que la probabilidad de A, conocida B, es

exactamente la misma que la de A, sin conocer B; es decir, el conocimiento de B

no modifica de ninguna forma la probabilidad de A. En consecuencia A es

estadísticamente independiente de B.

Si P(A / B) = P(A) entonces son eventos estadísticamente independientes.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

17

Ejemplo 1. ¿Quién compra más los hombres o las mujeres? ¿Quién compra

más los jóvenes o los adultos?

Para ilustrar la noción de independencia estadística, vamos a considerar el

siguiente ejemplo relacionado con el comportamiento de los clientes, a los

que ahora clasificaremos por edad y sexo.

Hombres ( H ) Mujeres ( H )

Jóvenes ( J )

Adultos ( J )

Subtotal Jóvenes ( J )

Adultos ( J )

Subtotal Total

Compradores ( C )

5 15 20 20 60 80 100

No compradores ( C )

25 105 130 75 195 270 400

Total 30 120 150 95 255 350 500

Calcule de los clientes lo siguiente:

1. ¿Probabilidad de ser hombre? 30%ó0.3==

+==

500150

50012030)()(

UHnHP

2. ¿Probabilidad de ser mujer?

70%ó0.7==

+==

500350

50025595)()(

UHnHP

3. ¿Probabilidad de ser joven?

25%ó0.25==

+==

500125

5009530)()(

UJnJP

Probabilidad simple

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

18

4. ¿Probabilidad de ser adulto?

75%ó0.75==+

==500375

500255120)()(

UJnJP

5. ¿Probabilidad de ser comprador? 20%ó0.2==

500100)()(

UCnCP

6. ¿Probabilidad de ser comprador, dado el hecho de ser joven?

20%ó0.2==++

=∩

=12525

9530205

)()(

JPJCPJ)/P(C

7. ¿Probabilidad de ser comprador, dado el hecho de ser adulto?

20%ó0.2==++

=∩

=37575

2551206015

)()(

JPJCP)J/P(C

Observe que: )(CPJ)/P(C = y )(CP)J/P(C =

0.2 = 0.2 0.2 = 0.2

Si )()/( CPJCP = y )()/( CPJCP = entonces son eventos

estadísticamente independientes, porque la probabilidad condicional

es igual a la probabilidad simple.

En consecuencia, la edad (joven o adulto) y el comportamiento del cliente

(comprar o no comprar) son cualidades independientes. El conocer la edad

no es de utilidad para predecir si una persona compra o no.

Por otra parte, el comportamiento del cliente y el sexo no son cualidades

independientes, observe que:

Probabilidad simple

Probabilidad

condicional

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

19

Probabilidad de ser comprador, dado que es hombre:

13.33%ó0.1333==∩

=15020

)()(

HPHCPH)/P(C

Probabilidad de ser comprador, dado que es mujer:

%22.86ó0.2286 .35080

)()(

==∩

=HP

HCP)H/P(C

Observe que: )()/( CPHCP ≠ y )()/( CPHCP ≠

2.01333.0 ≠ 2.02286.0 ≠

Si )()/( CPHCP ≠ y )()/( CPHCP ≠ entonces son eventos

estadísticamente dependientes, porque la probabilidad condicional es

diferente a la probabilidad simple.

Entonces comportamiento y sexo son eventos dependientes, porque no

existe independencia estadística.

Como 22.86% > 13.33% entonces hay más mujeres compradoras que

hombres.

Como es una muestra aleatoria se puede afirmar que: las mujeres

compran más que los hombres.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

20

Conclusión En esta sesión aprendimos a calcular la probabilidad de un evento a través de

las reglas de adición y multiplicación para la probabilidad apoyándonos en el uso

de los diagramas de Venn y los diagramas de árbol.

En la siguiente sesión trabajaremos con las técnicas de conteo más utilizadas,

las permutaciones y combinaciones.

Fuente: http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=56b7ac88-051c-44a3-ab22-

f13979c64bef&groupId=10137&t=1260845265734

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

21

Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

• Introducción al cálculo de probabilidades.

http://brd.unid.edu.mx/introduccion-al-calculo-de-probabilidades/

• Probabilidad y estadística.

http://brd.unid.edu.mx/probabilidad-y-estadistica/

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

22

Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de la Probabilidad y las reglas de la

adición y multiplicación, resuelve los siguientes ejercicios:

1. Las autoridades de Clarkson Univesity realizaron un sondeo entre sus

alumnos para conocer su opinión acerca de su universidad. Una pregunta fue

si la universidad no satisface sus expectativas, si las satisface o si las supera.

Encontraron que 4% de los interrogados no dieron una respuesta, 26%

correspondieron que la universidad no llenaba sus expectativas y 56% indicó

que la universidad las superaba.

a. Si toma un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que diga que la

universidad supera sus expectativas?

b. Si toma un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que diga que la

universidad satisface o supera sus expectativas?

2. Suponga dos eventos, A y B, que son mutuamente excluyentes. Admita,

además, que P(A) = 0.30 y P (B)= 0.40.

a. Obtenga 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

b. Calcule P( A | B).

c. Un estudiante de estadística argumenta que los conceptos de eventos

mutuamente excluyentes y eventos independientes son en realidad lo

mismo y que si los eventos son mutuamente excluyentes deben ser

también independientes. ¿está usted de acuerdo? Use la información

sobre las probabilidades para justificar su respuesta.

d. Dados los resultados obtenidos, ¿Qué conclusión sacaría usted de los

eventos mutuamente excluyentes e independientes?

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificación final.

ESTADÍSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

23

Bibliografía

• Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage Learning.

ISBN: 970-686-278-1

• Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012):

Estadística descriptiva. México: Pearson Educación

• Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008):

Estadística aplicada a los negocios y la economía. México: McGraw-Hill.

Cibergrafía

• Rincón, L. (agosto de 2006). Probabilidad y estadística. Recuperado

de: http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/pe-agosto-2006.pdf

• (s.f.). Introducción al cálculo de probabilidades. Recuperado

de: http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadistic

aII/tema1.pdf