paper momen inersia
DESCRIPTION
MOMEN INERSIAKita pasti pernah melihat atau pun memainkan sebuah gasing atau yoyo. Gasing itu dapat berputar dengan seimbang karena didesain dengan baik sehingga pusat massanya berada ditengah-tengah diameter gasing, dan yoyo pun begitu. Hal ini dikarenakan bahwa setiap benda pastilah memiliki titik pusat massa yang merupakan tempat dimana massa benda bertumpu, denganperngertian ini maka dapat dipastikan bahwa setiap benda pasti juga memiliki momen inersia yang besarnya tergantung dari jarakTRANSCRIPT
MOMEN INERSIA
Kita pasti pernah melihat atau pun memainkan sebuah
gasing atau yoyo. Gasing itu dapat berputar dengan
seimbang karena didesain dengan baik sehingga pusat
massanya berada ditengah-tengah diameter gasing, dan
yoyo pun begitu. Hal ini dikarenakan bahwa setiap benda
pastilah memiliki titik pusat massa yang merupakan
tempat dimana massa benda bertumpu, dengan
perngertian ini maka dapat dipastikan bahwa setiap benda
pasti juga memiliki momen inersia yang besarnya tergantung dari jarak pusat
massa ke sumbu putar. Namun pusat massa setiap benda tidaklah sama meskipun
memiliki bentuk fisik yang hampir sama seperti bola pejal dengan bola berongga,
sehingga momen inersia antara bola pejal dengan bola berongga jugalah tidak
sama. Untuk mencari momen inersia benda yang memiliki bentuk atau wujud
tertentu seperti silinder pejal, bola dan lain-lain sangatlah mudah.
Lama dari putaran gasing atau yoyo ini bergantung pada diameter,
kecepatan rotasi, massa, dan momen inersia. Dengan mempelajari momen inersia
kita dapat membuat putaran gasing bertahan lebih lama dan efisien, begitu pula
dengan alat-alat atau mesin yang mempunyai prinsip yang sama.
Momen inersia yang memiliki satuan SI kgm2 adalah ukuran kelembaman
suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi
daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa
dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan
kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain.
Torsi juga mempengaruhi gerakan benda yang berotasi. Dari pernyataan
tersebut dapat diketahui bahwa semakin besar pengaruhnya terhadap gerakan
benda yang berotasi. Dalam hal ini, semakin besar torsi, semakin besar pula
perubahan kecepatan sudut yang dialami benda. Perubahan kecepatan sudut ini
bisa dikatakan sama dengan percepatan sudut. Jadi kita bisa mengatakan bahwa
torsi sebanding alias berbanding lurus dengan percepatan sudut benda. Perlu
diketahui bahwa benda yang berotasi juga memiliki massa.
Dalam gerak lurus, massa berpengaruh terhadap gerakan benda. Massa bisa
diartikan sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatan
geraknya. Apabila benda sudah bergerak lurus dengan kecepatan tertentu, benda
sulit dihentikan jika massa benda itu besar. Sebuah truk gandeng yang sedang
bergerak lebih sulit dihentikan dibandingkan dengan sebuah taksi. Sebaliknya jika
benda sedang diam atau saat kecepatannya sama dengan 0, benda tersebut juga
sulit digerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang bola tenis meja
dan bola sepak dengan gaya yang sama, maka tentu saja bola sepak akan bergerak
lebih lambat.
Dalam gerak rotasi, “massa” benda tegar dikenal dengan julukan Momen
Inersia alias MI. Momen Inersia dalam gerak rotasi itu mirip dengan massa dalam
gerak lurus. Jika massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda
untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan linear = kecepatan gerak
benda pada lintasan lurus), maka Momen Inersia dalam gerak rotasi menyatakan
ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut (kecepatan
sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rotasi. Disebut sudut
karena dalam gerak rotasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Momen
inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar alias berotasi.
sebaliknya, benda yang berputar juga sulit dihentikan jika momen inersianya
besar.
Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari
sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh
rumus:
Dimana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu
rotasi.
Momen Inersia Partikel
Sebenarnya tidak ada batas ukuran yang ditetapkan untuk kata partikel. Jadi,
penggunaan istilah partikel hanya untuk mempermudah pembahasan mengenai
gerakan, dimana posisi suatu benda digambarkan seperti posisi suatu titik. Konsep
partikel ini yang kita gunakan dalam membahas gerak benda pada Topik
Kinematika (Gerak Lurus, Gerak Parabola, Gerak Melingkar) dan Dinamika
(Hukum Newton). Jadi benda-benda dianggap seperti partikel.
Konsep partikel itu berbeda dengan konsep benda tegar. Dalam gerak lurus
dan gerak parabola, misalnya, kita menganggap benda sebagai partikel, karena
ketika bergerak, setiap bagian benda itu memiliki kecepatan (maksudnya
kecepatan linear) yang sama. Ketika sebuah mobil bergerak, misalnya, bagian
depan dan bagian belakang mobil mempunyai kecepatan yang sama. Jadi kita bisa
mengganggap mobil seperti partikel alias titik.
Ketika sebuah benda melakukan gerak rotasi, kecepatan linear setiap bagian
benda berbeda-beda. Bagian benda yang ada di dekat sumbu rotasi bergerak lebih
pelan (kecepatan linearnya kecil), sedangkan bagian benda yang ada di tepi
bergerak lebih cepat (kecepatan linear lebih besar). Jadi, kita tidak bisa
menganggap benda sebagai partikel karena kecepatan linear setiap bagian benda
berbeda-beda ketika ia berotasi. Perlu diketahui juga bahwa kecepatan sudut
semua bagian benda itu sama.
Jadi pada kesempatan ini, terlebih dahulu kita tinjau Momen Inersia sebuah
partikel yang melakukan gerak rotasi. Hal ini dimaksudkan untuk membantu kita
memahami konsep momen inersia. Setelah membahas Momen Inersia Partikel,
kita akan berkenalan dengan momen inersia benda tegar. Benda tegar itu memiliki
bentuk dan ukuran yang beraneka ragam. Jadi, untuk membantu kita memahami
momen Inersia benda-benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang berbeda-beda
itu, terlebih dahulu kita pahami Momen Inersia partikel. Bagaimanapun, setiap
benda itu bisa dianggap terdiri dari partikel-partikel.
Misalnya sebuah partikel bermassa m diberikan gaya F sehingga ia
melakukan gerak rotasi terhadap sumbu O. Partikel itu berjarak r dari sumbu
rotasi. mula-mula partikel itu diam (kecepatan = 0). Setelah diberikan gaya F,
partikel itu bergerak dengan kecepatan linear tertentu. Mula-mula partikel diam,
lalu bergerak (mengalami perubahan kecepatan linear) setelah diberikan gaya.
Dalam hal ini benda mengalami percepatan tangensial. Percepatan tangensial ini
sama dengan percepatan linear partikel ketika berotasi.
Dengan ini kita bisa menyatakan hubungan antara gaya (F), massa (m) dan
percepatan tangensial (at), dengan persamaan Hukum II Newton :
Karena partikel itu melakukan gerak rotasi, maka ia pasti mempunyai
percepatan sudut. Hubungan antara percepatan tangensial dengan percepatan
sudut dinyatakan dengan persamaan :
Sekarang kita masukan a tangensial ke dalam persamaan di atas :
Kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan r :
Perhatikan ruas kiri. rF = Torsi, untuk gaya yang arahnya tegak lurus sumbu
(bandingan dengan gambar di atas). Persamaan ini bisa ditulis menjadi :
Dari rumus diatas, mr2 adalah momen inersia partikel bermassa m, yang
berotasi sejauh r dari sumbu rotasi. persamaan ini juga menyatakan hubungan
antara torsi, momen inersia dan percepatan sudut partikel yang melakukan gerak
rotasi. Istilah kerennya, ini adalah persamaan Hukum II Newton untuk partikel
yang berotasi. Jadi, di momen inersia partikel merupakan hasil kali antara massa
partikel itu (m) dengan kuadrat jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke partikel (r2).
Untuk mudahnya, bandingkan dengan gambar di atas.
Secara matematis, momen inersia partikel dirumuskan sebagai berikut :
Lambang I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk
kepada momen inersia. Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730. Dalam buku
tersebut, dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait.
Momen Inersia Benda Tegar
Benda tegar adalah suatu benda yang tidak berubah bila diberi gaya luar.
Jika suatu benda tegar mengalami gerak translasi murni besaran massa dari benda
yang berperan, tetapi jika benda tegar tersebut mengalami gerak rotasi murni,
maka peranan massa dari benda digantikan oleh momen inersia benda tersebut
terhadap sumbu rotasinya.
Gerak translasi murni ini adalah gerak dari sebuah benda partikel yang
selama bergerak, sumbu kerangka acuannya melekat pada benda (x’,y’,z’) dan
selalu sejajar dengan kerangka acuannya sendiri (x,y,z). Sedangkan gerak rotasi
murni adalah gerak dari sebuah benda tegar dimana seluruh patikel di dalam
benda tersebut bergerak dalam linfgkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus
yang disebut summbu rotasi.
Secara umum, Momen Inersia setiap benda tegar bisa dinyatakan sebagai
berikut :
Benda tegar bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel yang tersebar di
seluruh bagian benda itu. Setiap partikel-partikel itu punya massa dan tentu saja
memiliki jarak r dari sumbu rotasi. jadi momen inersia dari setiap benda
merupakan jumlah total momen inersia setiap partikel yang menyusun benda itu.
Untuk menentukan momen inersia suatu benda tegar, kita perlu meninjau
benda tegar itu ketika ia berotasi. Walaupun bentuk dan ukuran dua benda sama,
tetapi jika kedua benda itu berotasi pada sumbu alias poros yang berbeda, maka
Momen Inersia-nya juga berbeda.
Momen Inersia Benda-Benda yang Bentuknya Beraturan
Selain bergantung pada sumbu rotasi, Momen Inersia (I) setiap partikel juga
bergantung pada massa (m) partikel itu dan kuadrat jarak (r2) partikel dari sumbu
rotasi. Total massa semua partikel yang menyusun benda = massa benda itu.
Persoalannya, jarak setiap partikel yang menyusun benda tegar berbeda-beda jika
diukur dari sumbu rotasi. Ada partikel yang berada di bagian tepi benda, ada
partikel yang berada dekat sumbu rotasi, ada partikel yang sembunyi di pojok
bawah, ada yang terjepit di tengah.
Gambar di atas merupakan salah satu contoh sebuah benda tegar. Benda-
benda tegar bisa dianggap tersusun dari partikel-partikel. Pada gambar, partikel
diwakili oleh titik berwarna hitam. Jarak setiap partikel ke sumbu rotasi berbeda-
beda. Ini hanya ilustrasi saja.
Cara praktis untuk mengatasi hal ini (menentukan MI benda tegar) adalah
menggunakan kalkulus. Lingkaran tipis dengan jari-jari R dan bermassa M
(sumbu rotasi terletak pada pusat)
Lingkaran tipis ini mirip seperti cincin tapi cincin lebih tebal. Jadi semua
partikel yang menyusun lingkaran tipis berada pada jarak r dari sumbu rotasi.
Momen inersia lingkaran tipis ini sama dengan jumlah total momen inersia semua
partikel yang tersebar di seluruh bagian lingkaran tipis.
Momen inersia lingkaran tipis yang berotasi seperti tampak pada gambar di
atas, bisa diturunkan sebagai berikut :
Perhatikan gambar di atas. Setiap partikel pada lingkaran tipis berada pada
jarak r dari sumbu rotasi. dengan demikian : r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = R
Dengan demikian rumusnya adalah
I = MR2
Menentukan momen inersia secara statis
Untuk menentukan momen inersia dari lempeng logam berbentuk persegi
panjang secara statis, dapat dilakukan dengan cara mengukur panjang, lebar, dan
tebal dari lempeng dan juga menimbang massanya. Jika panjang lempeng a, lebar
b, tebal c, dan massanya M, momen inersia lempeng terhadap sumbu rotasi
melalui pusat massa yang sejajar tebal c adalah :
I c=M ¿¿
Dapat dibuktikan pula bahwa momen inersia lempengterhadap sumbu rotasi
melalui pusat massa yang sejajar dengan panjang a adalah
I a=M (b2+c2)
12
Terhadap sumbu rotasi melalui pusat massa dan sejajar lebar v momen
inersianya adalah
I b=M (a2+c2)
12
Momen inersia lempeng silinder terhadap sumbu rotasi yang berimpit
dengan sumbu silinder adalah
I b=12
M R2
M massa silinder dan jari-jari silinder. Jadi, secara statis momen inersia
silinder dapat ditentukan, jika masssa dan jari-jari silindre diketahui. Momen
inersia lempeng silinder terhadap sumbu rotasi melalui pusat massa yang sejajar
dengan diameter adalah
I c=M [ L2
12+ R2
4 ]M massa silinder, R jari-jari silinder, dan L panjang silinder. Jadi secara
statis momne inersianya dapat ditentukan jika M, L, dan R diketahui.
Dibawah ini adalah daftar momen inersia dari beberapa benda tegar yang
digunakan dalam perhitungan.
Benda Poros Gambar Momen Inersia
Batang silinder Pusat
Batang silinder Ujung
Silinder
berongga
Melalui sumbu
Silinder pejal Melalui sumbu
Silinder pejal Melintang sumbu
Bola pejal Melalui diameter
Bola pejal Melalui salah satu
garis singgung
Bola berongga Melalui diameter
Keterangan :
I adalah momen inersia benda
M adalah massa benda
L adalah panjang benda
R adalah jari-jari lingkaran suatu benda
Menentukan momen inersia secara dinamis
Menentukan momen inersia juga dapat dicari dengan menggunakan cara
dinamis, yaitu dengan menggantukan benda pada kawat, dan ujung yang lain
dieratkan pada statip.
Seperti yang dilihat pada gambar di bawah ini.
Jika benda diberi simpangan pada posisi setimbangnya dengan cara
memutar benda, maka kawat akan terpelintir. Jika benda akan mengalami gerak
harmonik anguler (sudut), disebabkan oleh momen gaya puntir dari kawat.
Perioda (waktu getar) T dari gerak harmonic anguler benda ini diungkapkan
dengan :
T=2 π √ IK
dimana : K = tetapan momen gaya puntiran pada kawat
I = IB + IK
IB = momen inersia dari benda
IK = momen inersia dari kawat
Jika dua buah benda dengan momen inersia masing-masing I1 dan I2 secara
berturut-turut digantungkan pada seutas kawat yang sama, maka perioda gerak
harmonik angulernya masing-masing dinyatakan dengan :
T 1=2 π √ I 1+ I k
K
T 2=2 π √ I 2+ I K
K
Dari kedua persamaan ini jika I1,T1,I2,T2 dikertahui, maka Ik dan K dapat
ditentukan. Sebaliknya jika Ik dan K telah diketahui, cara ini dapat dipakai untuk
menentukan momen inersia benda yang lain secara dinamis dengan mengukur
perioda dari gerak harmonik angulernya.