paper momen inersia benda ruang

8/13/2019 Paper Momen Inersia benda ruang

1/14

PAPER

FISIKA DASAR

MODUL 7

MOMEN INERSIA

Nama : Nova Nurfauziawati

NPM : 240210100003

Tanggal / jam : 18 November 2010 / 13.00-15.00 WIB

Asisten : Dicky Maulana

JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PANGAN

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

UNIVERSITAS PADJADJARAN

JATINANGOR

2010


2/14

MOMEN INERSIA

Pada saat mempelajari hukum Newton kita telah mengetahui bahwa ukuran

kelembaman benda pada gerak translasi adalah massa atau inersia linear. Seperti

halnya pada planet-planet yang terus berputar pada sumbunya tanpa henti akan

selalu mempertahankan keadaan untuk terus berotasi. Dengan demikian pada

gerak rotasi dikenal istilah kelembamam.

Dalam gerak rotasi, massa benda tegar dikenal dengan julukan Momen

Inersia alias MI. Momen Inersia dalam Gerak Rotasi mirip dengan massa dalam

gerak lurus. Jika massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda

untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan linear = kecepatan gerak

benda pada lintasan lurus), maka Momen Inersia dalam gerak rotasi menyatakan

ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut (kecepatan

sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rotasi. Disebut sudut

karena dalam gerak rotasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Momen

inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar atau berotasi.

sebaliknya, benda yang berputar juga sulit dihentikan jika momen inersianya

besar.

Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi

dikenal sebagai momen inersia (I). Perbedaan nilai antara massa dan momen

inersia adalah besar massa suatu benda hanya bergantung pada kandungan zat

dalam benda tersebut, tetapi besar momen inersia tidak hanya tergantung pada

jumlah zat tetapi juga dipengaruhi oleh bagaimana zat tersebut terdistribusi pada

benda tersebut.

Momen inersia suatu benda yang berotasi dapat dituliskan sebagai berikut:I= mr

2

Dengan:I= momen inersia benda (kg m2)

m= massa benda (kg), dan

r= jarak ke sumbu rotasi (m).

Momen inersia untuk suatu partikel atau elemen massa (dm) dapat ditentukan

dengan cara yang sama. Elemen momen inersia (d I) dapat ditulis sebagai berikut:

d I= r2dm


3/14

Jumlah momen inersia seluruh elemen massa dapat ditulis sebagai berikut:

= =

Untuk benda tegar, yaitu benda yang terdiri dari gabungan banyak pertikel

dengan massa m1, m2 ,m3, ..., mn, momen inersianya terhadap sumbu rotasi

ditentukan dengan cara menjumlahkan perkalian massa dengan kuadrat jarak

terhadap sumbu rotasi (r12, r2

2, r32, ..., rn

2).

= =

+ + +

Mengingat benda tegar mempunyai struktur atom yang saling bersambunganatau kontinu, persamaan di atas dalam bentuk integral sesuai dengan persamaan

tersebut.

Sementara itu, jika sumbu putar benda tegar berjarak ddari pusat massa maka

momen inersia dapat dituliskan sebagai berikut:

I=Ipm+ md2

dengan Ipm = momen inersia jika sumbu putar melalui pusat massa, d = jarak

sumbu putar ke pusat massa benda.

Momen inersia untuk beberapa benda tegar dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel I: momen inersia berbagai benda yang diputar terhadap sumbu yang melalui

pusat massanya.

Benda Momen inersia Keterangan

Batang Ipm=1

12ml

2 l= panjang batang

Segitiga sama sisi Ipm=

1

12ma2

a = panjang sisi segitiga

Segiempat beraturan Ipm=1

6ma

2 a = panjang sisi segiempat

Segienam beraturan Ipm=5

12ml

2 a = panjang sisi segienam

Selinder pejal Ipm=1

2mR

2 R = jari-jari silinder

Bola tipis Ipm=2

3mR

2 R = jari-jari

Bola pejal Ipm=2

5mR

2 R = jari-jari


4/14

1. MOMEN INERSIA BATANG PEJALAnggap suatu batang bermassa m dan panjang l diputar terhadap suatu

sumbu yang melalui pusat massanya (Gambar 1). Pada batang ini ada dua

variabel yaitu massa dan panjang batang. Jika kita anggap momen inersia

batang ini (Ipm) tergantung pada kedua variabel ini maka dengan analisa

dimensi kita bisa memperoleh bahwa momen inersia batang sebanding

dengan massa batang dan sebanding dengan kuadrat panjang batang, atau

secara matematika dapat ditulis:

Ipmml2 (1)atau kita boleh tuliskan:

Ipmcml(batang) (2)dimana c adalah suatu konstanta.

Gambar 1. Batang yang diputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya

Sekarang perhatikan potongan batang sebelah kiri yang mempunyai

panjang l dan massa m. Momen inersia potongan batang ini terhadap

sumbu yang melalui pusat massanya dapat ditulis sebagai:

(Ipm)1= c 121

22= c 1

8ml

2 (3)

Gunakan teorema sumbu sejajar untuk menghitung momen inersia

potongan batang ini terhadap sumbu yang melalui titik A.

(IA)1= (Ipm)1 + 2 = c 18ml

2+ 1

21

42 (4)

Catatan: r = l adalah jarak pusat massa potongan batang dengan titik A

dan m = m adalah massa dari potongan batang ini.

Dengan cara yang sama kita peroleh momen inersia potongan batang

kanan terhadap titik A adalah:


5/14

(IA)2= = c1

8ml

2+ 1

21

42 (5)

Jumlah momen inersia pada persamaan (4) dan persamaan (5) sama

dengan momen inersia yang ditulis pada persamaan (2). Dari sini kita akanperoleh persamaan:

c ml2 = c

1

4ml

2+

1

16ml

2 (6)

Selesaikan persamaan (6) kita akan memperoleh c = 1/12. Sehingga kita

akan peroleh rumus momen inersia batang panjang l dan massa m yang

diputar terhadap sumbu yang melalui pusat massanya sebagai:

(Ipm)batang =1

12ml

2 (7)

2. MOMEN INERSIA SEGITIGA PEJAL SAMA SISIAnggap suatu segitiga pejal sama sisi dengan panjang sisi a dan massa m

diputar terhadap sumbu yang melalui titik pusat massa A (Gambar 2).

Gambar 2. Segitiga yang diputar terhadap sumbu yang melalui titik pusat

massa A

Seperti pada perhitungan momen inersia batang, dengan analisa dimensi

kita peroleh momen inersia segitiga terhadap sumbu yang melalui pusat

massanya adalah:

Ipm= cma2(segitiga) (8)

disini c adalah konstanta, m massa segitiga dan a adalah sisi segitiga.

Selanjutnya adalah membagi segitiga ini menjadi 4 potongan segitiga

dengan panjang sisi a dan massa masing-masing segitiga m (Gambar 3).


6/14

Gambar 3 Membagi segitiga menjadi 4 potong

Dengan menggunakan persamaan (8), momen inertia tiap potongan

segitiga terhadap sumbu yang melalui pusat massanya dapat ditulis:

(Ipm)1 = c 141

22 (9)

Sekarang gunakan teorema sumbu sejajar untuk memperoleh momen

inersia masing-masing potongan segitiga 1,2 dan 3 terhadap titik A.

(IA)1= (Ipm)1 + 2 = c 116

ma2+ 1

43

62 (10)

Disini m = m adalah massa potongan segitiga dan r=2

3h=

2

31

2sin

600 = 36

adalah jarak pusat massa potongan segitiga ke titik A (catatan hadalah tinggi potongan segitiga).

Berikutnya jumlahkan momen inersia ketiga potongan segitiga 1,2 dan 3

yaitu dengan mengalikan momen inersia pada persamaan (10) dengan 3 lalu

jumlahkan dengan momen inersia potongan segitiga 4

(IA)segiempat= 3 116

2 + 148

2 + 116

ma2 (11)

Samakan persamaan (11) dengan persamaan (8) untuk memperoleh

persamaan:

cma2 = c

1

4ma

2+1

16ma2 (12)

Dari persamaan (12) kita peroleh c = 1/12 sehingga momen inersia

segitiga sama sisi pejal bermassa m dan bersisi a yang diputar terhadap

sumbu yang melalui pusat massanya adalah:

(Ipm)segitiga =1

12ma

2 (13)


7/14

3. MOMEN INERSIA SEGIEMPAT PEJALAnggap suatu segiempat pejal dengan panjang sisi a dan massa m diputar

terhadap titik pusat massa A (Gambar 4).

Gambar 4. Segiempat yang diputar terhadap sumbu yang melalui titik pusat

massa A.

Seperti pada perhitungan sebelumnya, momen inersia segiempat terhadap

sumbu yang melalui pusat massanya kita tulis sebagai (dengan analisa

dimensi):

Ipm= cma2(segiempat) (14)

disini c adalah konstanta, m massa segiempat dan a adalah sisi segiempat.

Selanjutnya adalah membagi segiempat ini menjadi 4 potongan

segiempat dengan panjang sisi a dan massa masing-masing segiempat m

(Gambar 5).

Pusat massa

potongan

segiempat

Gambar 5. Segiempat yang dibagi menjadi 4 bagian yang sama.

Dengan menggunakan persamaan (14), momen inertia tiap potongan

segiempat terhadap sumbu yang melalui pusat massanya sendiri dapat ditulis:

(Ipm)1 = c 1

41

22

(15)


8/14

Sekarang gunakan teorema sumbu sejajar untuk memperoleh momen

inersia masingmasing potongan segiempat terhadap titik A.

(IA)1= (Ipm)1 +

2 = c

1

16

ma2+

1

4

24

2

(16)

Disini m = m adalah massa potongan segiempat dan r =

142 +1

42 = 2

42 adalah jarak antara pusat massa potongan

segiempat ke titik A.

Sekarang jumlahkan momen inersia keempat potongan segiempat dengan

mengalikanmomen inersia pada persamaan (16) dengan 4 dan samakan

dengan persamaan (14) untuk memperoleh persamaan:

cma2 = c

1

4ma

2+

1

8ma2 (17)

Dari persamaan (17) kita peroleh c = 1/6 sehingga momen inersia

segiempat sama sisi pejal bermassa m dan bersisi a yang diputar terhadap

pusat massanya adalah:

(Ipm)segiempat =1

6ma

2 (18)

4. Momen inersia segienamAnggap suatu segienam pejal dengan panjang sisi a dan massa m diputar

terhadap titik pusat massa A (Gambar 6).

Gambar 6. Segienam yang diputar terhadap titik pusat massa A.

Kita bagi segienam ini menjadi 6 potongan segitiga sama sisi dengan

panjang sisi a dan massa masing-masing segitiga m/6 (Gambar 7).


9/14

Pusat massa

segitiga

Gambar 7. Segienam yang dibagi menjadi enam segitiga

Dengan menggunakan hasil yang perhitungan momen inersia pada

persamaan (13), kemudian menggunakan teorema sumbu sejajar kita peroleh

momen inersia masing-masing potongan segitiga terhadap titik A (pusat

massa segienam) adalah:

(IA)1= (Ipm)1 + 2 = 112

16a2+ 1

63

32 (19)

disini m adalah massa segitiga dan r=2

3=

2

3

1

23=

33

adalah jarak antara

pusat massa segitiga ke titik A (h adalah tinggi segitiga).

Momen inersia segienam sama sisi pejal bermassa m dan bersisi a yang

diputar terhadappusat massanya diperoleh dengan mengalikan 6 momen

inersia pada persamaan (19),

(Ipm)segienam =5

12ma

2 (20)

5. Momen inersia selinderMomen inersia selinder dapat dihitung dengan menghitung momen

inersia dari benda bersegi n kemudian ambil limit n mendekati tak hingga.

Atau dengan menggunakan metode berikut ini.

Anggap sebuah selinder pejal berjari-jari R. Momen inersia selinder ini

(dengan analisa dimensi) boleh ditulis sebagai

Ipm= cmR2 (21)

dengan c adalah konstanta dan m massa selinder.


10/14

Gambar 8. Selinder yang berputar

Sekarang kita tinjau selinder berongga dengan jari-jari rongga r dan

massanya m.

r

R

Gambar 9. Selinder berongga

Dengan prinsip superposisi momen inersia selinder ini sama denganmomen inersia selinder besar dikurangi dengan momen inersia selinder kecil.

= -= cmbesarR

2 cmkecilR

2 (22)

dengan menulis massa selinder besar mbesar =

22 2 dan massaselinder kecil sebagai mkecil=

222kita peroleh

(IA)berongga= c4

4

22 = cm(R2 - r2) (23)

Sekarang anggap sekumpulan massa dengan massa total m tersebar pada

lingkaran berjari-jariR. Momen inersia dari lingkaran ini adalah,

Ilingkaran= 2 = 2 = mR2 (24)Selanjutnya pada persamaan (23) kita ambil r = R dan kita gunakan

persamaan (24) untuk memperoleh persamaan:

cm (R2+R

2) = mR

2(25)


11/14

Dari persamaan (25) kita peroleh c = , sehingga momen inersia

selinder bermassa m dan berjari-jari R yang berputar terhadap sumbu yang

melalui pusat massanya adalah

(Ipm)silinder=1

2mR

2 (26)

6. Momen inersia Bola tipisIde penurunan rumus ini diperoleh dari Waldemar Gorzkowski(5) Kita

anggap sejumlah massa dengan massa total m, tersebar merata pada bola tipis

berjari-jari R. Anggap pusat massa bola terletak pada pusat koordinat dan

bola diputar terhadap sumbu z. Anggap massa mi terletak pada koordinat (xi,

yi, zi). Dari definisi momen inersia besarnya momen inersia massa ini

terhadap sumbu z adalahIi= mi(xi2+ yi

2). Jika massa mitersebar merata di

seluruh permukaan bola, maka momen inersia bola tersebut adalah

= = ( +) (27)Z

mi (xi,yi,zi)

Y

X r = 2 +21

2

Gambar 10. bola tipis yang berputar

Karena massa tersebar merata (uniform) maka bola simetri sehingga,

2 =i 2 =i 2i (28)Dengan menggunakan persamaan (28) kita peroleh:

mR2= 2 =i 2 +2 +2 =i 32i (29)

atau


12/14

2i =2i = 132 (30)Gunakan persamaan (30) pada persamaan (27) kita peroleh,

(Ipm)=

2

3

mR2(bola tipis) (31)

7. Momen inersia bola pejalAnggap sebuah bola pejal berjari-jari R. Momen inersia bola ini (dengan

analisa dimensi) boleh ditulis sebagai

Ipm= cmR2 (32)

dengan c adalah konstanta dan m massa bola.

R

Gambar 11. bola pejal yang berputar terhadap sumbu z.

Sekarang kita tinjau bola berongga dengan jari-jari rongga r dan

massanya m.

Gambar 12 bola pejal berongga

Dengan prinsip superposisi momen inersia bola ini sama dengan momen

inersia bola besar dikurangi dengan momen inersia bola kecil.

= -= cmbesarR2 cmkecilR2 (33)


13/14

dengan menulis massa bola besar besar mbesar=

4

333

4

33dan massa

selinder kecil sebagai mkecil=

4

333

4

33kita peroleh

(IA)berongga= c5533 = cm

4+3+22+3+42++2 (34)

Selanjutnya ambil r=R dan gunakan persamaan (31) untuk memperoleh

persamaan:

cm5

3R

2=

2

3R2 (35)

Dari persamaan (35) kita peroleh c =2/5 , sehingga momen inersia bola

bermassa m dan berjari-jari R yang berputar terhadap sumbu yang melalui

pusat massanya adalah

Ipm=2

5mR

2 (36)

Telah ditunjukkan diatas bahwa kita dapat memperoleh momen inersia dari

beberapa benda yang bentuknya beraturan tanpa menggunakan kalkulus.

Perhitungan hanya dengan memanfaatkan analisa dimensi untuk mencari

hubungan antara momen inersia dengan variabel yang mencirikan benda itu

(seperti massa, panjang atau jari-jari) serta dengan memanfaatkan teorema sumbu

sejajar dan tentu saja sifat simetri benda.


14/14

DAFTAR PUSTAKA

Halliday and Resnick, Physics, John Wiley and Sons, INC, USA 1992

Raymond A Serway, Physics, Saunders College Publishing, USA 1996

Umar, Efrizon. 2007. Fisika dan Kecakapan Hidup Pelajaran Fisika Untuk

SMA/MA. Jakarta: Ganeca Exact

Waldemar Gorzkowski, Application of Symmetry and Dimensional Analysis to

Solving Problems. disajikan pada Seminar Guru Fisika Jakarta 2000.

paper momen inersia benda ruang

Documents