Optimasi Non-Linier

Pendahuluan Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya

mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya, contohnya adalah sebagai berikut:

Metode Optimasi Analitis Satu Variabel tanpa Kendala

Multi Variabel Tanpa Kendala

Multi Variabel dengan Kendala Persamaan

Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan

Metode Optimasi Numerik Satu Dimensi Teknik Eliminasi

Teknik Pendekatan

Satu variable tanpa kendala (1) Dimisalkan x adalah variabel penentu dan f(x) adalah fungsi tujuan

dari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah:

Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera di atas digunakan kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawah ini:

Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b). (i) Jika f ’(x) > 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menanjak pada

[a,b]. (ii) Jika f ’(x) < 0 untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menurun pada

[a,b].

xatau

x

f(x) minimumkanf(x)n maksimalka

Satu variable tanpa kendala (2)

Test derivasi pertama: Misalkan f adalah fungsi yang menerus

dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada

interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang berada

didalam (a,b).

(i) Jika f’(x) > 0 untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b,

maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b,

maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.

(iii) Jika f’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b) kecuali x

= c, maka f(c) BUKAN sebuah nilai ekstrim.

Satu variable tanpa kendala (3)

Test derivasi kedua: Misalkan f adalah fungsi yang dapat

diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik c dan f’(c)

= 0,

(i) Jika f ”(c) < 0, maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.

(ii) Jika f ”(c) > 0, maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.

Satu variable tanpa kendala (4) Contoh 1:

Sebuah perusahaan catering (makanan ringan yang menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTE FT UMY berusaha mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton seperti tampak pada Gambar di samping. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa sehingga volumenya menjadi maksimum.

Solusi

Ilustrasi Grafis

Satu variable tanpa kendala (5) Dari contoh di atas tampak bahwa dengan cara analitis

kalkulus diferensial nilai x yang memberikan nilai f maximum dapat dicari tanpa mengetahui nilai dari f itu sendiri.

Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang telah dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel.

Teorema:

Misalkan f’(c) = f ”(c) = … = f(n-1)(c) = 0, tetapi f(n)(c) ≠ 0. Maka f(c) adalah: (i) nilai minimum dari f(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap,

(ii) nilai maximum dari f(x), jika f(n) (c) < 0 dan n adalah bilangan genap,

(iii) bukan minimum dan maximum jika n adalah bilangan gasal.

Satu variable tanpa kendala (6)

Contoh 2.

Tentukan maximum dan

minimum dari fungsi di

bawah ini

Penyelesaian:

5404512)( 345 xxxxf

Tugas UK3

Buat makalah Non Linier Programing:

Max dan Min Tanpa dan Dengan Kendala

Untuk Beberapa Variabel

Multi variable tanpa kendala (1)

Cara analitis yang diterapkan pada permasalahan optimasi

satu variabel dapat pula diterapkan kepada permasalahan

multi variabel.

Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi

dapat digunakan dalam optimasi multi variabel.

Definisi dan simbol-simbol yang digunakan:

},...,,{,...,,dengan setara )()(

,...,2,1untuk ),...,,()()(

),...,,()()(

},...,,{dengan )( sebagai ditulisakan ),...,,()(

21

21

*

**

2

*

1

*

**

2

*

1

*

2121

n

n

n

j

n

nn

cccx

f

x

f

x

fCXfiv

njxxxfx

Xfiii

xxxfXfii

xxxXXfxxxfi

Multi variable tanpa kendala (2)

Teorema:

Jika f(X) mempunyai sebuah titik ekstrem (minimum

maupun maximum) pada X = X* dan jika derivasi pertama

dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*, maka ∇f(X*) = 0

PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu jika

∇f(X*) = 0 maka X* adalah titik ekstrem.

Multi variable tanpa kendala (3)

Teorema:

Titik X* disebut titik maksimum lokal dari f(X) jika dan

hanya jika:

(i) ∇f(X*) = 0

(ii) H(X*) < 0 definit negatif dengan H = matrik Hessian yang

didefinisikan sebagai:

jjj

jj

jj

ji

ij

nnn

n

hh

hh

H

H

xx

fh

hh

hh

H

1

111

2

1

111

det

dengan

n1,2,..., juntuk 0)1( jika hanyadan jika negatifdefinit adalah H

dengan

Multi variable tanpa kendala (4)

Teorema:

Titik X* disebut titik minimum lokal dari f(X) jika dan

hanya jika:

(i) ∇f(X*) = 0

(ii) H(X*) > 0 definit positif atau |H|j > 0 untuk j = 1,2,…,n

Multi variable tanpa kendala (5)

Syarat Maksimum lokal Syarat Minimum lokal

Multi variable tanpa kendala (6)

Contoh 3:

Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi:

642),( 2

2

2

1

3

2

3

121 xxxxxxf

Variabel dengan Kendala= (Pengali Lagrange)

Multi variable dengan Kendala

Persamaan

Pada bagian ini akan didiskusikan teknik optimasi multi

variabel dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk

umum sebagai berikut:

disini m ≤ n, jika terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat

diselesaikan

Untuk menyelesaikan permasalahan optimasi di atas,

digunakan metode pengali Lagrange, yaitu:

t

n

j

xxxX

mjXg

Xff

},...,,{dengan

,...,2,1dengan ,0)( Kendala

)( Min/Maks

21

m

j

jj XgXfXL1

)()(),(

Multi variable dengan Kendala

Persamaan Teorema:

Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(X) dengan kendala gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(x1,x2,…,xn, λ1,λ2,…,λn) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

Teorema: Syarat harus bagi sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau

maximum) relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai dievaluasi pada X = X* harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dX yang memenuhi semua kendala.

n

i

m

j

ji

ji

dxdxxx

LQ

1 1

2

Multi variable dengan Kendala

Persamaan

Syarat perlu agar

menjadi definit positif (atau negatif) untuk setiap variasi nilai

dX adalah setiap akar dari polinomial, zi, yang didapat

dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau

negatif).

n

i

m

j

ji

ji

dxdxxx

LQ

1 1

2

0

00

00

00

)(

)(

)(

321

2232221

1131211

1321

2122232221

1111131211

mnmmm

n

n

mnmnmnnn

nn

mn

gggg

gggg

gggg

ggzLLLL

ggLLzLL

ggLLLzL

j

iij

ji

ij

x

Xgg

xx

XLL

)(dan

,),(

dengan

*

*2

Sumber: Buku Pengantar Optimasi Non-Linier Ir.

Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.