optimasi

1

MODUL 2TEKNIK-TEKNIK OPTIMISASI DAN PERANGKAT-

PERANGKAT MANAJEMEN BARU

Tujuan perkuliahan tatap muka ke 2 ini adalah:

1. Agar mahasiswa mengetahui teknik-teknik optimisasi (diferensial) dan perangkat

manajemen baru

2. Agar mahasiswa bisa mengerti dan bisa menggunakan diferensial untuk

optimisasi

Pendahuluan

Hubungan ekonomi dapat digambarkan dalam bentuk persamaan, tabel, atau

grafik. Bila hubungannya sederhana grafik dan atau tabel sudah mencukupi, tapi jika

hubungannya rumit maka menggunakan persamaan sangat diperlukan. Hubungan dengan

menggunakan persamaan juga diperluk an untuk menentukan solusi optimal dari suatu

masalah.

Penerimaan.

Adalah : TR = P x Q

Contoh, hubungan antara penerimaan penjualan dengan kuantitas penjualan

dapat dijelaskan dengan persamaan:

TR = 100Q -10Q2

Hubungan sederhana itu dapat dibuatkan tabel dan grafiknya.

Biaya total, rata-rata, dan marjinal

Q (Unit) TC (Rp) AC (Rp) MC (Rp)0 201 1402 160

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Agus Zainul ArifinEKONOMI MANAJERIAL

2

3 1804 2405 480

Tugas:

1. Lengkapi tabel di atas

2. Buatkan Kurvanya.

Hubungan kurva TC dan MC

Kurva MC adalah derivasi dari kurva TC

Hubungan kurva AC dan MC

Jika: AC < MC

AC > MC

AC = MC

Analisis Optimasi

Laba maksimum tercapai ketika MC = MR

Diferensial Kalkulus

Kaedah-kaedah diferensiasi

1. Aturan Fungsi konstanta

Y = a dY/dX = 0

2.Aturan fungsi pangkat

Y = aXn dY/dX = n.a. Xn-1

3. Aturan penjumlahan dan pengurangan

Y = U ± V

4. Aturan perkalian (product rule)

Y = U. V dY/dX = U dV/dX + V dU/dX


3

5. Aturan pembagian (Quotient rule)

6. Aturan untuk fungsi dari fungsi (Aturan rantai/chain rule)

Bila Y = f(U) dan U = g(X), maka turunan dari Y terhadap X adalah sama dengan

turunan Y terhadap U dikali dengan turunan U terhadap X, atau:

Y = f (U) dimana: U = g (X)

Contoh:1. Y = 5 dY/dX = 0

2. Y = 2X3 dY/dX = 6X2

3. Y = 2X4 + 5X2

Dimana: U = 2X4 dan V = 5X2

dY/dX = 8X3 + 10X

4. Y = 2X2 (3-2X)

Dimana: U = 2X2 dan V = 3-2X

dY/dX = 2X2 (dV/dX) + (3-2x) (dU/dX)

dY/dX = 2X2 (-2) + (3-2X) (4X)

dY/dX = -4X2 + 12X - 8 X2

dY/dX = 12X - 12 X2

5. Y =

Dimana: V = 3 – 2X U = 2X


4

=

=

=

=

6. Y = U3 + 10 dan U = 2X2

Dimana:

dan

= (3U2) 4X

Subs : U = 2X2

= 3 (2X2)2 (4X)

= 3 (4X4) 4X = 48X5

Contoh lain:

Y = (3X2 + 10)3

Dimana U = 3X2 + 10 dan Y = U3

dan = 6X

= (3U2) x 6X


5

= 3(3X2 + 10)2 (6X)

= 3(9X4 + 60X2 + 100) (6X)

= 162X5 + 1080X3 + 1800X

= 2X (81X4 + 540X2 + 900)

Maksimisasi Tanpa Kendala

Katakanlah suatu aktivitas (X) menghasilkan manfaat penerimaan, R sehingga R

= R(X) dan aktivitas tersebut memerlukan biaya, C, sehingga C = C(X). Katakanlah

bahwa tujuan kita ingin memaksimasi manfaat bersih, NR, yang didefinisikan sebagai

perbedaan antara manfaat dan biaya, maka NR = NB(X) = R(X) – C(X)

Berdasarkan dalil Kalkulus, NB maksimum dapat dicapai dengan cara menderivasi

persamaan NR terhadap kegiatan X dan samakan turunan pertama hasil derivasi dengan

nol. Ini merupakan syarat esensial maksimisasi. Hasil derivasi tersebut adalah :

Maka manfaat maksimum tercapai ketika Karena adalah

penerimaan marjinal dan adalah biaya marjinal maka manfaat bersih maksimum

tercapai ketika manfaat marjinal sama dengan biaya marjinal.

Contoh Soal 1.

Suatu kegiatan menghasilkan penerimaan total yang digambarkan dengan fungsi

B = 50A – 0,0125 A2, dan mengeluarkan biaya total yang digambarkan dengan fungsi C

= 40A + 0,0125 A2, dimana A adalah aktivitas penerimaan bersih akan maksimal bila

penerimaan marjinal sama dengan biaya marjinal.

B = 50A – 0,0125 A2

= 50 – 0,025 A

C = 40 A + 0,0125 A2


6

Samakan dengan , dan selesaikan terhadap A, maka :

50 – 0,025 A = 40 + 0,025 A

0,05 A = 10, maka A = 200. Hasil ini disubstitusikan kepada persamaan B dan C

untuk mencari penerimaan dan biaya total. Hasilnya B =50 (200) – 0,0125 (2000)2 =

9.500 dan C = 40 (200) + 0,0125 (200)2 = 8500, maka penerimaan bersih = 1.000.

Maksimisasi Fungsi Berkendala

Maksimisasi fungsi berkendala yaitu memaksimumkan suatu persamaan dengan

adanya persamaan lain sebagai kendala. Persamaan yang akan dimaksimumkan adalah

fungsi tujuan dan sebagai kendalanya adalah fungsi atau persamaan terkendala. Kedua

persamaan ini kemudian digabungkan dalam persamaan Lagrange untuk kemudian dicari

solusinya.

Jika kita nyatakan bahwa suatu manfaat B, ditentukan oleh n kegiatan X, X = X1,

X2, …., Xn.

B = B (X1, X2, …., Xn).

Turunan pertama parsial dari fungsi manfaat total ini adalah (i = 1,2,...n)

yang tidak lain merupakan manfaat marjinal (MB) setiap kegiatan X. Kendala dari setiap

aktivitas dapat dinotasikan dengan :

P1X1 + P2X2 + ……+ PnXn = M

Dimana P1, P2, …., Pn adalah harga (biaya) setiap kegiatan dan M adalah jumlah dana

total yang dapat dialokasikan ke setiap kombinasi aktivitas. Untuk mendapatkan tingkat

aktivitas optimal dari X1, X2, ….., Xn maka fungsi Lograngian berikut harus

dimaksimumkan :

L = B (X1, X2, …., Xn) + (M – P1X1 – P2X2 - ….., - PnXn)

Syarat esensial (keharusan) untuk memaksimumkan yaitu turunan pertama parsial untuk

semua variabel harus sama dengan nol.


7

= P1X1 + P2X2 + ….. + PnXn – M = 0

Menata kembali persamaan-persamaan ini maka syarat esensial untuk mencapai aktivitas

maksimum adalah :

Karena semua persamaan ini sama dengan 1 maka :

Selain syarat esensial ini, syarat lain yang harus dipenuhi juga yaitu

Contoh Soal 2 :

Andaikan kepuasan total seorang konsumen dari konsumsi barang X dan Y

digambarkan dengan fungsi : 4 = X3Y2. Jika dana belanja konsumen ini adalah Rp.

11.000 dan harga X dan Y masing-masing Rp. 150 dan Rp.200 per unit. Hitunglah berapa

unit X dan Y seharusnya dibeli agar kepuasannya maksimum. Tentukan lebih dahulu

fungsi tujuan, fungsi kendala, dan fungsi Lagrengiannya.

Jawab :

Fungsi Tujuan : U = X3Y2

Fungsi kendala = 11.000 = 150 X + 200 Y


8

Fungsi Lagrengian = L = X3Y2 + (11.000 – 150 X – 200 Y)

= 3 U. X-1 – 150 = 0, maka = U.X-1, selanjutnya disebut (i)

= 2 U. Y-1 – 200 = 0, maka = U.Y-1, selanjutnya disebut (ii)

= 11.000 – 150 X – 200 Y = 0, selanjutnya disebut (iii)

Samakan (i) dan (ii) maka X = 2Y. selanjutnya disubstitusikan hasilnya ke (iii) maka :

150 X + 200 Y = 11.000

150 X + 100 X = 11.000

250X = 11.000, dan X = 44, dan oleh karena itu Y = 22.

Jadi untuk mencapai kepuasan maksimum, konsumen harus membeli dan mengkonsumsi

masing-masing 44 unit barang X dan 22 unit barang Y.

Minimisasi Fungsi Berkendala

Katakanlah, suatu perusahaan ingin meminimumkan biaya produksi yang

merupakan jumlah dari total pengeluaran n aktivitas X1, X2, …., Xn, sehingga biaya

produksi tersebut digambarkan dengan fungsi :

C = P1X1 + P2X2 + …. + PnXn

Harga atau biaya setiap adalah turunan pertama parsial fungsi biaya terhadap kegiatan K,

atau = Pi (i = 1,2, …., n)

Kendala mensyarakatkan bahwa semua aktivitas ini harus menghasilkan suatu tingkat

manfaat tertentu. Bo. Jadi Bo yang merupakan manfaat total kegiatan X adalah juga

ditentukan oleh X :

Bo = B (X1, X2, …., Xn).

Untuk mencapai tingkat kegiatan X yang meminimumkan biaya C maka fungsi

Lagrengian berikut harus diminimumkan :

L = P1X1 + P2X2 + ….., Pn Xn + [Bo – B (X1, X2, …, Xn.)]

Syarat esensial untuk minimisasi biaya ini adalah sebagai berikut :


9

P1 -

= Bo – B (X1, X2, …., Xn) = 0

Menata kembali persamaan-persamaan ini maka dapat dikemukakan bahwa :

P1 =

P2 =

Pn =

Karena semua persamaan ini sama dengan , maka itu berarti bahwa syarat esensial

untuk mencapai biaya minimum yaitu pada saat :

Syarat lain yaitu bahwa . Perhatikan bahwa syarat minimisasi ini sama dengan

syarat maksimisasi.

Contoh Soal 3 :

Perusahaan ingin meminimalkan biaya produksinya yang ditunjukkan dengan

persamaan TC = 3X2 + 6Y2 – XY, dimana X dan Y masing-masing jenis produk 1 dan

produk 2. kendalanya yaitu perusahaan ingin supaya produksi total X dan Y harus

berjumlah 20 unit, atau dalam persamaan matematika disebutkan dengan X dan Y = 20.

penyelesaian persoalan ini adalah sebagai berikut :

Fungsi Tujuan : 3X2 + 6Y2 – XY


10

Fungsi Kendala : X + Y = 20

Fungsi Lagrange ini kemudian diminimisasi sebagai berikut :

= 6X – Y - = 0, maka = 6X – Y, selanjutnya disebut (i)

= 12Y – X - = 0, maka = 12Y – X1, selanjutnya disebut (ii)

= 20 – X – Y = 0, maka X + Y = 20, selanjutnya disebut (iii)

Dari (i) dan (ii), maka :

6X – Y = 12Y – X, selanjutnya ditata menjadi :

7X = 13Y, atau X = Y, masukan hasil ini ke (iii), maka : 20 = X + Y.

20 = Y + Y, (bila dikalikan dengan 7, maka)

140 = 13Y + 7 Y, atau 20Y = 140, maka Y = 7, dan sebab itu X = 13.

Kesimpulan yaitu supaya biaya minimum dan produksi X dan Y mencapai 20 unit maka

produksi X = 13 dan Y = 7.

Selanjutnya, tentang =

= 6 X – Y

= 6 (13) – 7

= 71 adalah biaya marjinal produksi X dan Y. Interpretasinya yaitu bila

penambahan satu unit X atau Y membawa penambahan pendapatan sebesar lebih dari 71

unit harga, maka penambahan produksi tersebut tidak direkomendasikan. Sebaliknya bila

lebih dari 71 unit harga maka penambahan produksi tersebut direkomendasikan.

Contoh Soal 4 :

Bila fungsi produksi barang Q, dirumuskan dengan Q = K5/8 L3/8 dimana K adalah

input kapital (modal) dan L adalah tenaga kerja. Bila K = Rp. 5 dan L = Rp. 3 per unit,


11

sedangkan produsen ingin menghasilkan 10 unit output. Carilah berapa masing-masing

unit input yang digunakan. Sebelumnya tentukan fungsi tujuan dan fungsi kendala serta

fungsi Lagrengian-nya.

Jawab :

Fungsi tujuan = 5K + 3L

Fungsi kendala = 10 = K5/8 L3/8

Fungsi Lagrengian (G) :

G = 5J + 3K + (10 – K5/8 L3/8)

selanjutnya disebut (i)

, selanjutnya disebut (ii)

K5/8 L3/8 = 0, selanjutnya disebut (iii)

Dari (i) dan (ii), maka dapat dipecahkan bahwa K = L. Substitusi ke (iii) maka diperoleh

bahwa K = L = 10. Maka input K dan L yang digunakan masing-masing adalah 10 unit

untuk mencapai produksi Q sebesar 10 unit.

Konsep Total, Marjinal, dan Rata-rata

Dalam ekonomi manajerial, dua variabel yang sering diukur secara total,

marginal, dan rata-rata adalah biaya dan produksi. Berdasarkan atas biaya dan produksi

serta setelah dipertimbangkan faktor harga maka dapat dihitung penerimaan (revenue)

serta pendapatan atau laba (profit).

Biaya

Biaya total (total assets) adalah keseluruhan biaya yang terdiri dari biaya tetap

dan biaya variabel yang dikeluarkan untuk memperoleh suatu output tertentu. Biaya total

(TC = Total Cost) biasanya merupakan fungsi dari output yang dihasilkan. Semakin

banyak output yang dihasilkan. Semakin banyak output yang dihasilkan. Semakin

banyak output yang dihasilkan, semakin besar biaya totalnya :


12

Contoh :

TC = 1000 – 115 Q + 40 Q2 artinya, misalnya pada saat Q = 10 maka TC = 1000 – 115

(10) + 40 (100) = 4850.

Biaya marginal (Marginal cost atau disingkat MC), adalah perubahan biaya total akibat

berubahnya satu unit output, MC adalah turunan pertama TC terhadap Q, atau dapat

ditulis MC = .

Untuk contoh soal 5 di atas, MC = 115 + 80 Q. Pada saat Q = 10, maka MC = 685.

Biaya rata-rata (Average Cost = AC) adalah biaya yang ditanggung untuk setiap

unit output yang dihasilkan, diperoleh dari membagi biaya total dagang output yang

dihasilkan. Secara matematis, dihitung dengan :

AC =

Untuk contoh soal 5 tadi, AC = = - 115 + 40Q.

Pada saat Q = 10, AC = 100 – 115 + 400 = 385.

Produksi :

Produksi (output, dinotasikan dengan Q) adalah merupakan fungsi atau

tergantung dari jumlah input (dinotasikan dengan X) yang digunakan untuk satu input,

maka :

Q = (X)

Dalam kenyataannya, hampir tidak ada barang dan jasa (output Q) yang dihasilkan

dengan menggunakan satu input saja. Karena itu maka output Q lebih tepat digambarkan

dengan fungsi :

Q = (X1, X2, ….., Xn), dimana terdapat n input X.

Produksi Total (TP, atau Q) digambarkan dengan TP = (X). Produksi marginal atau

marginal product (MP) adalah turunan pertama Q terhadap X, yang dinotasikan dengan

persamaan :

MP = .

Produksi rata-rata (Average Product = AP) atau dikenal dengan produktivitas

yaitu total output yang dihasilkan dibagi dengan total input yang digunakan.


13

AP =

Hubungan antara produksi total (TP), produksi Marginal (MP) dan produksi rata- rata

(AP) memiliki hubungan-hubungan berikut :

- MP = AP pada saat AP maksimum dan MP berada pada trend negatif.

- MP = 0 pada saat TP maksimum

- MP bisa negatif

- AP selalu positif, namun semakin besar X. AP mendekati nol.

Contoh Soal 6 :

TP = Q = 100X + 250X2 – 0,3X3, maka

AP = = 100 + 250X – 0,3 X2

MP = = 100 + 500X – 0,9X2

Contoh ini dapat digunakan untuk menunjukkan MP = AP pada saat AP maksimum dan

MP berada pada trend negatif.

AP = 100 + 250X – 0,3X2

= 250 – 0,6X

X =

X = 416,67. Jadi AP maksimum pada saat X = 416,67.

Pada saat ini, trend MP adalah negatif karena :

= 500 – 1,8X, dan MP mengalami maksimum.

Pada saat :

= 0

= 500 – 1,8X

X =

X = 278


14

Besar AP dan MP pada saat X = 416,67 adalah :

AP = 100 + 250X – 0,3X2 = 100 + 250 (416) – 0,3 (416)2

= 52.183,2

MP = 100 + 500X – 0,9X2+ = 100 + 500 (416) – 0,9 (416)2

= 52.349,6

Contoh Soal 7 :

Suatu perusahaan mempunyai fungsi produksi seperti berikut :

Q = -0,002 K3 L3 + 6 K2L2, dimana Q adalah output, K dan L masing-masing input

kapital dan tenaga kerja.

Katakanlah perusahaan menggunakan 10 unit kapital.

(a) Bagaimana persamaan untuk produksi total, produksi rata-rata, dan produksi

marginal terhadap tenaga kerja ?

(b) Pada tingkat penggunaan tenaga kerja berapa, produksi marginal mulai

menurun ?

(c) Hitung produksi marjinal dan produksi rata-rata pada penggunaan 10 unit tenaga

kerja.

Langkah-langkah penyelesaian soal ini adalah, substitusi K = 10 pada persamaan fungsi

produksi total sebagai berikut :

Q = - 2L3 + 600L2

Selanjutnya dari persamaan ini diturunkan persamaan produksi marginal dan produksi

rata-rata sebagai berikut :

Produksi marginal (MP) = = - 6 L2 + 1200 L2

Produksi rata-rata (AP) = = -2L2 + 600 L

Untuk mengetahui kapan produksi marjinal tenaga kerja mulai menurun maka yang

dilakukan adalah menentukan kapan MP maksimum karena setelah titik maksimum

tersebut MP akan mulai menurun. MP maksimum dapat dicapai melalui mencari turunan


15

pertama MP kemudian disamakan dengan nol dan turunan keduanya harus negatif. Hal

tersebut dapat dilakukan sebagai berikut :

= -12 L + 1200 = 0, maka L = 100

= -12. Karena itu maka MP mulai menurun pada penggunaan tenaga kerja

mulai lebih besar dari 100.

Pada penggunaan tenaga kerja (L) = 10, MP = 11.400 dan AP = 5.800.


optimasi

Documents