***

Komponen Model Optimasi:

1. Fungsi Tujuan

2. Fungsi Kendala Teknologi

3. Kendala Non Negatif

Tahap pertama → formulasi variabel keputusan

1. PT. ABC memproduksi 2 jenis mainan yaitu boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp 27.000/buah, yang setiap boneka memerlukan biaya material Rp 10.000 dan biaya tenaga kerja Rp 14.000,-. Kereta api dijual dengan harga Rp 21.000/buah, yang setiap kereta api memerlukan biaya material Rp 9000 dan tenaga kerja Rp 10.000,. Untuk membuat produk tersebut diperlukan 2 macam tukang yaitu tukang kayu dan tukang poles. Setiap boneka memerlukan 1 jam

pekerjaan kayu dan 2 jam pemolesan, sedangkan kereta api memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 1 jam pemolesan. Jam kerja yang tersedia hanya 80 jam pekerjaan kayu dan 100 jam pemolesan setiap minggu. Permintaan terhadap kereta api tidak terbatas, sedangkan boneka maksimal 40 buah per minggu. Formulasikan permasalahan tersebut untuk mengetahui berapa jumlah masing-masing produk diproduksi setiap minggu yang dapat memaksimumkan keuntungan.

paramater Mainan Boneka Mainan Kereta Api

Harga jual

Biaya material

Biaya tenaga kerja

Tukang kayu

Tukang poles

Penjualan

Rp 27.000/unit

Rp 10.000/unit

Rp 14.000/unit

1 jam/unit

2 jam/unit

Maks 40 unit/minggu

Rp 21,000/unit

Rp 9.000/unit

Rp 10.000/unit

1 jam/unit

1 jam/unit

Terjual semua

Jam kerja tk kayu

Jam kerja tk poles

80 jam/minggu

100 jam/minggu

Jawab:

-definisikan variabel keputusan:

x1 : jumlah boneka yang dibuat, bh per mgu

x2 : jumlah kereta api yang dibuat, bh per mgu

-formulasi Fungsi Tujuan:

Keuntungan per minggu= (pemasukan – biaya)

pemasukan =Rp 27000/bh * x1 bh

+ Rp 21000*x2

atau = 27x1 + 21x2 (dlm ribuan)

Jawab:

-definisikan variabel keputusan:

x1 : jumlah boneka yang dibuat, bh per mgu

x2 : jumlah kereta api yang dibuat, bh per mgu

-formulasi Fungsi Tujuan:

Keuntungan per minggu= (pemasukan – biaya)

pemasukan =Rp 27000/bh * x1 bh

+ Rp 21000*x2

atau = 27x1 + 21x2 (dlm ribuan)

Jawab:

-definisikan variabel keputusan:

x1 : jumlah boneka yang dibuat, bh per mgu

x2 : jumlah kereta api yang dibuat, bh per mgu

-formulasi Fungsi Tujuan:

Keuntungan per minggu= (pemasukan – biaya)

pemasukan =Rp 27000/bh * x1 bh

+ Rp 21000*x2

atau = 27x1 + 21x2 (dlm ribuan)

biaya/minggu (dalam ribuan):

-biaya material = 10x1 + 9x2

-biaya tenaga kerja = 14x1 + 10x2

Fungsi Tujuan:

f=(27x1 +21x2)–(10x1+9x2)–(14x1+10x2)=3x1+2x2

Fungsi Kendala:

1. Kendala pekerjaan kayu, maks 80 jam/minggu atau

x1 + x2 ≤ 80

2. Kendala Pemolesan, maks 100 jam/minggu

2x1 + x2 ≤ 100

3. Kendala penjualan, maks 40 buah boneka terjual setiap minggu:

x1 ≤ 40

4. Kendala tanda

x1, x2 ≥ 0

Sehingga model akhir menjadi:

Maksimasi :

f = 3 x1 + 2 x2

dengan kendala:

x1 + x2 ≤ 80

2 x1 + x2 ≤ 100

x1 ≤ 40

x1, x2 ≥ 0

Sebuah perusahaan membuat 2 macam produk, A dan B. Harga jual A : Rp 20000/unit sedang B: Rp 30.000/unit. Untuk membuat 1 unit A membutuhkan 2 jam-orang (man-hour), sedang B membutuhkan 6 jam-orang. Jumlah pekerja 2 orang, masing-masing bekerja 8 jam per hari termasuk istirahat 30 menit. Untuk 1 unit A dibutuhkan 6 kg bahan baku, sedang B 3 kg. Harga bahan baku Rp 1500/kg, upah pekerja Rp 2000/jam-orang. Jika bahan baku tersedia per hari 40 kg, formulasikan persoalan tsb agar diperoleh profit maksimum (kalau maksimasi pendapatan ???)

Suatu kilang minyak menggunakan 2 tipe bahan mentah yaitu crude1 dan crude2. Karena keterbatasan kapasitas peralatan dan penyimpanan, 3 macam produk yaitu gasoline, kerosene dan fuel oil hanya diproduksi dalam jumlah terbatas, sedangkan produk lain seperti gas oil dapat diproduksi sesuai kebutuhan. Data-data dilihat tabel. Keuntungan yang diperoleh adalah dari crude1 =Rp 100000/bbl dan crude2 =Rp 70000/bbl. Formulasikan model dalam PL yang memaksimumkan keuntungan harian.

Produk % volume produk Kap. Maks,

bbl/hari crude1 crude2

Gasoline 70 31 6000

Kerosene 6 9 2400

Fuel Oil 24 60 12000

Noni merencanakan program diet berdasarkan empat macam makanan-minuman kesukaannya selama ini yaitu Brownies, Es Cream Coklat, Coca Cola dan Roti Keju. Harga masing-masing makanan tersebut adalah Brownies Rp 5000/potong, Es Cream Rp 6000/gelas, Coca Cola Rp 7000/botol, dan Roti Keju Rp 8000/potong. Untuk program dietnya, setiap hari Noni harus mengkonsumsi minimum 500 kalori, 60 gram coklat, 100 gram gula dan 80 gram lemak. Kandungan nutrisi tiap unit dari masing-masing makanan ditunjukkan tabel berikut:

Formulasikan model optimasi permasalahan di atas, yang dapat memenuhi kebutuhan nutrisi Noni setiap hari

Kalori Coklat, gram Gula, gram Lemak, gram

Brownies 400 3 2 2

Es Cream 200 2 2 4

Coca Cola 150 0 4 1

Roti Keju 500 0 4 5

Kebutuhan 500 60 100 80

PT. Kerja Makmur (KM) ingin menjadwalkan tenaga kerja full time untuk setiap hari dalam seminggu (senin sampai minggu). Jumlah kebutuhan tenaga kerja full time setiap hari ditunjukkan Tabel 1. Setiap pekerja harus

bekerja lima hari berturut-turut dan istirahat dua hari berikutnya. PT. KM ingin meminimumkan tenaga kerja full time yang harus digaji. Formulasikan permasalahan tersebut dalam Programa Linier

Tabel 1: Kebutuhan tenaga kerja setiap hari

Hari Jlh t. kerja

Senin 17

Selasa 13

Rabu 15

Kamis 19

Jum’at 14

Sabtu 16

Minggu 11

Review soal:

- Ingin meminimumkan jumlah tenaga kerja yang harus digaji

- Setiap tenaga kerja harus bekerja 5 hari berturut-turut, kemudian beristirahat 2 hari berikutnya.

- Jumlah kebutuhan tenaga kerja setiap hari: Senin=17, Selasa=13, Rabu=15, Kamis=19, Jum’at=14, Sabtu=16 dan Minggu=11

Variabel Keputusan:

xi = jumlah tenaga kerja yang bekerja pada hari i, i=1,2, …, 7 (1=Senin, 2=Selasa, 3=Rabu, 4=Kamis, 5=Jum’at, 6=Sabtu dan 7=Minggu)

Maka:

- Fungsi Tujuan

min f = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

- Fungsi Kendala

Senin : x1 ≥ 17

Selasa : x2 ≥ 13

Rabu : x3 ≥ 15

Kamis : x4 ≥ 19

Jum’at : x5 ≥ 14

Sabtu : x6 ≥ 16

Minggu: x7 ≥ 11

xi ≥ 0

Apakah memenuhi kendala yang menyatakan:

“bahwa setiap pekerja harus bekerja lima hari berturut-turut dan istirahat dua hari berikutnya” ?

Jawab:

Variabel Keputusan:

xi = jumlah tenaga kerja yang mulai bekerja pada hari i, i=1,2, … , 7 (1=Senin, 2=Selasa, 3=Rabu, 4=Kamis, 5=Jum’at, 6=Sabtu dan 7=Minggu)

x1 : berarti tenaga kerja yang bekerja pada Senin-Jum’at

Definisi ini berarti bahwa:

- jumlah tenaga kerja full time=jumlah tenaga kerja yang mulai bekerja pada hari Senin + jumlah tenaga kerja yang mulai bekerja pada hari selasa + … + jumlah tenaga kerja yang mulai bekerja pada hari minggu

- Siapa pekerja yang bekerja pada hari senin? Setiap pekerja kecuali yang mulai bekerja pada hari selasa dan rabu (ingat: setiap pekerja bekerja 5 hari berturut-turut dan istirahat 2 hari berikutnya)

Maka formulasi modelnya:

Maka Fungsi Tujuan

min f = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

Fungsi Pembatas:

Senin: x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17

Selasa: x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13

Rabu: x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15

Kamis: x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 19

Jum’at: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 14

Sabtu: x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16

Minggu: x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11

xi≥0, i=1,2, … , 7