1. Pendahuluan

Optimasi adalah usaha untuk memperoleh suatu hasil terbaik (solusi terbaik) diantara

banyak solusi yang ada dengan melihat persyaratan yang diberikan.

Tinjauan akhir dari sistem optimasi adalah (objektif)

- Minimum (misal Pemakaian energi minimum) - Maksimum (misal Perolehan keuntungan yang maksimal)

Dalam system optimasi, kedua peroblem diatas (maks dan min) kita sebut fungsi obyektif atas variabel-variabel yang dicari.

obyektiffungsixf :)(

)()( xfxg

Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa proses optimasi sering dipandang sebagai

proses minimasi atau maksimasi suatu fungsi obyektif atas variabel-variabelnya.

2. Formulasi Persoalan Optimasi

Formulasi persoalan optimasi, secara garis besar ada dua, yaitu:

- Persoalan tanpa kendala - Persoalan dengan kendala

Missalnya bahasa standard untuk menyatakan persoalan optimasi atau dengan matematik

adalah:

Cari Tnxxx ),,( 1 yang memberikan nilai minimal f(x) atas persyaratan yang

memberikan kondisi :

,0)( xg j mj ,,1

,0)( xh j pj ,,1

dimana x Designe variable

)(xf Objective function (fungsi objektif)

)(xg j Inequality constrains (punya toleransi)

)(xh j Equality constrain (sangat tidak toleransi)

Formulasi persoalan optimasi diatas termasuk kedalam kelas constrain optimation problem atau persoalan optimasi dengan kendala. Jika persoalan optimasi tanpa berkendala, maka tidak ada fungsi constrainnya, seperti g(x) dan h(x).

Solusi ditentukan dengan pendekatan

minimal (effort)

Solusi ditentukan dengan pendekatan

maksimal (keuntungan)

H

D

Contoh:

Industri proses untuk pembuatan kaleng selinder, akan merancang suatu kaleng dengan volume

minimal 400cc. Fungsi obyektifnya adalah cost yang menyangkut harga bahan, dalam kasus ini luas plat/kaleng yang akan dibutuhkan.

Pada sistem pabrikasi yang tersedia terdapat beberapa kriteria (kendala), yaitu:

3,5 cm D 8 cm

8 cm H 18 cm, D = Diameter kaleng; H = Tinggi kaleng

Maka formulasi persoalan (formulasi standard) dari kejadian proses tersebut

adalah.

Design variable : Hx

Dx

2

1

Fungsi Obyektif Luas bahan yang digunakan :

2

1212

),( xxxDHf

Fungsi Kendala Volume 400 cm3.

322

1 4004

cmxx

3,5 cm D 8 cm

8 cm H 18 cm,

Jadi dalam formulasi standard, fungsi kendala adalah :

4004

2

2

1 xx

cm3 Fungsi kendala 1

x1 8 cm Fungsi kendala 2 x1 3,5 cm Fungsi kendala 3 x2 18 cm Fungsi kendala 4 x2 8 cm Fungsi kendala 5

P

D

Contoh :

Pada proses industri pembuatan pipa yang berbentuk silinder, akan dirancang pipa dengan

volume minimal 500 cc. Fungsi obyektifnya adalah cost yang

menyangkut harga bahan, dalam kasus ini adalah luas pipa luar dan

dalam (dengan anggapan bukan merupakan pipa padat) yang akan

dibutuhkan. Bila diameter untuk pipa luar (D1) maksimum 20 cm dan

minimum 10 cm dan diameter pipa dalam (D2) maksimum 15 cm dan

minimum 5 cm. Panjang pipa (P) maksimum 100 cm dan minimum 25

cm. Formulasikan persoalan desain optimasi pada proses industri

pembuatan pipa ini.

Solusi :

................................

Contoh :

Pada proses industri pembuatan pipa yang berbentuk

silinder, akan dirancang pipa dengan volume minimal

800 cc. Fungsi obyektifnya adalah cost yang

menyangkut harga bahan, dalam kasus ini adalah luas

pipa luar dan dalam (dengan anggapan bukan

merupakan pipa padat) yang akan dibutuhkan. Bila

jari-jari pipa dan panjang pipa tersebut mempunyai

kriteria sebagai berikut :

Jari-jari pipa :

5 cm r1 10 cm 10 cm r2 20 cm 15 cm r3 30 cm

Panjang pipa :

10 cm P1 20 cm 15 cm P2 30 cm 20 cm P3 50 cm

Formulasikan persoalan desain optimasi pada proses industri pembuatan pipa ini.

Solusi :

................................

r1

r2

r3

P1

P2

P3

3. Metoda Optimasi Klasik (Menggunakan Differensial) Optimasi pada metoda ini, umumnya mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu

fungsi yang kontinyu (differensiabel). Perkakas utama yang digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan ini adalah dengan kalkulus differensial.

3.1 Optimasi Tanpa Kendala Dengan Design Variable Tunggal

Ada empat kriteria dalam mendifinisikan nilai ekstrim, yaitu :

1. Suatu fungsi f(x) mempunyai solusi minimum relatif (lokal minimum) pada x=x* jika

f(x) f(x*+h) untuk semua nilai h yang kecil positip maupun negatip. 2. Fungsi f(x) mempunyai solusi maksimum relatif (lokal maksimum ) pada x=x

* jika

f(x) f(x*+h) untuk semua nilai h yang kecil positip maupun negatip. 3. Fungsi f(x) dikatakan mempunyai solusi minimum absolut (global minimum) pada x=x

*

jika f(x*) f(x) untuk semua nilai x didaerah dimana f(x) didefinisikan.

4. Fungsi f(x) dikatakan mempunyai solusi maksimum absolut (global maksimum) pada

x=x* jika f(x

*) f(x) untuk semua nilai x didaerah dimana f(x) didefinisikan. Daerah

perhatian dibatasi oleh daerah f(x) itu sendiri. (Solusi maksimum/minimum absolut,

relatif terhadap daerah definisinya).

Teorema syarat perlu

Untuk mencari nilai-nilai ekstrim dari suatu sistem atau suatu fungsi, maka digunakan syarat

perlu, dengan ketentuan yang didefinisikan sebagai berikut:

Jika x didefinisikan pada selang a x b dan mempunyai solusi (max/min) pada x=x*, dimana a x b dan jika turunan f(x)/x untuk x=x* ada, maka f(x)=0 .

Buktikan dengan deret taylor:

Pada definisi diatas, akan didapat nilai-nilai ekstrim atau harga x*, dengan mendifferensial

(turunan pertama) dari fungsi yang bersangkutan atau f(x)=0, maka didapat harga-harga x (real atau integer) yang merupakan solusi dari permasalahan. Jika nilainya tidak ada, maka

boleh dikatakan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki solusi, misalnya dari hasil perhitungan,

didapat bilangan komplek.

h- h

+

x*

h- h

+

x*

Global Maksimum

Lokal Minimum

Lokal Maksimum

Global Minimum

Dengan syarat perlu diatas, kita masih belum bisa menentukan kondisi ekstrim dari fungsi

tersebut, apakah maksimum, minimum atau lainnya (deflection), untuk itu akan digunakan

syarat cukup.

Teorema syarat cukup

Untuk mengetahui bentuk dari fungsi tersebut maksimum atau minimum atas nilai-nilai yang

telah didapat pada syarat perlu diatas, maka digunakan syarat cukup berikut:

Misalkan 0)()('')(' *1** xfxfxf n , tetapi 0)( * xf n , maka :

(i) *x adalah solusi minimum, jika 0)(* xf n , dimana n bilangan genap

(ii) *x adalah solusi maksimum, jika 0)(* xf n , dimana n bilangan genap

(iii) *x adalah bukan solusi, jika n bilangan ganjil.

Contoh:

Tentukan solusi maksimum atau minimum dari fungsi berikut:

5404512)( 345 xxxxf

Jawab

Untuk mencari nilai ekstrim dari fungsi tersebut digunakan syarat perlu.

0)(' xf 234 12018060)(' xxxxf = )23(60 22 xxx = )1)(2(60 2 xxx =0

didapat akar-akar polinomial yang merupakan nilai ekstrim adalah

02,1 x ; 13 x ; 24 x

Untuk melihat titik maksimum atau minimum dari nilai tersebut, digunakan syarat cukup.

xxxxf 240540240)('' 23

akan dimasukkan masing-masing nilai polinomial diatas,

0240540240)0('' 2321 xxxxxf

60240540240)1('' 233 xxxxf

240240540240)2('' 234 xxxxf

dari pernyataan (hasil) diatas, dapat disimpulkan bahwa:

02,1x Bukan solusi (didapat harga = 0, inflection point)

13x Adalah solusi maksimum (didapat harga -60 atau kecil dari nol)

24x Adalah solusi minimum (didapat harga 240 atau besar dari nol)

Contoh:

Suatu generator listrik DC mempunyai tahanan output R, output open sebesar V volt, lihat gambar dibawah ini. Akan dicari tahanan beban R, agar daya yang tersalur maksimum.

generator beban

r

R

D

C V

Jawab:

Daya listrik p

V = i.r

P= v. i

2irp rR

vi

2222

2 rRrR

rv

rR

vrp

fungsi obyektif

Syarat perlu:

Digunakan rumus differensial: ''. uvvuvu dan 2

''

v

uvvu

v

u

0

2

)(

2

222'

222

222

222

2222

rRrR

rRv

rRrR

rRrvrRrRvrp

r

p

didapat rrR yang diambil adalah positip (tidak mungkin negatip)

Syarat cukup:

2

2

8)(''

R

vrp Hasil negatip ( kecil dari nol )

Terlihat dari hasil bahwa R = r adalah solusi maksimum

Contoh:

Suatu sistem kompresor yang terdiri dari dua tangki (lihat gambar), untuk mengalirkan gas dari

kondisi p1 ke kondisi p3 pada output sistem.

p1 = sumber, p3 = yang diberikan, p1 = designe variable.

Akan dicari kondisi kerja dari sistem yang dinyatakan oleh p2.

Sistem Kompresor Jawab

Misalkan total kerja yang diberikan oleh sistem adalah:

21

1

2

3

1

1

2k

k

k

k

p

p

p

p

k

kNRTW fungsi obyektif

Keterangan:

W = Kerja

N = Berat molekul gas

R = Konstanta gas

k = Rasio panas spesifik

T = Temperatur fluida yang mengalir

P1

P

P3

P = Besar tekanan pada tangki tertentu

Syarat perlu

0)(' 2

2

pWp

W 2

1

312 ppp (periksa sendiri)

Syarat cukup

0)('' 222

2

pW

p

W

3.2 Optimasi Tanpa Kendala Dengan Design Variable Jamak Pada bagian ini juga akan mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi, dengan

designe variable jamak atau lebih dari satu, misalnya : ),,,( 21 nxxxx .

Teorema syarat perlu

Jika )(xf mempunyai suatu harga ekstrim (maksimum atau minimum) pada *xx dan jika

turunan pertama )(xf pada *x ada, maka :

0)()()( **

2

*

1

x

x

fx

x

fx

x

f

n

Teorema syarat cukup

Syarat cukup bahwa *x ekstrim maksimum atau minimum dari )(xf adalah jika matrik

Hessian yang dievaluasi pada *x adalah :

(i) Positip definit, jika *x adalah minimum

(ii) Negatip definit , jika *x adalah maksimum

Contoh:

Terlihat pada gambar yaitu keadaan tiga buah

pegas, maka akan dicari posisi x1 dan x2 jika sistem

dalam keadaan setimbang ( 0F ).

Jawab

Sistem dalam keadaan setimbang, jika energi

potensial atas gaya F adalah minimum.

Formulasi sistem

Designe variable x1 dan x2

Fungsi obyektif = Energi potensial

U = Energi potensial = Energi dari pegas Energi dari gaya = )(xf dimana Txxx 21,

2

2

123212

12212

2121 )()( Fxxxkxkxkxf

Syarat perlu:

0)()(

12312

1

xxkxk

x

xf pers 1

F

k1

k2 k3

x1 x2

0)()(

12321

2

Fxxkxk

x

xf pers 2

Dengan mensubstitusi kedua persamaan diatas, didapat harga-harga ekstrim:

323121

3*

1kkkkkk

Fkx

;

323121

32*

2

)(

kkkkkk

kkFx

Syarat Cukup

Dengan menggunakan matrik Hessian

313

332

2

2

2

21

221

2

2

1

2

)()(

)()(

kkk

kkk

x

xf

xx

xf

xx

xf

x

xf

J

233132313

332

1 det kkkkkkkk

kkkJ

03131312

3

2

3313131 kkkkkkkkkkkkkk

0322 kkJ

Jadi, karena J1 dan J2 positip (lebih besar dari nol), maka system adalah definit positip atau

relative minimum.

Kasus Semi definit

Misalkan turunan parsial dari f(x) hingga orde ke-k 2 adalah kontinyu disekitar dan

0*

xx

k f , 1 r k-1 dan 0*

xx

k f , maka:

(i) *x adalah minimum relative, jika *xx

k f

positip definit

(ii) *x adalah maksimum relative, jika *xx

k f

negatip definit

(iii) jika *xx

k f

adalah semi definit, maka tidak ada konklusi umum, kecuali jika k

adalah ganjil maka *x adalah pasti bukan solusi umum.

Kasus Saddle Point Misalkan suatu fungsi obyektif mempunyai dua buah design variable: f(x,y), maka untuk

syarat cukup dengan matrik Hessian nya dapat bukan positip atau pun bukan negatip pada

** , yx , meskipun syarat perlu dipenuhi. Kasus ini adalah termasuk kasus Saddle point.

Contoh

1. 22),( yxyxf

20

02

0

00

2

2

*

*

Jy

x

yy

f

xx

f

J1 = det (J)= -4

J2 = 2

Dalam hal ini bukan positip definit dan bukan negatip definit.

2. 642),( 222

1

3

2

3

121 xxxxxxf

Syarat perlu:

043 111

xx

x

f

083 222

xx

x

f

Dari kedua persamaan diatas, didapat solusi yaitu: (0, 0), (0, -8/3), (-4/3, 0), (-4/3, -8/3)

Syarat cukup:

860

046

2

1

x

xJ

46 11 xJ

860

046det

2

1

2x

xJ 8646 21 xx

Maka solusinya terlihat pada tabel berikut:

*x J1 J2 Kondisi J Kondisi *x *xf

(0, 0) +4 +32 Positip definite Relative minimum 6

(0, -8/3), +4 -32 Indefinite Saddle point 418/27

(-4/3, 0), -4 -32 Indefinite Saddle point 194/27

(-4/3,-8/3) -4 +32 Negatip definit Relative maksimum 50/3

3. Tentukan vektor gradient dan matriks Hessian pada titik (3,2) dari fungsi berikut :

f(x1,x2)=2x14-x2

3+3x1

3+5x2

2-3x1x2+x1+5x2-10

Solusi :

Vektor gradient adalah turunan pertama dari fungsi obyektif terhadap masing-masing variable

desainnya, sehingga

vector gradient (f(x))=

4

292

2

1

x

xf

x

xf

2921639381398 2322

1

3

1

1

xxx

x

xf

4592102353103 2122

2

2

xxx

x

xf

Matriks Hessian adalah turunan kedua terhadap masing-masing desain variable yang

dimaksud. Dengan menggunakan matrik Hessian

23

3270

)()(

)()(

2

2

2

21

221

2

2

1

2

x

xf

xx

xf

xx

xf

x

xf

J

Dari penyelesaian turunan pertama diatas maka akan dicari matriks Hessiannya;

1398 2

2

1

3

1

1

xxx

x

xf

2703189241824 12

12

1

2

xx

x

xf

3

21

2

xx

xf

53103 12

2

2

2

xxx

x

xf

21026106 222

2

x

x

xf

3

12

2

xx

xf

4. Tentukan vektor gradient dan matriks Hessian pada titik (1,2) dari fungsi berikut :

f(x1,x2)=x13+x2

3+2x1

2+3x2

2-x1x2+2x1+4x2

3.3 Optimasi Dengan Kendala Dan Design Variable Jamak

Seperti pada bagian 3.2, pada persoalan optimasi ini juga akan mencari nilai ekstrim dari

fungsi obyektif )(xf dengan nxxxx ,, 21 dan fungsi kendala 0jg , dimana j=1,2,3,,m.

Pada persoalan ini, diharapkan nm , jika nm , maka persoalan akan menjadi over constrain yaitu sulit diselesaikan, umumnya tidak diperoleh solusi.

Metoda penyelesaian pada kasus dilakukan dengan dua cara, yaitu:

- Metoda substitusi langsung (direct substitution)

- Dengan Metoda Lagrange.

3.3.1 Metoda Substitusi Langsung

Metoda substitusi langsung, yang disubstitusi adalah fungsi kendalanya, yang kemudian

disubstitusi pada fungsi obyektif. Sebagai contoh akan diberi persoalan berikut.

Akan dirancang sebuah kubus yang menempati sebuah bola yang diinginkan volume kubus

tersebut maksimum. Jari-jari bola 1 meter (lihat ilustrasi gambar).

Dengan substitusi langsung (direct subtitution), akan dicari solusi optimal ruas kubus tersebut

agar volume dari kubus tersebut maksimal.

( a ) ( b )

Gambar diatas adalah menunjukkan kubus didalam bola, yang mana pada gambar (b) adalah

pandangan kubus tiga dimensi.

Misal sisi-sisi kubus adalah 2x1, 2x2, dan 2x3 , maka volume kubus adalah

)(8 321 xfxxxV sebagai fungsi obyektif.

Karena kubus berada didalam bola, maka haruslah : 12232

2

2

1 rxxx atau

01)( 232

2

2

1 xxxxg sebagai fungsi kendala.

Syarat perlu

Untuk melakukan proses optimasi, maka harus disubstitusi terlebih dahulu fungsi kendalanya,

yaitu:

232

2

2

1 1 xxx 2

3

2

21 1 xxx

3218)( xxxxf 3218 xxx2

3

2

232 18 xxxx

021)( 2

3

2

2

2

xx

x

xf ..(1)

021)( 2

3

2

2

3

xx

x

xf ..(2)

x r x3

x3

x2

x2

x1 x1

Dari dua persamaan diatas, akan disubstitusi, akan didapat 32 xx , dengan memasukkan salah

kedalam persamaan (1) atau (2), serta persamaan sebelumnya, maka didapat:

3

1321 xxx

untuk membuktikan hasil tersebut adalah benar (maksimal), maka digunakan syarat cukup.

Syarat cukup

Akan digunakan matrik Hessian:

2

2

2

21

221

2

2

1

2

)()(

)()(

x

xf

xx

xf

xx

xf

x

xf

J

=

3

32

3

163

16

3

32

PosistipJ

NegatipJ

256det

3

32

2

1

Karena J1 Negatip dan J2 Positip, maka kondisinya definit negatip dan keadaannya adalah maksimum.

Jadi sesuai dengan apa yang diinginkan, yaitu mencari volume yang maksimum.