September 2013

Materi Kuliah – [2]:Logika Matematika

Konsep Tabel Kebenaran Operator Logika Ekspresi Logika Skema Teknik Parsing Aturan Pengurutan

2

Perhatikan dua buah pernyataan berikut:◦ Badu menabrak pagar rumah dan menginjak-injaknya.◦ Badu menginjak-injak pagar rumah dan menabraknya.

Manakah dari kedua pernyataan di atas yang lebih masuk akal??

Logika tidak mempermasalahkan semantik (arti/meaning pernyataan), karena logika lebih mementingkan form (bentuk) pernyataan.

Sehingga, kedua pernyataan di atas secara logika memiliki nilai yang sama. ◦ Mengapa bisa demikian??

3

Adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.

Setiap kombinasi dari proposisi-proposisi sederhana (variabel proposisional), nilainya tergantung dari jenis perangkai atau operator yang digunakan untuk mengkombinasikannya.

4

Konjungsi (AND) : Disjungsi (OR) : Negasi (NOT) : Implikasi (IF...THEN) : Biimplikasi (IF and ONLY IF) :

5

Tabel Kebenaran

Apakah rumus dasar untuk operator AND?

A B A ∧ B

T T T

T F F

F T F

F F F

6

Lihat Worksheet Pertanyaan 1!

77

Tabel Kebenaran

Apakah rumus dasar untuk operator OR??

A B A ∨ B

T T T

T F T

F T T

F F F

8

Terdapat 2 pemakaian operator OR:◦ Inclusive OR◦ Exclusive OR

Perhatikan 2 contoh berikut:◦ Saya ada di Yogyakarta atau di Jakarta pada

pukul 08.00 pagi kemarin.◦ Saya mempunyai kolak atau es degan untuk

buka puasa kemarin. Apakah perbedaan antara kedua contoh di

atas? Operator OR pada logika cenderung

menggunakan “inclusive OR”9

Simbol : Venn Diagram A B Venn Diagram A B

C

10

Simbol : Diagram Venn A B Diagram Venn A B

C

11

Tabel Kebenaran

Apakah rumus dasar untuk operator Exclusive OR??

A B A B

T T F

T F T

F T T

F F F

12

Simbol : Bersifat unary, karena merangkai satu

variabel proposisional. Tabel Kebenaran

A ¬A ¬¬A

T F T

F T F

13

A = Saya laparB = Saya kenyang

Apakah A = ¬B?

14

Kebalikan dari AND Tentukan nilai tabel kebenarannya!

A B A | B

F F

F T

T F

T T

15

Kebalikan dari operator OR Tentukan nilai tabel kebenarannya!

A B A ↓ B

F F

F T

T F

T T

16

A B A adalah antiseden, B adalah konsekuen Tentukan nilai tabel kebenarannya!

17

A B A B

F F

F T

T F

T T

If and only if (iff) Tentukan nilai tabel kebenarannya!

A B A ↔ B

F F

F T

T F

T T

Mengapa disebut biimplikasi atau ekuivalensi?

18

Lihatlah Worksheet Pertanyaan 2!

19

Perhatikan pernyataan berikut: P = “Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah”

Tentukanlah variabel proposisional pembentuk pernyataan P di atas!

Proposisi atomik : berisi satu variabel atau satu konstanta proporsional.

Proposisi majemuk : berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari satu variabel proporsional.

Cobalah ubah pernyataan P ke dalam bentuk berikut:◦ P1 : ((A B) C)◦ P2 : (A (B C))

Ekspresi logika : proposisi-proposisi yang dibangun dengan operator logika.◦ A B : ekspresi logika◦ A, B : variabel logika◦ , , , : operator logika

Lihat kembali jawaban Anda terhadap pernyataan P1 & P2!◦ Adakah perbedaan yang Anda temukan?

Apakah pernyataan P1 & P2 termasuk sebagai proposisional atomik atau proposisional majemuk??

Proposisi majemuk sangat rentan terhadap ambiguitas.◦ Solusi : pemberian tanda kurung yang tepat fully

parenthesized expression (fpe)◦ Antara P1 & P2, manakah ekspresi logika yang lebih tepat??

Cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk dengan memberi identifikator untuk menggantikan subekspresi.

Contoh: ((A B) (A B)) dapat dibuat menjadi skema (P Q), dengan:◦ P = (A B) ◦ Q = (A B)

Pada skema (P Q)

25

Skop kiri Skop kananOperator Utama

1) Semua ekspresi atomik adalah fpe (fully parenthesized expression).

2) Jika P adalah fpe, maka juga (P).

3) Jika P dan Q adalah fpe, maka juga berlaku untuk (P Q), (P Q), (P Q), dan (P Q).

4) Tidak ada fpe lainnya.

fpe disebut juga well-formed formulae (wff) karena penulisannya ekspresi logika dilakukan dengan benar.

Contoh wff yang tidak tepat: ◦ A (B (A B)◦ A (B A B))

Mengapa???

27

Teknik memisah atau memilah proposisi majemuk yang rumit/panjang menjadi proposisi yang paling kecil (atomik).

Contoh: ◦ Tentukan proposisi atomik untuk proposisi berikut!

“Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.”

Bagaimanakah bentuk fpe-nya??

[1] Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.

[1.1] Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja.

[1.2] Jika Dewi tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.

29

[1.1.1] Jika Dewi lulus sarjana Teknik Informatika.

[1.1.2] Orang tuanya akan senang dan dia dapat segera bekerja.

[1.1.2.1] Orang tuanya akan senang.[1.1.2.2] Dia dapat segera bekerja.

30

[1.2.1] Dia tidak lulus.[1.2.2] Semua usahanya akan sia-sia.

Bagaimanakah bentuk Pohon Parsing-nya?

Kenali skop kiri, skop kanan, dan operator utama!

31

Aturan pengurutan (precedence rules) : aturan untuk memprioritaskan penafsiran hasil dari proposisi majemuk yang kompleks.

Hirarki/urutan perangkai :1. : negasi2. : konjungsi3. : disjungsi4. : implikasi5. : ekuivalensi (biimplikasi)

Jika menjumpai lebih satu perangkai pada hirarki yang sama, maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri.

Lihatlah Worksheet Pertanyaan 3!

Di akhir materi ini, mahasiswa dapat :◦ Memberi nilai kebenaran berdasarkan operator

dasar yang terdapat di argumen dengan benar. ◦ Merangkai beberapa proposisi menjadi proposisi

majemuk dan menentukan nilai kebenaran dengan benar.

34