logika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-2.pdf · sebuah proposisi majemuk disebut...
TRANSCRIPT
Tahun Ajaran 2013/2014
LogikaMatematika Diskret (TKE132107)
Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>
Logika Klasik
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Silogisme.(proposisi, penalaran)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tetralema.(afirmasi, negasi, konjungsi, disjungsi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika boolean, atau aljabar boolean.(Nilai kebenaran, aplikasi: pensaklaran, rangkaian digital, IC, ...)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teori formal kebenaran.(benar dan salah)
Logika Modern
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika fuzzy.(perluasan logika boolean,
kebenaran parsial)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fullofstars, CC BY-SA 3.0, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fuzzy_logic_temperature_en.svg
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika modal.(modal, kemungkinan, contoh: “biasanya”)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika komputabilitas.(masalah komputasi, “selalu dapat dihitung”)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika konstruktif.(intuisi, keberadaan bukti, justifikasi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika relevansi.(saya manusia, maka 1+1=2)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teori logika yang alami?
Logika
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Berkaitan dengan argumen.(dan hubungan antar argumen)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Studi penalaran.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Agar kita dapat menentukan apakah sebuahargumen bernilai benar atau salah.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika
● Logika dapat berbentuk bahasa kita sehari-hari maupun bukti-bukti matematis.
● Aturan logika bersifat umum dan tidak terikat pada kalimat, atau disiplin ilmu tertentu.
● Lebih ke sintaks, daripada semantik.
Penalaran
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Cara (perihal) menggunakan nalar; pemikiran atau cara berpikir logis; jangkauan pemikiran. – Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hal mengembangkan atau mengendalikan sesuatu dengan nalar dan bukan dengan
perasaan atau pengalaman. – KBBI
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. – KBBI
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Penalaran membutuhkan logika.
Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.
Apa benar?
Semua manusia akan mati.Setsuna adalah manusia.Jadi, Setsuna akan mati.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hukum logika menentukan maknadari sebuah pernyataan matematis.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Juga menentukan sebuahargumen valid/tidak valid.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Melakukan pembuktian (teorema).
Proposisi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kalimat deklaratif yang bernilai benaratau salah, tetapi tidak keduanya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Nilai kebenaran.
5 adalah bilangan ganjil.
2 + 1 = 3
4 adalah bilangan prima.
1200 > 1199
Purwokerto adalah ibukotaKabupaten Banyumas.
Tadi pagi hujan.
Suhu sekarang ini 29° C.
Apa kamu sudah mandi?
Berikan saya nilai A untukMatematika Diskret!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proposisi dinyatakan dengan kalimat berita.
Ubai lebih tinggi daripada Dudi.
x + 5 = 23
x < 88
53 mencintai 35.
x + y = y + x
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kalkulus proposisi/logika proposisi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proposisi dilambangkandengan huruf kecil.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p = saya mempunyai makananq = 9 adalah bilangan ganjil
Kombinasi Proposisi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Operator logika.(dan, atau, tidak)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Konjungsi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Disjungsi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Negasi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proposisi majemuk.(terbentuk dari proposisi atomik)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi simbolik.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Metode kombinasi proposisi dibahaspada buku “The Laws of Thought”.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
∧ Dan/And/Konjungsi ∨ Atau/Or/Disjungsi
~ Tidak/Not/Negasi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Ekpresi logika.(ekspresi proposisi majemuk dalam bentuk notasi simbolik)
p: Hari ini hujanq: Murid-murid diliburkan dari sekolah
Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!
p: Hari ini panasq: Hari ini cerah
Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!
p: Saya suka jerukq: Saya suka salak
Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!
p: Saya itu pintar matematikaq: Saya itu bijaksana
Nyatakan dalam Notasi Simbolik (1)
1) Saya itu pintar matematika dan bijaksana2) Saya itu pintar matematika, tapi tidak bijaksana3) Saya itu tidak pintar matematika, juga tidak
bijaksana4) Tidak benar bahwa saya pintar dan bijaksana5) Saya itu tidak pintar, atau pintar dan tidak
bijaksana6) Tidak benar bahwa saya itu tidak pintar atau
tidak bijaksana
Nyatakan dalam Notasi Simbolik (2)
Tabel Kebenaran
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Nilai kebenaran proposisi majemukditentukan oleh proposisi atomik.
(+cara proposisi tersebut dihubungkan dengan operator logika)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p dan q adalah proposisi.
Konjungsi p∧q bernilai benar jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya …
Gambarkan tabel kebenarannya!
Disjungsi p∨q bernilai salah jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya …
Gambarkan tabel kebenarannya!
Negasi ~p bernilai benar jika p ..., sebaliknyabernilai salah jika p …
Gambarkan tabel kebenarannya!
p: 17 adalah bilangan primaq: Bilangan prima selalu ganjil
Apa nilai konjungsi p∧q?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tabel kebenaran adalah salah satu cara untuk menentukan kebenaran proposisi majemuk.
Jika ada n variabel, tabelkebenaran memuat
berapa baris?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tabel kebenaran menampilkan hubunganantara nilai kebenaran dari proposisi atomik.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi, jika benar untuk semua kasus.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Sebuah proposisi majemuk disebut kontradiksi, jika salah untuk semua kasus.
Gambarkan tabel kebenaran dari proposisi majemuk: p∨~(p∧q)!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Lihat kolom terakhir.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dua proposisi majemuk disebut ekivalen jika keduanya mempunyai tabel kebenaran
yang identik. (lihat kolom terakhir)
Disjungsi Eksklusif
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
OR inklusif.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Seorang dosen sedang mencari mahasiswa yang pernah mengambil mata kuliah Sinyal dan Sistem atau Sistem Kontrol.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
OR eksklusif.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Engkau bisa memilih, antara aku atau dia.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
XOR ( )
Hukum-HukumLogika Proposisi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Identitas, dominasi, negasi, idempoten,involusi, penyerapan, komutatif, asosiatif,
distributif, De Morgan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Untuk membuktikan keekivalenandua buah proposisi.
Sederhanakan bentuk berikut.~(~p q)∧ ∧(p∨q)
Buktikan ekivalensi~(p∨~q)∨(~p∧~q) ~p⇔
Proposisi Bersyarat(kondisional atau implikasi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika p, maka q.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika mahasiswa mendapat nilai 90 untuk Mate- matika Diskret, Ia akan mendapat nilai A.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika aku lulus nanti, akuakan tetap mengingatmu.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p → q
Hipotesis
Konklusi
Bagaimana tabelkebenarannya?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Berbeda antara implikasibahasa dan matematika.
(matematika: valid/tidak valid)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
jika p, qp mengakibatkan qq jika pp hanya jika qp syarat cukup agar qq syarat perlu bagi pq bilamana p
Ubahlah proposisi berikut menjadi pernyataan “jika p, q”
1) Banyak minum kopi robusta dapat menyebabkan kita tidak mengantuk.
2) Syarat wajib bagi mahasiswa agar dapat mengikuti mata kuliah Sistem Operasi adalah sudah mengambil mata kuliah Arsitektur Komputer.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Konvers: q → pInvers: ~p → ~qKontraposisi: ~q → ~p
Gambarkan tabelkebenarannya!
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut.
“Jika Badu sudah mandi, Ia tidak bau.”
Bi-implikasi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q”disebut bi-implikasi atau bikondisional.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p q
Gambarkan tabelkebenarannya!
Ekivalen secara logika dengan …?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika p, q dan jika q, p.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p adalah syarat perlu dan cukup untuk qjika p, q, dan sebaliknyap iff q
1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4
Ubahlah pernyataan berikut menjadibentuk “p jika dan hanya jika q”:
Syarat cukup dan perlu agar kita mendapatkan nilai bagus adalah
kita belajar yang rajin.
Buktikan dengan tabel kebenaranbahwa ~(p∧q) ⇔ ~p∨~q!
Buktikan dengan tabel kebenaranbahwa ~(p∧q)↔~p∨~q!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Bikondisional hanya benar jika kedua proposisi mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Inferensi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1 proposisi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
2 proposisi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Beberapa proposisi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita dapat menarik kesimpulan baru.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proses penarikan kesimpulan daribeberapa proposisi disebut inferensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Modus-modus.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Ponen, Tollen, Silogisme Hipotesis, Silogisme Disjungtif, Simplifikasi, Penjumlahan, Konjungsi.
Argumen
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Rangkaian kalimat-kalimat.(deret proposisi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Deret proposisi yang dituliskan
p1p2⋮p
n
─(jadi) q
Hipotesis
Kesimpulan
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Sahih atau valid.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Palsu atau tidak valid.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Sebuah argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, dan konklusinya benar.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika sebaliknya, berarti argumendikatakan palsu atau tidak valid.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(p1∧p2∧ … ∧pn) → q
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Implikasi bernilai benar.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Argumen palsu menunjukkanpenalaran yang tidak benar.
p ∨ (q ∨ r)~r
... p ∨ q
Apakah argumen di atas sahih?Buktikan dengan tabel kebenaran!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1) Tentukan hipotesis dan kesimpulan.2) Buat tabel kebenaran.3) Cari baris kritis: semua hipotesis benar.4) Jika semua kesimpulan benar pada baris kritis,
berarti argumen tersebut sahih/valid.
Jika mahasiswa mendapat nilai 90, Ia akan mendapat nilai A. Mahasiswa mendapat nilai 90, karena itu Ia mendapat nilai A.
Tunjukkan bahwa argumen di atas adalah sahih!
Di mana kacamata Roni?
Pada suatu ketika, Roni pergi ke kampus dan baru menyadari bahwa Ia tidak menggunakan kacamata. Setelah Ia mengingat-ingat, ada beberapa hal/fakta yang muncul.● Jika kacamataku ada di meja dapur, aku pasti melihatnya ketika
sarapan pagi.● Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di
dapur.● Jika aku membaca koran di ruang tamu, pastilah kacamata
kuletakkan di meja tamu.● Aku tidak melihat kacamataku saat sarapan pagi.● Jika aku membaca buku di tempat tidur, kacamata kuletakkan di
meja samping tempat tidur.● Jika aku membaca koran di dapur, kacamataku ada di meja dapur.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Daftar Bacaan
● Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.
● Siang, J.S. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Penerbit Andi.