DASAR-DASAR LOGIKA

Pertemuan 2

Matematika Diskrit

25-2-2013

Materi Pembelajaran

1. Kalimat Deklaratif

2. Penghubung kalimat

3. Tautologi dan Kontradiksi

4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

5. Inferensi Logika a. Argumen valid dan invalid

b. Metode-metode inferensi

6. Predikat dan kalimat berkuantor

History

a. Cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit.

b. Diskrit: tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu).

c. Mata kuliah utama dan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika (algoritma, struktur data, basis data, otomata, keamanan komputer, dll).

Apa itu diskrit?

a. Diskrit (discrete): sejumlah berhingga elemen yang berbeda

b. Contoh diskrit: himpunan bilangan bulat (integer)

c. Elemen-elemen yang tidak bersambungan (unconnected). Contoh: bilangan real

Contoh Persoalan Diskrit

1. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat dari 8 karakter?

2. Bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?

3. Bagaimana lintasan terpendek dari kota A ke kota B?

4. Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaikan masalah, manakah yang terbaik?

Contoh Persoalan Diskrit

5. “Makanan murah tidak enak, makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut sama?

6. Dapatkah kita melalui semua jalan di kompleks tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

02/20/08 (c)2001-2003, Michael P. Frank 8

Logika Matematika

a. Alat untuk bekerja dengan pernyataan (statement) majemuk yang rumit.

b. Termasuk di dalamnya:

• Bahasa untuk merepresentasikan pernyataan

• Notasi yang tepat untuk menuliskan sebuah pernyataan

• Metodologi untuk bernalar secara objektif untuk menentukan nilai benar-salah dari pernyataan

• Dasar-dasar untuk menyatakan pembuktian formal dalam semua cabang matematika

02/20/08 (c)2001-2003, Michael P. Frank 9

Logika Proposisi

Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Boolean connectives)

Beberapa aplikasinya dalam ilmu komputer:

• Merancang sirkuit elektronik digital

• Menyatakan kondisi/syarat pada program

• Query untuk basisdata dan program pencari (search engine)

Topic #1 – logika proposisi

George Boole (1815-1864)

Chrysippus of Soli (ca. 281 B.C. – 205 B.C.)

Kalimat Deklaratif

Ilmu logika mengarah pada bentuk kalimat (sintaks) daripada arti kalimat (semantik)

Kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya

02/20/08 (c)2001-2003, Michael P. Frank 11

Contoh-contoh proposisi

• “Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan)

• “Beijing adalah ibu kota China.”

• “1 + 2 = 3”

• Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta orang

• 4 adalah bilangan prima

• “1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah)

Topic #1 – logika proposisi

Contoh kalimat yang bukan proposisi

Berikut ini yang BUKAN proposisi: • “Siapa itu?” (pertanyaan) • “La la la la la.” (kata-kata tak bermakna ) • “Lakukan saja!” (perintah) • “Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas) • Dimanakah letak pulau Sulawesi? • Siapakah namamu? • Simon lebih tinggi dari Lala • X+y=3 • 5 mencintai 7

Penghubung Kalimat

a. Not

b. And

c. Or

d. Implikasi

e. Bi-implikasi

Mahasiswa diminta menggambarkan simbolnya

Fany_LI02_09 14

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

Contoh:

p menyatakan kalimat 13 adalah bilangan ganjil.

q menyatakan kalimat hari ini adalah hari Rabu.

Nyatakan dalam simbol and

Penghubung Kalimat

Fany_LI02_09 15

Penghubung Kalimat

Jenis-jenis proposisi :

– Atomic (tunggal) : p, q

– Composite (majemuk) : kombinasi p dan q.

Bagaimana dengan penggunaan kata tetapi?

Review penggunaan kata tetapi

Ekspresi lain dari p → q

• Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

=

• Pemuda itu tinggi dan tidak tampan.

• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

=

• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek dan pemuda itu tidak tampan.

Fany_LI02_09 16

Operator logika disjungsi eksklusif: xor

Notasi:

Tabel kebenaran:

p q p q T T F} T F T F T T F F F

17

Lihat

Bedanya

Dengan

OR.

18

Cara-cara mengekspresikan implikasi p q :

• Jika p, maka q

• Jika p, q

• p mengakibatkan q (p implies q)

• q jika p

• p hanya jika q

• p syarat cukup untuk q

(hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) )

• q syarat perlu untuk p

(konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) )

• q bilamana p (q whenever p)

Penghubung Kalimat

• p: hari ini panas

• q: hari ini cerah

Nyatakan kalimat berikut dengan simbol logika:

a. Hari ini tidak panas tetapi cerah

b. Hari ini tidak panas dan tidak cerah

c. Tidak benar bahwa hari ini panas dan cerah

Penghubung Kalimat

a) Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang atau barang

b) Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan

Konsep (inclusive OR) dan (exclusive OR)

Contoh Soal

1. k: Monde orang kaya

s: Monde bersuka cita

Soal: Tuliskan bentuk simbolik kalimat berikut

a. Monde orang miskin tetapi bersuka cita

b. Monde orang kaya atau ia sedih

c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita

d. Monde seorang miskin atau ia kaya tetapi sedih

Contoh Soal

2. Buatlah tabel kebenaran kalimat simbolik berikut:

a. Tidak (tidak p atau tidak q)

b. Tidak (tidak p iff q)

c. (Jika p maka q) dan tidak (p atau q)

d. (Tidak p dan (tidak q dan r)) atau (q dan r) atau (p dan r)

Hukum Ekuivalensi Logika

1. Hukum komutatif 2. Hukum asosiatif 3. Hukum distributif 4. Hukum identitas 5. Hukum ikatan 6. Hukum negasi 7. Hukum negasi ganda 8. Hukum idempoten 9. Hukum de Morgan 10. Hukum absorbsi 11. Negasi

Lihat tabel Cara pembuktian ekuivalensi P ↔ Q

TAUTOLOGI

• Bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (T), tidak peduli bagaimana pun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya

• Selalu bernilai true (T) pada semua baris

KONTRADIKSI

• Bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F), tidak peduli bagaimana pun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya

• Selalu bernilai false (F) pada semua baris

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI

Mis diketahui implikasi p→q

Konvers: q→p

Invers: ¬p → ¬q

Kontraposisi: ¬q → ¬ p

Implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisi

Jika A merupakan bujursangkar, maka A merupakan suatu persegi panjang.

Tentukan:

Konvers

Invers

Kontraposisi

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI

Referensi

1. Siang, Jong Jek. Matematika Diskret dan Aplikasinya dalam Ilmu Komputer. Yogyakarta: Andi.

2. Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and Its Application (online).