oleh intan putri lestari 1208100058 dosen pembimbing drs...
TRANSCRIPT
![Page 1: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/1.jpg)
OlehIntan Putri Lestari 1208100058
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA
2012
Dosen PembimbingDrs. M. Setijo Winarko MSi
![Page 2: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/2.jpg)
Bejangkitnya penyakitmenular
Usaha mengendalikanpenyebaran penyakit
Vaksinasi
Dampak buruk bagimasyarakat
Model epidemik SIS dengan vaksinasi
Eksistensi BifurkasiMundur
Pengendalian penyakitmenjadi lebih sulit
![Page 3: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/3.jpg)
• Bagaimana menentukan bilangan reproduksidasar ( ) ?
• Bagaimana menentukan stabilitas danterjadinya bifurkasi mundur ?
Pada tugas akhir ini dikaji dan dianalisis model epidemik SIS dengan kompartemen vaksinasi dalam referensi [4].
![Page 4: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/4.jpg)
Mendapatkan bilangan reproduksi dasar dan mengetahuiterjadinya bifurkasi mundur dari model epidemik SIS.
Dengan demikian tugas akhir ini dapat dijadikanreferensi untuk mengevaluasi metode untuk
mengendalikan penyakit menular
• Menentukan bilangan reproduksi dasar ?
• Menganalisis stabilitas dan terjadinya bifurkasimundur ?
![Page 5: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/5.jpg)
Model Epidemik SIS dengan Vaksinasi1. Model epidemik SIS dengan kompartemen vaksinasi :
denganS adalah populasi individu susceptible yaitu individu yang rentan terhadap
penyakit.I adalah populasi individu infected yaitu individu yang terjangkit dan
dapat menularkan penyakit.V adalah populasi individu vaccinated yaitu individu susceptible
yang divaksinasi.
![Page 6: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/6.jpg)
: laju kelahiran dan laju kematian alami.
: tingkat ketidakefektifan vaksin dengan , dimana
menunjukkan vaksin sangat efektif dan menunjuk-
kan bahwa vaksin tidak berpengaruh.
: laju individu infected menjadi susceptible .
: laju individu susceptible menjadi vaccinated .
: laju individu vaccinated menjadi susceptible.
: koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjuk-
kan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit.
N : jumlah populasi
2. Jumlah populasi konstan
![Page 7: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/7.jpg)
Bilangan Reproduksi DasarBilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakanbanyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertularindividu infektif primer yang berlangsung di dalam populasisusceptible.
Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukannilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks Jacobian yang dihitungpada titik kesetimbangan bebas penyakit.
Jika model memiliki dua titik kesetimbangan yaitu titikkesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik,maka tidak terjadi endemik jika dan terjadi endemik jika
![Page 8: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/8.jpg)
Titik Kesetimbangan
Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaandi atas jika memenuhi :
danKarena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasangfungsi konstan danadalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan di atas.
Pandang persamaan diferensial
![Page 9: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/9.jpg)
Stabil Asimtotik LokalKestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linier ataukestabilan dari linierisasi sistem tak linier .Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian realdari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung disekitar titik kesetimbangan.
Definisi :Jika J adalah matriks yang berukuran n x n maka vektor tak nol dinamakanvektor karakteristik dari J jika memenuhi :
disebut nilai karakteristik dari J dan dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .Untuk mencari nilai kakakteristik matriks J yang berukuran n x n, maka dapat dituliskan kembali persamaan di atas sebagai atau ekuivalen dengan , mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika
x
![Page 10: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema
Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilaikarakteristik matriks
dengan
Mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jikasedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positifpada bagian real-nya
![Page 11: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/11.jpg)
Bifurkasi Bifurkasi adalah perubahan kualitatif yang meliputi perubahan
stabilitas dan perubahan banyaknya titik setimbang yangdiakibatkan perubahan parameter.
Dalam model kompartemen penyebaran penyakit, diperlukanbilangan reproduksi dasar untuk mengetahui tingkatpenyebaran suatu penyakit.
Jika , terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit yangstabil asimtotik. Jika , terdapat titik kesetimbanganendemik yang stabil asimtotik bifurkasi maju.
Pada bifurkasi mundur , titik kesetimbangan endemik dapatmuncul untuk . Pengendalian penyakit menjadilebih sulit.
![Page 12: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/12.jpg)
Kurva putus-putus menunjukkan kesetimbanganendemik yang tidak stabil dan kurva yang padatmenunjukkan kesetimbangan endemik lokal yang stabil.
![Page 13: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/13.jpg)
Studi literatur
Kajian model epidemik SIS denganvaksinasi
Bilangan Reproduksi Dasar danStabilitas Titik Kesetimbangan
Analisa terjadinya bifurkasi mundur
Kesimpulan
![Page 14: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/14.jpg)
Model Penyebaran Penyakit MenularTanpa Vaksinasi
Model epidemik tipe SIS tanpa vaksinasi mempunyai asumsi-asumsi sebagaiberikut : Populasi dibagi menjadi 2 kelompok yaitu :
S adalah populasi susceptibleI adalah populasi infected
adalah laju kelahiran yang sama dengan laju kematian. Sedangkan Nadalah jumlah populasi susceptible dan infected. Jumlah populasi yanglahir proporsional dengan total populasi . Oleh karena itu, jumlah populasiyang lahir dalam populasi adalah . Jumlah populasi yang lahir tersebutakan memasuki kelompok S .
adalah laju besarnya populasi susceptible yang terinfeksi denganmerupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadipenularan penyakit.
![Page 15: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/15.jpg)
Populasi infected kembali menjadi susceptible dengan laju .
Diasumsikan bahwa penyakit yang menyebar dalam populasi adalahpenyakit yang tidak mematikan sehingga dalam model tidak adakematian yang disebabkan penyakit. Jumlah kematian pada kelompok
masing-masing sebesar .
Dari asumsi-asumsi tersebut didapat diagram kompartemen sebagaiberikut
![Page 16: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/16.jpg)
Dari diagram kompartemen diperoleh model epidemik tipe SI (tanpavaksinasi)
Karena N adalah jumlah seluruh populasi
Untuk memudahkan, persamaan (1) dan (2) dianalisa dalam proporsi populasi terhadap N :
dan
atau
![Page 17: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/17.jpg)
Jika sistem dibagi dengan N maka persamaan (4.1) dan (4.2) menjadi
Karena maka s dapat disubstitusikan dalam persamaan (4.4)sehingga
![Page 18: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/18.jpg)
Bilangan Reproduksi Dasar Model Penyebaran Penyakit Menular Tanpa
VaksinasiBilangan reproduksi dasar model penyebaran penyakit menular tanpavaksinasi didapat dari persamaan (4.5)
Maka bilangan reproduksi dasar untuk model penyebaran penyakit menulartanpa vakasinasi adalah
![Page 19: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/19.jpg)
Model Penyebaran Penyakit Menular denganVaksinasi
Model epidemik tipe SIS tanpa vaksinasi mempunyai asumsi-asumsi sebagaiberikut : Populasi dibagi menjadi 3 kelompok yaitu :
S adalah populasi susceptibleI adalah populasi infectedV adalah populasi vaccinated
adalah laju kelahiran yang sama dengan laju kematian. Sedangkan Nadalah jumlah populasi susceptible , infected, dan vaccinated. Jumlah populasiyang lahir proporsional dengan total populasi . Oleh karena itu, jumlahpopulasi yang lahir dalam populasi adalah . Jumlah populasi yang lahirtersebut akan memasuki kelompok S .
adalah laju besarnya populasi susceptible yang terinfeksi denganmerupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadipenularan penyakit. Diasumsikan bahwa populasi susceptible divaksinasi(vaccinated) dengan laju konstan dan vaksin berkurang dengan lajukonstan sehingga populasi vaccinated kembali menjadi susceptible.
![Page 20: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/20.jpg)
Tingkat ketidakefektifan vaksin dinyatakan dengan dimana dengan menunjukkan bahwa vaksin efektif dan menunjuk-kan bahwa vaksin tidak efektif. adalah laju besarnya populasivaccinated yang terinfeksi.
Populasi infected kembali menjadi susceptible dengan laju .
Diasumsikan bahwa penyakit yang menyebar dalam populasi adalahpenyakit yang tidak mematikan. Jumlah populasi yang mati pada setiapkelompok proporsional dengan jumlah populasi pada masing-masingkelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompokmasing-masing sebesar .
![Page 21: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/21.jpg)
Dari asumsi-asumsi tersebut didapat diagram kompartemen model epidemiktipe SIS dengan vaksinasi sebagai berikut :
Dari diagram kompartemen diperoleh model epidemik tipe SIS denganvaksinasi :
![Page 22: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/22.jpg)
Karena adalah jumlah seluruh populasi dan , maka
Akan dianalisa proporsi populasi terhadap N seperti pada model penyebaranpenyakit tanpa vaksinasi, dengan ditambah kompartemen vaksinasi.Jika V adalah individu vaccinated dalam total populasi tiap satuan waktu
dan Jika sistem dibagi dengan N maka persamaan (2.1)-(2.3) menjadi
Karena maka s dapat disubstitusikan dalam persamaan(4.8) dan (4.9)
![Page 23: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/23.jpg)
Titik Kesetimbangan Bebas PenyakitTitik kesetimbangan model dapat diperoleh dengan mengambildan . Sehingga didapat
Titik kesetimbangan bebas penyakit didapatkan pada saat . yaitukeadaan dimana tidak terjadi infeksi/penularan pada populasi. Daripersamaan (15) dan (16) didapat
Jadi titik kesetimbangan bebas penyakit adalah
![Page 24: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/24.jpg)
Kestabilan Titik Kesetimbangan BebasPenyakit
Kestabilan titik kesetimbangan ditentukan oleh nilai eigen matriksJacobian dari persamaan (4.10) dan (4.11).
Pada titik kesetimbangan bebas penyakit matriks Jacobiannya adalah :
Dari matriks Jacobian didapatkan nilai eigen
sedangkan untuk belum dapat ditentukan tandanya (dapatbernilai positif atau negatif). Oleh karena itu akan dicari bilanganreproduksi dasar model epidemik SIS dengan vaksinasi terlebihdahulu. Bilangan reproduksi dasar diperlukan untuk mengetahuidinamika penyebaran penyakit.
![Page 25: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/25.jpg)
Berdasarkan nilai eigen dapat dianalisa sebagai berikut :
akan bernilai negatif jika
atau
maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari model penyebaranpenyakit menular dengan vaksinasi adalah :
![Page 26: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/26.jpg)
Dari nilai maka didapatkan nilai sebagai berikut :• Jika
Akan didapatkan bahwa nilai eigen dan , maka titikkesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik.
• Jika Akan didapatkan bahwa nilai eigen dan , maka titikkesetimbangan tidak stabil.
Jika bilangan reproduksi dasar dari model penyebaran penyakit tanpavaksinasi dibandingkan dengan model penyebaran penyakit menulardengan vaksinasi, maka
atau
![Page 27: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/27.jpg)
Titik Kesetimbangan EndemikTitik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terjadipenyebaran penyakit di dalam populasi. Dari persamaan (4.12) dengan
didapat
Persamaan (4.14) disubstitusikan ke (4.13) didapat
dengan
![Page 28: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/28.jpg)
maka dari persamaan (18) didapat :a. Jika maka , sehingga mempunyai penyelesaian positif
tunggal.b. Jika maka , sehingga mempunyai penyelesaian positif
tunggal untuk .c. Jika maka , sehingga
○ Jika mempunyai dua penyelesaian positif yang berbeda.
○ Jika mempunyai penyelesaian positif tunggal .
○ Jika tidak mempunyai penyelesaian positif.
.
![Page 29: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/29.jpg)
Kestabilan Titik Kesetimbangan EndemikPada titik kesetimbangan endemik matriks Jacobiannya adalah :
Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai eigenmatriks J mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabiljika sedikitnya satu dari nilai eigen mempunyai tanda positif pada bagianrealnya.
Tanda dari nilai eigen suatu matriks dapat ditentukan oleh tandadeterminan dan trace matriks tersebut, dengan
Dari matriks didapat
sehingga
![Page 30: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/30.jpg)
Jika maka
Karena nilai eigen matriks mempunyai tanda negatif maka titikkesetimbangan endemik stabil.
makaKarena satu dari nilai eigen mempunyai tanda positif maka sistemtidak stabil.
makaDari (19) didapat
sehingga Jika atau
maka deterimannya positif dan titik kesetimbangan stabil asimtotik. Jika atau
maka determinannya negatif dan titik kesetimbangan tidak stabil. Jika atau maka determinannya nol dan titik ini disebut
titik bifurkasi.
![Page 31: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/31.jpg)
Kurva Bifurkasi
Untuk menggambar kurva bifurkasi, diasumsikan sebagai variabeldengan parameter konstan. dipandang sebagai variabelkarena menentukan besar kecilnya penyebaran penyakit.Deferensial implisit dari (18) terhadap adalah
Karena maka Kurva bifurkasi mempunyai kemiringan positif jika atau
kurva bifurkasi mempunyai kemiringan positif jika atau
![Page 32: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/32.jpg)
Dengan menggabungkan pembahahasan (4.2.4) dan kemiringan kurvadidapat Jika maka kemiringan kurva positif dan
determinannya positif maka titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik.
Jika maka kemiringan kurva negatif dan determinannya negatif maka titik kesetimbangan endemik tidak stabil.
![Page 33: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/33.jpg)
Sehingga didapat kurva bifurkasi sebagai berikut
![Page 34: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/34.jpg)
Efektivitas Vaksin
Dalam model epidemik pada tugas akhir ini, menyatakan tingkatketidakefektifan vaksin dengan dimana menunjukkanbahwa vaksin efektif dan menunjukkan bahwa vaksin tidak efektif.Jika vaksin efektif atau maka persamaan (4.15) menjadi
atau
sehingga tidak terdapat titik kesetimbangan endemik terdapat satu titik kesetimbangan endemik
jika vaksin efektif , maka tidak terjadi bifurkasi mundur.
![Page 35: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/35.jpg)
Simulasi dan Interpretasi
Dari persamaan (4.15) dicari persamaan yang mengandung i :
Dengan
Misal adalah titik puncak dari kurva, maka
dan
![Page 36: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/36.jpg)
Agar maka haruslah
dengan
![Page 37: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/37.jpg)
Diagram Bifurkasi Mundur Diagram Bifurkasi Maju
![Page 38: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/38.jpg)
Diagram Bifurkasi Mundur Diagram Bifurkasi Maju
![Page 39: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/39.jpg)
Beberapa input nilai parameter lain dan terjadinya bifurkasi mundurtercantum dalam tabel berikut :
![Page 40: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/40.jpg)
Kesimpulan
1. Bilangan reproduksi dasar dari model penyebaran penyakit menulardengan vaksinasi adalah
Titik setimbang bebas penyakit adalah stabil asimtotik jikadan tidak akan stabil jika . Hal ini menunjukkan bahwa tidakterjadi infeksi ketika kurang dari .
2. Bifurkasi mundur terjadi pada saat dimana terdapat satu titiksetimbang endemik jika dan terdapat dua titik setimbangendemik jika . Fenomena bifurkasi mundur menunjukkanbahwa pada saat daya infeksi tinggi yang menyebabkanpopulasi manusia yang terinfeksi meningkat namun pada saatmasih ada penyakit yang menyerang populasi manusia
![Page 41: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/41.jpg)
Saran
Dalam tugas akhir ini dianalisa eksistensi bifurkasi mundur padamodel penyebaran penyakit menular SIS yang ditambah dengankompartemen vaksinasi, untuk penelitian selanjutnya disarankanuntuk menganalisa terjadinya bifurkasi mundur pada modelpenyebaran penyakit menular dengan menambahkankompartemen isolasi.
![Page 42: Oleh Intan Putri Lestari 1208100058 Dosen Pembimbing Drs ...digilib.its.ac.id/public/ITS-paper-26682-1208100058-Presentation.pdf · di atas jika memenuhi : dan. Karena turunan suatu](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062911/5c8557dd09d3f2f2298c7899/html5/thumbnails/42.jpg)
[1] Chengjun. S dan Wei, Y. (2010). “Global Results for an SIRS Model with Vaccination and Isolation”. Nonlinear Analysis. Hal. 418-431.
[2] Chengjun. S. Wei, Y. Julien A. (2010). “Global Analysis for a GeneralEpidemiological Model with Vaccination and Varying Population”. Mathematical Analysis and Applications. Hal 208-223.
[3] Djasuli, M. (2009). “Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Makroparasitis”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan Matematika
[4] X, Jorge, C.M. Kribs-Zaleta, Velasco-Hernández. (2000). “A Simple Vaccination Model with Multiple Endemic States”, Mathematical. Biosciences. Hal.183–201.