Komputasi Numerik

Komputasi NumerikRahmadwati

Komputasi(Merriam Webster online dictionary):Aksi atau proses menghitung sesuatu

Numerik(Merriam Webster online dictionary):Berkaitan dengan angka angka

Teknik-disebut juga Rekayasa-

Membuat sesuatu yang belum ada menjadi setidaknya hampir ada.

Target

Untuk mendapatkan nilai keakurasian yang tinggi dalam suatu penghitunganKenapa diperlukan?

Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika

Persamaan ini sulit diselesaikan dengan tangan analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerikTeknis dan Proses Penyelesaian Problem

Teknis dan Proses Penyelesaian ProblemProblem nyata : fenomena atau proses-proses kehidupan alamiah yang dijumpai sehari-hari (gravitasi, banjir, populasi, gerakan angin, dll.)

Matematika digunakan untuk pembentukan model karena mempunyai bahasa dan kerangka-kerja yang baku.

Teknis dan Proses Penyelesaian ProblemPenyelesaian dapat dilakukan berdasarkan urutan atau sekuens kerja berikut:Formulasi yang tepat dari suatu model matematis dan atau pada model numerik yang sepadanPenyusunan suatu metode untuk penyelesaian problem numerikImplementasi metode yang dipilih untuk proses komputasi solusi/jawaban.Ilustrasi Persoalan Matematik

Metode Analitikmetode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).Metode analitik metode sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) solusi yang memiliki galat/error = 0.Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatasMetode NumerikMetode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error.Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik Prinsip Metode NumerikMetode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambah angrafis dan teknik perhitungan yang mudah.Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhtungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Metode analitik vs Metode numerikMetode analitik- menghasilkan solusi eksak (galat = 0)- menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika Metode numerik- menghasilkan solusi pendekatan- menghasilkan solusi dalam bentuk angkaPendekatan dan PembulatanUntuk mengambil data, diperlukan pengukuran secara kuantitatif, bukan sekedar kualitatifTidak ada pengukuran yang absolut tepat keterbatasan instrumenContoh :Mengukur dengan penggaris (skala 1mm), sehingga terjadi ketidakpastian sebesar 1mm.Hasil 20,5 0,1 cm panjang sebenarnya antara 20,4 cm sampai 20,6 cmPendekatan dan PembulatanJenis pengukuran yang dikenal sbb :Pengukuran tunggal : Tidak mungkin diulang (mengukur lama gerhana matahari)Pengukuran berulang : Kemungkinan pengukuran dilakukan berkali-kali.

Pengukuran berulang :Mengukur beberapa kali dengan alat yang sama dengan waktu yang berbedaMengukur beberapa kali dengan alat ukur yang berbedaTipe-Tipe Kesalahan EksperimenInstrumental: Kalibrasi alat yang jelek.Obeservasi : Kesalahan paralaks dalam pembacaanEnviromental : Tegangan listrik yang tidak stabilTeori : Model yang terlalu sederhana, banyaknya pengabaian)Peranan komputer dalam MetNumMempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahanMencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameterContoh aplikasi : Matlab, Scilab dllMengapa perlu belajar MetnumAlat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik)Memudahkan dalam memahami aplikasi programDapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasiMenyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasarPenyajian bilanganBilangan ada 2:EksakTidak eksakPerhitungan matematika tidak eksak , e, Perhitungan desimal yang berulang 0.3333.Hasil perhitungan deret tak hingga eHasil pengukuranFloating point f.p x = a x bna = matise (0 a 1)b = basis n = eksponen (bilangan bulat)

Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10Desimal dan angka signifikanMisal x = 0.05 2 desimal 1 angka signifikanx = 0.30 2 desimal 2 angka signifikanAngka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depanAritmatika dalam floating pointPenjumlahan /penguranganUbah bilangan ke f.pUbah eksponen mengikuti eksponen yang besarJumlahkan/kurangkanSesuaikan desimal/a.s yang dimintaContoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal)x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120Perkalian/pembagianUbah bilangan ke f.pUntuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan matiseUntuk pembagian : kurangkan eksponen dan bagikan matiseTulis hasil dalam f.p sesuai dengan desimal yang dimintaContoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal)x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103y = 0.14 = 0. 14 x 100x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20Sumber kesalahanKesalahan pemodelancontoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikelKesalahan bawaancontoh: kekeliruan dlm menyalin datasalah membaca skalaKetidak tepatan dataKesalahan pemotongan (truncation error)Kesalahan pembulatan (round-off error)

Pendekatan dan KesalahanAngka Signifikan (Penting)Akurasi dan PresisiDefinisi KesalahanKesalahan PembulatanKesalahan PemotonganKesalahan Numerik Total(Kekeliruan, Kesalahan Formulasi, dan Ketidakpastian Data)

Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?Angka Signifikan (AS)Komputasi thd suatu bilangan Bilangan hrs meyakinkan ?Konsep angka signifikan keandalan sebuah nilai numerikBanyak angka signifikan banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkanSelain angka signifikan, jg ada angka taksiranAngka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiahHow?0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)12.300 Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak!1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Dua arti penting angka signifikanAS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerikAS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas (kesalahan pembulatan/round-off-error)Angka Signifikan (AS)

Akurasi dan PresisiPresisiJumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaranPenyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alatyg mengukur suatu perilaku fisik tertentuAkurasiDekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakanInakurasi (Tdk akurat)Simpangan sistematis dari kebenaranKesalahan mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukan

Definisi KesalahanKesalahan Numerik Adanya aproksimasiMeliputi:Kesalahan pemotongan (truncation error) saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

Sehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

Bisa dikatakan: Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi Et = Harga sebenarnya aproksimasi; Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan sebenarnyaDefinisi KesalahanAlternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:a = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan thd sebuah harga aproksimasi. Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnyaKesalahan / Galat

GalatGalat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian :Galat MutlakKesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan.Kesalahan = Nilai eksak Nilai perkiraan

Contoh : x = 3,141592 dan x*=3,14, maka galat mutlaknya adalah, E = 3,141592 3,14 = 0,001592

GalatGalat relatif e dari a

Sehingga galat relatifnya adalah

Prosentase GalatProsentase galat adalah 100 kali galat relatif e * 100%

GalatMacam-macam GalatGalat Percobaan (galat bawaan/melekat), terjadi karena :Kekeliruan dalam memberikan dataKesalahan dalam asumsi terhadap data

Galat pembulatan (rounding)Pembulatan merupakan penentuan jumlah angka dibelakang komaGalatGalat pemotongan (pemotongan barisan langkah komputasi.Contoh :

HampiranGalat PemotonganAlur perhitungan

Sumber-sumber galat :Galat yang ada pada input :Chopping errorRounding errorBilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak

Input Proses Output Galat yang ada pada proses :Rambatan galatRumus/metode/algoritma tidak tepatKesalahan alatHuman error

Galat pada output :Chopping errorRounding error

Macam-macam galatChopping errorGalat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang dimintaContoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimalx* = 0.378x103galat a = |x x*| = |0.378456x103 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456

Round off errorGalat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilaiContoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x x*| = |0.378546x103 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454Truncation errorGalat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurinContoh.

Nested formNested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 4x3f(0.25) = 4.521875Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4)))f(0.25)=3.896875Galat yang terjadi 0.625Hilangnya angka signifikanHilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerikContoh. 13 = 13.00006 a.s6 a.s 0.03853 a.s

Deret Taylor & Deret MacLaurinDeret Taylor di titik a

Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin

Contoh. f(x) = sin xf(x) = cos xf(x) = - sin xf(x) = -cos xDst.Deret MacLaurin

Deret Taylor dan deret MacLaurin dapat digunakan dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka signifikanContoh.

Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 0.5 = 0.02057 (4 a.s)

Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

Fungsi Pendekatan

Pendahuluan Masalah yang sulit dievaluasiFungsi yang rumitFungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsiInformasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui)Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data

Digunakan fungsi pendekatan berupa polinomial yang memenuhi fungsi pada sejumlah titikMisalkan nilai fi = f(xi) diketahui i = 1,2,3,,nDapat digunakan fungsi polinomial pn(x) dengan derajat n untuk menginterpolasi fungsi di (n + 1) titik xi, i = 1,2, 3,,nPolinomial interpolasi yang digunakan harus memenuhi

Bentuk LagrangeDidefinisikan fungsi

Jika fi adalah nilai fungsi di titik xi maka jumlah dari perkalian fi dengan Li(x) adalah pn(x) = f1L1(x) + f2L2(x) + + fnLn(x)Bentuk di atas disebut bentuk Lagrange polinomial interpolasiContoh.Tentukan polinomial untuk menginterpolasi fungsi di titik x = -1,0 dan 1

Jawab.Misal x0 = -1, x1 = 0 dan x2 = 1

Diperoleh polinomial interpolasi p2(x)=f0L0(x)+f1L1(x)+f2L2(x) =

=

Formula Pembagian Selisih Newtonxif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]

Dari langkah-langkah di atas diperoleh polinomial interpolasipn(x) = f(x0)+(x - x0)f[x0,x1]+(x - x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]++ (x - x0)(x - xn-1)f[x0,x1,,xn]Contoh.Gunakan formula pembagian selisih Newton untuk menginterpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6

Jawab.xif(xi)21.4142140.0026360.31783731.732051-0.0249440.26794942.000000-0.0144010.22474562.449490Polinomial interpolasipn(x) = 1.414214 + (x 2){0.317837 + (x 3){-0.024944 + (x 4)(0.002636)}}

Galat dari polinomial interpolasi Misal polinom pn(x) dengan derajat n yang menginterpolasi fungsi f di xi [a,b], i = 0,1,2, nJika derivatif fungsi ke - n+1 kontinu pada [a,b] maka galat

Dengan x berada dalam interval yang memuat x,x0,x1, ,xn

Contoh. Tentukan error di titik x = 5 dari polinomial interpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6Jawab.

PERSAMAAN NONLINIER