numerik-1
TRANSCRIPT
METODE NUMERIK
METODE NUMERIK adalah :Teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan /aritmatika biasa ( tambah,kurang,kali dan bagi)
METODE artinya CARA
NUMERIK artinya ANGKA
Jadi METODE NUMERIK artinya cara berhitung dengan menggunakan angka.
Metode Numerik hanya diperoleh solusi yang mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dikatakan solusi pendekatan. Solusi pendekatan jelas tidak sama dengan solusi sejati sehingga ada selisih antara kedua solusi tersebut. Selisih ini lah yang disebut dengan ERROR( galat/kesalahan )
= kesalahan = solusi sejati - solusi pendekatan
Kesalahan Relatif =
Perbedaan Metode Numerik dan Analisis Numerik
Metode Numerik : algoritma menyangkut langkah-langkah persoalan secara Numerik
Analisis Numerik : terapan matematika untuk menganalisis metode, hal utama yang ditekankan diantaranya adalah analisis galat
I. Akar Persamaan Non Linier
1
Metoda : (a). Bisection (b). Regulafasi ( False Position )
(c). Sekan(d). Iterasi Titik Tetap
II. Interpolasi Metoda perhitungan Poliom Interpolasi yaitu :
1. Polinom Lagrange
2. Polinom Newton
3. Polinom Newton Gregory : ( Forward & Backward)
III. Integral
Metoda : (a). Persegi Panjang(b). Trapesium(c). Simpson
Akar Persamaan Non Linier
METODE BISEKSI
f(x) = 0 menghitung akar dari f(x) , jika r akar f(x) f ( r) = 0
r x0 x2 x1
r f(x)
I xk+1 - xk I <
Yang mengandung akar dari f(x) = 0
PROSEDUR
20 xx
2
!x1 – x0!≤ !x1 – x0!≤ !x1 – x0!≤
akar
Selesai
1. Pilih interval awal [x0 , x1 ] tentukan nilai 2.
3. membuang interval yang tidak berguna tinjau f(x0). f(x2)
Jika f(x0). f(x2) > 0 maka x2 mengantikan x0
Jika f(x0). f(x2) = 0 maka STOP x2 akar
Jika f(x0). f(x2) < 0 maka x2 mengantikan x1
4. STOP. I x1 - x0 I < atau I f(x0) f(x2) I <
Metode Biseksi menjamin bahwa selalu berhasil menemukan akar yang kita cari. Hanya kelemahan dari metode tersebut bekerja sangat lambat karena slalu menentukan titik tengah x2 sebagai titik ujung interval berikutnya, padahal mungkin tadinya sudah mendekati akar.
20 xx
3
Mulai
Menentukan interval awal [x0, x1], menggunakan sketsa grafik atau tabel nilai !x1 – x0!≤ f(x0 )f(x2)>
0
akar
Selesai
x2 = [x0 + x1]/2
ya
tidak tidak tidak
ya ya
Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,1
Itera X0 X1 X2 f(X0) f(X2) f(X0)f(X2) I X0 – X1 I
4
x2 [x0 + x1]/2
f(x0 )f(x2)<0
si
1 1 2 1.5 -1 0,875 -0,875 1
2 1 1,5 1,25 -1 -0,297 0,297 0,5
3 1,25 1,5 1,375 -0,297 0,225 -0,067 0,25
4 1,25 1,375 1,312 -0,297 -0,053 0,016 0,125
Kerjakan f(x) = e x – 5x2 , = 0,01
Iterasi
X0 X1 X2 f(X0) f(X2) f(X0)f(X2) I X0 – X1 I
1 0 1 0,5 1 0,3987 0,3987 1
2 0,5 1 0,75 0,3987 -0,6955 -0,2773 0,5
3 0,5 0,75 0,625 0,3987 -0,0849 -0,0338 0,25
4 0,5 0,625 0,5625 0,3987 0,1730 0,0690 0,125
5 0,5625 0,625 0,5937 0,1730 0,0481 0,0083 0,0625
6 0,5937 0,625 0,6094 0,0481 -0,0174 -0,0008 0,0313
7 0,5937 0,6094 0,6016 0,0481 0,0156 0,0008 0,0157
8 0,6016 ,6094 0,6055 0,0156 -0,0009 -0,00001 0,0078
PROSEDUR METODE REGULAFASI
1. Pilih [ x0 , x1 ] yang memuat akar f(x) ;
5
2.
3. Tinjau f(x0). f(x2)
Jika f(x0). f(x2) > 0 maka x2 mengantikan x0
Jika f(x0). f(x2) = 0 maka STOP x2 akar
Jika f(x0). f(x2) < 0 maka x2 mengantikan x1
4. STOP , jika
(i) atau
(ii)
Lebih cepat dibandingkan dengan metode Biseksi
(X0 ,f(X0 ))
r X1
X0 X2
(X1 ,f(X1 ))Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,01
n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 ) f(X0 ) f(X2 )
6
1 1 2 -1 5 1,167 -0,578 0,578 0,167 0,4162 1,167 2 -0,578 5 1,253 -0,286 0,165 0,074 0,3743 1,253 2 -0,286 5 1,293 -0,131 0,037 0,032 0,3544 1,293 2 -0,131 5 1,311 -0,058 0,007 0,014 0,344
Kerjakan f(x) = e x – 5x2
n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 ) f(X0 ) f(X2
)
1 0 1 1 -2,2817 0,3047 0,8920 0,8920 0,69532 0,3097 1 0,8920 -1,1408 0,6098 -0,0192 -0,0171 0,9690 0,39023 0,3097 0,6098 0,8920 -0,0192 0,6034 0,0080 0,0071 0,9483 0,01054 0,6034 0,6098 0,0080 -0,0192 0,6052 0,0003 0 0,0030 0,00755 0,6052 0,6098 0,0003 -0,0096 0,6052 0,0000 0 0 0,0075
METODE SEKAN
PROSEDUR
1. Pilih x0 dan x1 sembarang, ( akar tidak harus ada di [x0 , x1 ]
2.
3.
4. STOP , jika
7
(i) atau
(ii)
x2 r
x0 x1
f(x )
Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,01
n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 )
1 2 3 5 23 1,722 2,384 0,139 0,4262 3 1,722 23 2,384 1,574 1,325 0,475 0,0863 1,722 1,574 2,384 1,325 1,917 4,128 0,113 0,2184 1,574 1,917 1,325 4,128 1,412 0,403 0,103 0,2635 1,917 1,412 4,128 0,403 1,357 0,142 0,292 0,0396 1,412 1,357 0,403 0,142 1,327 0,010 0,060 0,02278
8
Kerjakan f(x) = e x – 5x2
n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 )
1 1 2 -0,4366 -12,6109 0,9641 -2,0250 0,0359 0,51802 2 0,9641 -12,6109 -2,0250 0,7659 -0,7821 0,6171 0,20563 0,9641 0,7659 -2,0250 -0,7821 0,6412 -0,1569 0,3349 0,16284 0,7659 0,6412 -0,7821 -0,1569 0,6099 -0,0196 0,2037 0,04885 0,6412 0,6099 -0,1569 -0,0196 0,6054 -0,0006 0,0558 0,00746 0,6099 0,6054 -0,0196 -0,0006 0,6052 0,0003 0,0077 0,000378
NEWTON RHAPSON
S (x0, f(x0))
x1
x0 f(x )
Persamaan garis singgung di S
Y – f(x0) = f ' (x0)( x - x0) ………………………..(*)
Garis singgung tersebut memotong sb – x di titik (x1 , 0)
Dari pers (*) – f(x0) = f ' (x0)( x - x0)
9
Dengan cara yang sama di peroleh bentuk umum :
k= 0,1,2,…
PROSEDUR NEWTON RHAPSON
1. Pilih x0 sebarang ;
2. Tentukan f(x0)
3. Untuk k = 0,1,2,….. Hitung berturut2 :
4. STOP , jika
(i)
(ii)
10
Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,1
n X0 f(X0 ) f’(X0 ) X1 f(X1 )
1 2 5 5 1 -1 12 1 -1 -4 0,75 -1,328 1,3283 0,75 -1,328 1,25 1,812 3,137 1,4164 1,812 3,137 4,436 1,105 -0,756 0,3905 1,105 -0,756 2,315 1,432 0,504 0,2966 1,432 0,504 3,296 1,279 0,187 0,1077 1,279 -0,187 2,837 1,345 0,088 0,052
Kerjakan f(x) = e x – 5x2
n X0 f(X0 ) f’(X0 ) X1 f(X1 )
1 1 -2,2817 -7,2817 0,6867 -0,3706 0,62942 0,6867 -0,3706 -4,8799 0,6108 -0,0135 0,1105
11
3 0,6108 -0,0135 -4,2661 0,6053 -0,0001 0,00904 0,6053 -0,0001 -4,2212 0,6053 -0,0001 0
METODE ITERASI TITIK TETAP
PROSEDUR:
1. Susun persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x) 2. Bentuk menjadi 3. Tentukan sebarang , kemudian hitung yang dapat
konvergen ke akar sejati4. STOP
atau
Contoh : f(x) = x3 – x – 1
Iterasi1 2 -2 1,4422 0,55783 1,3467 0,09554 1,3289 0,01785 1,3255 0,00346 1,3249 0,00067 1,3248 0,00018 1,3247 0,00019 1,3247 0
Kerjakan f(x) = e x – 5x2
Iterasi
12
1 1 - 7 0,6056 0,00082 0,7373 0,2627 8 0,6054 0,00023 0,6466 0,0907 9 0,6053 0,00014 0,6179 0,02875 0,6091 0,00886 0,6064 0,0027Sistem Persamaan Linier.(SPL)
Menentukan solusi SPL :
EliminasiSubstitusi Hasil (Jawab ) Eksak Metode Eliminasi Gauss JordanMetode Iterasi Gauss Seidel
Contoh : SPL2x + y = 4 ……..(1) x - y = -1……...(2)
Cara Eliminasi
2x + y = 4 2x - 2y = -2
3y = 6 y = 2 x = -1 + y = -1 +2 = 1 x = 1; y = 2
Substitusi(2) x = y -1(1) 2x + y = 4 2(y-1) + y = 4 2y – 2 + y = 4 3y = 6 y = 2
x = 1 ; y = 2
Eliminasi Gauss Yordan
13
x = 1 ; y = 2 Iterasi Gauss Seidel
Contoh : SPL2x + y = 4 ……..(1) x - y = -1……...(2)
;
Nilai awal x0 = 2 ; y0 = 0
Iterasi x y0 2 0 - -1 0,5 3 0,5 32 1,25 1,5 0,75 1,53 0,875 2,25 0,375 0,754 1,0625 1,875 0,1875 0,3755 0,9688 2,0625 0,0937 0,18756 1,0156 1,9688 0,0468 0,09377 0,9922 2,0156 0,0234 0,04688 1,0039 1,9922 0,0117 0,02349 0,9981 2,0039 0,0058 0,011710 1,0010 1,9981 0,0029 0,0058
Contoh : SPL4x - y + z = 7 ……..(1)4x - 8 y + z = -21……...(2)-2x + y + 5z = 15……...(3)
Eliminasi Gauss Yordan
14
x = 2 ; y = 4 ; z = 3
Iterasi Gauss Seidel
4x - y + z = 7 ……..(1)4x - 8 y + z = -21……...(2)-2x + y + 5z = 15……...(3)
; ;
Nilai awal x0 = 1 ; y0 = 2 ; z0 = 2
Iterasi x y z0 1,75 2 21 3,75 1,75 32 1,95 3,96875 2,98625345678910 2 4 3
Interpolasi Polinom
Diketahui (n + 1) titik berbeda , ……….
15
Tentukan polinom Pn(x) yang melalui semua titik tersebut sedemikian sehingga
Yi = Pn(xi) untuk i = 0,1,2,…, n, Yi dari fungsi matematika f(x) missal ln(x) , sin (x) dll
sedemikian sehingga yi = f(xi) sedangkan Pn(x) fungsi hampiran terhadap f(x), dengan yi
adalah nilai empiris diperoleh dari percobaan.
x=a x =b
Jika x0 < xk < xn maka yk = P (xk ) disebut nilai interpolasi
Jika x0 > xk atau xk > xn maka yk = P (xk ) disebut nilai ekstrapolasi
Interpolasi Linier
Adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus
16
Misal dua buah titik dan b, maka polinom yang menginterpolasi ke dua
titik tersebut adalah persamaan garis lurus p1(x) = a0 + a1 x
Contoh : (1)
Jika ln ( 9.0 ) = 2.1972 , ln (9.5) = 2.2513 maka ln ( 9.2 ) = ?
Jawab :
Bandingkan dengan nilai sebenarnya = 2,2192
Contoh : (2)
Berapa Perkiraan jumlah penduduk AS pada tahun 1968 berdasarkan data berikut
Tahun 1960 1970
Jumlah Penduduk ( Juta ) 179,3 203,2
Jawab :
Interpolasi Kuadratik
Melalui Tiga buah titik , dan
P2(x) = a0 + a1 x + a2 x2
a0 + a1 x0 + a2 x02 = y0
a0 + a1 x1 + a2 x12 = y1 gunakan Eliminasi Gauss
17
a0 + a1 x2 + a2 x22 = y2
Contoh :
Ln (8.0) = 2.0794 ; ln (9.0) = 2.1972 ; dan ln (9.5) = 2.2513
Ln ( 9.2) = ?
Jawab :
(8, 2.0794) a0 + 8 a1 + 64 a2 = 2.0794
(9, 2.1972) a0 + 9 a1 + 81 a2 = 2.1972
(9.5 , 2.2513) a0 + 9.5 a1 + 90.25 a2 = 2.2513
Dengan menggunakan Eliminasi Gauss diperoleh :
a0 = 0,6762 ; a1 = 0,2266 ; a3 = - 0,0064
maka polinom nya : P2(x) = 0,6762 + 0,2266 x - 0,0064 x2
Sehingga P2(9,2) = 2,2192
Interpolasi Kubik
Melalui Empat buah titik , , dan
P2(x) = a0 + a1 x + a2 x2
a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x0
3 = y0
a0 + a1 x1 + a2 x12 + a3 x1
3 = y1 gunakan Eliminasi Gauss
a0 + a1 x2 + a2 x22 + a3 x2
3 = y2
a0 + a1 x3 + a2 x32 + a3 x3
3 = y2
Dengan cara yang sama untuk Interpolasi berderajat n
Metode perhitungan Poliom Interpolasi ( dengan tidak menggunakan cara di atas )
yaitu : 1. Polinom Lagrange
2. Polinom Newton
3. Polinom Newton Gregory : ( Forward & Backward)
1. Polinom Lagrange
18
Dari persamaan yang diperoleh :
Bentuk Polinom Lagrange derajat 1 adalah
Sebut
Bentuk umum Polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n+ 1) titik
berbeda adalah
Dengan
Contoh :
Nilai yang berkorespondensi dengan y = adalah :
Xi 300 304 305 307
2.4771 2.4829 2.4843 2.4871
i = 0,1,2,3
Carilah:
19
Maka dengan menggunakan Rumus Polinomial Lagrange di peroleh :
Dengan :
Dengan mensubstitusikan : x = 301 dan
= 300 = 304 = 305 = 307
= 2.4771 = 2.4829 = 2.4843 = 2.4871
Maka di peroleh
2. Polinom Newton
Sehingga diperoleh :
.
20
Karena a0 , a1 ….. an merupakan nilai selisih terbagi maka Polinom Newton dinamakan
Polinom Interpolasi Selisih Terbagi Newton.
Dinyatakan dalam bentuk tabel berikut :
i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3
0 X0 f(X0)
f [X1, X0]
1 X1 f(X1) f [X2, X1 ,X0]
f [X2, X1] f [X3, X2 X1,X0]
2 X2 f(X2) f [X3, X2 X1]
f [X3, X2]
3 X3 f(X3)
Hitung f(9,2) dari nilai –nilai (x,y) pada tabel dengan polinom Newton derajat 3
Dinyatakan dalam bentuk tabel berikut :
i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3
0 8 2,079442
0,117783
1 9 2,197225 -0,006433
0,108134 0,000411
2 9,5 2,251292 -0,005200
0,097735
3 11,0 2,397895
21
3. Polinom Newton Gregory : ( Forward & Backward)
Merupakan kasus khusus dari Polinom Newton untuk titik yang berjarak
sama.Sehingga rumus Polinomnya menjadi lebih sederhana, selain itu tabel selisih
terbaginya pun menjadi lebih mudah terbentuk , dan tabel tersebut hanya sebagai
Tabel Selisih saja , karena tidak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen
tabel.
Ada 2 macam Tabel Selisih , yaitu -Tabel Selisih Maju ( Forward Difference) dan
-Tabel Selisih Mundur ( Backward Difference)
Karena itu ada 2 macam Polinom Newton Gregory yaitu :
- Forward Newton Gregory
- Backward Newton Gregory
1.Tabel Selisih Maju ( Forward Difference)
I xi yi=f(xi)
0 X0 f(X0) = f0
1 X1 f(X1)
22
2 X2 f(X2)
3 X3 f(X3)
, dimana h = x1 –x0
Bentuk umum
Rumus Polinom
Bentuk Umum Forward Newton Gregory
Karena titik berjarak sama xi =x0+ ih, i =0,1,2,…n
Dan nilai x yang diinterpolasi adalah x = x0+ sh atau
Sehingga Bentuk Umum Forward Newton Gregory
2.Tabel Selisih Mundur ( Backward Difference)
I xi yi=f(xi)
-3 X-3 f(X-3)
-2 X-2 f(X-2)
-1 X-1 f(X-1)
23
Integral Numerik
Misal f(x) > 0 yang terletak diantara interval [a,b]
secara numerik dipandang sebagai luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x)
;x=a, x=b & sumbu x
f(x)
a b
METODE ( Aproksimasi )
1. Persegi Panjang
Daerah integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval
sama.
a. Tinggi diambil dari Ujung Kiri SubInterval
h =
f(x) y0 y1 y2 y3
I II III IV
25
h h h h
a b
I = h
b. Tinggi diambil dari Ujung Kanan SubInterval
f(x) y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a b
I = h
c. Tinggi diambil dari Titik Tengah SubInterval
f(x) y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a b
I = h
Contoh :
Hitung
Dengan menggunakan Kalkulus dasar ;
26
Perhitungan dengan menggunakan Metode Persegi Panjang :
a. Tinggi diambil dari Ujung Kiri SubInterval
Daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 ,
garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
I = h
h = =1
I = 1 { f(0) + f(1) + f(2) + f(3) } = 1 { 0 + 1 + 4 + 9 } = 14
b. Tinggi diambil dari Ujung Kanan SubInterval
Daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 ,
garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
I = h
h = =1
I = 1 { f(1) + f(2) + f(3) + f(4) } = 1 { 1 + 4 + 9 + 16 } = 30
c. Tinggi diambil dari Titik Tengah SubInterval
Daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 ,
garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
Ambil nilai tengah antara subinterval
I = h
h = =1
27
I = 1 { f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) }
= 1 { 0,25 + 2,25 + 6,25 + 12,25} = 21
2. Trapesium
Daerah integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval
sama.
h =
f(x) y0 y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a b
I = LI + LII + LIII + LIV =
= h/2
I =
Contoh :
Hitung
Daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 ,
garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
h = =1
I =
28
= ½ {f( 0) + 2.f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4) } = ½( 0 + 2 + 8 + 18 + 16)=22
3. Simpson
Daerah integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval
sama.( n adalah kelipatan dua )
h =
Pada Pendekatan Integral numerik menggunakan metode Simpson kita gunakan
pendekatan dengan cara trapesium dengan mengambil dua subinterval dengan
mengasumsikan pengambilan dua buah trapesium yang berdampingan kurva yang
terbentuk mendekati bentuk kurva parabola.Untuk itu perhitungan integral dengan
cara simpson tersebut hasil nya untuk kurva berpangkat kurang atau sama dengan
dua mendekati nilai sebenarnya ( perhitungan dengan kalkulus dasar )
f(x) y0 y1 y2 y3 y4
I II III IV
h h h h
a
2h 2h
Ih = ……..(1)
Untuk k = 2h
Ik = ……….(2)
Integral Trapesium .
I = Ih + c h2 ……….(3) I = Ih + c h2 = Ik + c k2
I = Ik + c k2 ………. (4) Ih - Ik= c (k2 - h2 )
error trapesium c = = =
29
Dari persamaan (3) jika di subtitusikan nilai c = diperoleh
I = Ih + .
= Substitusikan persamaan(1) dan (2)
I = -
I =
Contoh :
Hitung
Daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 ,
garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x
Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)
h = =1
I =
= 1/3 {f(0) + 4f(1) + 2 f(2) + 4 f(3) + f(4) }
= 1/3 ( 0 + 4 + 8 + 36 + 16 )
I = 64/3 = 21,3333
Perhitungan integral dengan metode tersebut sangat mendekati nilai sebenarnya.
30