jurnal metode numerik 1

JURNAL 2012

Interpolasi dan Ekstrapolasi

Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai

tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan

upaya mendefenisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak

diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan

analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titik x1, x2, x3,

………, xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y

= f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara

numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar

interval titik-titik yang diketahui (ekstrapolasi). Permasalahan utama dalam

interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya.

Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk

tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai

secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan

trigonometri.

Proses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan

fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik (data) yang ada, dan

kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan

untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi

multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu

dimensi.

Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 1

JURNAL 2012

1.1 Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan

Interval Konstan

Polinomial interpolasi kedepan Newton Ff(x) dengan x0……………… xn-1

sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat

dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien a0, a1, a2, …… an tergantung dari x0, x1, x2, …… xn dan nilai f(x) di titik-

titik tersebut. Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-1) dapat dinyatakan sebagai

berikut:

disebut dengan perbedaan kedepan atau forward

difference, sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan

(1-2) disebut dengan interpolasi kedepan cara Newton. Perbedaan kedepan

dihitung sebagai berikut:

2

JURNAL 2012

Secara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam Tabel 1.1 berikut ini.


JURNAL 2012

1.2 Interpolasi Kebelakang Cara Newton untuk Data dengan

Interval Konstan

Polinomial interpolasi kebelakang Newton Fb(x) dengan x0, ……, xn-1 yang

mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien fungsi interpolasi tergantung dari kombinasi data-data yang diketahui.

Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-4) dapat dinyatakan sebagai berikut:

disebut perbedaan kebelakang atau backward difference,

sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan (1-5)

disebut dengan interpolasi kebelakang cara Newton. Untuk n = 6, maka

persamaan (1-5) menjadi:

4

JURNAL 2012

Perbedaan kebelakang dihitung sebagai berikut:

Secara skematis perbedaan kebelakang diberikan dalam Tabel 1.2 berikut ini.

1.3. Interpolasi Cara Lagrange untuk Data dengan Interval Tidak

Konstan

Polinomial Interpolasi Lagrange F(x) dengan x0, ……, xn-1 mempunyai interval

(Δx) tidak konstan dapat dinyatakan sebagai berikut:


JURNAL 2012

Koefisien a0, a1, a2, …… an tergantung dari x0, x1, x2, …… xn dan nilai f(x) di

titik-titik tersebut. Koefisien-koefisien tersebut dihitung sebagai berikut:

Dengan mensubstitusi persamaan (1-9) ke dalam persamaan (1-8), maka

diperoleh persamaan polinomial interpolasi Lagrange yang dinyatakan sebagai

berikut:

6

JURNAL 2012

Persamaan (1-10) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y,

sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.

1.4. Interpolasi Cara Newton untuk Data dengan Interval Tidak

Konstan

Polinomial interpolasi Newton F(x) untuk data dengan interval (Δx) tidak konstan

dikembangkan dari polinomial interpolasi Lagrange dan Newton dan dinyatakan

dengan:

Koefisien b0, b1, b2, …… bn tergantung dari nilai x0, x1, x2, …… xn dan

ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x)0, f(x)1, f(x2), …… f(xn) dan dihitung

sebagai berikut:


JURNAL 2012

Secara skematis harga koefisien-koefisien dalam persamaan (1-11) diberikan

berikut ini.

1.5. Interpolasi dengan Lengkung Kubik (Cubic Spline) untuk

Data dengan Interval Sembarang

8

JURNAL 2012

Interpolasi lengkung kubik menghasilkan nilai interpolasi y = f(x), dengan

kemiringan (slope) dan kurvatur (curvature) yang sama di sekitar titik x

interpolasi. Untuk interval antara xi–1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai

turunan kedua sebagai berikut:

γ adalah koefisien yan tergantung dari nilai x. Penyelesaian persamaan di atas

pada interval xi-1 dan xi akan menghasilkan:

Sedangkan pada interval xi dan xi+1 akan menghasilkan:

Jika persamaan (1-14) diintegrasi relatif terhadap interval (xi - x) akan dihasilkan

persamaan berikut:

sedangkan integrasi persamaan (1-15) akan menghasilkan persamaan berikut:


JURNAL 2012

c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan:

Lengkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai

bentuk:

selanjutnya:

10

JURNAL 2012

dimana y'(-)i adalah turunan di sebelah kiri titik x = xi. Demikian juga lengkung

kubik kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi+1,yi+1) mempunyai ekspresi:

selanjutnya:

dimana y'(+)i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. Turunan di sebelah kiri

dan di sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi,

sehingga:

dengan pengaturan selanjutnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut:

Untuk titik (data) sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka

jumlah bilangan tidak diketahui akan berjumlah (n+1) buah, yi” = 0,…n. Agar

sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua


JURNAL 2012

persamaan lagi, yang biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0

dan i = n. Kedua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas,

dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut:

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut:

[A] adalah matriks koefisien aij berupa matriks tridiagonal yang elemen-

elemennya didefinisikan sebagai berikut:

{M} adalah vektor bilangan tidak diketahui berupa yi”, sedangkan {D} adalah

vektor dengan elemen-elemen yang diketahui dan didefinisikan sebagai berikut:

12

JURNAL 2012

Jika sistem persamaan linier dapat diselesaikan, maka nilai y di setiap titik x

sembarang diperoleh dengan interpolasi berdasar rumus berikut:

Turunan y'(-)i dan y'(+)i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan (1-21) dan

(1-23). Seringkali turunan lebih dipilih, daripada kurvatur, sebagai bilangan tidak

diketahui. Transformasi kurvatur menjadi turunan mudah dilakukan.

Langkah-langkah interpolasi dengan lengkung kubik:


JURNAL 2012

1.6. Interpolasi dengan Trigoneometri untuk Data Periodik

Jika data-data yang diinterpolasi cenderung bersifat periodik, maka sebaiknya

interpolasi dilakukan dengan menggunakan fungsi trigoneometri. Salah satunya

dapat dinyatakan sebagai berikut:

Koefisien c0, c1, c2, …… cn tergantung dari nilai x0, x1, x2, …… xn dan

ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x0), f(x1), f(x2), …… f(xn) dan dihitung

sebagai berikut:

Persamaan (1-13) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y,

sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.

14

JURNAL 2012

1.7. Contoh Kasus Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk

Data dengan Interval Konstan

Persoalan

Posisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari

data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450,5.

Jawaban:

Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan

berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar

5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300,5. Perhitungan perbedaan nilai kedepan

diberikan berikut ini.

Ekstrapolasi kedepan cara Newton berdasar persamaan (1-2) menghasilkan

polinomial ekstrapolasi dan posisi planet Mars pada t = 1450,5 sebagai berikut:


JURNAL 2012

1.8. Contoh Interpolasi Kasus Kedepan Cara Newton untuk

Data dengan Interval Tidak Konstan

Persoalan:

Dari pengukuran topografi didapatkan data ketinggian dan posisinya sebagai

berikut:

Dari data tersebut diminta membuat fungsi interpolasi kedepan cara Newton

untuk elevasi topografi berdasar data pada x = 3.2, 4.4, 5.0, 6.0, 7.1 dan 8.2 (6

data). Selanjutnya dengan fungsi tersebut memperkirakan ketinggian di x = 5.5.

Jawaban:

Fungsi interpolasi kedepan cara Newton untuk data dengan interval tidak

konstan dinyatakan dalam persamaan (1-11). Harga koefisien-koefisien dalam

persamaan (1-11) dihitung dalam tabel berikut ini.

16

JURNAL 2012

Polinomial interpolasi dengan koefisien seperti tercantum dalam Tabel 1.6

adalah:

Dengan demikian untuk x = 5.5, maka ketinggiannya adalah:

1.9. Contoh Interpolasi Kasus dengan Lengkung Kubik untuk

Data dengan Interval Tidak Konstan

Persoalan:

Erupsi Gunung Piton de la Fournaise (Pulau Reunion) memuntahkan material

dengan komposisi kimia yang berubah terhadap waktu. Pengukuran rasio

(Ce/Yb)N selama interval 1948-1985 yang diambil dari lava erupsi diberikan

dalam Tabel 1.7. Dari data ini diminta memperkirakan rasio (Ce/Yb)N pada tahun

1960.


JURNAL 2012

Jawaban:

Langkah-langkah penyelesaian:

Step 1:

membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-29), misalnya:

Akhirnya matriks koefisien [A] mempunyai harga sebagai berikut:

Step 2:

membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-30) dengan asumsi bahwa

turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya:

Setelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor {D} akan berharga:

18

JURNAL 2012

Step 3:

menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan (1-28), maka

sistem

persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut:

Vektor {M} merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan

kedua atau {y''i}. Setelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh:


JURNAL 2012

Step 4:

menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar persamaan (1-

21) dan (1-23) yang diberikan dalam Tabel 1.8 berikut ini:

20

JURNAL 2012

1.10. Contoh Kasus Ekstrapolasi Trigoneometri untuk

Data dengan Interval Konstan

Persoalan

Posisi planet Mars secara berkala ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari data ini kita

diminta memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450.5.

Jawaban:

Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi data periodik, sehingga dapat

dikerjakan menggunakan ekstrapolasi trigoneometri. Ekstrapolasi trigoneometri

dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300.5 (perhatikan kembali

Tabel 1.4). Perhitungan koefisien-koefsien fungsi ekstrapolasi diberikan berikut

ini.

Koefisien-koefsien tersebut disubstitusi ke dalam persamaan (1-33) akan

menghasilkan persamaan ekstrapolasi berikut ini.


JURNAL 2012

Hasil ekstrapolasi cara trigoneometri (127648) berbeda cukup jauh dengan hasil

ekstrapolasi kedepan cara Newton (209302). Hal ini disebabkan oleh ketelitian

masing-masing interpolator yang berbeda. Dari keduanya tidak dapat ditentukan

mana yang lebih baik, karena keduanya tidak mempunyai mekanisme

pengukuran kesalahan. Selain itu tidak ada informasi posisi planet Mars pada t =

1450.5 hasil observasi. Dengan memperhatikan latar belakang masalahnya,

lintasan planet merupakan sesuatu yang sifatnya berkala atau periodik yang

tidak dapat diantisipasi oleh ekstrapolasi kedepan cara Newton.

KESIMPULAN:

Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau

data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang

diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali.

Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya.

Dalam bab ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial dan

trigoneometri satu dimensi. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode

lainnya.

Kata kunci dalam masalah interpolasi dan ekstrapolasi adalah ketelitian

interpolasi. Dalam bab ini hanya diberikan metode-metode klasik, padamana

tidak disertakan hal-hal berikut ini: kriteria interpolasi, ekspresi dan optimasi

ketelitian interpolasi. Satu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang

menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan

kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan

titik interpolasi. Masalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam bab ini bertujuan

hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi

data dalam fungsi sederhana. Hasil interpolasinya sendiri bukan merupakan

tujuan dari bab ini.

Bagian III buku ini akan membahas pemodelan data yang berkenaan dengan

masalah interpolasi dan ekstrapolasi menggunakan metode-metode mutakhir

dan lebih baik yang didasarkan pada model deterministik maupun statistik

22

JURNAL 2012

(spasial statistik), baik untuk satu maupun multi dimensi. Hasil interpolasi dengan

ketelitiannya yang optimal merupakan tujuan dari Bagian III. Dengan demikian

keunggulan masing-masing metode-metode interpolasi dan ekstrapolasi dapat

dianalisis dan dibandingkan secara kuantitatif.

Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dalam Bab 1 dapat disimpulkan,

bahwa masalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuan

koefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak

ditentukan misalnya tergantung dari jarak antara titik interpolasi dan titik-titik

lainnya. Dalam aplikasi ilmu-ilmu kebumian, data merupakan fungsi dari jarak.

Jadi penentuan koefisien fungsi interpolasi atau kemudian disebut dengan bobot

merupakan masalah yang sangat kritis dalam pemodelan data. Bobot titik-titik di

sekitar titik interpolasi dengan demikian lebih besar dari bobot titik-titik yang lebih

jauh dari titik interpolasi.

Untuk keperluan interpolasi dan ekstrapolasi dalam bidang ilmu-ilmu kebumian

disarankan menggunakan metode-metode yang akan diberikan dalam Bagian III,

karena ketelitiannya dapat dipertanggungjawabkan dan diuji secara statistik serta

sesuai untuk aplikasi ilmu-ilmu kebumian.


JURNAL 2012

ABSTRAKNama :NIM :Semester :

Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali. Beberapa metode yang diberikan dalam jurnal ini hanya sebagian diantaranya. fungsi interpolasi berupa polinomial dan trigoneometri satu dimensi. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode lainnya.Satu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan titik interpolasi. Masalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam jurnal ini bertujuan hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi data dalam fungsi sederhana.

Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang, melelahkan, dan menjemukan. Tetapi dengan adanya computer digital yang semakin lama semakin cepat dalam melakukan hitungan dan dengan adanya penemuan metode-metode baru dan beberapa modifikasi dari metode-metode lama, maka penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika mengalami kenaikan secara dramatis. Kemajuan yang cepat pada bidang metode numerik dikarenakan perkembangan computer itu sendiri. Kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Keunggulan tiap generasi baru komputer dalam hal waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan menyebabkan pengembangan algoritma numerik yang lebih baik.

Keyword: Metode Numerik, Interpolasi

24

JURNAL 2012

DAFTAR PUSTAKA

Nurjannah, 2010. Pengantar Metode Numerik dan Analisis. Jakarta: Rineka Cipta

Madrasah dan Guru PAI pada Sekolah, Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Departemen Agama RI, Jakarta.

Budi Susetyo, 2009, Matematika Dasar, Modul Kuliah untuk Program Peningkatan Kualifikasi Guru

Madrasah dan Guru PAI pada Sekolah, Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Departemen Agama

RI, Jakarta.

Ott, R.L & Longnecker, M., 2001, An Introduction to Mathematics Methods and Data Analysis, Duxbury, USA.

Paul Suparno, 2001, Pengantar Matematika Elementer, Penerbit Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Ott, R.L & Longnecker, M., 2001, An Introduction to Mathematics Methods and Data Analysis, Duxbury, USA.

Paul Suparno, 2001, Pengantar Matematika Elementer, Penerbit Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Marsigit, 2001. Analysis Numeric Method, Jakarta: Almahira Press.


jurnal metode numerik 1

Documents