METODA NUMERIKMETODA NUMERIK

Oleh :

Kusnahadi SKusnahadi S

Pertemuan ‐ 1Pertemuan 1

Pendahuluan metoda numerik

Metoda NumerikMetoda Numerik• SKS : 2 SKS

D K h di S t• Dosen : Kusnahadi Susanto• Email : k.susanto@unpad.ac.id• Website : http://blog.unpad.ac.id/k_susanto• Hp : 081 322 744 935p

• Jadwal Kuliah Kelas: :Reguler class :

‐ Kamis 13 00 – 15 00 Wib Ruang ( )‐ Kamis, 13.00 – 15.00 Wib Ruang (____)additional class

‐ Kamis, 10.30 – 12.30 Wib Ruang (____)• Perangkat

h /– Bahasa C / C++– Tool:

‐ Microsoft Windows Turbo C‐ Unix Ubuntu c dan gcc

PenilaianPenilaian

Komponen Prosentase

UTS 30

UAS 30

Tugas 20

Quiz 10

Kehadiran 10

80 0 ‐ 100 A 4 080.0 100 A 4.065.0 ‐ 79.9 B 3.055.0 – 64.9 C 2.045.0 – 54.9 D 1.00 – 44.9 E 0.0

• Aturan Main :‐ Kehadiran < 75 % Nilai E.‐ Tugas biasa 1 minggu.

T Akhi UAS‐ Tugas Akhir UAS‐ Dosen terlambat 30 menit, kuliah pada hari

tersebut ditiadakan dan akan diganti padag pwaktu yang disepakati.

‐ Mahasiswa terlambat 30 menit, tutup pintu dariluarluar.‐ Tidak ada tes susulan‐ Tidak ada tugas tambahan

ReferensiReferensi

• S.C. Chapra dan R.P. Canale, Numerical Methods for engineering

• S.C. Chapra dan R.P. Canale, Metoda Numerik untuk Teknik : DenganPenerapanan pada PC, Penerjemah : S. Sardy dan Pendamping : LamyarniI.S., Cetakan 1, Universitas Indonesia (UI‐Press), Jakarta, 1991, ISBN : 979‐456‐071‐5.

• S. Nakamura, Applied Numerical Methods in C, International Edition, Prentice‐Hall, Inc., USA, 1993, ISBN : 0‐13‐034349‐8

• A. Ralston, and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, 2d ed., McGraw‐Hill, New York, 1978

• Rinaldi Munir, Metoda Numerik.,

Tujuan PerkuliahanTujuan Perkuliahan

Tujuan yang ingin dicapai setelah mengikuti Kuliah Metoda Numerik :

• Mahasiswa memahami pengertian dasar metoda numerik

• Mahasiswa memahami kelebihan dan kekurangan masing‐masing metodanumerik

• Mahasiswa dapat mencari akar‐akar persamaan

• Mahasiswa dapat menyelesaikan persoalan persamaan linier & Non Linier

• Mahasiswa dapat membuat formula dari data data yang ada• Mahasiswa dapat membuat formula dari data‐data yang ada

Analitical vs Numerical MethAnalitical vs Numerical MethPersoalan matematika

Sederhana / ideal

Tidak sederhana (rumit) / tidak idealideal tidak ideal

Metoda Analitik Metoda Numerik Metoda Numerik

Solusi Sejati(exact Solution)

Solusi hampiran(Approximation solution)

Galat = 0 Galat ≠ 0

Metoda Analitik : metoda penyelesaian model matematika menggunakanrumus‐rumus aljabar yang baku (Lazim)

Metoda Numerik : metoda penyelesaian model matematika yang diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapatdiselesaikan oleh pengoperasian aritmatika (+ / x)diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika (+, ‐, /, x)

Teknik Penyelesaian MasalahkMatematika

Pendekatan penyelesaian masalah matematika

1. Cara analitik atau exact, hanya bisa untuk masalah sederhana2. Menggunakan grafik. Terbatas untuk 2, 3 dimensi saja3. Kalkulator. Riskan dengan kekeliruan perhitungan4. PC. Aplikasi metoda numerik dengan solusi pendekatan aritmatika

Tahap memecahkan persoalanknumerik

T h hk l ik k PC d 6Tahapan memecahkan persoalan numerik menggunakan PC ada 6 :

‐ Pemodelan‐ Penyederhanaan model‐ Formulasi numerik‐ Pemrograman‐ Operasional‐ evaluasi

Model Matematika (ex’ case)Model Matematika (ex case)

Sebagai contoh ilustrasi penyelesaian dengan metode numerikSebagai contoh ilustrasi penyelesaian dengan metode numerik, pandanglah sebuah persoalan integrasi‐tentu berikut

Solusi persamaan matematis :

Maka :

Perhatikan !!!

Solusi Analitik Nilai Numerik

B 1 i 1Batas : x =1 sampai x =‐1

Penyelesaian dengan Metoda Numerik

Dalam kalkulus integral : Interpretasi integral Geometri f(x) x = a sampai x =b

Luas daerah (P x L)

Algoritma penyelesaian :

1. Bagilah daerah integrasi [‐1, 1] atas sejumlah trapesium denganlebar 0.5 satuan

2. Hitung luas L = P x L

Maka :

Hasil Perhitungan Numerik selalumemiliki GALAT !!!memiliki GALAT !!!

Maka Galat hasil perhitungan numerik dengan lebar 0.5 adalah :

Solusi memperkecil kesalahan (Galat) :‐ memperkecil lebar trapesium

Latihan 1Latihan 1Buatlah program untuk menyelesaikan kasus diatas menggunakanperhitungan secara numerik !perhitungan secara numerik !

Model Fisika (ex’ case)Model Fisika (ex case)

Untuk mendapatkan nilai numerik dari setiap kejadian fisis, diperlukanUntuk mendapatkan nilai numerik dari setiap kejadian fisis, diperlukanpersamaan matematik sebagai alat bantu.

Contoh : menentukan kecepatan penerjun payung

Model Fisis : HK. Newton II

Contoh : menentukan kecepatan penerjun payung

F = m aa : laju waktu dari perubahan kecepatan

dtdv

Sehingga :

mFa

maF

=

=

mgFFFF UD

=+=

mF

dtdv

= cvFmgF

U

D

−==

FFF UD +=

S hi

cvFmgF

U

D

−==

Sehingga :

dvFFF UD +=

cdvatau

cvmgdtdvm −=

d f ldv

vmcg

dtdv

−= Persamaan deferensial dt

Penyelesaian :1. Metoda analitik cari dulu solusi analitiknya2. Metoda gravik terbatas untuk 2, 3 dimensi kasus mudahg ,3. Metoda numerik tidak perlu dicari solusi analitiknya tetapi

tentukan parameter approximasi‐nya

Penyelesaian Analitik

Dicari mengunakan teknik integral untuk mendapatkan solusi exact penenerjunpayung :

( ) ( )[ ]tmcegmtv −−= 1 V = 0 t =0Solusi Analitik ( ) [ ]ec

tv 1

Soal perhitungan :

Solusi :

Sehingga dapat dihitung waktu dan kecepatan penerjun payung secara analitiassebagai berikut

t (det) v (cm/det)0 02 1640.54 2776 94 2776.96 3564.28 4109.5

10 4487.312 4749

Penyelesaian Grafik

Slope membantuinterpretasiterhadap suatu nilaiterhadap suatu nilai

t (det) v (cm/det)0 00 02 1640.54 2776.96 3564.28 4109.5

10 4487.312 4749

Untuk t =1 kecelapatan ≈ 10 cm/detUntuk t 1 kecelapatan 10 cm/det

Penyelesaian NumerikPersamaan gerak jatuh penerjun

vcgdtdv

−=

Persamaan gerak jatuh penerjunpayung

mdtDari persamaan deferensial diatasdapat dituliskan bahwa :

( ) ( )( ) ( )ii

ii

tttvtv

tv

dtdv

−−

≈∆∆

≈+

+

1

1

Dimana :Δ b d k tΔv = beda kecepatanΔt = beda waktu

v(ti) = kecepatan awal tiv(ti+1) = kecepatan awal ti berikutnya( i+1) p i y

Solusi Numerik

Soal perhitungan :

l k d h k

Penyelesaian

Interval waktunya =2 det. hitung kecepatannya.

Untuk t = 2 v(2) Untuk t = 4 v(4) dari t=2

Hasil perhitungan Numerik

t (det) v (cm/det)0 02 19604 3200.54 3200.56 3985.68 4482.5

10 4796.912 4995.9

Dengan bantuan komputer tingkat ketelitian dapat ditingkatkan dengan mengubahDengan bantuan komputer, tingkat ketelitian dapat ditingkatkan dengan mengubahinterval waktunya. Tentunya dengan mempertimbangkan waktu sehinggadiperlukan trade‐off (kompromi)

Latihan 2Latihan 2Buatlah program untuk menyelesaikan kasus diatas menggunakanperhitungan secara numerik !perhitungan secara numerik !

TUGAS 1TUGAS 1

Buat makalah berdasarkan contoh fisika diatas menggunakan solusi1.analitik dan numerik. Gunakan interval waktu 2, 1 dan 0.5 det. tarikkesimpulan sejelas‐jelasnya menurut anda sendiri.

2.

Gunakan penyelesaian analitis dan numerik untuk menyelsaikan masalah diatas

Bahan selanjutnyaBahan selanjutnya

Akar fungsi

‐ Metoda Tabulasi

‐ Metoda Bisection

M t d R l F l i‐ Metoda Regula Falsi

‐ Metoda Newton Raphson

‐ Metoda Secant‐ Metoda Secant

‐ Kecepatan konvergensi