nisa_kepadatan mobil jalan tol
TRANSCRIPT
MODEL LALULINTAS JALAN TOL DALAMPERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
Nisa Miftachurohmah (1213201026)
Pascasarjana MatematikaInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
December 18, 2013
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 1 / 10
Outline
Outline
1 Pendahuluan
2 Pembahasan
3 Referensi
4 Penutup
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10
Outline
Outline
1 Pendahuluan
2 Pembahasan
3 Referensi
4 Penutup
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10
Outline
Outline
1 Pendahuluan
2 Pembahasan
3 Referensi
4 Penutup
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10
Outline
Outline
1 Pendahuluan
2 Pembahasan
3 Referensi
4 Penutup
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pendahuluan
Pendahuluan
LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan
AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama
Mobil tidak saling mendahului
Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak
Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Parameters : jarak tempuh mobil
x : posisi mobil
t : Waktu
v : Kecepatan mobil
ρ : Kepadatan lalulintas
L : Panjang mobil
d : Jarak antar mobil
q : Arus lalulintas
N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaKecepatan(v )v = ds
dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)
Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1
L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)
Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaKecepatan(v )v = ds
dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)
Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1
L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)
Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaKecepatan(v )v = ds
dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)
Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1
L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)
Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaKecepatan(v )v = ds
dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)
Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1
L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)
Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =
∫ ba ρ(x , t)dx
Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =
∫ t1t0
q(a, t)dt −∫ t1
t0q(b, t)dt =
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)
dt1= d
dt1
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
dN(t1)dt1
= q(a, t1)− q(b, t1)
Dari persamaan diatas, makadN(t)
dt = ddt
∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =
∫ ba ρ(x , t)dx
Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =
∫ t1t0
q(a, t)dt −∫ t1
t0q(b, t)dt =
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)
dt1= d
dt1
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
dN(t1)dt1
= q(a, t1)− q(b, t1)
Dari persamaan diatas, makadN(t)
dt = ddt
∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =
∫ ba ρ(x , t)dx
Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =
∫ t1t0
q(a, t)dt −∫ t1
t0q(b, t)dt =
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)
dt1= d
dt1
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
dN(t1)dt1
= q(a, t1)− q(b, t1)
Dari persamaan diatas, makadN(t)
dt = ddt
∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =
∫ ba ρ(x , t)dx
Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =
∫ t1t0
q(a, t)dt −∫ t1
t0q(b, t)dt =
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)
dt1= d
dt1
∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt
dN(t1)dt1
= q(a, t1)− q(b, t1)
Dari persamaan diatas, makadN(t)
dt = ddt
∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaInterval jarak posisi x = a dan x = b, maka x = b juga dapat dinyatakan x = a +4a∂∂t
∫ a+4aa ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(a +4a, t)
Memanipulasi persamaan di atas dengan aturan kalkulus menggunakan notasi4,sehinggalim4a→0
∂∂t
1−4a
∫ a+4aa ρ(x , t)dx = lim4a→0
q(a,t)−q(a+4a,t)−4a
− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂
∂a )q(a, t)karena a = x maka dapat dinyatakan juga sebagai− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂
∂x )q(x , t)sehingga dari persamaan di atas maka dapat menunjukkan model hubungan antarakepadatan (ρ) dengan arus (q) lalu lintas.
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 7 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaInterval jarak posisi x = a dan x = b, maka x = b juga dapat dinyatakan x = a +4a∂∂t
∫ a+4aa ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(a +4a, t)
Memanipulasi persamaan di atas dengan aturan kalkulus menggunakan notasi4,sehinggalim4a→0
∂∂t
1−4a
∫ a+4aa ρ(x , t)dx = lim4a→0
q(a,t)−q(a+4a,t)−4a
− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂
∂a )q(a, t)karena a = x maka dapat dinyatakan juga sebagai− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂
∂x )q(x , t)sehingga dari persamaan di atas maka dapat menunjukkan model hubungan antarakepadatan (ρ) dengan arus (q) lalu lintas.
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 7 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaInterval jarak posisi x = a dan x = b, maka x = b juga dapat dinyatakan x = a +4a∂∂t
∫ a+4aa ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(a +4a, t)
Memanipulasi persamaan di atas dengan aturan kalkulus menggunakan notasi4,sehinggalim4a→0
∂∂t
1−4a
∫ a+4aa ρ(x , t)dx = lim4a→0
q(a,t)−q(a+4a,t)−4a
− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂
∂a )q(a, t)karena a = x maka dapat dinyatakan juga sebagai− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂
∂x )q(x , t)sehingga dari persamaan di atas maka dapat menunjukkan model hubungan antarakepadatan (ρ) dengan arus (q) lalu lintas.
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 7 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaHubungan antara kepadatan dan arus lalu lintas, dengan asumsi jumlah yang tetap kedalam bentuk PD Parsial∂ρ(x,t)∂t + ∂q(x,t)
∂x = 0dapat juga ditulis dalam bentuk sederhana∂ρ∂t + ∂q
∂x = 0∂ρ∂t + ∂(ρ.v)
∂x = 0dari persamaan tersebut dapat digunakan untuk memprediksi kepadatan yang akandatang, dengan mengetahui kepadatan dan kecepatan mula-mula.
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 8 / 10
Pembahasan
Pembahasan
Model MatematikaHubungan antara kepadatan dan arus lalu lintas, dengan asumsi jumlah yang tetap kedalam bentuk PD Parsial∂ρ(x,t)∂t + ∂q(x,t)
∂x = 0dapat juga ditulis dalam bentuk sederhana∂ρ∂t + ∂q
∂x = 0∂ρ∂t + ∂(ρ.v)
∂x = 0dari persamaan tersebut dapat digunakan untuk memprediksi kepadatan yang akandatang, dengan mengetahui kepadatan dan kecepatan mula-mula.
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 8 / 10
Referensi
Referensi
Wikipedia The Free Encyclopedia, 18 Desember 2013, Traffic Flow, (diakses Hari Rabu, 18Desember 2013 pukul 00:14 WIB) http://en.wikipedia.org/wiki/Traffic-flow
Sudrajat, Tony, S dan Asropi. (1997). ”MODEL JALAN LALULINTAS JALAN TOL DALAMPERSAMAAN DIFERENDIAL PARSIAL”. Artikel, Jurusan Matematika FMIPAUniversitas Padjadjaran .
Iswanto, RJ. (2002). Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya. Graha Ilmu:Yogyakarta.
Tim Penyusun Buku Ajar Kalkulus Jurusan Matematika FMIPA ITS. (2012). Seri Buku Ajar- Kalkulus 1, Rev. 4. ITS Press: Surabaya.
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 9 / 10
Penutup
Penutup
Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 10 / 10