nilai stasioner dan ekstrim fungsi

TURUNAN FUNGSI ALJABARNilai Stasioner dan Jenis Ekstrim Fungsi

Oleh : Agus Setiawan, S.Pd

Media Pembelajaran Matematika SMA XI IPS

TITIK DAN NILAI STASIONER

TITIK STASIONER DAN NILAI STASIONER

Jika fungsi y = f(x) terdiferensial di x = a dengan f /(a) = 0, maka f(a) merupakan nilai nilai stasioner dari dari fungsi f(x) di x = a.

Pada gambar disamping terdapat titik A (a,b) dengan b = f(a) terletak pada puncak grafik fungsi y = f(x). Titik A disebut titik stasioner. Titik stasioner sering disebut juga dengan titik kritis.

Sedangkan nilai b = f(a) disebut dengan nilai stasioner yang sering disebut juga dengan nilai kritis.

Ada dua jenis nilai stasioner, yaitu nilai ekstrim dan dan bukan nilai ekstrim.

Apa yang dimaksud dengan nilai ekstrim dan bagaimana cara

menentukannya?

y = f (x)

a X

Y

O

f (a)

A (a,b) b

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Contoh Soal:

Tentukan nilai stasioner dan koordinat titik stasioner untuk fungsi

f(x) = x2 – 4

Jawab:

f(x) = x2 – 4

f /(x) = 2x

f(x) stasioner pada saat

f /(x) = 0 2x = 0 x = 0

x = 0

= – 4

Jadi fungsi f(x) = x2 – 4 mempunyai

Nilai stasioner – 4, dan

Koordinat titik stasioner (0, – 4)

f (0) = 02 – 4

NILAI EKSTRIM FUNGSI

A. Jenis Nilai Stasioner

Terdapat dua jenis nilai stasioner, yaitu nilai ekstrim dan bukan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dibedakan menjadi dua yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Untuk menentukannya dengan cara mengamati tanda-tanda dari turunan pertama fungsi f(x) di sekitar x = a. Cara seperti ini sering disebut dengan uji turunan pertama.

Dari gambar di atas, nilai stasioner dapat dikelompokkan menjadi tiga, yaitu

1. Nilai balik maksimum dan titik A disebut titik balik maksimum

2. Nilai balik minimum dan titik B disebut titik balik minimum

3. Nilai belok, f(c) dan f(d) merupakan bukan nilai ekstrim

A (a,f(a))

y = f (x)

X

Y

O a

f (a)

B (b,f(b))

y = f (x)

X

Y

O b

f (b)

C (c,f(c))

y = f (x)

X

Y

O c

f (c)

D (d,f(d))

y = f (x)

X

Y

O d

f (d)


Contoh Soal:

Tentukan koordinat titik stasioner dan jenis titik stasionernya untuk fungsi f(x) = x4 – 2x2

Jawab:

f(x) = x4 – 2x2

f /(x) = 4x3 – 4x

Nilai stasioner diperoleh pada saat

f /(x) = 0 4x3 – 4x = 0 4x(x2 – 1) = 0 4x(x – 1)(x + 1) = 0 4x = 0 V (x – 1) = 0 V (x + 1) = 0 x = 0 atau x = 1 atau x = – 1


Nilai stasioner diperoleh pada saat x = – 1 atau x = 0 atau x = 1

Maka nilai-nilai stasionernya adalah

f(–1) = (–1)4 – 2(–1)2

= 1 – 2.1

= –1

f (0) = 04 – 2.02

= 0

f (1) = 14 – 2.12

= 1 – 2

= –1

Jadi koordinat titik stasionernya adalah (–1, –1), (0, 0), dan (1, –1)

Jenis titik stasioner

Terlihat pada gambar bahwa

(–1, –1) titik balik minimum

(0, 0 ) titik balik maksimum

(1, –1) titik balik minimum

0– +

–1 1– +


B. Uji Turunan Kedua Untuk Menentukan Jenis Ekstrim

Misalkan fungsi f(x) kontinu dalam interval I yang memuat x = a.

Turunan pertama f /(x) dan turunan kedua f //(x) ada pada interval I

serta f /(a) = 0 (ini berarti f (a) adalah nilai stasioner)

1. Jika f //(a) < 0 maka f (a) adalah nilai balik maksimum fungsi f.

2. Jika f //(a) > 0 maka f (a) adalah nilai balik minimum fungsi f.

3. Jika f //(a) = 0, maka nilai stasioner f (a) belum dapat ditetapkan.Dalam kasus f //(a) = 0, penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji turunan pertama.


Contoh Soal:

Jika diketahui fungsi f(x) = x3 – x2 – 3x + 4, tentukanlah jenis-jenis nilai stasionernya dengan menggunakan uji turunan kedua.

Jawab:

f(x) = x3 – x2 – 3x + 4

f /(x) = x2 – 2x – 3

f //(x) = 2x – 2

Nilai stasioner diperoleh jika

f /(x)= 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0

x = –1 V x = 3

Nilai stasioner diperoleh pada saat

x = –1 dan x = 3

3

1

3

1 Jenis nilai stasionernyaf //(–1) = 2(–1) – 2

= –4 < 0f //(3) = 2(3) – 2

= 4 > 0Jadi,f (–1) adalah nilai balik maksimum, danf (3) adalah nilai balik minimum


C. Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup

Langkah-langkah untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi f (x) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b adalah sebagai berikut.

Langkah 1

Tentukan nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner, misal x = c

Langkah 2

Tentukan nilai-nilai fungsi f(x) pada ujung-ujung interval, yaitu nilai f(a) dan nilai f(b) serta nilai f(c) jika c terletak dalam interval a ≤ x ≤ b

Langkah 3

Membandingkan nilai yang diperoleh pada langkah 2. Nilai terbesar yang dihasilkan adalah nilai maksimum fungsi f(x) dan nilai terkecil yang dihasilkan adalh nilai minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup a ≤ x ≤ b

Latihan Soal

Kerjakan Soal-soal berikut dengan benar!

nilai stasioner dan ekstrim fungsi

Documents