LIMIT FUNGSI DAN TURUNANNYA

STANDAR KOMPETENSI

3. Menggunakan konsep limit pungsi dan turunan fungsi dalam pecahan masalah

Kompetensi Dasar

3.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana disuatu titik

3.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar

3.3. Menggunakan sifataturan turunan dalam perhitungan turunan funnsi aljabar

3.4. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan

masalah

3.5. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

aljabar.

3.6. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

aljabar dan penafsirannya

Indikator

1. siswa dapat menghitung limit fungsi aljabar dengan substitusi langsung

2. siswa dapat menghitung limit dengan memfaktorkan

3. siswa dapat menghitung limit mengalikan bilangan sekawannya

4. siswa dapat menghitung limit dengan turunan pungsi

5. siswa dapat menghitung kecepatan rata-rata

6. siswa dapat menghitung kecapatan sesaat

7. siswa dapat menghitung laju perubahan nilai fungsi

8. dapat menentukan turunan fungsi

9. siswa dapat mengenal rumus-rumus turunan fungsi

10. siswa dapat menentukan persamaan garis singgung suatu titik

LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi,

Limit istilah yang lazim umumnya diberi batasan Mendekati, Hampir, sedikit lagi atau harga batas.

Limit Fungsi

Suatu limit f ( x )dikatakan mendekati A

{ f (x ) → A } sebagai suatu limit

Bila x mendekati a{ x→a }.

Dinotasikan

Lim f ( x ) = A

X → a

Hal-hal yang perlu diperhatikan apabila

f ( a )=c maka lim f ( x )=c

X → a

f ( a ) = oc maka lim f ( x )=o

X → a

f ( x )= co

maka lim f ( x ) = oo

X → a Apabila bentuk pecahan

Lim f ( x )g ( x )

adalah bentuknya oo

X →aMaka dalam bentuk ini tidak bolehApabila terjadi seperti ini dapat diselesaikan dengan menghilangkan pembuat nol penyebut dan pembilang denganRumus L’ HospitalPerhatikan contoh berikut :Hitunglah limit-limit berikut

1. limx →2

x2+2xx−1

2. limx →2

x2−2 xx2+4 x−8

Jawab no. 1

limx →2

x2+2xx−1

f(x) = x2+2 xx−1

f(2) = 22+2.22−1

= 81=8

Karena f(a) = c maka limx →2

x2+2xx−1

= 8

Jawab no. 2

2. lim x →2

x2−2xx2+4 x−8

f(x) ¿ x2−2xx2+4 x−8

f(2) = 22−2.2

22+¿ 4.2−8¿

= 4−44+8−8

=04

Karena f(a) = 0c maka lim

x →2 x2−2x

x2+4 x−8 = 0

3. Hitunglah limit berikut :

lim x →3

x2−3xx2−9

jawab

f(x) = x2+3 xx2−9

f(3) = 32+3.332−9

= 9+99−9

= 180

Karena f(a) = c0 maka lim

x →3

x2+3xx2−9

=¿ ∞¿

4. Hitunglah limit berikut

a. limx →2

x2−2xx2−4 x+4

b. limx →2

4−x2

3−√x2+5

Jawab :

a. limx →2

x2−2xx2−4 x+4

f(x) = x2−2 xx2−4 x+4

f(2) = 22−2 .2

22−4 .2+4= 4−44−8+4

=00

karena bentukyan 00 pilih salah satu cara misal dengan manfaatkan

limx →2

x2−2 xx2−4 x−4 x+4

=limx →2

x (x−2 )(x−2 ) ( x−2 )

= limx →2

xx−2

= 22−2

= 20

Karena bentuknya c0 maka hasilnya lim

x →2

x2−2xx2−4 x−4

=∞

b. limx →2

4−x2

3−√x2−5dicek dahuli apakah 0

0

f(x) = 4−x2

3−√ x2+5

= 4−43−√9

=00 karena bentuk

00 pilih salah satu cara misal dengan mengalikan

bilangan sekawannya

limx →2

4−x2

3−√x2+5. 3+53+√ x2+5

= limx →2

(4−x2 ) (3+√ x2+5 )(3−√ x2+5 )(3+√ x2+5)

= limx →2

(4−x2 ) (3+√x2+5 )9−3√x2+5+3√ x2−¿ ( x2+5 )

¿

=limx →2

(4−x2) (3+√x2+5)9−( x2+5 )

=limx →2

(4−x2) (3+√x2+5)9−x2−5

=limx →2

(4−x2) (3+√x2+5)(4−x2 )

=limx →2

3+√x2+51

=3+√22+5

=3+√4+5

= 3+√9

= 3+3

=6

Beberapa teorima limit

Bila limx→ a=Adan lim

x →ag ( x )=B

¿

Maka.

1. lim❑ {k . f (x )}=k limx →a

f ( x)

2. lim { f ( x ) ± g( x)}=limx →a

f ( x ) ± limx →a

g(x)

= A ± B

3.limx→ a

{g (x ) X g(x) }.=limx→ a

f ( x ) X limx→ a

g ( x )

=A X B

4. limx→ a { f ( x )

g (x ) }=limx →a

f ( x )

limx → a

g ( x ) = AB

5. limx→ a

{f ( f )}n = {limx→af (x )}=An

6. limx→ a

n√ f (x )n = √ limx→ af ( x )=n√ A

Limit Fungsi Bentuk ( ∞−∞)

a. limx→ ∞¿¿

1. R = ∞ jikaa> p

2. R = 0 jika a = p

3. R - ∞ jika a ¿ p

b. lim¿

1. R = ∞ jika∞ a> p

2. R = b−q2√a

jika a = p

3. R = - ∞ jikaa< p

Limit Fungsi Bentuk ∞∞

Jika diketahui limit tak hingga ∞ sebagai berikut:

limx→∞

a xn+b xn−1+…+rp xm+q xm−1+…+r

=R

Maka

1. R = 0 jika n < m

2. R = ap jika n = m

3. R = ∞ jika n > m

Jika kita jabarkan limx→∞

f (x) maka sebelum kita dapatkan carayang termudah maka langkah; pengerjaannya

dengan membagi x pangkat yang tertinggi

Hitunglah limit berikut:

1. limx→ ∞

3 x3−4 x2+2 xx4−2 x+2

2. limx→ ∞

x2−4 x+8x−2

3. limx≥ →∞

3 x2−9 x2 x2−4 x

Jawab : soal no 1 pangkat tertinggi dari x adalah 4 maka:

limx→ ∞

3 x3−4 x2+2 xx4−2 x+2

= limx→∞

3 x3

x4−4 x2

x4+ 2 x

x4

4 xx4

−2xx4

+ 2x4

limx→ ∞

3x− 4

x2+ 2

x2

1− 2x3

+ 2x4

=

3∞

− 4∞

+ 2∞

1− 2∞

+ 2∞

= 0−0+01−0+0 =

01 0

Karena n < m maka R = 0

2. limX→ ∞

x2−4 X+8X−2

= limX→ ∞

x2

x2−4 X

x2+ 8

x2

Xx2

− 2x2

= limx→ ∞

1−4x+ 8

x2

1x− 2

x2

= 1− 4

∞+ 8

∞1∞

− 2∞

= 1−0+00−0 =

10

= ∞

Karena n > m maka R = ∞

3. limx→∞

3 x2−9 x2x2−4 x

=limx → ∞

3 x2

x2−9 x

x2

2 x2

x2−4

x

= limx→ ∞

3−9x

2−4x

= 3− 9

∞

2− 4∞

= 3−02−0 =

32

Karena n = m maka R = ap

4. Tentukan nilai dari limx→∞

√4 x22x+6−√4 x2+2x−1

Jawab: a = 4 p = 4

B = -2 q = 2

R = b−q2√a

= −2−22√4

=−42.2 =

−44

=−1

5. Tentukan nilai dari

limx→ 4

2 x2+5 x−123 x2−13 x−4

Cek dulu apakah 00

F(-4) = 2 (−4 )2+5 (−4 )−123 (−4 )2−13 (−4 )−4

=00

Karena bentuknya 00 kita coba dengan turunan fungsi

limx→−4

2x2+5 x−123 x2−13x−4

= limx →−4

4 x+56 x−13

= 4 (−4 )+56 (−4 )−3

=−11−37

= 1137

TURUNAN DEFERSIAL

Laju perubahan jarak terhadap waktu ( kecepatan )

Pengertian

Kecapatan rata-rata maupun kecapatan sesaat adalah merupakan laju perubahan jarak terhadap waktu dalam

Kecepatan rata-rata dalam interval

Vrata-rata = f (t 1+h )−f (t 1)

h

Kecepatan sesaat V pada saat t = t 1 ditentukan atas rumus

V(t=t 1¿ = limh→ o

Vrata−rata=limh→0

f (t 1+h )−f (t 1)h

Contoh:

Perasamaan gerakan sebuah benda sebagai fungsi waktudinyatakan dengan persamaan

S = f(t) = 5t – 3 ; s dalam meter t dalam detik

Hitunglah

a. kecapatan rata-rata dari benda itu pada interval

t = 1 sampai t = 2 detik

b. kecepatan sesaat pada waktu pada waktu t = 6 detik

jawab : pada saat t = 1 jarak yang ditempuh f(1) = 5 (1) – 3 = 2 m pada saat t = 2 detik jarak yang ditempuh f(2) = 5(2) – 3 = 7m

jadi

a. kecepatan rata-rata : pada interval t = 1 sampai t =2 detik adalah

Vrata-rata = f (2 )− f (1)2−1

= 7−21 = 5 meter/detik

b. kecepatan sesaat pada waktu t = 6 detik adalah

V (t = 6) = limh→0

f (6+h )−f (6)h

=limh→0

(5 (6+h )−3 )−(5 (6 )−3)¿

h¿

= limh→0

30+5h−3−30+3h

=limh→ 05

= 5 meter/detik

Laju perubahan nilai fungsi f(x) terhadap x pada x = a dapat ditentukan dengan mengambil h dekat dengan nol, ditulis:

f l(a) = limh→0

f (a+h )−f (a)h

Catatan:

i. jika limit itu ada maka dikatakan fungsi f(x) deferensiabel pada x = a

ii. f l(a) seringpula disebut sebagai turunan (derevansi f ) f(x) terhadap x pada x = a

contoh:

carilah f l(5) jika f(x) = x2 + x

jawab.

f l(5) = limh→0

f (5+h )−f (5)h

= limh→ 0 {(5+h )❑2+(5+h )−(52+5)

h } = lim

h→ 0

25+10h+h2+5+h−30h

= limh→ 011

= 11

Pengertian turunan dan fungsi turunan. Kita telah mengetahui bawa turunan suatu fungsi f(x) pada x = a dapat diturunkan dengan rumus

f l(a) = limh→ 0

f (a+h )−f (a)h

Jika Df ∈R maka turunan suatu fungsi f(x) untuk sembarang nilai x dalam daerah asal dapat ditentukan dengan rumus umum turunan yaitu

f l(x) = limh→0

f (x+h )−f (x)h

Contoh

Jika f(x) = 3x+2, carilah f l(3)

Jawab

f l(3) = limh→

f (3+h )−f (3)h

= limh→0

(3 (3+h )+2 )−(3 (3 )+2)h

= limh→ 0

9+3h+2+9−2h

= limh→ 0

3hh

= 3

Turunan y =axn ;nbulat

Rumus umum untukturunan dari f(x) = axn

yaitu f l(x) =na xn−1

untuk a kostenta dan n bilangan bulat positif, bilangan bulat negative dan bilangan rasional

contoh

diketahui f(x) = 3 x3, carilah f l(x)

jawab.

f(x) = 3x3

f l(x) = 3 . 3x3−1

= 9 x2

Contoh

Carilah turunan dari fungsi beerikut

1. f(x) = 5 x4

2. f(x) =√ x

3. f(x) = 1x3

4. f(x) = 2x2+2x

5. f(x) = 4x3+5x2 +5x

Jawab.

1. f(x) = 5 x4

f l(x) = 5 . 4 x4−1

= 20x3f

2. f(x) = √ x = x1/2

f=(x) = 12 x ½ - 1

= 12

x−12 =

12 .

1

x 12

= 12√ x

3. f(x) = 1x3

= x−3

f l(x) = −3 x−3−1

= -3x−3 = −3x4

4. f(x) =2 x2+x

f l(x) = 2 .2x2−1 + 1. x1−1

=4x + 1

5. f(x) = 4 x3 + 5 x2 + 5x

f l (x) = 4 . x3−1 +5 . x2 + 5. 2x2−1

= 12 x2 + 10x + 5

Soal Tugas.

Carilah turunan dari fungsi berikut

1. f(x) = x2 (5 x3+2x ) 4. f(x) = 2√x+1

2. f(x) = 2√ x2 5. F(x) = √ x ¿¿ + 2x)

3. f(x) = 13√x2

Rumus-rumus turunan

1. Turunan fungsi konstanta

Jika f(x) = k dengan k konstanta maka f l(x) = 0 untuk sembarang x

Contoh: carailah f l(x) , jika f(x) = 6

Jawab f(x) = 6 artinya f(x) = 6x0

Maka f l(x) = 0 . 6 x0−1

= 0

2. Turunan fungsi identitas

Jika f(x) = x , f(x) disebut fungsi identitas

Maka f l(x) = 1

3. Turunan fungsi pangkat f(x) = axn dan

F(x) = xn

Maka jika f(x) = xn ❑⇒ f l (x) = nxn−1

F(x) = axn ❑⇒ f l = anxn−1

Contoh : Carilah turunan dari fungsi berikut

1). f(x) = x5 2). f(x) = 2 . 2 .4 x4−1

Jawab f l(x) = 5 x5−1 jawab: f l(x) = 2 . 4x4−1

= 5 x4 = 8x3

4. Turunan perkalian skala r dengan fungsi

Jika f(x) = k . U(x) , k konstanta dari U(x)

Merupakan fungsi dengan turunan U l(x)

Maka :

f l(x) = k. k .U l(x)

5. Turunan jumlah dan selisihdua buah fungsi

Jika f(x) = U(x) ± V(x), U(x) dan V (x)

Merupakan fungsi yang mempunyai turunan

U l(x) dan V l(x)

Maka f l ( x )=U l ( x ) ±V l(x )

6. Turunan hasil kali dua fungsi

Jika f(x) = U(x) . V(x) , U(x) dan V(x)

Merupakan fungsi dengan turunan U l (x) dan V l(x)

Maka f l(x) = U l(x) . V(x) + U(x) . V l(x)

Rumus-rumus turunan sederhana

f(x) = U . V ❑⇒ f l(x) = U l+ UV l

f(x) = UV ❑

⇒f l(x) = U

lV −UV l

V 2

Apabila f(x) = U n ❑⇒ f l (x) = ∩∪n−1 ∪l

Contoh lain untuk turunan

Jika y = f(x) maka turunan dari fungsi itu dapat kita tulis dengan

f l= dydx = f l(x) =

dfdx

Garis singgung pada suatu kurva

(i)

(ii)

Perhatikan gambar diatas

Panjang SQ pada gambar i adalah f(x + h)

sedangkan QR pada gambar ii adalah y + ∆ y

sehingga dapat dikatakan bawa SQ = f(x + h) = y +∆ y

pada gambar i panjang TS = h dan pada gambar ii panjang TS = ∆ x sehingga diperoleh

TS = h = ∆ x

∆ y = QR dan ∆ x = PR

Jadi untuk y=f(x)

f ( x+h )−f (x )

h =

y−∆ y− y∆ x =

QRPR

Dimana QRPR merupakan gradient garis

Yang menghubungkan titik p(x1 y) dan

Q (x + h, f(x + h) )

Sehingga untuk y = f(x) notasi dari

f ( x+h )−f (x )

h =

y=∆ y− y∆ x

=∆ y∆ x

= QRPR = gradient tali busur PQ

f l ( x )=dydx = lim

h→0

f (x+h )−f (x)h

= lim∆ x→0

∆ y∆ x

= gradient garis singgung kurva di P

Sebab dngan mengambail ∆ x cukup kecil, titik β mendekati P sehingga untuk ∆ x mendekati adalah, tali busur PQ berubah menjadi garis singgung di titik P jadi

f l(x) = dydx gradien garis singgung

Pada titik P(x,y) pada kurva y = f(x) persamaan garis singgung di P(x1 , y1 ¿

Pada kurva y=f(x) ditentukan oleh rumus

y-y1= dydx (x - x1) atau

y-y1 = m (x - x1)

catatan

1. m = dydx = tan α, α sudut antara garis dengan suatu x positif

2. jika dua garis sejajar maka m1 = m2

3. jika dua garis tegak lurus maka m1. m2 = -1

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

1. jika x < 0 maka f l(x) > 0 gradien garis singgung pada kurva pada setiap titik di x < 0 positif

dikatakan fungsi naik untuk x < 0

2. jika x > 0 maka f l(x) < 0 gradien garissinggung kurva pada setiap titik di x>0 negatif.

Dikatakan fungsi f turunan untuk x > 0

3. jika x = 0 maka f l(x) = 0, dan garis singgung pada titik (0,1) sejajar sumbu x. dalam hal ini

tidak fungsi tidak naik dan tidak turun. Dikatakan fungsi f mempunyai nilai standar

(nilai ekstrim) f(x) = 1

Catatan:

1. Fungsi f tidak pernah turun

Jika f l(x) ≥0

2. Fungsi f tidak pernah naik

jika f l(x) ≤0

kesimpulan

beberapa langkah merupakan interval-interval (selang) dimana fungsi f naik atau turun

1. Tentukan f l(x)

2. Fungsi f naik, jika f l(x) ¿0

3. Fungsi f turun jika f l(x) ¿0

Rakumam

1. Kecepatan = Jarak yangditempuh

waktu yangdiperlukan

2. Kecepatan rata-rata = perubahan jarakperubahan waktu

3. Turunan fungsi aljabar f l(x) limh→ 0

f (x+h )−f (x)h

a. jika f(x) = xn maka f l(x) = nxn−1

b. jika f(x) = sin x maka f l(x) = cos x

c. jika f(x) = cos x maka f l(x) = −sin x

4. jika U dan V merupakan fungsi x maka

a. f(x) = U n → f l(x) = ∩U n−1. U 1

b. f(x) = U . V → f l(x) = U 1V - UV 1

c. f(x) = UV , maka f l(x) = U

1V −UV 1

V 1

5. gradient garis singgung kurva m=tan x

Adalah:

f l(x) = limh ⋮ →0

f ( x+h )−f (x )h

6. Persamaan garis singgung di titik p(x1 y1 ¿

Pada kurva y=f l(x) ditulis

y-y1 = m(x−x1¿

7. Fungsi f(x) naik. Apabila f l(x) naik

Apabila f l(x) > 0

Fungsi f(x) turun, apabila f l(x) turun

Apabila f l(x) < 0

c. Fungsi f(x) tidaknaik dan tidak turun (standar) apabila f l(x) = 0

8. Jenis-jenis stasioner

a) jika f ¿(a) < 0 maka nilai f(a)

adalah nilai balik maksimum

b) jika f ¿(a) > 0 maka nilai f(a)

adalah nilai balik maksimum

c) jika f ¿(a) = 0 maka titik (a, f(a)

adalah titik balik horizontal