NILAI EKSTRIM BERSYARAT

Materi ini disusun untuk memenuhi tugas tambahan Kalkulus II

IRDIENA IZZA ELL MILLA

2D Absen 16

08.5680

Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

Jl Otto IskandarDinata No. 64C

2010

Nilai Ekstrim Bersyarat

Nilai Ekstrim Fungsi dengan Peubah Bebas

Perlu diperhatikan bahwa kedua orde pertama turunan parsial harus bernilai

nol pada (a,b). Misalnya hanya satu dari orde pertama turunan parsial bernilai nol

pada titik tersebut, maka titik tersebut bukan titik stasioner, sehingga kita dapat

melihat sebuah fakta di sini, yaitu

Perhatikan pula bahwa hanya dengan fakta ini belum dapat dikatakan semua

titik stasioner adalah nilai ekstrim relatif. Hanya dapat dikatakan bahwa nilsi ekstrim

relatif akan menjadi titik kritis dari sebuah fungsi.

Definisi:maksimum minimum relatifFungsi f(x,y) memiliki minimum relative pada poin (a,b) jika f(x,y)≥f(a,b) ntuk semua titik (x,y)di daerah sekitar (a,b)Fungsi f(x, y) memiliki maximum relative pada titik (a,b) jika f(x,y)≤ f(a,b) untuk semua (x,y) di daerah sekitar (a,b)

Definisi titik stasionerTitik (a,b) adalah titik stasioner dari f(x,y) jika memenuhi salah satu dari:fx (a,b)=0 dan fy(a,b)=0fx (a,b) dan/atau fy (a,b) tidak ada

Jika titik (a,b) adalah titik ekstrim relatif dari fugsi f(x,y) maka titik(a,b) juga merupakan titik stasioner dari f(x,y) dan kita akan mendapatkan fx (a,b)=0 dan

fy(a,b)=0

Titik kritis yang sedemikian itu disebut titik pelana

Misalkan f adalah fungsi dari dua peubah bebas dengan turunan persial tingkst

dua yang kontinyu dalam lingkaran dengan pusat (x0y0) dimana

D=|( ∂∂x∂∂ y

) ( ∂∂ x ∂∂ y )|f (x , y)¿(x0 y0)

D=|( ∂2

∂x2

∂2

∂ x∂ y

∂2

∂ x ∂ y∂2

∂ y2 ) f ( x , y )¿( x0 y0)|=|f xx f xyf xy f yy|

Jadi, setelah mendapatkan titik kritis pada suatu fungsi, hal yang harus kita

lakukan selanjutnya adalah menguji apakah titik tersebut nilai ekstrim relatif atau

tidak. Untuk mengetahuinya kita dapat menggunakan

Perhatikan bahwa jika D> 0 maka Fxx dan fyy keduanya memiliki tanda yang

sama sehingga dapat saling menggantikan.

Dengan teorema yang sama, jika f suatu fungsi dengan tiga peubah bebas,

memiliki turunan parsial tingkat dua yang kontinyu dalam lingkaran berpusat

(x0,y0,z0) dimana

D=|( ∂ y∂x∂ y∂x∂ y∂x

)( ∂ y∂ x ∂ y∂x

∂ y∂ x )|f (x , y , z ) ¿(x0 y0 z0)

Misalkan (a,b) adalah titik kritis f(x,y) dan turunan parsial kedua kontinyu di beberapa titik yang mengandung (a,b) kemudianD = D( a b) = fxx( a b) fyy( a b) - [ f a b]2

SehinggaJika D>0 dan fxx(a,b)>0 maka (a,b) adalah titik minimum relativeJika D>0 dan fxx<0 maka (a,b) adalah relative maksimumJika D<0 maka (a,b) adalah titik pelanaJika D= 0 belum dapat dipastikan maksimum relative, minimum relative, atau pelana, tekhnik lain dibutuhkan untuk mengklasifikasi

Sehingga

Contoh soal

Tentukan nilai ekstrim, jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh F(x,y)= 3x3

+y2-9x+4y

Penyelesaian

Karena Fx(x,y)= 9x2 -9 dan Fy(x,y)= 2y+4 maka titik- titik kritis diperoleh

dengan memecahkan masalah simultan Fx(x,y)=Fy(x,y)=0, adalah (1,-2) dan (-1,-2)

Sekarang Fxx(x,y)= 18x, Fyy(x,y)=2, dan Fxy=0, Jadi pada titik kritis (1.-2),

D= Fxx(1,-2) . Fyy(1,-2)- F2xy(1,-2)= 18(2)-0= 36 yang berarti D>0. Tambahan pula

Fxx(1,-2)=18, >0 sehingga F(1,-2) adalah nilai minimum lokaldari F

Dalam pengujian fungsi yang diberikan di tiitik kritis lainnya,(-1,-2) kita

dapatkan Fxx(-1,-2)= -18, Fyy(-1,-2) =2, dan Fxy(-1-2)=0, yang menghasilkan D= -

36 < 0, sehingga (-1,2) adalah titik pelana, bukan nilai ekstrim.

Misalkan (a,b,c) adalah titik kritis f(x,y,z) dan turunan parsial kedua kontinyu di beberapa titik yang mengandung (a,b) kemudian, terdapat D,Jika D>0 dan fxx(a,b,c)>0 maka (a,b,c) adalah titik minimum relativeJika D>0 dan fxx<0 maka (a,b,c) adalah relative maksimumJika D<0 maka (a,b,c) adalah titik pelanaJika D= 0 belum dapat dipastikan maksimum relative, minimum relative, atau pelana, tekhnik lain dibutuhkan untuk mengklasifikasi

Titik Maksimum Global dan Minimum Global

Perlu diperhatikan pula bahwa teorema ini tidak menjelaskan dimana titik

maksimum maupun minimum global berada, hanya menjelaskan bahwa titik tersebut

ada. Titik ini bias terdapat di dalam maupun batas dari daerah tersebut.

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum global hampir sama dengan

mencari nilai ekstrim global yang telah dipelajari dalam Pengantar Matematika yang

lalu, yaitu

DefinisiSebuah daerah di dikatakan tertutup bila garis batas daerah tersebut termasuk dalam daerah tersebut. Suatu daerah dikatakan terbuka jika garis batasnya tidak dimasukkan dalam daerah tersebut.Sebuah daerah dikatakan terbatas bila daerah tersebut terdefinisikan dalam suatu lempeng, atau dengan kata lain memiliki batas.

Teorema nilai ekstrimJika f(x,y) kontinyu yang tertutup dan terbatas di garis D, dalam suatu daerah , dan terdapat beberapa titik di D, misalnya (x1, y1) dan (x2, y2) sehingga f(x1,y1) adalah maksimum global dan f(x2 ,y2) adalah minimum global pada fungsi di D.

Perbedaan dengan apa yang dibahas kali ini adalah bahwa pada batas yang

dipakai pada Pengantar Matematika yang lalu hanya berupa 2 poin, menyebabkan

tidak terlalu banyak hal yang perlu dilakukan. Pada bagian ini, perlu dilakukan lebih

banyak pendekatan, terutama pada poin ke-2

Nilai ekstrim berkendala dan faktor pengali Lagrange

Nilai ekstrim yang telah dijelaskan sebelum ini, pada prakteknya, hampir-

hampir tidak ada di dunia nyata. Masalah di berbagai aspek kehidupan, mayoritas

tidak untuk mencari nilai optimum atau minimum dari sesuatu fungsi, tetapi untuk

mencapai hasil yang sebaik- baiknya dari seluruh kendala yang ada. Misalnya saja,

bagaimana memproduksi suatu barang dengan kualitas atau kuantitas tertentu dengan

Mencari nilai ekstrim globalMencari semua titik kritis dari fungsi dalam daerah tersebut dan mencari nilai fungsi dalam tiap titik.Mencari semua nilai fungsi dalam batas, dengan melakukan pendekatan matematis yang telah dipelajari dalam Pengantar Matematika yang laluNilai yang terkecil dan terbesar dari kedua langkah di atas adalah minimum global dan maksimum global dari fungsi tersebut

keadaan modal yang terbatas, atau bagaimana membuat sesuatu dengan jumlah bahan

tertentu.

Sebelum ini, cara menyelesaikan sebuah masalah nilai ekstrim berkendala ,

misalnya dalam mencari jarak minimum dari z2= x2y+4 ke titik asal, digunakan

pemformulasian masalah sebagai peminimuman d2 = x2+y2+z2 terhadap kendala z2=

x2y+4. Kemudian nilai z2 disubstitusikan dari kendala dalam rumus untuk d2 dan

kemudian ppenyelesaian masalah nilai ekstrim bebas yang dihasilkan. Namun

terdapat cara yang lebih praktis, cara ini disebut metode pengali lagrange.

Misalkan untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi f(x, y, z),

dengan kendala g (x, y, z), dengan asumsi kedua fungsi ini memiliki turunan parsial

pertama yang kontinyu. Sekarang, misalkan f memiliki nilai ekstrim (x0,y0,z0) dan

terbentang pada permukaan S didefinisikan sebagai g(x,y,z)=0. C sebagai kurva yang

terbentang pada permukaan dan melalui (x0, y0, z0). Asumsikan C diketahui dari

terminal point dengan fungsi bernilai vector r(t) = (x(t)z(t)y(t)) dan r(t0)= (x0, y0, z0).

Mendefinisikan fungsi satu peubah t

h(t) = f(x(t), z(t), y(t))

ingat f(x,y,z)memiliki nilai ekstrem pada (x0,y0,z0), maka h(t) pasti memiliki

nilai ekstrem pada t0, sehingga h’(t0)=0

Dengan aturan rantai diperoleh

0= h’(t0)=fx(x0,y0,z0)x’ (t0)+ fy(x0,y0,z0)y’ (t0)+ fz(x0,y0,z0)z’ (t0)

= (fx(x0,y0,z0), fy(x0,y0,z0), fz(x0,y0,z0))(x’ (t0), y’ (t0), z’ (t0))

=∆f(x0,y0,z0).r’(t0)

Sehingga f(x0,y0,z0) adalah nilai ekstrem dengan gradient dari (x0,y0,z0)

merupakan gradient orthogonal dari vektor r’(t0). Karena C merupakan kurva yang

menyinggung permukaan S, sehingga ∆f(x0,y0,z0) merupakan orthogonal untuk tiap

kurva yang menyinggung permukaan S yang disebut orthogonal S, sehingga ∆g juga

adalah orthogonal untuk pemukaan g(x,y,z)=0 sehingga ∆f(x0,y0,z0) dan ∆g(x0,y0,z0)

pasti berpasangan. Jadi

Perhatikan bahwa teorema ini menyatakan f(x,y,z) punya titiik ekstrim di(x0,y0,z0)

pada g(x,y,z)=0, untuk (x,y,z) =(x0,y0,z0)

fx (x, y, z)= λgx (x,y,z)

fy (x, y, z)= λgy (x,y,z)

fz (x, y, z)= λgz (x,y,z)

Dan

g(x,y,z)=0,

Perlu diperhatikan bahwa metode ini hanya menghasilkan calon untuk nilai ekstrim.

Bersamaan dengan mencari solusi dari empat persamaan di atas, dapat dilihat di

grafik. Metode pengali lagrange juga dapat digunakan pada masalah fungsi dua

variabel.

Contoh soal(fungsi satu peubah)

Gunakan hubungan antara f(x,y)=λg(x,y) dan kendala y= 3 -2x untuk mencari titik di garis y= 3- 2x yang terdekat dari titik asal

TeoremaMisalkan f(x,y,z) dan g(x,y,z) adalah fungsi dengan turunan parsial pertama kontinyu dang(x,y,z)≠ 0 di atas permukaan g(x,y,z)= 0, misalkan jugaNilai minimum f(x,y,z)terhadap kendala g(x,y,z)=0 terjadi pada (x0 y0 z0) atauNilai maksimum dari f(x,y,z)terhadap kendala g(x,y,z)=0 terjadi pada (x0 y0 z0)Maka f(x,y,z)= λg(x,y,z), untuk beberapa konstanta λ(yang kemudian disebut faktor pengali lagrange)

Penyelesaian

• Untuk f(x,y)=x2+y2, didapat f(x,y)= {2x, 2y} dan untuk g(x, y)= 2x + y – 3, g(x,y)={2,1}. Persamaan vector f(x,y)= λg(x,y), menjadi {2x, 2y}=λ{2,1}, yang berarti 2x= 2λ, serta 2y=λ

• x=λ=2y, dengan mensubstitusikan x=2y ke dalam kendala

y= 3- 2x, didapat y=3-2(2y) atau 5y=3, didapat y=35,

sehingga x=2y=65

Teorema yang lalu juga tidak menjelaskan tentang fungsi dengan suatu

pertidaksamaan sebagai kendalanya. Untuk mengerti bagaimana penyelesaian kasus

ini, ingat kembali cara mencari nilai maksimum global untuk daerah yang tertutup

dan terbatas. Ditemukan titik ekstrim dari interior daerah dan membandingkan nilai

dari fungsi di titik ekstrim dengan nilai fungsi maksimum dan minimum di batas

daerah. Untuk mencari nilai ekstrim dari f(x,y) dengan kendala g(x,y)≤c, pertama

dicari nilai ekstrim f(x,y) yang memenuhi kendala, kemudian mencari nilai ekstrim

fungsi pada batas g(x,y)=c(garis kendala) dan membandingkannya pada nilai fungsi

Contoh soal: kendala berupa ketidaksamaan

Terdapat suatu bisnis yang menghasilkan tiga produk, misalkan

mereka memproduksi barang x, y, z ribu unit produk, adapun keuntungan

perusahaan itu (dalam ribuan dollar) dapat diwakilkan ke dalam

persamaan P (x, y, z)= 4x+8y+6z. kendala manufaktur yang dihadapi

dapat diwakilkan pada persamaan x2+4y+2z2≤800.Cari keuntungan

Ingat Fakta Gradient vektorf(x0y0) orthogonal(perpendicular) pada f(x,y) =k pada titik (x0y0). Sehubungan dengan itu, f(x0y0) orthogonal pada bidang f(x,y)=k pada tit ik (x0, y0, )

maksimum untuk perusahaan. Kerjakan ulang kasus ini dengan kendala

x2+4y2+2z2≤801 dan gunakan hasilnya untuk menginterpretasikan arti λ

Penyelesaian

Dimulai dari P(x,y,z) = (4,8,6), dan perlu diperhatikan bahwa di

sini tidak terdapat nilai kritis, yang menyatakan bahwa nilai ekstrim

pastinya terbentang pada batas daerah kendala. Sehingga nilai ekstrim

harus memenuhi persamaan kendala yaitu g(x, y,z)= x2+4y+2z2-800=0.

Persamaan pengali lagrangenya P(x,y,z)=λg(x, y, z) atau

(4, 8,6)= λ(2x, 8y, 4z)=(2λx, 8λy,4λz)

Yang terjadi jika

4=2λx 8=8λy 6=4λz

Dari persamaan pertama, kita mendapatkan x= 2λx

. Persamaan

kedua mendapatkan y=1λ dan persamaan ketiga didapat z=

32λ

dari

persamaan kendala x2+4y+2z2=800, sehingga didapat

800=( 2λ )

2

+4( 1λ )

2

+2( 32 λ )

2

= 252 λ2

Sehingga λ2= 25

1600 dan

Dipakai λ>0, sehinggaλ=18

x=16, y= 8, z=12

dan keuntungannya adalah

P (16, 8,9)= 4(16)+8(8)+6(12)=200

Diperiksa bahwa ini adalah keuntungan maksimum. Perhatikan

bahwa konstanta di bagian kanan dari fungsi kendala diubah menjadi 801,

penyelesaian untuk λpun berubah, menjadi

801= 25

2 λ2

Sehingga λ≈0,1249, x≈ 16,0099, y≈8,0049 dan z≈12,0075. Dalam kasus

ini, keuntungan maksimumnya adalah

P=( 2λ,1λ,

32 λ )≈200,1249

Penambahan pada keuntungan perusahaan menjadi

P=( 2λ,1λ,

32 λ )−P (16,8,9 )≈200,1249−200=0,12496≈ λ

Sehingga dapat disimpulkan, faktor pengali lagrange sangat mudah

dipengaruhi oleh perubahan nilai pada kendala

Kasus 2 kendala

Metode lagrange juga dapat digunakan untuk pengaplikasian masalah dengan

lebih dari satu kendala. Pada kasus ini akan dipakai 2, bukan 1, parameter yang tak

terikat oleh x dan y, misalnya saja terdapat 2 kendala, 2 kendala tersebut sama- sama

dapat diturunkan. Kedua kendala harus memenuhi suatu titik (x,y,z), titik tersebut

harus melalui permukaan kedua kendala. Agar permasalahan dapat diselesaikan,

harus diasumsikan kedua kendala saling berpotongan, tidak nol, dan tidak parallel.

Contoh soal: 2 kendala

Bidang x+y+z= 12 memotong parabola z=x2+y2 dalam bidang elips.

Carilah titik dalam elips yang paling dekat dengan titik asal

Jawab:

Meminimalkan jarak berarti sama dengan meminimalkan f()= x2+y2+z2,

kemudian, kendala dapat dituliskan sebagai g(x,y,z)=x+y+z – 12= 0 dan

h(x,y,z)=x2+y2– z=0, pada semua nilai ekstrim, didapatkan

f(x,y,z)=λg(x,y,z)+µh(x,y,z)

(2x, 2y, 2z)=λ(1,1,1)µ(2x, 2y,-1)

Bersama dengan persamaan kendala,didapat system persamaan

2x=λ+2µx…(a)

2y=λ+2µy... (b)

2z=λ- µ …(c)

x+y+z – 12 = 0…(d)

x2+y2 – z =0… (e)

dari (a) didapat λ= 2x(1-µ), sedangkan dari (b) didapat λ=2y(1-µ),

sehingga

2x(1-µ)= 2y(1-µ)

Dari persamaan di atas didapat µ=1, dan x=y. Namun, µ=1 dan λ=0,

didapat dari (c) bahwa z= - 12

, dan berlawanan dengan (e). Satu- satunya

kemungkinan mendapatkan x=y adalah dari (e) yaitu z=2x2 dasi

substitusi terhadap (d) didapat

0= x+ y+ z -12= x+ x+ 2x2 -12

= 2x2 +2x – 12 = 2(x2 +x – 6) = 2(x+ 3)(x – 2)

Sehingga x= -3 atau x= 2, karena y=x dan z= 2x2, didapat

f(2,2,8) sebagai titik terdekat dari asal, sedagkan f(-3, -3, 18) adalah titik

terjauh

Latihan Soal: Maksimum, minimum, titik pelana

1. Tentukan semua titik kritis dan tunjukkan apakah itu maksimum lokal, minimum

lokal, atau titik pelana bagi f(x,y)= x3+y3 - 6xy

2. Tentukan nilai maksimum lokal dan minimum global dari f pada S dan tunjukkan

dimana mereka terjadi bagi f(x,y)= 3x + 4y dan S= {(x,y): 0≤x≤1, -1≤y≤1}

Latihan Soal: Faktor pengali lagrange

1. Tentukan nilai maksimum f(x,y)= x2+y2 terhadap g(x,y)= xy-3=0

2. Tentukan nilai minimum f(x,y,z)= 4x – 2y+3z terhadap kendala 2x2+y2-3z=0

3. Gunakan faktor pengali lagrange untuk mencari titik ekstrim lokal f(x,y,z)= 4x2

+y2 +z2 dengan kendala 2x-y+z=4 dan x+ 2y –z=1

4. Berapa ukuran suatu kotak persegi panjang yang atasnya terbuka, yang

mempunyai volume maksimum apabila luas permukaannya 48?

5. Gunakan faktor pengali lagrange untuk mencari jarak terpendek antara titik asal

dan permukaan x2y-z2+9=0

6. Cari jarak terpendek antara titik asal dan bidang x+3y-2z=47. Cari jarak minimum antara titik asal ke garis antara perpotongan antara dua

bidang yaitu x+ y+ z=8 dan 2x –y + 3z= 288. Cari titik yang paling mendekati (2,3,4) dalam daerah bola x2+y2+z2=9

Sumber:

Dawkins, Paul.2010. Paul Online Notes. Online: www.math.lamar.edu

Purcel

Nurvitasari, Eka.2010. Presentasi nilai ekstrim bersyarat

Swokowsky