probabilitas bersyarat dan ekspektasi bersyarat

Upload: muhammad-iqbal

Post on 04-Jun-2018

392 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    1/21

    PROBABILITAS BERSYARAT

    DAN

    EKSPEKTASI BERSYARAT

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    2/21

    Sebelumnya telah dijelaskan mengenai konsep probabilitasbersyarat untuk subset-subset C dari ruang sampel C.

    Akan dijelaskan probabilitas bersyarat untuk subset-subset Adari ruang sampelA , dimanaA adalah ruang nilai dari 1

    variabel random atau lebih.

    Misalkan P adalah fungsi himpunan probabilitas yangdidefinisikan pada subset-subset dari A . Jika A1dan A2adalah

    subset-subset dariA , maka probabilitas bersyarat dari

    kejadian A2diberikan kejadian A1adalah :

    .0),)(

    )()|(

    1

    2112

    1P(Adimana

    AP

    AAPAAP

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    3/21

    Probabilitas Bersyarat

    Misalkan X1dan X2adalah variabel random diskrit dengan pdff(x1,x2)dimanaf(x1,x2)> 0 untuk (x1,x2) A dan sama dengan

    nol untuk yang lainnya. Misalkanf1(x1) adalah pdf marginal

    dari X1danf2(x2)adalah pdf marginal dari X2.

    Misalkan dimana x1 adalah

    suatu nilai sedemikian hingga

    Misalkan himpunan

    Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat A2

    diberikan A1

    diperoleh :

    211211 ,':, xxxxxA.0)'()'Pr()( 11111 xfxXAP

    ',:, 221212 xxxxxA

    )'(

    )','(

    )'Pr(

    )','Pr(

    )(

    )()|(

    11

    21

    11

    2211

    1

    2112

    xf

    xxf

    xX

    xXxX

    AP

    AAPAAP

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    4/21

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    5/21

    Notasi :

    yang disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X2tipe diskrit diberikan X1= x1.

    Dengan cara yang sama,

    disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X1tipe

    diskrit diberikan X2 = x2.

    .)(xfxf

    xxfxxf 0,

    )(

    ),()|( 11

    11

    2112 dimana

    0)(,)(

    ),(

    )|( 2222

    21

    21 xfxf

    xxf

    xxf dimana

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    6/21

    Misalkan X1dan X2adalah variabel random kontinu yangmempunyai pdf bersamaf(x1,x2) dan pdf marginal masing-masingf1(x1) danf2(x2). Pembahasan pdf bersyarat untukvariabel random kontinu analaog dengan variabel random

    diskrit. Jikaf1(x1) > 0, didefinisikan sebagai :

    Dalam hal ini x1dianggap mempunyai nilai tertentu dimana

    f1(x1) > 0.

    mempunyai sifat-sifat pdf jenis kontinu dengan 1variabel random dan disebut pdf bersyarat jenis kontinu dari

    variabel random X2 diberikan X1= x1 karena

    )|( 12 xxf )(),()|(

    11

    2112

    xfxxfxxf

    )|( 12 xxf

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    7/21

    1.

    2. karena dan

    Jadi, .

    Jikaf2(x2) >0, pdf bersyarat dari variabel random kontinu X1

    diberikan X2= x2didefinisikan sebagai

    )(

    )(),(

    )(

    1

    )(

    ),()|(

    11

    11221

    11

    2

    11

    21212

    xf

    xfdxxxf

    xfdx

    xf

    xxfdxxxf

    0)(

    ),()|(

    11

    2112

    xf

    xxfxxf

    0)( 11 xf 0),( 21 xxf

    0)|( 12 xxf

    .0)(,)(

    ),()|( 22

    22

    2121 xf

    xf

    xxfxxf

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    8/21

    Karena dan masing-masing merupakan

    suatu pdf dari satu variabel random (diskrit /kontinu), maka

    masing-masing mempunyai semua sifat-sifat dari suatu pdf.

    Sehingga probabilitas dan ekspektasi matematikanya juga

    dapat dihitung.

    Untuk variabel random kontinu

    yang disebut sebagai probabilitas bersyarat

    diberikan X1= x1.

    )|( 21 xxf )|( 12 xxf

    b

    a

    dxxxfxXbXa 212112 )|()|Pr(

    bXa 2

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    9/21

    Probabilitas bersyarat bahwa diberikan X2=x2

    adalah:

    Jika u(X2 ) adalah suatu fungsi dari X2, maka :

    disebut ekspektasi bersyarat dari u(X2 ) diberikan X1= x1.

    dXc 1

    d

    c

    dxxxfxXdXc 121221 )|()|Pr(

    212212 )|()()|)(( dxxxfxuxXuE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    10/21

    Ekspektasi Khusus:

    1. Adalah mean dari pdf bersyarat dari X2 diberikanX1= x1.

    2. Adalah variansi dari pdf bersyaratdari X2 diberikan X1= x1dan dinotasikan dengan

    Jadi disebut mean bersyarat dari X2 diberikan X1= x1dan disebut variansi bersyarat dari X2 diberikan

    X1= x1.

    )|( 12 xXE

    }|)]|({[ 12

    122 xxXEXE

    ).|( 12 xXVar

    )|( 12 xXE)|( 12 xXVar

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    11/21

    Dapat ditunjukkan :

    Dengan cara yang sama,

    Untuk variabel random diskrit, caranya analog hanya

    mengganti integral dengan sigma.

    2

    121

    2

    212 )]|([)|()|( xXExXExXVar

    1211221 )|()()|)(( dxxxfxuxXXuE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    12/21

    Contoh :

    Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama

    Tentukan pdf marginal dari X1 dan X2, pdf bersyarat dari X1

    diberikan X2=x2, mean bersyarat dan variansi bersyarat dari

    X1 diberikan X2 = x2, Pr(0

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    13/21

    Karena E(X2|x1) adalah fungsi dari x1 maka E(X2|X1) adalah

    variabel random yang mempunyai distribusi dan dapat

    dihitung mean dan variansinya.

    Contoh :

    Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf

    Dapat ditunjukkan bahwaTentukan distribusi dari , kemudian hitung

    mean dan variansinya atau dan

    kemudian bandingkan hasilnya dengan E(X2) dan Var(X2).

    lainnyayangxx

    xxxxxf

    ),(,0

    10,6),(

    21

    122

    21

    10,3

    2

    )|( 1112 xxxXE)|( 12 XXEY

    ))|(( 12 XXEE ))|(( 12 XXEVar

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    14/21

    Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random jenis kontinu.

    Misalkan Y = u(X1,X2), maka Y juga variabel random dan

    mempunyai pdf g(y).

    Ekspektasi dari Y adalah

    atau dapat ditulis

    Note : Berlaku juga untuk variabel random diskrit

    dyyygYE )()(

    21212121 ),(),()),(( dxdxxxfxxuXXuE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    15/21

    Contoh:

    Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf

    Tentukan

    -

    -

    -

    lainyangxx

    xxxxxxf

    ),(,0

    10,8),(

    21

    2121

    21

    )57( 22

    21 XXXE

    21

    88),()(

    1

    0 0

    21

    3

    2

    2

    12121

    2

    21

    2

    21

    2

    x

    dxdxxxdxdxxxfxxXXE

    1

    0 0

    212122

    2

    5

    48)(

    x

    dxdxxxxXE

    5

    4.5

    21

    8.7)(5)(7)57( 2

    2

    212

    2

    21 XEXXEXXXE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    16/21

    Adib :

    1.

    2.

    )())|(( 212 XEXXEE

    )())|(( 212 XVarXXEVar

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    17/21

    Adib :

    Jadi

    )())|(( 212 XEXXEE

    1112

    11

    212122122 )(

    )(

    ),(),()( dxxfdx

    xf

    xxfxdxdxxxfxXE

    111121112122 )()|()()|( dxxfxXEdxxfdxxxfx

    ))|(()( 122 XXEEXE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    18/21

    Adib:

    Misalkan

    )())|(( 212 XVarXXEVar

    )( 22 XE

    2

    212122

    2

    222 )|()|()( XXEXXEXEXEXVar

    2121222

    212

    2

    122 )|()|(2)|()|( XXEXXEXXXEXXEXE

    21212222122122 )|()|(2)|()|( XXEXXEXEXXEEXXEXE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    19/21

    Perhatikan

    212122 )|()|( XXEXXEXE

    1221212122 ),()|()|( dxdxxxfxXExXEx

    111211

    21122212 )(

    )(

    ),()|()|( dxxfdx

    xf

    xxfxXExxXE

    111211

    2112

    11

    212212 )(

    )(

    ),()|(

    )(

    ),()|( dxxfdx

    xf

    xxfxXE

    xf

    xxfxxXE

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    20/21

    Jadi

    111212122122212 )()|()|()|()|( dxxfdxxxfxXEdxxxfxxXE

    1112121212212 )()|()|()|()|( dxxfdxxxfxXExXExXE

    0)(.0.)|( 111212 dxxfxXE

    22122

    1222 )|()|()( XXEEXXEXEXVar

  • 8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat

    21/21

    a. Karena

    maka

    b. Karena maka

    Jadi,

    )|()( 1222 XXEEXE

    ))|(()|( 122

    212 XXEVarXXEE

    0)|( 2

    122 XXEX 0)|(

    2

    122 XXEXE

    ))|(()( 122 XXEVarXVar