mtk smp kelompok. 3 bentuk aljabar

Standar Kompetensi :

Memahami operasi hitung bentuk aljabar.

Kompetensi Dasar :

Mengenal bentuk aljabar dan unsur-unsurnya, serta melakukan bentuk hitung pada

bentuk aljabar.

Apersepsi :

Gambar disamping adalah foto udara sebuah

perumahan. Jika panjang lahan utuk perumahan

dinyatakan dengan (3x – 2) km dan lebar lahan

dinyatakan dengan (2x – 1) km. Dapatkah kamu

menentukan luas lahan permukaan itu? Jika x di

ganti dengan 2. Berapa luas keliling lahan

perumahan tersebut?

Sebelum mempelajari materi operasi bentuk aljabar pada bab ini, kalian perlu

mengingat kembali operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan

pemangkatan bilangan bulat maupun pecahan. Materi tersebut menjadi dasar untuk

mempelajari materi bab ini.

Tujuan Pembelajaran :

1. Melalui apersepsi peserta didik dapat mendefinisikan pengertian suku, faktor, dan suku

jenis.

2. Menjelaskan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan

perpangkatan) suku sejenis dan tidak sejenis.

3. Dengan berbagai contoh soal peserta didik dapat menggunakan sifat perkalian bentuk

aljabar untuk menyelesaikan soal.

4. Menyelesaikan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan

perpangkatan) pecahan aljabar dengan penyebut satu suku.

5. Menyederhanakan hasil operasi pecahan aljabar.

Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar

Materi :

3.1 Arti Bentuk Aljabar

Pada operasi perkalian bilangan bulat, telah dibahas arti perkalian dua bilangan

bulat sebagai berikut :

2 x 6 = 6 + 6 , ………..jumlah enaman terdiri atas 2 suku ,

bila 6 kita ganti dengan apel maka,

2 x apel = apel + apel,……jika apel kita lambangkan dengan a maka,

Begitu juga dengan

3 x 5 = 5 + 5 + 5……jumlah limaan terdiri atas 3 suku,

jika 5 kita ganti pisang maka

3 x pisang = pisang + pisang + pisang, bila pisang kita lambangkan p maka,

Bentuk seperti 2a dan 3p dinamakan bentuk aljabar,

operasi perkalian bilangan bulat seperti a × a ditulis a2, a × a × a ditulis sebagai a3,

dan a × a × a × a × a ditulis sebagai a4, dan seterusnya.

Bentuk-bentuk lainnya seperti 2a, -5y,5n, 5q3, 6x + y, dan 3p + 4 jg dapat disebut

bentuk aljabar

Pada Bentuk 2a = 2 x a, 2 dan a disebut faktor perkalian dari 2a

Bentuk -5y = -5 x y, -5 dan y disebut faktor perkalian dari -5y,

Pada 5n = 5 × n, maka 5 dan n juga disebut faktor perkalian dari 5n

Begitu juga pada 10pq2r factor perkaliannya adalah 2 x 5 x p x q2x r

Coba perhatikan kasus berikut ini :

Terdapat 3 bolpoin, 4 buku dan 1 pensil di tas susi, kita juga dapat menuliskan

bahwa didalam tas susi ada 3 bolpoin + 4 buku + 1 Pensil, jika b melambangkan

bolpoin, k melambangkan buku, dan p melambangkan pensil maka bentuk 3b + 4k + 1p

adalah Bentuk aljabar,


2 x a = a + a = 2a

3 x p = p + p + p = 3p

3b, 4k, 1p disebut suku, b,k,p disebut variabel atau peubah dan bilangan –

bilangan 3,4,1 disebut koefisien

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk kalimat matematika yang mengandung

variabel dan konstanta.

Bentuk aljabar seperti 2a, 5q3, dan -7xy disebut bentuk aljabar suku tunggal

karena hanya memiliki satu suku saja. Pada bentuk aljabar -3p + 2, -3 disebut

koefisien, p disebut variabel (peubah), dan 2 disebut konstanta.

-3 adalah koefisien p

Bentuk aljabar -3p + 2 2 adalah konstanta

p adalah variabel (peubah)

Bentuk aljabar -3p + 2 terdiri dari dua suku, yaitu -3p dan 2. Oleh karena itu disebut

bentuk aljabar suku dua atau binom. Bentuk aljabar seperti 4x + 2y – 5 disebut bentuk

aljabar suku tiga atau trinom. Sedangkan bentuk aljabar yang memiliki beberapa suku

seperti suku dua, suku tiga, suku empat,dan seterusnya disebut suku banyak atau

polinom.

Selanjutnya perhatikan ilustrasi berikut ini!

Didalam kulkas Andi terdapat 2 apel, 3 berimbing, 4 apel dan 5 berimbing, kita dapat

menuliskannya dengan 2a + 3b + 4a + 5b, 2 apel dan 4 apel merupakan buah yang

sejenis , 3 berimbing dan 5 berimbing juga merupakan buah yang sejenis jadi dapat kita

simpulkan bahwa 2a + 4a dan 3b + 5b adalah suku yang sejenis. sedangkan 2 apel dan

3 berimbing bukanlah buah yang sejenis demikian pula dengan 4 apel dan 5 berimbing

juga bukan buah yang sejenis jadi kita simpulkan bahwa 2a + 3b dan 4a + 5b bukan

suku yang sejenis


Suku sejenis, 2a dan 4a

Bentuk aljabar 2a + 3b + 4a + 5b

Suku sejenis, 3b dan +5b

Dari contoh-contoh diatas dapat disimpulkan bahwa suku-suku sejenis pada bentuk

aljabar hanya berbeda pada koefisiennya.

3.2 KPK dan FPB Bentuk Aljabar Suku Tunggal

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bentuk-bentuk aljabar tidak dicari melalui

himpunan kelipatan persekutuan, melainkan ditentukan dengan cara pemfaktoran

(faktorisasi). Demikian juga untuk menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) kita

harus mencari hasil kali factor primanya terlebih dahulu.

Berikut ini adalah pembahasan tentang hubungan antara KPK dan FPB dari bentuk

aljabar suku tunggal terhadap faktor-faktornya.

1. Tentukan KPK dari 2ab dan 10b

2ab = 2 × a × b

10b = 2 × 5 × b

Jadi, KPK dari 2ab dan 10b = 2 × 5 × a × b

2. Tentukan FPB dari 2ab dan 10b

2ab = 2 × a × b

10b = 2 x 5 x b

Jadi, FPB dari 2ab dan 10b = 2 x b

3. KPK dari 3xy2 dan 9y3z

3xy2 = 3 × x × y2

9y3z = 32 × y3 × z


Hasil kali faktor prima dan variabel yang berbeda

Hasil kali faktor prima dan variabel yang sama

Hasil kali faktor prima dan variabel yang berbeda dengan pangkat tertinggi

= 32 x x x y3 x z

FPB dari 3xy2 dan 9y3z

3xy2 = 3 x x x y2

9y3z = 32 × y3 × z

=3 x y2

4. p2q3r2 = p2 × q3 × r2

q2r4s3 = q2 × r4 × s3

KPK dari p2q3r2 dan q2r4s3 = p2q3r4s3

= p2 × q3 × r4 × s3 hasil kali variabel yang berbeda dengan pangkat yang tertinggi

FPB dari p2q3r2 dan q2r4s3 = q2r2

= q2 × r2 hasil kali variabel yang sama dengan

pangkat yang terendah

Dari uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa :


KPK merupakan hasil perkalian dari semua faktor-faktor (prima) dan

variabel yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.

FPB merupakan hasil perkalian dari faktor-faktor (prima) dan variabel

yang sama denagn mengambil pengkat terendah.

Hasil kali faktor prima dan variabel yang sama dengan pangkat terendah

3.3 Pengertian Perkalian, Pemangkatan, dan Pembagian pada Bentuk Aljabar Suku

Tunggal

a. Perkalian

Telah dibahas bahwa bentuk aljabar 2 x a dapat disederhanakan menjadi 2a, dan

5 x x dapat disederhanakan menjadi 5x .

Sifat – sifat perkalian

perkalian bersifat komutatif

Misal :

a × 2 = 2a

2 × a = 2a

Jadi, a × 2 = 2 × a = 2a

x 3 = 3 x = 3

Dengan menggunakan cara dan sifat tersebut di atas, maka dapat diperoleh

hal-hal berikut ini.

a × b = ab

b × a = a × b = ab sifat komutatif

Perkalian bersifat assosiatif

Misal :

(4 x 5) x 3 = 60

4 x (5 x 3) = 60

Jadi, (4 x 5) x 3 = 4 x (5 x 3) = 60

Dengan demikian sifat assosiatif :

(a x b) x c = a x (b x c)


Mempunyai hasil yang sama

Mempunyai hasil yang sama

Perkalian bersifat distributif

(a + b) + (c + d) = a(c + d) + b(c + d)

= ac + ad + bc +bd

Atau

(a + b) + (c + d) = = ac + ad + bc +bd

b. Pemangkatan

Pada bahasan bilangan bulat telah dibicarakan bahwa pemangkatan suatu

bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Jadi untuk

sembarang bilangan a, maka

a2 = a × a a2

= a × a × a a2 x a3

= a2+3

(a2)3 = a2x3

(ab)2 = (ab) × (ab)

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

(a – b)2= (a – b)(a – b)

Hal ini juga berlaku pada bentuk aljabar, misalnya :

b2 = b × b (-b)2 = (-b) × (-b) (-b)2 = -(b × b) (2b)2 = 2b × 2b

Dalam pemangkatan bentuk aljabar, perlu dibedakan pengertian antara -(b)2 dan

(-b)2, yaitu sebagai berikut

(i) Pada bentuk -(b)2, yang dikudratkan hanya b.

(ii) Pada bentuk (-b)2, yang dikuadratkan adalah -b.

c. Pembagian

Operasi pembagian merupakan hasil penyederhanaan dengan cara menghilangkan

factor – factor perkalian dari koefisien,konstanta dan variabel yang sama.


Misal:

1. 8ab : 4a = (2b)(4a) : (4a) = 2b, bentuk aljabar 8ab dan 4a mempunyai factor yang

sama yaitu 4a sehingga hasil pembagian 8ab dengan 4a dapat disederhanakan

menjadi 2b.

2. 2a : a = 2, karena 2a dan a memiliki factor yang sama yaitu a sehingga hasil

pembagian 2a dengan a dapat disederhanakan.

Demikian pula dengan 6xy dan 2y yang memiliki faktor yang sama yaitu 2y,

sehingga 6xy : 2y = 3x.

3.4 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Setelah kita mengenal suku-suku sejenis kita dapat belajar menyerderhanakan suku-

suku tersebut dengan penjumlahan dan pengurangan,

Contoh :

1. 4a + 2a = (4 + 2)a = 6a

Bandingkan dengan cara pengerjaan

4 ditambah 2 menjadi 6

2. 5p – 3p = 5 x p – 3 x p = (5 – 3)p = 2p

Jadi, dalam sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau perkalian terhadap

pengurangan, berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. ab + ac = a(b + c) atau ab + ac = (b + c)a

2. ab – ac = a(b – c) atau ab – ac = (b – c)a

Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan suku-

suku sejenis pada bentuk aljabar sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana.


3.5 Pecahan Bentuk Aljabar

Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, penyebut, atau kedua-

duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya :

p5

,3p

,2 abc

,m+2

n,dan

xx− y

Pada pembahasan ini akan dipelajari tentang pecahan-pecahan aljabar yang

penyebutnya merupakan suku tunggal seperti : p5

,3

2 q,2 abc

, danm+2

n.

2.5.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Pada bahasan bilangan pecahan telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan

yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara

menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnnya. Hal ini juga

berlaku untuk pecahan-pecahan bentuk aljabar. Jika pecahan-pecahan yang

akan dijumlahkan atau dikurangkan memiliki penyebut-penyebut yang

berbeda, maka penyebut-penyebut pecahan tersebut harus disamakan terlebih

dahulu.

Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan, tentukanlah KPK dari

penyebut-penyebut pecahan tersebut, kemudian masing-masing pecahan

diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan KPK yang sudah

ditentukan.

a. Penjumlahan Pecahan Bentuk Aljabar

1. 3 a6 +

2 a6 =

3 a+2 a6 =

5 a6

Penyebutnya sama


senilai senilai

2.2n3 m

+5 n4 m

= 8 n

12m +

15 n12m

= 8 n+15 n

12m =

23 n12 n

…… KPK dari 3m dan 4m adalah

12m

b. Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Misalkan : 7 m9

−2 m9

=7m−2m9

=5m9

Contoh :

Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut ini!

1.3a +

4b 2.

58 a

−¿ a−34 a

Jawab:

1.3a

+ 4b

= 3 xba xb

+ 4 x ab x a

= 3 bab +

4 aab …………. KPK dari a dan b adalah ab

= 3 b+4 a

ab atau 4 a+3 b

ab

2.5

8 a – a−34 a =

58 a –

2(a−3)2 x 4a

=5

8 a -2 a−6

8 a …………KPK dari 8a dan 4a adalah 8a

= 5−(2 a−6)

8 a

=5−2 a+6

8 a

= −2 a+11

8 a

c. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

Perhatikan perkalian dua bilangan berikut :

34 x

52 =

3 x54 x 2 =

158


Penyebut tidak sama

x

x

Hasil operasi perkalian bilangan pecahan di peroleh dengan mengalikan

pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Cara seperti ini

juga berlaku pada perkalian pecahan bentuk aljabar

Misalkan : 2 a5

×b6 = 2 a× b

5× 6

= 2 ab30

= ab15

Untuk pembagian dua bilangan pecahan, telah dibahas bahwa membagi

dengan satu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan

pecahan tersebut. Hal ini juga berlaku pada pembagian pecahan bentuk aljabar.

Misalkan : 3 k4 n

:9

8n = 3 k

4 n×

8 n9

= 3 k ×8n4 n×9

= 24 kn36 n

= 2 k3

2.5.2 Pemangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Untuk menentukan hasil pemangkatan pada pecahan bentuk aljabar, perlu

diingat kembali arti pemangkatan suatu bilangan dan sifat perkalian pecahan

berikut ini.

(i) an = a × a × a × a . . . × a

n faktor

(ii)ab

×cd= a ×c

b × d

Kedua sifat diatas kita gunakan secara bersama-sama untuk menentukan

hasil pemangkatan dari pecahan bentuk aljabar.

Misal:


2

x 4

xx

(i)

(ii)

xx x2 4x

x 4

3a

= 3a

x 3a

= 9a

3.6 Perkalian Istimewa Bentuk Aljabar

3.6.1 Perkalian Suatu Bilangan dengan Suku Dua dan Suku Tiga

Perhatikan gambar 3.1 (i) yang menunjukan sebuah persegi

panjang dengan panjang (x + 4) dan lebar x, sehingga

luasnya = x(x +4).

Gambar 3.1 (ii) menunjukan bahwa untuk menentukan luas

persegi panjang pada gambar 3.1 (i) dapat dilakukan

dengan membagi persegi panjang tersebut menjadi dua

buah persegi panjang, sehingga luasnya menjadi x2 + 4x.

Oleh karena luas kedua persegi panjang pada gambar 3.1

sama, maka x(x +4) = x2 + 4x. Dengan demikian, bentuk

perkalian x(x +4) dapat dinyatakan sebagai bentuk

penjumlahan x2 + 4x.

Dengan menggunakan prinsip diatas, maka hasil perkalian

suatu bilangan dengan suku tiga dapat ditentukan seperti

berikut ini.

x(x + y + 4) = x(x + y) + 4x

= x(x + y) + 4x

= x2 + xy + 4x

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut

menjabarkan (menguraiakan).

Untuk sembarang bilangan x, y, dan k selalu berlaku :

x(x + k) = x2 + kx

x(x + y + k) = x2 + xy + kx


x(x + 4)

Gambar 3.1

x

2

x 3(i)

x

2

(ii)

3.6.2 Perkalian Suku Dua Dengan Suku Dua

a. Dengan Menggunakan Hukum Distributif

Persegi panjang-persegi panjang memiliki ukuran yang sama, sehingga luasnya

sama. Dengan demikian, terdapat hubungan sebagai berikut.

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)……Gambar (ii)

= x2 + 3x + 2x + 6 …….Gambar (iii)

= x2 + 5x + 6

Pada Langkah 1 dan 2 digunakan hukum (sifat) distributif,

sehingga penjabaran bentuk perkalian (x + 2)(x + 3) seperti di atas

adalah adalah penjabaran menggunakan hukum distributif.

Pada penjabaran tersebut, ternyata suku dua yang pertama,

yaitu (x + 2) diuraikan, sedangkan suku dua yang kedua, yaitu (x +

3) tetap. Hal ini dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini.

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)

Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan

dengan menggunakan hukum distributive yaitu

(x + a) (x + b) = x(x + b) + a(x + b)

b. Dengan Menggunakan Skema

Perhatikan hasil perkalian dua suku dua pada contoh sebelumnya dengan

mengamati langkah kedua.

(3+4 ) ¿ −¿ 2) = 3 x2 −¿ 6 x+4 x−8

Ternyata hasil perkalian dapat diperoleh dengan menggunakan skema berikut.

(3 x+4 ) ( x−2 )=3 x ( x )+3 x (−2 )+4 ( x )+4 (−2 )

¿3 x2−6 x+4 x−8

Langkah (2) disebut perkalian suku luar dan Langkah (3) disebut perkalian suku

dalam. Hasil perkalian suku luar dan suku dalam sering kali dapat dijumlahkan

(disederhanakan).


(x + 2)(x + 3)

2(x+3)

x(x+3)

x+3

X2 3x

2x 6

x

2

(iii)

Perkalian dua suku dua dapat dijabarkan dengan skema berikut:

1. ( x+ p ) ( x+q )=x ( x )+x (q )+ p ( x )+ p ( q )

= x2+ ( p+q ) x+pq

2. ( x+ p ) ( x−p )=¿ x2+ ( p−q ) x+ p (−p )

= x2+ p2

3.6.3 Pengkuadratan Suku Dua

Pengkuadratan suku dua secara umum ditulis dalam bentuk ¿

3.6.4 Penggunaan Perkalian Istimewa untuk Menghitung Hasil Perkalian Bilangan

Sifat-sifat perkalian istimewa bentuk aljabar dapat digunakan untuk menentukan

hasil perkalian bilangan-bilangan dengan cara yang paling mudah. Misalkan:

9 ×67=9× (60+7 )

= 9 ×60+9 ×7=603

78 ×82=(80−2 ) (80+2 )

= 80 × 80−2×2=6.396

Kesimpulan :

1. Bentuk gabungan antara bilangan dan huruf disebut bentuk

aljabar suku tunggal.

Contoh: 2 a , -3p, 5x2

Bilangan didepan huruf disebut koefisien dan huruf disebut

variabel.

Suku tunggal yang dihubungkan mengunakan tanda + atau –

dengan suku tunggal lain atau dengan sebuah bilangan disebut

bentuk aljabar suku banyak.

Contoh: 2 a−3 p , 5x2 + 2x – 1.

Bilangan tanpa variabel pada suku banyak disebut konstanta.

Suku-suku yang bervariabel sama dengan pangkat variabel yang

juga sama disebut suku sejenis.

Contoh: 2asejenis dengan 5a , 3x2 sejenis dengan 5x2.

2. Beberapa operasi hitung pada bentuk aljabar antara lain:


n faktor

Hasil penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dapat

ditentukan dengan menggunakan sifat ab±ac=a(b±c )atau

ba±ca=(b±c )a

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan

mensubstitusikan nilai-nilai variabelnya.

Hasil perkalian suku satu dengan suku banyak dapat ditentukan

dengan menggunakan sifat a (b+c )=ab+acatau a (b−c )=ab−ac .

Hasil perkalian suku dua dengan suku dua dapat ditentukan

dengan menggunakan sifat

(a+b)( c+d )=a (c+d )+b (c+d )=ac+ad+bc+cd .

Pengkuadratan suku dua (a+b)2=a2+2 ab+b2

(a−b )2=a2−2 ab+b2

Perkalian istimewa: (a+b)( c−d )=a2−b2

3. Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang,

penyebut, atau kedu-duanya memuat bentuk aljabar.

Pecahan-pecahan bentuk aljabar dapat dijumlahkan dan

dikurangkan jika penyebutnya sama. Jika penyebutnya belum

sama, maka harus disamakan terlebih dahulu .

Perkalian pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan

pembilang, dan penyebut dengan penyebut.

Pembagian pecahan dapat dihitung dengan cara perkalian yaitu

pecahan yang dibagi dikalikan dengan kebalikan pembaginya.

ab

:cd=a

b×d

c=ad

bc

Jika n adalah bilangan bulat positif dan

ab adalah bentuk aljabar,

maka ( a

b )n

didefinisikan sebagai: ( a

b )n

=ab×a

b×.. ..×a

b


mtk smp kelompok. 3 bentuk aljabar

Documents