Modul 10Mengaplikasikan Konsep Vektor Aljabar Vektor Dimensi Dua Operasi Vektor Dimensi Dua Aljabar Vektor Dimensi Tiga Operasi Vektor Dimensi Tiga

BAB IPENDAHULUAN

A. DeskripsiModul Konsep Vektor ini terdiri atas dua bagian proses pemelajaran yang meliputi dua sub komponen, yaitu :1. menerapkan konsep vektor pada bidang datar,2. menerapkan konsep vektor pada bangun ruang.

B. PrasyaratKemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari Modul 12 ini adalah siswa telah mempelajari dan memahami konsep geometri dimensi dua dan dimensi tiga.

C. Tujuan AkhirSetelah mempelajari kegiatan belajar ini pada Modul K ini diharapkan siswa dapat :1. menggambarkan vektor sebagai segmen garis berarah bila diberikan komponen-komponennya,2. menghitung modulus vektor bila diberikan suatu vektor,3. menentukan vektor posisi suatu vektor,4. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan gambar,5. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan memperhatikan komponen-komponennya,6. menentukan negatif dari suatu vektor,7. menggunakan pengertian vektor nol dalam operasi vektor,8. menyatakan vektor satuan yang searah denagn suatu vektor yang diberikan,9. menentukan hasil kali suatu vektor dengan skalar,10. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor,11. menentukan selisih dua vektor,12. menentukan perkalian skalar dua vektor.

B.Kegiatan Belajar1. Kegiatan Belajar 1a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat :1. mendefinisikan tentang vektor,2. menyatakan komponen-komponen vektor,3. menentukan besar/panjang vektor pada bangun datar,4. menentukan vektor satuan dari suatu vektor pada bangun datar.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1

BPengertian Vektor

aVektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besar vektor ditunjukkan oleh panjang ruas garis, sedang arah ditunjukkan oleh arah anak panah.

AGambar di samping menunjukkan vektor atau ditulis sebagai vektor a.

Lingkup Vektor Pada Bangun DatarVektor pada bangun datar (dimensi dua) ditandai dengan sumbu x dan sumbu y, yang saling berpotongan.1. ABxyO(x1,y1)(x2,y2)Modulus atau Besar Vektor

Jika titik A (x1 , y1) dan B (x2 , y2) maka komponen vektor = .

Adapun modulus vektor adalah besar atau panjang vektor dan dapat ditentukan dengan rumus :

=

Contoh :Diketahui titik A (3 , -5) dan B (-2 , 7), tentukanlah :a. komponan vektor b. Modulus / besar vektor Penyelesaian :a.

komponen vektor = b.

besar vektor =

= = 132. xxyyO (0 , 0)Vektor Posisi

Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut vektor posisi titik P dan dituliskan .

Jika koordinat titik P (x , y) maka vektor posisinya adalah : =

ABPQ3. Kesamaan Dua VektorDua buah vektor dikatakan sama apabila mempunyai besar dan arah yang sama.

4. ABPQVektor Negatif

Vektor negatif dari adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya berlawanan dan ditulis -

5. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu ( berupa titik ). Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan O = .

6. Vektor SatuanVektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang /besar 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar / panjang vektor semula.

Vektor satuan dari vektor a dirumuskan : e = Contoh :Jika diketahui vektor a = (3 , 2 , 1). Hitunglah vektor satuan dari vektor a !Penyelesaian :

Besar vektor a = a =

Maka vektor satuan dari a adalah : e = atau dapat dituliskan dalam bentuk vektor kolom e = .

c. Tugas Kegiatan Belajar 11. Tuliskan komponan vektor dari titik yang ujungnya P (2 , 4) dan pangkalnya Q (-2 , 3) !2. Tentukan besar vektor a jika a = !3. Jika P = tentukan P !4. Tentukan vektor satuan dari vektor c = !5. Tentukan vektor satuan dari vektoe d = !

d. Test Formatif Kegiatan Belajar 11. Tentukan modulus / besar vektor d = !2. Tentukan besar vektor jika A (-2 , 3) dan B (1 , -4) !3. Tentukan komponan vektor jika A (5 , -2) dan B (7 , 2) !4. Jika P = maka tentukan komponan vektor negatif dari P !5. Tentukan vektor satuan dari vektor a = !

6. Jika diketahui koordinat tiitk P (6 , 3) dan Q ( (4 , 5), tentukanlah :

a. komponen vektor b. besar vektor

7. xyPQOPerhatikan gambar di samping !Gambarkanlah : a. Vektor yang sama panjang dengan b. Vektor negatif dari c. Vektor posisi yang sama dengan

8. Jika diketahui d = tentukanlah :a. modulus vektor db. vektor negatif dc. vektor satuan d

9. Tentukanlah besar vektor-vektor berikut :

a. u = b. v = c. w = 10. Diketahui vektor p = dan q = 2p. Tentukan vektor satuan dari vektor r jika r = p q

2. Kegiatan Belajar 2a. Tujuan Kegiatan Belajar 2Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat :1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar2. menentukan hasil penjumlahan dua vektor pada bangun datar3. menentukan selisih dua vektor pada bangun datar

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 21. Perkalian Vektor dengan Skalar

xyaO3 . aHasil kali vektor a dengan skalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya sama.

Jika vektor a = maka : k . a = Contoh :

Diketahui vektor a = . Tentukanlah :a. 3 . ab. -2 . ac. . a

Penyelesaian :a.

3 . a = 3. = = b.

-2 . a = -2. = = c.

. a = . = =

2. Penjumlahan Dua Vektor Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu :a. ababa + baturan segitiga

b. aturan jajaran genjang

ababa + b

Secara analisis penjumlahan dua vektor adalah :

Jika vektor a = dan vektor b = maka : a + b = Contoh :

Jika vektor c = dan vektor d = maka :c + d =

3. Selisih Dua VektorSelisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif vektor kedua.Jadi : a b = a + ( - b )

abab- ba - bSecara geometris dapat digambarkan sebagai berikut :

Secara analitis jika diketahui vektor a = dan vektor b = maka :

a - b =

Contoh :

Jika vektor c = dan vektor d = maka :c - d = c. Tugas Kegiatan Belajar 2

Gambarlah pada bidang koordinat kartesius vektor dengan A (1 , 2) dan B (4 , 5) serta vektor dengan C (3 , -2) dan D (-1 , 3). Kemudian tentukanlah :

a. +

b. + c. Apa kesimpulan Anda ?d. Test Formatif Kegiatan Belajar 2

1. u21,511vPerhatikan gambar vektor di samping :Gambarlah vektor :a. 3.u c. u + vb. -2.v d. 2.u v 2.

Jika diketahui u = dan v = tentukanlah :a. 2.uc. 3.u + 2.vb. -3.vd. 2.v - u3. Diketahui vektor a = dan b = 2.a , tentukanlah vektor c = a + b4.

Diketahui vektor a = , b = dan c = . Tentukan x dan y jika c = a + b5.

Jika vektor m = dan n = tentukanlah secara aljabar vektor dari :a. . m .n b. . m + . n6.

Diketahui a = dan b = tentukanlah 3.b .a !7.

Jika a = dan b = tentukanlah 2.a .b !8.

Jika p = dan q = tentukanlah .p .q !9.

Jika diketahui p = dan q = tentukanlah x dan y jika p + q = !10.

Jika a = dan b = tentukanlah a 1 dan a 2 jika a b = ! 11.

Jika p = dan q = . Tentukanlah :a. p + qc. 3.p + 2.qb. 2.p q d. p .q 12.

Jika a = , b = dan c = Tentukanlah c1 dan c2 jika a + b 2c = !13.

Jika a = , b = dan c = Tentukanlah : 2.a 3.b dan a + 2.b c 14.

Diketahui p = , q = . Tentukanlah nilai x dan y jika p 3.q = 3. Kegiatan Belajar 3a. Tujuan Kegiatan Belajar 3Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat :1. menghitung modulus vektor (besar vektor) pada bangun ruang2. menentukan vektor posisi suatu vektor pada bangun ruang3. menyatakan kesamaan dua vektor pada bangun ruang4. menentukan negatif suatu vektor pada bangun ruang5. menyatakan pengrtian vektor nol pada bangun ruang6. menentukan vektor satuan pada bangun ruang

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)

yxzP (x , y , z)xyzijkpOVektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :1. koordinat kartesius p = (x, y, z)2. vektor kolom p = atau3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p = xi + yj + zk

dengan i =,j = , dan k =

1. Modulus VektorModulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor.

Jika suatu vektor dengan koordinat titik A (x1 , y1 ,z1) dan B (x2 , y2 , z2) maka modulus / besar / panjang vektor dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :

=

Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus vektor a adalah : a = Contoh :Tentukan modulus /besar vektor berikut :

a. = dengan titik A (1 , 4 , 6) dan Q (3 , 7 , 9)b. a = 2i + j + 3k Penyelesaian :

a. =

b. a =

2. zxyOP (x , y , z)Vektor Posisi

Vektor posisi titik P adalah vektor yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis = .

Modulus / besar vektor posisi adalah : = 3. ABPQKesamaan VektorDua vektor di ruang dimensi 3 dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.4. Vektor Negatif

ABPQVektor di ruang 3 yang besarnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif a , yang dituliskan dengan : - a.

Jika vektor a = maka : - a = 5. Vektor NolVektor nol adalah vektor yang besar/panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa titik).

Vektor nol dilambangkan dengan O (0 , 0 , 0) atau O = 6. Vektor SatuanVektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan.

Vektor satuan dari vektor a = vektor a tersebut dibagi dengan besar vektor a sendiri, yang dituliskan dengan : e = Contoh :

Tentukan vektor satuan dari vektor a = Penyelesaian :

a = Jadi vektor satuan vektor a : = c. Tugas Kegiatan Belajar 31. Jika diketahui vektor a = Hitunglah vektor satuan dari a !2. Diketahui titik P (2 , 2 , 2) dan titik Q (5 , 4 , 2). Tentukan modulus (besar) vektor !3. Diketahui vektor b = (1 , 3 , 5). Tentukan vektor satuan dari vektor b !

d. Test Formatif Kegiatan Belajar 31. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut :a. a = b. dengan titik A (-2 , 3 , -1) dan titik B (2 , 1 , -4)

2. Diketahui vektor dengan titik P (2 , 5 , -4) dan Q (1 , 0 , -3). Tentukan :a.

Koordinat titik R jika sama dengan vektor jika titik S (2 , -2 , 4)b.

Koordinat titik N jika merupakan negatif vektor jika titik M (-1 , 3 , 2) 3. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut :

a. u =

b. v =

c. dengan K (3 , -2 , 1) dan L (2 , -2 , 1)

d. dengan M (2 , 1 , 2) dan N (2 , 0 , 3)4. Gambarlah vektor dengan titik P (2 , -3 , 1) dan Q (1 , 3 , -2)a. Hitung modulus vektor b. Buat vektor negatif dari , kemudian hitung modulusnya/besarnya !c. Apa yang dapat Anda simpulkan dari pekerjaan di atas ?5. Jika titik P (1 , 1 , 1) dan titik Q (-1 , 4 , -6), tentukanlah :

a. vektor posisi titik P dan titik Q c. negatif vektor

b. komponen vektor d. vektor satuan 6. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya !

a. u = b. w = -i + 5j + kc. = 7. Tentukan besar vektor-vektor berikut ini !a. u = -i + j 4k b. v = 2i + 4j 2k 8. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut !

a. c = b. d =

9. Kegiatan Belajar 4a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat :1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar pada bangun ruang2. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor pada bangun ruang3. menentukan selisih dua vektor pada bangun ruang4. menentukan perkalian skalar dua vektor pada bangun ruang5. menentukan sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor6. menentukan perkalian vektor daru dua vektor pada bangun ruang

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 41. Perkalian Vektor dengan Skalar

Hasil kali vektor a = dengan suatu skalar m adalah : m . a = Hasil kali vektor a = a1i + a2j + a3k dengan skalar m adalah : m . a = m.a1i + m.a2j + m.a3k

Contoh :

Jika vektor h = , maka : 3 . h = = Jika vektor u = 2i + j 3k , maka : 4 . u = 4.2i + 4.j 4.3k = 8i + 4j 12k2. Penjumlahan Vektor dalam ruang

Jika dua vektor a = dan vektor b = adalah vektor-vektor tidak nol, maka :

a + b = +

a + b = Jika vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k , maka :a + b = (a1+b1)i + (a2+b2)j + (a3+b3)k

Contoh :Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut !a.

a = dan b = b. a = 2i + j 4k dan b = 3i + 5j + k

Penyelesaian :a. a + b = = b.a + b = (2+3)i +(1+5)j + (-4+1)k= 5i + 6j 3k3. Selisih Dua Vektor pada Ruang

Jika dua vektor a = dan vektor b = maka : a - b = - = Jika vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k , maka : a - b = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j + (a3 - b3)kContoh :Hitunglah selisih dari dua vektor berikut :

1 . a = dan b = 2. a = 8i + 6j + 9k dan b = 3i + 5j +2kPenyelesaian :

1. a - b = = 2. a - b = (8-3)i + (6-5)j + (9-2)k = 5i + j + 7k

4. Perkalian Skalar Dua VektorPerkalian skalar dari dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k ditulis dengan : a . b (dibaca a dot b). Jika sudut antara vektor a dan vektor b diketahui sama dengan ( 0 180 ), maka :a . b = a.b. cos

Jika sudut antara vektor a dan vektor b tidak diketahui, maka :

a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

Contoh :Diketahui vektor a = 2i + 3j + 6k dan b = i + 2j + 2k , maka perkalian skalar vektor a dan vektor b adalah : a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 a . b = 2.1 + 3.2 + 6.2a . b = 2 + 6 + 12 = 20

Jika diketahui a = 6 dan b = 5 dan sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60 maka perkaliannya adalah :a . b = a.b. cos a . b = 6 . 5 . cos 60 a . b = 30 . = 15

5. Sudut Antara Dua VektorDari rumus perkalian skalar dua vektor a . b = a.b. cos maka besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat ditentukan, yaitu :

cos = =

Contoh :

Jika vektor a = dan vektor b = , maka sudut antara vektor a dan vektor b adalah Penyelesaian :

cos = =

cos = = = x =

cos = = arc. cos = 45

6. Perkalian Vektor dari Dua VektorPerkalian vektor dari dua vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a cross b) dirumuskan dengan :a x b = ( a.b.sin ) . s

dimana : = besar sudut antara vektor a dan vektor b ( 0 180 )s = vektor satuan yang tegak lurus bidang

ab-sb x aabsa x b

Bila diketahui vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k maka :

a x b =

Untuk vektor satuan i , j , k berlaku : i x j = -j x i = ki x k = -k x i = -jj x k = -k x j = ii x i = j x j = k x k = 0 Contoh :Diketahui vektor a = 2i j + 3k dan vektor b = 3i 2j + k.Tentukanlah : a. a x bb. b x a c. a x b Penyelesaian :a. a x b =

==(-1 (-6)).i (2 9).j + (-4 (-3)).k = 5i + 7j - kb. b x a =

== (-6 (-1)).i (9 2).j + (-3 (-4)).k= -5i 7j + k

c. a x b =

=

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa : a x b b x a

c. Tugas Kegiatan Belajar 4

Diketahui vektor a = , b = 1. Nyatakan a dan b sebagai kombinasi vector satuan i, j, k !2. Tentukan a . b !3. Tentukan a x b !4. Tentukan besar sudut antara a dan b !

d. Test Formatif Kegiatan Belajar 41.

Diketahui vektor a = , b = dan c = . Tentukanlah : a. a + b b. 2a + 2c c. 5a 3c

2. Diketahui a = 3i 2j + k dan b = i + 3j 2k. Tentukanlah : a. a + b b. a b c. -3a + 2b

3. Diketahui vektor a = i 2j + 3k dan b = 3i + j + 2k. Tentukanlah : a. a . b b. besar sudut antara a dan b

4. Diketahui vektor a = 2i + 3j + 2k dan b = -i + 5j + k. Tentukanlah : a. a x b b. a x b

5. Diketahui vektor a = 2i 3j +pk dan b = 6i + 2j 4k.Tentukan nilai p jika a . b = 10 !6. Hitunglah perkalian skalar dua vektor a = 2i + 3j + 5k dan b = 2i + j +3k !7. Hitunglah a . b jika diketahui a = 3, b = 4 dan sudut antara a dan b adalah 60 !8. Diketahui a = i + 2j + 3k dan b = k . Tentukanlah sudut antara a dan b !9. Tentukan jumlah dan selisih dua vektor u = 5i + 2j + k dan v = i j + 2k !10. Jika p = 2i + 4j + 3k dan q = i + 5j 2k maka tentukan p x q !11.

Diketahui a = , b = dan c = . Hitunglah :

a. a b. 3b + c c. 2a 4c12. Jika a = 3i j + k ;b = 2i k ;c = 5j + k , maka hitunglah 2a + b c !13. Jika a = 4i 3j + 2k dan b = i + 2j + 5k , maka tentukan a . b !14. Jika a = (1 , 1 , 0) dan b = (0 , 1 , 1) tentukan sudut antara a dan b !15. Jika a = i 5j + 6k dan b = 5i 3j + k , tentukan a x b !

Evaluasi Kompetensi

1.

Diketahui vektor A = dan B = , maka komponen vektor adalah a. b. c. d. e.

2. Diketahui vektor a = 5i 3j + 2k, maka panjang vektor a adalah a. - 3b. 8c. 3 d. 38 e. - 38

3. Panjang vektor a = 3, panjang vektor b = 2 dan sudut antara vektor a dan b adalah 60 maka besar a + b adalah a. 10 b. 13c. - 10d. 13e. 15

4. Jika A = (5 , -3 , 2) dan B = (1 , 5 , -2) maka komponen vektor adalah a. b. c. d. e.

5.

Jika diketahui a = dan b = maka 2a + 3b adalah a. b. c. d. e.

6. Diketahui a = 2i 3j + 4k dan b = i + 2j 3k, maka a . b adalah a. 18b. - 16c. -18d. - 12e. 10

7. Apabila diketahui a = 2 dan b = 6 serta sudut antara a dan b adalah 60 maka a . b = a. 6b. -6c. 12d. 14e. 16

8.

Diketahui vektor a = dan b = , maka a . b = a. 6b. 6c. 8d. 10e. 12

9. Vektor a = 2i + 3j + 4k dan b = i 2j + k, maka a x b = .a. i 11 j + 2kb. 6i 2j + 2kc. 11i + 2j 7kd. 5i 2j + 3ke. 11i 2j + 7k

10.

Diketahui vektor dan , maka besar sudut antara vektor dan vektor adalah .a. 1200b. 600c. 300d. 350450

11. Diketahui a = 2i 3j + pk dan b = 4i + 2j + 3k, apabila a . b = 8 maka nilai untuk p adalah a. 5b. 4 c. 2 d. 2e. 3

12. Diketahui a = maka bentuk kombinasi linear dari vektor a adalah a. 5i 2j +3kb. 2i - 5j + 2kc. 3i 2j + 5kd. -2i + 5j + 3ke. 2i + 3j + 5k

13.

Diketahui vektor a = , b = dan c = . Maka nilai dari 2a + b c adalah a. b. c. d. e.

14. Diketahui vektor a = 3i 2j + k dan b = i + 3j + 2k , maka a x b adalah a. i+ 7j + 11kb. i 7j 11kc. i + 7j + 12kd. 2i 3j + 4ke. i + 3j + 5k

15.

Diketahui a = dan b = , maka a + b = a. b. c. d. e.

14

MGMP MatematikaSMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten