SUB GRUP/GRUP BAGIAN

Yus Mochamad Cholily

Jurusan Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Malang

email:ymcholily@gmail.com

March 30, 2013

1

Daftar Isi

1 Tujuan 3

2 Sub Grup/Grup Bagian 3

3 Sifat-sifat Grup Bagian 4

4 Latihan 5

2

1 Tujuan

Dengan mempelajari materi sub grup ini mahasiswa diharapkan mampu:

a. menjelaskan pengertian sub grup,

b. memberikan contoh sub grup,

c. membuktikan sebuah himpunan bagian grup merupakan sub grupnya atau bukan,

d. membuktikan teorema berkenaan dengan subgrup,

e. membuktikan sifat-sifat subgrup

2 Sub Grup/Grup Bagian

Pada modul terdahulu telah dilihat bahwa struktur (Z,+) merupakan grup. Himpunan

bagian dari Z yaitu 2Z juga merupakan grup terhadap operasi +. Struktur (2Z,+)

semacam ini dinamakan subgrup dari subgrup dari (Z,+). Secara tepat definisi dari

subgrup disampaikan dalam definisi berikut ini.

Definisi 1. Misal (G, ) sebuah grup. Himpunan H G disebut subgrup jika struktur(H, ) juga merupakan grup.

Dari definisi di atas jelas bahwa untuk membuktikan suatu himpunan H merupakan

subgrup atau bukan dari grup (G, ) maka harus ditnukkan bahwa (i) H G dan(ii) (H, ) merupakan grup. Untuk membuktikan grup atau bukan telah dibahas padamodul sebelumnya. Perhatikan contoh-contoh berikut ini untuk mendalami definisi yang

diberikan.

Contoh 1. Himpunan kZ, dengan k Z, dengan operasi penjumlahan merupakan sub-grup dari (Z,+).

Jelas bahwa kZ Z. Selanjutnya telah dibahas juga bahwa struktur (kZ,+) meru-pakan grup. Dari dua langkah ini dapat disimpulkan bahwa kZ merupakan subgrup dari

Z terhadap operasi penjumlahan.

Contoh 2. Misal G adalah sebarang grup dengan unsur identitas iG. Dua himpunan

bagian dari G yaitu H1 = {iG} dan H2 = G, keduanya merupakan sub grup. Sub grup H1dikenal dengan subgrup trial dan subgrup H2 dinamakan subgrup sempurna.

3

3 Sifat-sifat Grup Bagian

Pada sub bab ini akan dikaji tentang teorema-teorema berkenaan dengan subgrup. Pada

umumnya teorema-teorema disajikan dalam bentuk bi-implikasi namun untuk memu-

dahkan pembaca akan dituliskan dalam bentuk implikasi. Tentunya bila digabungkan

menjadi bi-implikasi.

Teorema 1. Misal G sebuah grup dan H adalah subgrupnya. Buktikan bahwa:

a. Jika eG identitas G dan eH identitas H maka eG = eH .

b. Jika h1, h2 unsur di H maka h1h2 H.

c. Jika h H maka h1 H.

Bukti. Pada teorema ini diketahui bahwa H adalah subgrup dan menurut definisi bahwa

H merupakan grup. Dengan demikian semua persyaratan grup juga terpenuhi yaitu (0)

tertutup, (i) asosiatif (ii) adanya unsur identitas di H yaitu eH dan (iii) setiap unsur di

H memiliki invers.

Dua dari tiga kesimpulan dalam teorema sudah terbukti dari definisi yaitu point b

yang merupakan ketertutupan dan point c tentang eksistensi invers untuk setiap unsur.

Eksistensi unsur identitas di H maupun di G telah terjamin karena G maupun H

adalah grup. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa eG = eH . Berangkat dari eH unsur

identitas maka eHeH = eH . Selain itu, karena eH H G maka eGeH = eH . Dari duapersamaan ini diperoleh bahwa eHeH = eGeH . Menurut sifat penghapusan pada LKM 02

diperoleh bahwa eH = eG.

Konvers dari Teorema 1 juga benar dan ditunjukkan pada teorema berikut ini. Kon-

vers ini lebih banyak digunakan untuk menunjukkan apakah sebuah struktur merupakan

grup atau bukan. Silahkan dituliskan sendiri untuk detailnya sesuai dengan definisi.

Teorema 2. Diketahui H himpunan bagian dari grup G. Jika:

a. identitas G juga identitas H

b. berlaku sifat tertutup, h1, h2 di H maka h1h2 H,

c. setiap unsur di H memiliki invers,

maka H adalah subgrup dari G.

Bukti. Kerjakan sebagai latihan dengan mengikuti persyaratan dalam definisi subgrup.

4

Teorema selanjutnya ini hampir sama dengan Teorema 2. Teorema berikut ini juga

lebih diarahkan pada pemakaian untuk membuktikan apakah sebuah sub himpunan meru-

pakan grup atau bukan. Secara lengkap teorema dituliskan dalam dua implikasi berikut

ini.

Teorema 3. Misal G sebuah grup dan H adalah himpunan bagian tak kosong dari G.

Jika H adalah subgrup dari G maka gh1 H untuk setiap g, h di H.Bukti. Dari definisi subgrup tuliskan bukti teorema ini.

Teorema 4. Misal G sebuah grup dan H adalah himpunan bagian tak kosong dari G.

Jika gh1 H untuk setiap g, h di H maka H adalah subgrup dari GBukti. Karena H 6= maka ada h H. Dengan demikian menurut premisnya diperolehbahwa i = hh1 H. Jadi identitas di H. Karena identitas maka ih1 = h1 . Jadiuntuk sebarang h inversnya juga di H. Ambil g, h di H. Harus ditunjukkan bahwa

tertutup di H. Dari premis juga g(h1)1 = gh H. Dari ketiga hasil tersebut maka Hadalah subgrup dari G.

4 Latihan

Kerjakan semua latihan dberikut ini.

1. Telah dipahami dengan baik tentang himpunan bilangan bulat Z

2. Diketahui G adalah grup dan P,Q adalah dua buah subgrup dari G. Selidiki apakah:

a. P Q merupakan grup atau bukan,b. P Q merupakan grup atau bukan,c. PQ = {pq|p P, q Q} merupakan grup atau bukan.

3. Misal G sebuah grup. Didefinisikan himpunan yang disebut pusat (center) dari G

yaitu

Z(G) = {x G : gx = xg untuk semua g G}.

Selidiki apakah himpunan tersebut merupakan subgrup dari G apa tidak.

4. Misal H adalah subgrup dari grup G. Didefinisikan

C(H) = {g G : gh = hg untuk semua h H}.

Selidiki apakah C(H) merupakan subgrup atau bukan. Himpunan ini dinamakan

centralizer.

5. Misal H subgrup dari grup G. Jika g G tunjukkan bahwa gHg1 merupakansubgrup dari G.

5