modul pelatihan

MODUL PELATIHAN

PENINGKATAN KOMPETENSI SISWA(PKS)TINGKAT SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

( SMP)

TAHUN 2008

BIDANG STUDI MATEMATIKA

TAHAP I

SCIENCE CENTER UNIVERSITAS HASANUDDIN

Modul MatematikaPKS-SMP Science Center FMIPA-UNHAS

Januari 2008

1

Daftar Isi

Kata Pengantar

Daftar Isi

Materi 1 – Teori Bilangan…………………………………………………………......... 1

Materi 2 – Aljabar…………………………………………………..........…....….......... 27

Materi 3 – Geometri ……………………………………………………......…........…. 111

Materi 4 – Kombinatorika, Statistika dan Peluang ………………………................... 146

Materi 5 – Problem Solving Strategies ………………………...................................... 173

Soal Olimpiade Sains Nasional Tingkat Provinsi 2005 ................................................ 199

Soal Olimpiade Sains Nasional Tingkat Pusat 2005 ……………..…........................... 203


Januari 2008

2

I. TEORI BILANGAN

1.1. BILANGAN REAL

Pada materi kali ini, kita akan mempelajari konsep dasar bilangan real dimulai dari operasi dasar

pada bilangan real dan diakhiri dengan Problem Set mengenai bilangan real.

1.1.1. Operasi dasar bilangan real

Definisi:

Jika n1 dan n2 adalah bilangan real, maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai n1 + n2

yang merupakan jumlah dari n1 dan n2. Juga ada suatu bilangan real n1 × n2 (atau ditulis sebagai

n1. n2 atau n1n2) yang merupakan hasil kali dari n1 dan n2.

1.1.2. Sifat-sifat operasi himpunan bilangan real

Beberapa sifat operasi pada bilangan real antara lain adalah:

1. Sifat tertutup

Himpunan bilangan real R dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian,

karena jumlah dan hasil kali dari 2 bilangan real merupakan bilangan real pula. Dalam notasi

matematika biasa ditulis sebagai berikut:

a. Penjumlahan

Untuk setiap n1, n2 R, berlaku (n1 + n2) R

b. Perkalian

Untuk setiap n1, n2 R, berlaku (n1n2) R

2. Sifat Komutatif

a. Penjumlahan

Untuk setiap n1, n2 R, berlaku n1 + n2 = n2 + n1


Januari 2008

3

b. Perkalian

Untuk setiap n1, n2 R, berlaku n1n2 = n2n1

3. Sifat Asosiatif

a. Penjumlahan

Untuk setiap n1, n2, n3 R, berlaku (n1 + n2) + n3 = n1 + (n2 + n3)

b. Perkalian

Untuk setiap n1, n2, n3 R, berlaku (n1n2)n3 = n1(n2n3)

4. Sifat Identitas

a. Penjumlahan

Untuk setiap n R, berlaku n + 0 = 0 + n = n dimana 0 sebagai identitas penjumlahan

b. Perkalian

Untuk setiap n R, berlaku n × 1 = 1 × n = n dimana 1 sebagai identitas pekalian

5. Sifat Kebalikan (invers)

a. Penjumlahan

Untuk setiap n R akan terdapat –n R sedemikian sehingga berlaku sifat n + (–n) = (–

n) + n = 0. –n disebut invers atau kebalikan dari n terhadap operasi penjumlahan

b. Perkalian

Untuk setiap n 0 R akan terdapat 1/n R sedemikian sehingga berlaku sifat n × 1/n

= 1/n × n = 1. 1/n disebut invers atau kebalikan dari n terhadap operasi perkalian

6. Sifat Distributif

a. Distributif kiri

Untuk setiap n1, n2, n3 R, berlaku (n1 + n2) n3 = n1n3 + n2n3

b. Distributif kanan

Untuk setiap n1, n2, n3 R, berlaku n1 (n2 + n3) = n1n2 + n1n3

1.1.3. Skema himpunan bilangan real


Januari 2008

4


Januari 2008

Bilangan Real ( R )

Bilangan Rasional ( Q )

Bilangan Bulat ( Z )

Bilangan Bulat Negatif ( Z- ) Bilangan Cacah ( C )

5

Bilangan Pecahan

Bilangan Ganjil

Bilangan Irrasional


Januari 2008

Bilangan Nol Bilangan Asli ( N )

Bilangan Genap Bilangan Prima

6


Januari 2008

Bilangan Komposit

7

Secara umum himpunan bilangan real terbagi menjadi dua himpunan besar yaitu himpunan

bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Namun sebelum diberikan definisi bilangan

rasional dan irrasional akan diuraikan definisi bilangan yang lainnya.

Definisi bilangan bulat positif (asli):

Bilangan asli atau bilangan alam adalah bilangan-bilangan yang disimbolkan dengan angka 1, 2,

3, ….

Kumpulan semua bilangan asli disebut himpunan bilangan asli , yaitu N = {1, 2, 3, 4, …}.

Sedangkan gabungan antara bilangan nol dan himpunan bilangan asli disebut himpunan bilangan

cacah, yaitu C = N {0} = {0, 1, 2, 3, …}.

Definisi bilangan bulat negatif:

Sebuah bilangan x disebut bilangan bulat negatif bila bilangan x merupakan kebalikan (invers)

dari suatu bilangan bulat positif. Jika a merupakan suatu bilangan bulat positif maka x

disimbolkan dengan x = –a.

Kumpulan semua bilangan bulat negatif disebut himpunan bilangan bulat negatif, yaitu {–1, –2,

–3, … }.

Definisi faktor pembagi:

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, serta berlaku ab=c maka a dan b disebut faktor

pembagi dari c, sedangkan c disebut kelipatan dari a dan b.

Definisi bilangan genap dan ganjil:

Sebuah bilangan bulat positif a disebut bilangan genap bila salah satu faktor dari a adalah 2.

Bilangan yang bukan genap disebut bilangan ganjil.

Kumpulan semua bilangan genap disebut himpunan bilangan genap. Sedangkan kumpulan semua

bilangan ganjil disebut himpunan bilangan ganjil.

Definisi bilangan komposit:

Sebuah bilangan bulat positif k 1disebut bilangan komposit bila bilangan k tersebut dapat

dinyatakan sebagai hasil kali dua atau lebih bilangan bulat positif 1.


Januari 2008

8

Kumpulan semua bilangan komposit disebut himpunan bilangan komposit.

Definisi bilangan prima:

Sebuah bilangan bulat positif p 1 disebut bilangan prima bila bilangan p tersebut merupakan

perkalian antara 1 dan p, atau bilangan p hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan p sendiri.

Kumpulan semua bilangan prima disebut himpunan bilangan prima, yaitu {2, 3, 5, 7, …}

Definisi bilangan rasional:

Sebuah bilangan r disebut bilangan rasional jika bilangan r tersebut dapat dinyatakan sebagai

pembagian dari dua buah bilangan bulat. Dalam notasi matematika sebagai berikut:

Kumpulan semua bilangan rasional disebut himpunan bilangan rasional yang merupakan

gabungan dari himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan. Sebuah bilangan

rasional dapat mudah kita kenal dari bilangan desimalnya dimana pada bilangan desimalnya

terdapat pengulangan bilangan yang secara teratur.

Contoh 1.1

Beberapa bilangan rasional yang dapat dilihat dari pola bilangan desimalnya adalah:

Definisi bilangan irrasional:

Sebuah bilangan c disebut bilangan irrasional jika bilangan c tersebut tidak dapat dinyatakan

sebagai pembagian dari dua buah bilangan bulat. Sebuah bilangan irrasional dapat mudah kita


Januari 2008

9

kenal dari bilangan desimalnya dimana pada bilangan desimalnya tidak terdapat pengulangan

bilangan yang secara teratur.

Contoh 1.2

Beberapa contoh bilangan yang merupakan bilangan irrasional:

Kumpulan semua bilangan irrasional disebut himpunan bilangan irrasional.

Problem Set

1. Manakah di antara bilangan decimal berikut yang bukan merupakan bilangan rasional?

Jelaskan !

a. 0,959599595…

b. 0,696969…

c. –5,344344433…

d. –2,889889889…

e. 7,79977997799…

2. Tentukan bilangan pecahan dari bilangan-bilangan rasional di bawah ini:

a. 0,799999…

b. 0,659659659…

c. 1,333333…

d. –2,898989…

e. 5,799979997999…

3. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang benar? Jelaskan!

a. Hasil penjumlahan antara dua bilangan rasional adalah bilangan rasional

b. Hasil penjumlahan antara dua bilangan irrasional adalah bilangan irrasional

c. Hasil perkalian antara dua bilangan rasional adalah bilangan rasional

d. Hasil perkalian antara dua bilangan irrasional adalah bilangan irrasional

1.2. BILANGAN ASLI


Januari 2008

10

Materi ini akan membahas materi tentang bilangan asli. Bilangan asli sendiri mempunyai sifat-

sifat yang hampir sama dengan bilangan real, namun ada beberapa sifat dari bilangan real yang

tidak dimiliki oleh bilangan asli.

1.2.1. Operasi dasar bilangan asli

Sama seperti bilangan real, pada bilangan asli terdapat dua buah operasi dasar yaitu operasi

penjumlahan dan perkalian.

Definisi:

Jika n1 dan n2 adalah bilangan real, maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai n1 + n2

yang merupakan jumlah dari n1 dan n2. Juga ada suatu bilangan real n1 × n2 (atau ditulis sebagai

n1. n2 atau n1n2) yang merupakan hasil kali dari n1 dan n2.

1.2.2. Sifat-sifat operasi himpunan bilangan asli

Beberapa sifat operasi pada bilangan asli antara lain adalah:

1. Sifat tertutup

Himpunan bilangan asli N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian,

karena jumlah dan hasil kali dari 2 bilangan asli merupakan bilangan asli pula. Dalam notasi

matematika biasa ditulis sebagai berikut:

a. Penjumlahan

Untuk setiap n1, n2 N, berlaku (n1 + n2) N

b. Perkalian

Untuk setiap n1, n2 N, berlaku (n1n2) N

2. Sifat Komutatif

a. Penjumlahan

Untuk setiap n1, n2 N, berlaku n1 + n2 = n2 + n1

b. Perkalian

Untuk setiap n1, n2 N, berlaku n1n2 = n2n1


Januari 2008

11

3. Sifat Asosiatif

a. Penjumlahan

Untuk setiap n1, n2, n3 N, berlaku (n1 + n2) + n3 = n1 + (n2 + n3)

b. Perkalian

Untuk setiap n1, n2, n3 N, berlaku (n1n2)n3 = n1(n2n3)

4. Sifat Identitas

a. Penjumlahan

Untuk setiap n N, berlaku n + 0 = 0 + n = n

(0 sebagai bukan identitas penjumlahan, 0 N)

b. Perkalian

Untuk setiap n N, berlaku n × 1 = 1 × n = n

(1 sebagai identitas pekalian, 1 N)

5. Sifat Distributif

a. Distributif kiri

Untuk setiap n1, n2, n3 N, berlaku (n1 + n2)n3= n1n3 + n2n3

b. Distributif kanan

Untuk setiap n1, n2, n3 N, berlaku n1 (n2 + n3) = n1n2 + n1n3

1.2.3. Bilangan genap

Sebuah bilangan bulat positif a disebut bilangan genap bila salah satu faktor dari a adalah 2.

Kumpulan semua bilangan genap disebut himpunan bilangan genap.

1.2.4. Bilangan ganjil

Bilangan yang bukan genap disebut bilangan ganjil. Kumpulan semua bilangan ganjil disebut

himpunan bilangan ganjil.

1.2.5. Bilangan komposit


Januari 2008

12

Sebuah bilangan bulat positif k 1 disebut bilangan komposit bila bilangan k tersebut dapat

dinyatakan sebagai hasil kali dua atau lebih bilangan bulat positif 1. Kumpulan semua

bilangan komposit disebut himpunan bilangan komposit.

1.2.6. Bilangan prima

Sebuah bilangan bulat positif p 1 disebut bilangan prima bila bilangan p tersebut merupakan

perkalian antara 1 dan p, atau bilangan p hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan p sendiri.

Kumpulan semua bilangan prima disebut himpunan bilangan prima, yaitu {2, 3, 5, 7, …}

Definisi faktor prima:

Setiap bilangan komposit k dapat dinyatakan sebagai perkalian unik antar beberapa bilangan

prima . Secara notasi matematika sebagai berikut:

dimana p1, p2, ..., pn merupakan bilangan-bilangan prima berbeda dan e1, e2, …, en merupakan

bilangan-bilangan cacah. p1, p2, ..., pn disebut sebagai faktor prima dari k.

Di dalam himpunan bilangan asli, kita bisa melihat sifat-sifat penting lainnya yang berhubungan

dengan faktor dan kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan asli. Di antaranya adalah FPB

dan KPK.

a. Faktor persekutuan terbesar (FPB)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terbesar

yang merupakan anggota himpunan semua faktor persekutuan dari bilangan-bilangan itu atau

bilangan asli terbesar yang habis membagi bilangan-bilangan tersebut.

Contoh 1.3

Tentukan FPB dari 8 dan 36.

Penyelesaian :

Himpunan faktor dari 8 = {1, 2, 4, 8}

Himpunan faktor dari 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Jadi himpunan faktor dari 8 dan 36 adalah: {1, 2, 4}, sehingga FPB dari 8 dan 36 adalah 4.


Januari 2008

13

Menentukan FPB

Untuk menentukan FPB dari dua atau lebih bilangan asli dapat dilakukan dengan berbagai

macam metode, yaitu:

Mendaftarkan semua faktor dari bilangan-bilangan tersebut

Metode ini merupakan metode yang sangat sederhana, yaitu dengan mendaftarkan semua

faktor dari setiap bilangan tersebut ke dalam sebuah himpunan, setelah itu menentukan

irisan himpunan-himpunan tersebut dan dicari elemen terbesar dari irisan himpunan

tersebut. Contoh 1.3 menggunakan metode ini.

Metode faktor prima

Metode ini merupakan metode yang sangat umum digunakan, yaitu dengan menguraikan

setiap bilangan tersebut sebagai perkalian antar faktor primanya. Kemudian untuk

menentukan FPB dengan cara:

o Tentukan semua faktor prima yang sama antar bilangan tersebut

o Tentukan bilangan terkecil dari pemangkatan setiap faktor prima yang sama di

atas yang berada pada bilangan-bilangan tersebut

o FPB dari bilangan-bilangan tersebut adalah perkalian antar semua bilangan

terkecil yang sudah diperoleh di atas

Namun metode ini dapat dilakukan jika bilangan-bilangan asli yang ingin dicari FPB nya

merupakan bilangan komposit. Secara matematis sebagai berikut:

Misalkan a, b bilangan asli yang mempunyai faktorisasi prima:

a = dan b =

dimana pangkat adalah bilangan bulat tidak negatif, dan semua prima yang muncul di

faktorisasi a atau b muncul di faktorisasi kedua-duanya, bisa dengan pangkat nol.

Maka FPB(a,b) adalah

FPB (a, b) =

dimana min(x, y) menyatakan nilai terkecil antara x dan y.

Contoh 1.4

Tentukan FPB dari 48 dan 72


Januari 2008

14

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa:

48 = 24 3

72 = 23 32

Faktor-faktor prima yang sama dari 48 dan 72 adalah 2 dan 3. Sedangkan pemangkatan

terkecil yang diambil adalah 23 dan 3. Sehingga FPB(48, 72) = 23 3 = 24.

Algoritma Euclid

Secara sederhana metode yang dilakukan algoritma Euclid adalah mencari faktor

persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan yang telah direduksi terus menerus. Cara

mereduksi bilangan ini adalah dengan melihat sisa pembagian antara satu bilangan

dengan bilangan yang lain. Sisa tak nol terakhir adalah nilai FPB yang dimaksud.

Misalkan ingin dicari FPB(91, 287).

Langkah pertama, bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil,

diperoleh

287 = 91.3 + 14 atau 287 – 91.3 = 14

Artinya pembagi dari 91 dan 287 adalah juga pembagi dari 14 atau

FPB(91, 287) = FPB(14, 91),

sehingga selanjutnya adalah mencari FPB(14, 91).

Bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, diperoleh

91 = 14.6 + 7 atau 91 – 14.6 = 7

Artinya FPB(91, 287) = FPB(14, 91) = FPB(7, 14).

Bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, diperoleh

14 = 7.2 + 0

Artinya FPB(7, 14) = 7.

Sehingga FPB(91, 287) = FPB(14, 91) = FPB(7, 14) = 7.

Lemma Misalkan a = bq + r, dengan a, b, q dan r adalah bilangan bulat. Maka FPB(a,

b) = FPB(b, r).

Contoh 1.5

Tentukan FPB dari 8 dan 36, 48 dan 72.


Januari 2008

15

Penyelesaian :

FPB (8, 36) = FPB (8, 84+4)

= FPB(8, 4)

= 4

FPB(48, 72) = FPB(48, 48+24)

= FPB(48, 24)

= 24

b. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terkecil yang

merupakan anggota himpunan semua kelipatan persekutuan antara bilangan-bilangan tersebut

atau bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh bilangan-bilangan tersebut.

Contoh 1.6

Tentukan KPK dari 2 dan 3

Penyelesaian :

Himpunan kelipatan dari 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}

Himpunan kelipatan dari 3 = {3, 6, 12, 15, …}

Jadi himpunan kelipatan dari 2 dan 3 adalah: {6, 12, …}, sehingga KPK dari 2 dan 3 adalah 6.

Menentukan KPK

Untuk menentukan KPK dari dua atau lebih bilangan asli dapat dilakukan dengan berbagai

macam metode, yaitu:

Mendaftarkan semua kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut

Metode ini merupakan metode yang sangat sederhana, yaitu dengan mendaftarkan semua

kelipatan dari setiap bilangan tersebut ke dalam sebuah himpunan, setelah itu

menentukan irisan himpunan-himpunan tersebut dan dicari elemen terkecil dari irisan

himpunan tersebut. Contoh 1.6 menggunakan metode ini.


Januari 2008

16

Metode faktor prima

Metode ini merupakan metode yang sangat umum digunakan, yaitu dengan menguraikan

setiap bilangan tersebut sebagai perkalian antar faktor primanya. Kemudian untuk

menentukan KPK dengan cara:

o Tentukan semua faktor prima yang sama antar bilangan tersebut

o Tentukan bilangan terbesar dari pemangkatan setiap faktor prima yang sama di

atas yang berada pada bilangan-bilangan tersebut

o FPB dari bilangan-bilangan tersebut adalah perkalian antar semua bilangan

terbesar yang sudah diperoleh di atas dan semua pemangkatan faktor prima yang

berbeda yang ada di setiap bilangan tersebut.

Namun metode ini hanya dapat dilakukan jika bilangan-bilangan asli yang ingin dicari

KPK nya merupakan bilangan komposit. Secara matematis sebagai berikut:

Seperti FPB, KPK antara dua bilangan bulat juga dapat dicari dengan faktorisasi prima

dari masing-masing bilangan, dengan KPK(a, b) adalah

KPK (a, b) =

dimana maks(x, y) menyatakan nilai terbesar antara x dan y.

Contoh 1.7

Tentukan KPK dari 48 dan 72, 12 dan 15

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa:

48 = 24 3

72 = 23 32

Faktor-faktor prima yang sama dari 48 dan 72 adalah 2 dan 3. Sedangkan pemangkatan

terbesar yang diambil adalah 24 dan 32. Sehingga KPK(48, 72) = 24 32 = 144.

Perhatikan bahwa:

12 = 22 3

15 = 3 5

Faktor-faktor prima yang sama dari 12 dan 15 adalah 3. Sedangkan pemangkatan terbesar

yang diambil adalah 3. Semua pemangkatan faktor prima yang berbeda dari dua bilangan

tersebut adalah 22 dan 5. Sehingga KPK(12, 15) = 3 22 5 = 60.


Januari 2008

17

c. Sifat-sifat FPB dan KPK

Beberapa sifat FPB dan KPK yang penting adalah:

Misalkan a, b, c, d, n adalah bilangan-bilangan asli, maka:

o FPB(ca, cb) = c FPB(a, b)

o FPB(a, bc) = FPB (a, c FPB(a, b))

o FPB(an, bn) = (FPB(a, b))n

o Jika FPB(a, b) = d, maka FPB(a/d, b/d) = 1

o FPB(a, b) KPK(a, b) = ab

Problem Set

1. Jika m dan n adalah dua bilangan asli dan mn = n + 15, maka carilah semua bilangan n yang

mungkin.

2. Bila diketahui bahwa hasil dari perkalian dari dua bilangan asli adalah 84, tentukanlah hasil

penjumlahan dua bilangan asli tersebut yang mungkin terjadi.

3. Tentukan semua bilangan asli x dan y, jika x2 + y2 = 63

4. Jika 200 × 201 × 202 × … × 210 dapat ditulis dalam bentuk 2n.m, dimana m merupakan

bilangan ganjil. Berapakah nilai dari n ?

5. Jika sembarang bilangan asli yang terdiri dari dua digit kalian pilih. Berapakah hasil yang

kalian temukan jika bilangan tersebut dikurangi dengan jumlah dari kedua digitnya dan

kemudian hasilnya dibagi dengan 9 ? Jelaskan jawaban kalian !

6. Apakah benar setiap selisih kuadrat bilangan ganjil positif dengan bilangan satu merupakan

kelipatan 4? Jelaskan !


Januari 2008

18

7. Apabila suatu bilangan terdiri dari 3 digit dikalikan dengan 4, maka hasil kalinya terdiri dari

3 digit dan mempunyai digit-digit yang sama namun digit pertama dan digit ketiga saling

bertukar. Carilah bilangan tersebut.

8. Apabila suatu bilangan terdiri dari 4 digit dikalikan dengan 9, maka hasil kalinya terdiri dari

4 digit dan mempunyai digit-digit yang sama namun digit pertama dan digit keempat saling

bertukar. Carilah kemugkinan bilangan terbesarnya.

9. Jika 2006 dapat dinyatakan salam penjumlahan dari beberapa bilangan asli berurutan,

maka berapa banyak cara penjumlahan tersebut.

10. Jika x, y dan z adalah bilangan-bilangan asli yang memenuhi persamaan

x + 3y + 7z = 50

Tentukan semua tripel (x, y, z) yang memenuhi persamaan tersebut.

11. Suatu bilangan asli terdiri dari 3 digit ‘abc’ yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

a. digit ratusan = digit puluhan + digit satuan

b. b(c + 1) = 52 – 4a

Tentukan semua bilangan yang memenuhi sifat-sifat tersebut.

12. Suatu bilangan asli terdiri dari 4 digit yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

a. digit ribuan = digit puluhan

b. digit ratusan = satu lebihnya dari digit satuan

Tentukan semua bilangan yang memenuhi sifat-sifat tersebut.

13. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga juga bulat

14. Buktikan bahwa semua bilangan yang terdiri dari 6 digit ‘abcabc’ selalu habis dibagi 91

15. Sebuah bilangan terdiri dari 3 digit yang habis dibagi 12 dan hasil baginya merupakan

jumlah-jumlah dari digit-digit bilangan tersebut. Tentukanlah bilangan yang yang dimaksud

tersebut.

1.3. KETERBAGIAN


Januari 2008

19

Definisi

Jika a dan b bilangan bulat dan a 0, dikatakan a membagi b jika ada bilangan bulat s sehingga

b = as. Jika a membagi b maka disebut a faktor dari b dan b adalah kelipatan dari a. Notasi a|b

jika a membagi b dan a b jika a tidak membagi b.

Teorema

Jika a, b, dan c bilangan bulat, maka

1. Jika a|b dan a|c maka a|(b + c)

2. Jika a|b maka a|bx untuk sebarang bilangan bulat x

3. Jika a|b dan b|c maka a|c

Sifat-sifat pembagian oleh 2n

Suatu bilangan bulat habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi

2n.

a. n = 1, suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir bilangan tersebut habis dibagi 2.

b. n = 2, suatu bilangan habis dibagi 4 (22) jika bilangan 2 angka terakhir bilangan tersebut

habis dibagi 4.

c. i = 3, suatu bilangan habis dibagi 8 (23) jika bilangan 3 angka terakhir bilangan tersebut

habis dibagi 8.

Teorema

Misalkan a = anan-1 ... a3a2a1a0 sembarang bilangan bulat.

1. 3|a jika dan hanya jika 3|( an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1 + a0)

2. 5|a jika dan hanya jika a0=0 atau a0=5

3. 7|a jika dan hanya jika 7| anan-1... a3a2a1 – 2a0 atau 7| anan-1... a3a2a1 +5a0

4. 9|a jika dan hanya jika 9|( an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1 + a0)

5. 11|a jika dan hanya jika 11|( an – an-1 + an-2 – an-3 + …)




Teorema Algoritma pembagian.

Misalkan a bilangan bulat dan d bilangan bulat positif. Terdapat bilangan bulat q dan r yang

unik, dengan 0 r < d sehingga a = dq + r


Januari 2008

20

Definisi

Dalam persamaan yang diberikan pada algoritma pembagian, d disebut pembagi (divisor), a

disebut yang dibagi (divident), q disebut hasil bagi (quotient), dan r disebut sisa (remainder)

Contoh 1.8

Berapakah hasil bagi dan sisa jika 101 dibagi 11?

Penyelesaian

Karena 101 = 119 + 2, maka hasil baginya adalah 9 dan sisanya adalah 2

Contoh 1.9

Berapakah hasil bagi dan sisa jika –11 dibagi 3?

Penyelesaian

Karena –11 = 3 –4 + 1, maka hasil baginya adalah –4 dan sisanya adalah 1

Problem Set

1. Hitung 123123 : 1001

2. Tunjukkan bahwa 7 membagi 22225555 + 55552222

3. Tentukan angka terakhir dari

4. Misalkan N adalah hasil kali dari tiga bilangan bulat positif yang nilainya sama dengan 6

kali penjumlahan ketiga bilangan tersebut. Satu dari bilangan tersebut adalah penjumlahan

dari dua bilangan yang lainnya. Tentukan jumlah dari semua nilai yang mungkin untuk N

5. n adalah sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit bilangan bulat dengan urutan menurun

dari kiri ke kanan. Carilah jumlah semua nilai sisa yang mungkin jika n dibagi 3

6. Pilih satu bilangan sembarang yang lebih besar dari 1. Bilangan berikutnya diperoleh dari

pembagian antara bilangan yang lebih besar 1 dari bilangan yang dipilih dengan bilangan

yang lebih kecil 1 dari bilangan yang dipilih. Kemudian lakukan hal yang sama sekali lagi.

Apakah yang terjadi? Jelaskan


Januari 2008

21

1.4. PERSAMAAN DIOPHANTINE

Suatu peramaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, dan c bilangan bulat dan a, b tidak nol

disebut persamaan diopanthine, jika penyelesaiannya dicari pada himpunan bilangan bulat.

Teorema

Persamaan diopanthine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika FPB(a, b)

membagi c.

Contoh 1.10

Uji apakah persamaan 24x + 78y = 34 mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan bulat.

Penyelesaian

Pertama-tama kita cari FPB dari 24 dan 78 dengan algoritma euclid sebagai berikut:

78 = 324 + 6

24 = 46 + 0

Sehingga FPB(24,78)=6, karena 6 adalah sisa pembagian terakhir yang tak nol. Karena 6 34,

maka persamaan 24x + 78y = 34 tidak mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan bulat.

Teorema

Jika d = FPB(a, b) dan x0, y0 adalah penyelesaian dari persamaan diopanthine ax + by = c, maka

penyelesaian umum dari persamaan tersebut adalah

dan

dengan k parameter bilangan bulat.

Contoh 1.11

Cari penyelesaian dari persamaan 56x + 72y = 40.

Penyelesaian

Pertama-tama kita cari FPB dari 56 dan 72 dengan algoritma euclid sebagai betikut:

72 = 156 + 16


Januari 2008

22

56 = 316 + 8

16 = 28 + 0

Sehingga FPB(56,72)=8, karena 8 adalah sisa pembagian terakhir yang tak nol. Karena 8|40,

maka persamaan 56x + 72y = 40 mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan bulat.

Selanjutnya kita mencari nilai x0 dan y0. Perhatikan bahwa :

40 = 58 = 5(56 – 316)

= 556 – 1516

= 556 – 15(72 – 156)

= 2056 – 1572

Sehingga nilai x0=20 dan y0= –15. Akhirnya solusi umum dari persamaan diophantine 56x + 72y

= 40 adalah :

x = 20 + 9k dan y = –15 – 7k

dengan k parameter bilangan bulat.

Problem Set

Ujilah apakah persamaan berikut mempunyai penyelesaian di bilangan bulat. Jika mempunyai

penyelesaian, carilah penyelesaian tersebut.

a. 14x + 35y = 93

b. 24x + 138y = 18

c. 754x + 221y = 13

1.5. ARITMATIKA MODULAR

Jika waktu sekarang adalah jam 7, jam berapakah 50 jam dari sekarang? Untuk mengetahui jam

tersebut, kita harus mencari sisa pembagian 50 dengan 24 dan menambahkannya ke jam 7. Ada

banyak kasus-kasus seperti ini dimana yang diperlukan hanyalah sisa pembagian sementara hasil

baginya tidak penting.

Definisi


Januari 2008

23

Misalkan a bilangan bulat dan m bilangan bulat positif. Digunakan a mod m untuk menyatakan

sisa hasil pembagian a oleh m.

Contoh 1.12

Berapakah 17 mod 5 dan 133 mod 9 ?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa 17 = 35 + 2, sehingga 17 mod 5 = 2, sedangkan 133 = 149 + 7, sehingga

133 mod 9 = 7

Definisi

Jika a dan b bilangan bulat dan m bilangan bulat positif, maka a adalah kongruen dengan b

modulo m jika m | (a – b). Digunakan notasi a b (mod m) untuk menyatakan a kongruen

dengan b modulo m. Jika a dan b tidak kongruen modulo m, ditulis a b (mod m).

Contoh 1.13

Periksa apakah apakah 17 kogruen ke 5 modulo 6.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa, karena 6 | (17 – 5)=12, maka 17 5 (mod 6)

Teorema

Misalkan m bilangan bulat positif. Bilangan bulat a dan b adalah kongruen modulo m jika dan

hanya jika ada bilangan bulat k sehingga a = b + km.

Teorema

Misalkan m bilangan bulat positif. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka a + c b + d

(mod m) dan ac bd (mod m)

Contoh 1.14

Tentukan angka satuan pada bilangan 32005.

Penyelesaian


Januari 2008

24

Untuk mencari angka satuan kita gunakan sisa hasil pembagian dengan 10. Karena 32 –1 (mod

10) , maka:

32005 (32)1002 3 (mod 10)

(-1)1002 3 (mod 10)

1 3 (mod 10)

3 (mod 10)

Sehingga angka satuan dari 32005 adalah 3.

Teorema

Misalkan m bilangan bulat positif dan a, b, dan c bilangan bulat. Jika ac bc (mod m) dan

gcd(c, m) = 1, maka a b (mod m).

1.6. CHINESE REMAINDER THEOREM

Bila x dibagi 3 bersisa 2, x dibagi 5 bersisa 3, dan x dibagi 7 bersisa 2, berapakah x?

Masalah di atas dapat diterjemahkan menjadi masalah berikut:

Berapakah x sehingga

x 2 (mod 3)

x 3 (mod 5)

x 2 (mod 7).

Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan the chinese remainder theorem.

Teorema The Chinese remainder theorem.

Misalkan m1, m2, …, mn bilangan bulat yang saling relatif prima. Sistem

x a1 (mod m1)

x a2 (mod m2)

x an (mod mn)

memiliki satu solusi tunggal modulo m = m1 m2 … mn. Dengan kata lain, terdapat satu dan hanya

satu x dengan 0 x < m yang memenuhi sistem tersebut.

Contoh 1.15

Tentukan x yang memenuhi sistem

x 2 (mod 3)

x 3 (mod 5)

x 2 (mod 7)


Januari 2008

25

Penyelesaian

Perhatikan bahwa sistem di atas ekivalen dengan sistem berikut:

35x 70 (mod 105)

21x 63 (mod 105)

15x 30 (mod 105)

Karena x 36x – 35x (21x +15x) – 35x (63+30) – 70 23 mod 105, maka x = 23 + 105k,

dimana k adalah parameter bilangan bulat.

Problem Set

Cari penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

a. x 1 (mod 2), x 2 (mod 3)

b. x 5 (mod 15), 4x 7 (mod 11)

c. x 1 (mod 2), x 3 (mod 3), x 1 (mod 5)

d. x 1 (mod 2), x 2 (mod 3), x 4 (mod 5)


Januari 2008

26

2. ALJABAR

2.1. HIMPUNAN

Pada materi kali ini, kita akan mempelajari konsep himpunan dimulai dari beberapa pengertian

seputar himpunan sampai akhirnya mengenai penerapan atau pemakaian operasi-operasi pada

himpunan. Di akhir materi ini akan diberikan Problem Set mengenai himpunan.

2.1.1. Pengertian himpunan

Sebuah himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas objek-objek yang didefinisikan

secara jelas. Objek-objek himpunan tersebut dapat berupa: bilangan, orang, surat, sungai dan

sebagainya.

Contoh 2.1

Beberapa contoh himpunan

o Kumpulan siswa yang menyukai pelajaran matematika

o Kumpulan orang-orang yang memiliki tinggi kurang dari 150 cm

2.1.2. Anggota himpunan

Setiap objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan

tersebut.

2.1.3. Notasi himpunan

o Himpunan-himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar, seperti : A, B, X, Y, …

o Elemen-elemen dari himpunan selalu dinyatakan dengan huruf kecil, seperti : a, b, x,

y, …

Contoh 2.2

o A = himpunan bilangan prima kurang dari 20

o B = himpunan warna lampu pada rambu lalu lintas

2.1.4. Menyatakan suatu himpunan


Januari 2008

27

Untuk menyatakan suatu himpunan dapat dengan berbagai macam cara, yaitu :

a. Metode daftar (tabular form)

Yaitu mendefinisikan himpunan dengan mendaftarkan atau menyebutkan semua anggota

himpunan tersebut. Caranya semua anggota suatu himpunan tersebut disebutkan atau ditulis di

antara tanda kurung kurawal dan penyebutannya tiap anggota dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh 2.3

Pada Contoh 2.2 di atas, himpunan A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk :

o A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

o B = {merah, kuning, hijau}

b. Metode aturan (set-builder form)

Yaitu mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan menyatakan sifat-sifat yang harus

dipenuhi oleh anggota-anggotanya.

Contoh 2.4

o A adalah himpunan semua bilangan prima.

Ditulis : A = {x | x bilangan prima}

o B adalah himpunan bilangan ganjil yang lebih dari 10 dan kurang dari 26.

Ditulis : B = {x | x bilangan ganjil, 10 < x < 26}

2.1.5. Notasi anggota himpunan

Bila suatu objek merupakan anggota suatu himpunan maka digunakan lambang “”. Sebaliknya

bila objek tersebut bukan merupakan anggota suatu himpunan maka digunakan lamabang “”.

Contoh 2.5

Jika A = {2, 3, 5, 7} maka :

o 2 adalah anggota himpunan A, sehingga ditulis 2 A atau 2 {2, 3, 5, 7}.

o 8 bukan anggota himpunan A, sehingga ditulis 8 A atau 8 {2, 3, 5, 7}.

2.1.6. Notasi banyaknya himpunan


Januari 2008

28

Banyaknya anggota dari suatu himpunan dinotasikan dengan “n“. Untuk menyatakan banyaknya

himpunan C ditulis n(C).

Contoh 2.6

Untuk contoh 2.2 di atas, banyaknya anggota himpunan A dan B adalah:

o n(A) = 8

o n(B) = 3

2.1.7. Himpunan berhingga dan tak berhingga

Suatu himpunan dikatakan berhingga bila terdiri dari sejumlah tertentu elemen-elemen yang

berbeda. Bila tidak, maka himpunan tersebut dikatakan tak berhingga.

Contoh 2.7

o Misalkan M adalah himpunan dari hari-hari dalam seminggu, maka M dikatakan

berhingga.

o Misalkan N = {2, 4, 6, 8, …}, maka N himpunan tak berhingga.

o Misalkan P = {x | x adalah orang di bumi}, maka P himpunan berhingga.

2.1.8. Kesamaan himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika kedua himpunan tersebut memiliki

anggota yang sama. Kesamaan himpunan A dan B dinotasikan dengan A = B.’

Contoh 2.8

o Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 3, 2, 1}, maka A = B.

o Misalkan E = {x | x2 –3x = – 2} dan F = {2, 1}, maka E = F.

2.1.9. Himpunan kosong

Suatu himpunan disebut kosong bila himpunan tersebut tidak mengandung atau tidak mempunyai

anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan { } atau .


Januari 2008

29

Contoh 2.9

o Misalkan B = {x | x2=16, x bilangan ganjil}, maka B = .

o Misalkan D adalah himpunan bilangan asli antara 4 dan 5, maka D = { }.

2.1.10. Himpunan bagian (subset) dan himpunan kuasa (power set)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota dari himpunan A

merupakan anggota dari himpunan B. Jika A subset dari B, maka dinotasikan dengan A B,

jika A tidak subset B, maka dinotasikan dengan A B.

Catatan:

o Himpunan kosong merupakan subset dari semua himpunan.

o Jika A B, maka ada sekurang-kurangnya satu elemen dari himpunan A yang bukan

elemen dari himpunan B.

o Jika A subset dari B, maka dapat ditulis dengan B A (dibaca B superset dari A)

o Dua himpunan A dan B adalah sama, yaitu A = B, jika dan hanya jika A B dan B

A.

Himpunan A dikatakan proper subset (himpunan bagian sebenarnya) dari himpunan B, jika:

a. A subset dari B, A B

b. A tidak sama dengan B , A B

Contoh 2.10

Jika A = {1, 3, 5}, B = {6, 5, 4, 3, 2, 1} dan C = {1, 4, 5, 6}, maka A B, C B dan A C.

Himpunan kuasa atau power set dari sebuah himpunan A adalah kumpulan semua himpunan

bagian dari himpunan A. Himpunan kuasa dari himpunan A dinotasikan dengan 2A. Jika banyak

anggota himpunan A adalah n, maka banyaknya anggota power set dari himpunan A adalah 2n.

Contoh 2.11

Power set dari himpunan A = {1, 3, 6} adalah himpunan {, {1}, {3}, {6}, {1, 3}, {1, 6}, {3,

6}, A} yang mempunyai banyak anggota 23=8.

2.1.11. Himpunan semesta


Januari 2008

30

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan.

Himpunan semesta dinyatakan dengan notasi “S” atau “U”.

Contoh 2.12

Jika A = {2, 3, 5}, maka himpunan semesta yang mungkin dari A adalah :

o S = {1, 2, 3, 4, 5}

o S = {2, 3, 4, 5}

o S = himpunan bilangan asli

o S = himpunan bilangan prima

2.1.12. Diagram venn

Diagram venn adalah diagram yang menunjukkan hubungan antara dua himpunan atau lebih

dalam himpunan semesta.

Contoh 2.13

o Misalkan S = {2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}

Diagram venn yang menggambarkan

himpunan-himpunan di atas adalah :

o Misalkan

S = himpunan bilangan asli kurang dari 14

P = himpunan bilangan asli antara 2 dan 7

Q = himpunan bilangan genap antara 4 dan 13

Diagram venn yang menggambarkan

himpunan-himpunan di atas adalah :

2.1.13. Irisan dan gabungan dua himpunan

Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota yang menjadi anggota A dan

sekaligus anggota B. Irisan antara himpunan A dan B biasa dinotasikan dengan A B.


Januari 2008

31

Contoh 2.14

Misalkan diketahui

S = himpunan bilangan cacah

A = himpunan bilangan prima yang kurang dari 10

B = himpunan bilangan ganjil yang kurang dari 10

Maka

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

A = {2, 3, 5, 7}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

A B = {3, 5, 7}

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen yang menjadi anggota

himpunan A saja atau himpunan B saja atau anggota himpunan A dan himpunan B. Gabungan

antara himpunan A dan B dinotasikan dengan A B.

Contoh 2.15

Misalkan diketahui

S = himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = himpunan bilangan prima yang kurang dari 10

B = himpunan bilangan genap yang kurang dari 10

Maka

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {2, 3, 5, 7}

B = {2, 4, 6, 8}

A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7 8}

2.1.14. Selisih dua himpunan

Selisih antara himpunan A dan B disimbolkan dengan A – B, yang merupakan himpunan yang

terdiri dari anggota-anggota himpunan A namun tidak merupakan anggota himpunan B. Jika

ditulis dalam set-builder form sebagai berikut

A – B = { x | x A dan x B }


Januari 2008

32

Contoh 2.16

Misalkan A = { 2, 4, 7, 9} dan B = { 1, 5, 7, 11, 13}, maka:

o A – B = { 2, 4, 9}

o B – A = { 1, 2, 11, 13}

2.1.15. Beda simetris dua himpunan

Beda simetris antara himpunan A dan B disimbolkan dengan AB dengan definisi:

AB = (A B) – (A B)

Beda simetris ini juga biasa disimbolkan dengan A + B.

Contoh 2.17

Misalkan A = { 2, 4, 7, 9} dan B = { 1, 5, 7, 11, 13}, maka:

A B = (A B) – (A B)

= {1, 2, 4, 7, 9, 11, 13} – {7}

= {1, 2, 4, 9, 11, 13}

2.1.16. Himpunan saling lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan himpunan yang saling lepas bilamana himpunan A dan

himpunan B tidak mempunyai anggota yang bersekutuan. Ilustrasi dalam diagram venn nya

sebagai berikut:

2.1.17. Himpunan tidak saling lepas


Januari 2008

33

SB

A

Dua himpunan A dan B dikatakan himpunan yang tidak saling lepas bilamana:

a. Salah satu himpunan merupakan himpunan bagian dari yang lain.

b. Kedua himpunan tersebut mempunyai irisan.

2.1.18. Himpunan ekuivalen

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah

anggota yang sama. Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B dinotasikan dengan A B.

Contoh 2.18

Diketahui

P = {huruf vokal dalam huruf abjad}

Q = {bilangan asli yang kurang dari 6}

Sehingga

P = {a, i, u, e, o}, n(P)=5

Q = {1, 2, 3, 4, 5}, n(Q)=5

Jadi n(P) = n(Q) atau P Q.

2.1.19. Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan

Untuk menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan kita lihat ilustrasi gambar

diagram venn di bawah ini:


Januari 2008

34

S

B

A SB

A

S

c

B

a b

A

Misalkan a, b dan c berurutan menggambarkan banyaknya anggota tiap daerah. Sehingga :

n(A) = a + b

n(B) = b + c

n(AB) = b

n(AB) = a + b + c = a + b + b + c – b = n(A) + n(B) – n(AB)

2.1.20. Komplemen suatu himpunan

Kompelemen dari suatu himpunan A adalah sebuah himpunan yang terdiri dari anggota-anggota

yang bukan merupakan anggota himpunan A namun masih merupakan anggota dari himpunan

semesta. Komplemen himpunan A dinotasikan dengan AC. Ilustrasi komplemen suatu himpunan

diperlihatkan pada diagram venn berikut:

Contoh 2.19

Misalkan S = {a, b, c, d, e, f} dan A = {a, e, f}, maka AC = {b, c, d}

2.1.21. Sifat-sifat operasi himpunan

Operasi dasar pada himpunan secara umum terdiri atas dua operasi, yaitu operasi irisan dan

operasi gabungan. Sifat-sifat yang ada pada operasi-operasi tersebut adalah:

a. Sifat komutatif


Januari 2008

35

Sifat komutatif berlaku pada operasi irisan dan gabungan dua himpunan.

Sifat komutatif pada operasi irisan dua himpunan adalah : A B = B A. Ilustrasi untuk

sifat komutatif irisan dua himpunan sebagai berikut:

Gabungan dua himpunan

Sifat komutatif pada operasi gabungan dua himpunan adalah : A B = B A. Ilustrasi

untuk sifat komutatif irisan dua himpunan sebagai berikut:

b. Sifat asosiatif

Sifat asosiatif berlaku pada operasi irisan dan gabungan tiga himpunan.

Irisan tiga himpunan

Sifat asositatif pada irisan tiga himpunan adalah : (A B) C = A (B C). Ilustrasi

untuk sifat asosiatif irisan tiga himpunan sebagai berikut:


Januari 2008

36

Gabungan tiga himpunan

Sifat asositatif pada gabungan tiga himpunan adalah : (A B) C = A (B C).

Ilustrasi untuk sifat asosiatif gabungan tiga himpunan sebagai berikut:

c. Sifat distributif

Sifat distributif pada himpunan dibagi menjadi dua bagian, yaitu:

Irisan terhadap gabungan himpunan

Sifat distributif irisan terhadap gabungan himpunan adalah: A (B C) = (A B) (A

C). Ilustrasi untuk sifat distributif irisan terhadap gabungan himpunan sebagai berikut:

Gabungan terhadap irisan himpunan


Januari 2008

37

Sifat distributif gabungan terhadap irisan himpunan adalah: A (B C) = (A B)

(A C). Ilustrasi untuk sifat distributif gabungan terhadap irisan himpunan sebagai

berikut:

d. Hukum de Morgan

Sifat-sifat yang berhubungan dengan komplemen himpunan, gabungan dan irisan dua

himpunan dinamakan hokum de Morgan. Hukum de Morgan adalah sifat-sifat berikut ini:

(A B)C = AC BC

(A B)C = AC BC

e. Sifat-sifat pada himpunan kosong dan semesta

Sifat-sifat yang berhubungan dengan himpunan kosong dan himpunan semesta adalah:

A = A

S A = A

A =

S A = S


Januari 2008

38

f. Sifat-sifat pada komplemen himpunan

Sifat-sifat yang berhubungan dengan komplemen himpunan adalah:

(AC)C = A

A AC = S

A AC =

Problem Set HIMPUNAN

1. Diketahui: A – B = {1, 5, 7, 8}, B – A = {2, 10}, AB = {3, 6, 9}, tentukan: A, B, AB,

AB

2. Diketahui:

a. S = {1, 2, …, 10},

b. A = {1, 4, 7, 10},

c. B = {1, 2, 3, 4, 5}, dan

d. C = {2, 4, 6, 8}.

Tentukan: A (B C), Bc (C – A), (A B)c C, (B Δ C) (A C)

3. Bila diketahui X = {1, 2, 3, 4} dan Y = { a | a bilangan bulat dan 0 < a < 5 } maka akan

berlaku hubungan sebagai berikut :

a. X Y

b. Y X

c. X = Y

4. Herr-McFee adalah sebuah perusahaan yang memproduksi batangan balok untuk mainan.

Sebelum dikirim ke konsumen, setiap batangan yang diproduksi harus diperiksa dengan sinar

X. Dari hasil pemeriksaan terhadap 1000 batangan terdapat 10 yang desainnya rusak, 8 yang


Januari 2008

39

casingnya rusak dan 5 mengalami kerusakan baik dari desain maupun casingnya. Berapa

banyak batangan balok yang mengalami kerusakan?

5. Misalkan sebuah keluarga hendak berkemah di suatu bumi perkemahan. Misalkan M

adalah kejadian mereka mendapat kesulitan mekanis pada kemahnya, T adalah kejadian

mereka terkena denda pelanggaran lalu lintas, dan V adalah kejadian bahwa mereka sampai

di bumi perkemahan dan ternyata tidak ada tempat yang kosong. Dengan melihat diagram

Venn pada gambar di bawah ini, manakah daerah-daerah yang yang menyatakan kejadian-

kejadian berikut ini:

a. Keluarga itu tidak mengalami kesulitan mekanis pada kemahnya

dan tidak melanggar lalu lintas, tetapi bumi perkemahan telah penuh.

b. Keluarga itu mengalami kesulitan mekanis pada kemahnya dan

mendapatkan bumi perkemahan telah penuh, tetapi tidak melanggar lalu lintas.

c. Keluarga itu mengalami kesulitan mekanis pada kemahnya atau

mendapatkan bumi perkemahan sudah penuh tetapi tidak melanggar lalu lintas.

6. Dari 40 orang, 28 orang suka pisang dan 16 orang suka apel, sedangkan terdapat 10 orang

yang suka kedua-duanya. Berapa orang yang tidak suka apel dan pisang?

7. Pandang himpuna berikut ini:

A={2, 4, 6, …, 57}

a. Berapa banyak anggota dari A ?

b. Berapa banyak yang habis dibagi 3 ?

c. Berapa banyak yang habis dibagi 5 ?

d. Berapa banyak yang habis dibagi 15 ?

e. Berapa banyak yang habis dibagi 3 atau 5 atau kedua-duanya ?

f. Berapa banyak yang tidak habis dibagi 3 maupun 5 ?

g. Berapa banyak yang habis tepat hanya 3 atau 5 ?


Januari 2008

40

8. Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 1000 yang tidak mempunyai factor prima yang

sama dengan bilangan 1000 ?

9. Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 600 yang tidak habis dibagi 3 maupun 5 maupun

7 ?

10. Di dalam sebuah grup terdapat 30 orang, 8 orang bisa berbahasa Inggris, 12 orang bisa

berbahasa Spanyol dan 10 orang bisa berbahasa Perancis. Diketahui bahwa 5 orang bisa

berbahasa Inggris dan Spanyol, 5 orang bisa berbahasa Spanyol dan Perancis dan 7 orang

bisa berbahasa Inggris dan Perancis. Sedangkan yang bias berbahasa ketiga-tiganya sebanyak

3 orang. Berapa banyak yang hanya bisa berbahasa Indonesia ?

11. Apakah kamu percaya, sebuah toko mengadakan survey dengan hasil sebagai berikut: dari

1000 orang, terdapat 816 suka coklat, 723 suka es krim, 645 suka kue, 562 suka coklat dan es

krim, 463 suka coklat dan kue, 470 suka es krim dan kue serta terdapat 310 orang yang suka

ketiga-tiganya ?

12. Sebuah perusahaan asuransi mempunyai 10.000 klien dengan klasifikasi sebagai berikut:

a. Muda atau tua

b. Pria tau Wanita

c. Sudah menikah atau belum menikah

Dari 10.000 klien tersebut, terdapat 3000 yang muda, 4600 pria dan 7000 yang sudah

menikah. Kemudian terdapat pula 1320 pria muda, 3010 pria menikah serta 1400 yang muda

dan sudah menikah. Terakhir 600 pria muda dan sudah menikah. Berapa banyak klien

perusahaan tersebut yang muda, wanita dan belum menikah ?

13. Di dalam sebuah kelas yang terdiri dari 40 siswa, 14 di antaranya sika matematika, 16

suka biologi dan 11 suka fisika. Diketahui pula 7 siswa suka matematika dan biologi, 8 suka

biologi dan fisika, 5 suka matematika dan fisika sedangkan yang suka ketiga-tiganya

sebanyak 4 siswa. Berapa banyak siswa yang tidak suka matematika atau tidak suka biologi

atau tidak suka fisika ?

14. Berapa banyak bilangan bulat di antara 1 dan 3012 yang habis dibagi 5 atau 7 tetapi tidak

habis dibagi kedua-duanya?

15. Berapa banyak bilangan bulat di antara 1 dan 49000 yang tidak habis dibagi 3, 5 atau 7 ?


Januari 2008

41

16. Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 1000000 yang bukan bilangan kuadrat sempurna,

bukan bilangan kubik maupun bukan bilangan pangkat empat?

17. Di dalam sebuah grup terdapat tes pelajaran bahasa Perancis, bahasa Inggris dan matematika.

92 orang ikut tes bahasa Perancis, 72 orang ikut tes bahsa Inggris dan 63 orang ikut tes

matematika. Diketahui bahwa tidak lebih dari 65 orang ikut tes bahasa Perancis dan Inggris,

tidak lebih dari 54 orang ikut tes bahasa Perancis dan Matematika serta tidak lebih dari 48

ikut tes bahasa Inggris dan Matematika. Tentukan jumlah orang terbanyak yang mungkin

mengikuti seluruh tes tersebut ?

2.2. PERSAMAAN KUADRAT

Materi kali ini akan membahas mengenai sebuah persamaan polynomial khususnya derajat dua

yang lebih umum dikenal dengan persamaan kuadrat. Sebuah persamaan polynomial derajat

didefinisikan sebagai berikut:

dimana ai R, i=0, …, n dan n bilangan asli.

Di akhir materi ini sedikit diperkenalkan hubungan akar-akar persamaan polynomial derajat n

dengan koefisien-koefisien persamaan polynomialnya.

2.2.1. Bentuk umum

Sebuah persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polynomial derajat dua yang mempunyai

bentuk umum sebagai berikut:

dimana a, b dan c bilangan-bilangan real.

2.2.2. Penyelesaian persamaan kuadrat


Januari 2008

42

Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat biasa dinotasikan dengan x1 dan x2. Nilai-nilai x

tersebut sering disebut akar-akar persamaan kuadrat atau penyelesaian/solusi persamaan kuadrat.

a. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat

Definisi diskriminan:

Jika diberikan persamaan kuadrat , maka diskriminan dari persamaan kuadrat

tersebut adalah:

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat dilihat berdasarkan nilai dari diskriminan D yang

dikelompokkan menjadi 3 jenis, yaitu:

1. Akar-akar real berbeda (x1 x2)

Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar real berbeda x1 x2 jika nilai diskriminan D

positif (D > 0).

2. Akar real sama/kembar (x1 = x2)

Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar kembar x1 = x2, jika nilai diskriminan D nol ( D =

0 ).

3. Akar-akar kompleks

Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar kompleks x1,2 = p qi ( ) jika nilai

diskriminan D negatif (D < 0). Bilangan yang berbentuk seperti ini disebut bilangan kompleks.

b. Solusi persamaan kuadrat

Untuk mencari solusi atau penyelesaian persamaan kuadrat dapat melalui berbagai macam cara:

1. Faktorisasi


Januari 2008

43

Faktorisasi adalah langkah pertama yang dapat kita lakukan untuk mencari akar-akar persamaan

kuadrat. Namun tidak semua persamaan kuadrat dengan mudah kita faktorkan. Ada dua hal yang

menyebabkan kita sulit memfaktorkan. Hal yang pertama adalah berkenaan dengan keahlian kita

memfaktorkan, sedangkan yang kedua berkenaan dengan akar-akar yang tidak mudah

difaktorkan (akar-akar irrasional atau akar-akar kompleks).

Ada beberapa tipe persamaan kuadrat yang mudah kita faktorkan, yaitu:

o Bentuk

Bentuk dapat kita faktorkan apabila a bernilai positif dan c bernilai negatif atau

sebaliknya.

Contoh 2.20

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat:

Penyelesaian

Perhatikan bahwa , sehingga kita peroleh:

akhirnya himpunan penyelesaiannya =

Namun jika a bernilai positif dan c bernilai positif (atau a<0 dan c<0), maka kita tidak dapat

memfaktorkan, tapi kita masih bisa menyelesaikannya dengan cepat dan mudah dengan cara:

dan akar-akar yang kita peroleh adalah akar-akar kompleks.


Januari 2008

44

Contoh 2.21


Penyelesaian

Perhatikan bahwa

akhirnya himpunan penyelesaiannya =

o Bentuk

Bentuk ini sangat mudah juga difaktorkan, dengan menggunakan sifat distributive sehingga

diperoleh . Bentuk ini selalu mempunyai nilai akar salah satunya yaitu x =

0.

Contoh 2.22


Penyelesaian

Perhatikan bahwa sehingga diperoleh atau . Akhirnya

diperoleh akar-akarnya, yaitu atau .

Himpunan penyelesaian =

o Bentuk


Januari 2008

45

Bila bentuk mempunyai akar-akar rasional, maka bentuk ini dapat difaktorkan

menjadi bentuk dengan dan .

Contoh 2.23


Penyelesaian

Perhatikan bahwa 15 = 35 dan 8 =3+5, sehingga persamaan dapat difaktorkan

menjadi sehingga diperoleh atau . Akhirnya diperoleh akar-

akarnya, yaitu: atau .


o Bentuk

Bila bentuk mempunyai akar-akar rasional, maka bentuk ini dapat difaktorkan

menjadi bentuk dengan dan .

Contoh 2.24


Penyelesaian

Perhatikan bahwa 3 (–4) = –12 = –6 2 dan –4 = –6 + 2, sehingga persamaan

dapat difaktorkan menjadi sehingga dengan mengalikan

setiap ruasnya dengan 3 akan diperoleh atau . Akhirnya diperoleh akar-

akarnya, yaitu: atau .



Januari 2008

46

2. Kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat dapat diubah ke bentuk , berdasarkan langkah-

langkah berikut ini:

o Koefisien x2 dibuat menjadi 1 dengan membagi kedua ruas

persamaan dengan a, sehingga diperoleh:

o Selanjutnya persamaan di atas diubah menjadi:

o Ubah persamaan di atas ke bentuk kuadarat sempurna dengan cara:

kemudian selesaikan persamaan terakhir dengan cara menarik akar dari ruas kanannya dan

seterusnya.

3. Rumus abc


Januari 2008

47

Rumus abc sebenarnya adalah bentuk akhir dari cara kuadrat sempurna di atas dan merupakan

alternative terakhir jika kita sulit memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut. Rumus abc ditulis

sebagai berikut:

atau

dimana D : nilai diskriminan = b2 –4ac.

2.2.3. Hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien persamaan

kuadrat

Hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien dapat dilehat sebagi berikut:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat atau , maka

persamaan tersebut sama dengan persamaan . Sehingga

diperoleh hubungan

o

o

Contoh 2.25

Tentukan nilai x1 + x2 dan x1x2, jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat:

Penyelesaian

o

o

2.2.4. Menyusun persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya x1 dan x2 dapat ditentukan dengan bentuk persamaan:

Contoh 2.26


Januari 2008

48

Jika x1= –5 dan x2=8 adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, maka tentukanlah persamaan

kuadrat tersebut:

Penyelesaian

Perhatikan bahwa:

o

o

maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah:

2.2.5. Persamaan Polinomial Derajat n

Pandang persamaan polynomial derajat n berikut ini:

Jika x1, x2, …, xn adalah akar-akar persamaan polynomial derajat n tersebut, maka akan diperoleh

hubungan sebagai berikut:

o

o

o

Contoh 2.27

Tentukan nilai x1+x2+ x3, x1x2+ x1x3+ x2x3 dan x1x2x3, jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar dari suatu

persamaan polynomial derajat 3 berikut:

Penyelesaian

Perhatikan bahwa:

o

o

o


Januari 2008

49

Problem Set

1. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah satu lebih kecil dari 3 kali

akar-akar persamaan kuadrat . Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

adalah a dan b!

2. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat sama dengan jumlah

pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat . Tentukan nilai p !

3. Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah a dan b, tentukan

4. Jika m dan n adalah bilangan bulat sedemikian sehingga .

Tentukan !

5. Jika akar positif dari persamaan kuadrat dikalikan p maka hasil kalinya

sama dengan akar negatif dari persamaan itu. Tentukan nilai p !

6. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat dan

berlaku hubungan , tentukan nilai p !

2.3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Materi kali ini salah satu materi yang penting untuk dipahami, karena banyak soal matematika

yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara

model-model tersebut bisa merupakan suatu sistem persamaan linear atau sistem persamaan non

linear.

Definisi persamaan linear

Persamaan linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat (berpangkat)

satu.

Bentuk umum persamaan linear

Bentuk umum dari sebuah persamaan linear adalah:


Januari 2008

50

ax = c (1 variabel)

ax + by = c (2 variabel)

ax + by + cz = d (3 variabel)

dimana a, b, c dan d konstanta.

Contoh 2.28

Contoh persamaan linear 1 , 2 dan 3 variabel adalah:

2x = 6

x + 5y = 10

2x + 6y = 4

x + 2y – z = 2

Penyelesaian (solusi) persamaan linear

Penyelesaian (solusi) persamaan linear ialah penentuan nilai dari setiap variabel yang memenuhi

persamaan tersebut dengan memperhatikan domain atau daerah asalnya.

Contoh 2.29

Jika diberikan domain ialah himpunan bilangan bulat, maka

1. 2x = 6 hanya mempunyai satu solusi, yaitu: x = 3.

2. x + 5y = 10 mempunyai banyak solusi, yaitu : (x, y) = (0, 2) atau (10, 0) atau (–10

, 4) atau (20, –2) dan lain-lain.

3. 2x + 6y = 4 mempunyai banyak solusi, yaitu : (x, y) = (2, 0) atau (–7, 3) atau (–

10, 4) atau (8, –2) dan lain-lain.

Definisi sistem persamaan linear (SPL)

Sistem persamaan linear ialah kumpulan dari persamaan-persamaan linear yang saling

berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu.

2.3.1. Bentuk umum sistem persamaan linear

SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:


Januari 2008

51

SPL dengan 3 variabel dari 3 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

Contoh 2.30

o SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan

o SPL dengan 3 variabel dari 3 persamaan

2.3.2. Penyelesaian (solusi) SPL

Penyelesaian SPL dapat dilakukan dengan berbagai macam cara, yaitu: substitusi, eliminasi,

metode cramer, eliminasi Gauss, eliminasi Gasuss-Jordan dan berbagai macam cara lain dengan

himpunan penyelesaiannya adalah { (x , y) }, dimana (x, y) merupakan pasangan terurut dari

variabel-variabel pada SPL dengan 2 variabel.

Namun metode penyelesaian yang kita pelajari sekarang adalah metode substitusi, eliminasi dan

cramer.

a. Metode eliminasi

Metode eliminasi adalah salah satu metode yang sederhana, yaitu dengan cara

menghilangkan suatu atau beberapa variabel dari semua persamaan yang lain, sehingga

diperoleh nilai dari variabel yang kita inginkan. Setelah itu mensubstitusikan nilai variabel

yang telah kita peroleh tersebut ke dalam persamaan-persamaan lain sehingga diperoleh nilai

variabel-variabel lainnya.

Contoh 2.31


Januari 2008

52

Diketahui SPL berikut

Tentukanlah solusinya !

Penyelesaian

SPL yang diberikan sama dengan SPL berikut ini:

Dengan mengeliminasi kedua persamaan linear tersebut, akan diperoleh ,

sehingga diperoleh . Selanjutnya substitusikan nilai ke dalam salah satu

persamaan linear yang ada, sehingga diperoleh:

Jadi himpunan penyelesaiannya ialah { (x, y)=( –10 , 4) }

b. Metode substitusi

Metode sustitusi adalah salah satu metode lain yang sangat sederhana. Prinsip yang dilakukan

metode ini adalah dari salah satu persamaan linear kita buat nilai eksplisit salah satu

variabelnya terhadap variabel lainnya. Kemudian susbtitusi nilai eksplisit variabel yang

didapat ke dalam persamaan linear yang lainnya, sehingga diperoleh nilai variabel yang

diinginkan.

Contoh 2.32



Penyelesaian


Januari 2008

53

Dari persamaan linear kita peroleh nilai eksplisit variabel x, yaitu: .

Kemudian substitusi variabel ke dalam persamaan linear sehingga

diperoleh:

Selanjutnya substitusi nilai ke dalam persamaan , sehingga diperoleh nilai

x, yaitu

Jadi himpunan penyelesaiannya ialah { (x, y)=(5, –1)}

c. Metode cramer

Pada bagian ini akan diperkenalkan metode lain dalam mengerjakan SPL, yaitu metode

cramer.

Misalkan diberikan sebuah SPL 2 variabel dari 2 persamaan sebagai berikut:

dimana , maka solusi x dan y dari SPL di atas adalah:

o

Contoh 2.33



Penyelesaian


Januari 2008

54

o

o

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah:

2.4. Sistem Persamaan Non Linear (SPNL)

Definisi persamaan non linear

Persamaan non linear adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat tidak

sama dengan satu atau mengandung nilai fungsi non linear, seperti log, sin dan lain sebagainya.

Contoh 2.34

Contoh persamaan non linear 1 , 2 dan 3 variabel adalah:

2x2 = 6

x2 + 5y = 10

2xy + 6y = 4 log (x)

x + 2y1/2 – z = 2x2

Definisi sistem persamaan non linear (SPNL)

Suatu sistem persamaan non linear adalah kumpulan dari beberapa persamaan non linear

yang saling berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu.

Contoh 2.35

o SPNL dengan 2 variabel dari 2 persamaan

a.

b.

o SPNL dengan 3 variabel dari 3 persamaan


Januari 2008

55

a.

b.

2.4.1. Penyelesaian (solusi) SPNL

Di dalam mencari solusi SPNL tidak ada metode yang baku, namun kita bisa mencoba dengan

pemisalan variabel, substitusi atau eliminasi.

Contoh 2.36

Tentukan solusi dari sistem berikut ini:

Penyelesaian

Dengan pemisalan suatu variabel baru dan akan diperoleh sistem persamaan linear

derajat dua, yaitu:

yang jika kita mencari solusinya akan diperoleh dan , sehingga dan

.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :

Problem Set

1. Tentukanlah solusi dari SPL berikut


Januari 2008

56

2. Tentukanlah solusi dari SPL berikut

3. Seorang nenek mempunyai beberapa orang cucu yang cantik dan beberapa balon.lalu balon

itu dibagikan kepada cucu-cucunya. Jika setiap cucu mendapat masing-masing tujuh balon

maka balon akan tersisa empat. Tetapi jika masing-masing cucu mendapat 8 balon maka

balon nenek tidak tersisa. Berapakah banyaknya balon dan banyaknya cucu nenek tersebut ?

4. Bila jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka carilah kedua bilangan

tersebut !

5. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya tujuh kali jumlah angka-angkanya. Bila

kedua angka dipertukarkan, diperoleh bilangan baru yang nilainya 18 lebih dari jumlah

angka-angkanya. Bilangan manakah itu ?

6. Terdapat sebuah bilangan dua angka, yang jika susunannya dibalik maka selisih dari bilangan

semula dan bilangan baru ialah 18. Berapakah bilangan dua angka terbesar yang memenuhi

kondisi tersebut ?

7. Tiga ekor ikan bertelur. Dari semua telurnya yang meneter 1400 ekor. Ikan A bertelur

sebanyak dua kali jumlah telur ikan B, dan ikan B bertelur sebanyak dua kali jumlah telur

ikan C. Berapa prosen (%) jumlah telur ikan A dan ikan B yang menetas dari jumlah seluruh

telur yang menetas ?

8. Jumlah dari tiga bilangan ialah 26. Jika jumlah dari tiga kali bilangan kedua dan empat kali

bilangan ketiga ialah 45. sedangkan jumlah dari bilangan kedua dan tiga kali bilangan ketiga

ditambah empat kali bilangan pertama ialah 77, maka berapakah bilangan ketiganya?

9. Suatu kelompok terdiri dari empat anak. Berat rata-rata anak pertama dan kedua ialah 55

kg. Rata-rata berat anak kedua dan ketiga ialah 70. Rata-rata berat anak ketiga dan keempat

ialah 75. Berapakah rata-rata berat anak pertama dan keempat ?

10. Bila , maka hitunglah nilai a dan b.

2.5. POLA BILANGAN


Januari 2008

57

Salah satu hal penting di dalam matematika adalah mempelajari pola. Jika diketahui beberapa

bilangan, maka kita ingin mengetahui kelanjutan dari bilangan tersebut. Langkah pertama adalah

menyelidiki tentang perilaku bilangan tersebut dan kemudian kita mencoba melanjutkan pola

bilangan tersebut. Penyelidikan ini dilakukan dengan menggunakan operasi bilangan yang ada,

yaitu penjumlahan dan perkalian.

2.5.1. Barisan (pola) bilangan

Pola

Dengan bantuan pola kita dapat menentukan nilai bilangan tertentu.

Contoh 2.37

Tentukan angka satuan dari 72004

Penyelesaian

Untuk menentukan angka satuan ini, tentu kita tidak perlu untuk menghitung nilai sebenarnya.

Pertama, kita hitung 7n dengan n cukup kecil, yaitu

71 = 7

72 = 49 angka satuan 9

73 = …3 angka satuan 3

74 = …1 angka satuan 1

Jika kita lakukan terus, maka

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Angka satuan 7 9 3 1 7 9 3 …

Berdasarkan hasil perhitungan ini kita menduga bahwa angka satuan tersebut adalah 7, 9, 3, 1

dan terus berulang. Perhatikan bahwa 74, 78, 712, … atau 74k dengan k bilangan asli selalu berakhir

dengan 1. Khususnya, karena 2004 = 4 501 maka angka satuan 72004 adalah 1.

Angka satuan dari 7n dapat ditentukan serupa. Misalkan 72005, karena 72004 mempunyai angka

satuan 1, maka angka satuan 72005 adalah 7.

Secara umum, jika diketahui data bilangan berikut


Januari 2008

58

3, 7, 11, 15, …

pola yang ada tidak tampak langsung. Kita akan mencoba menyelidiki pola bilangan ini dengan

berbagai cara. Sebagai perjanjian, tuliskan un sebagai bilangan ke n. Dengan demikian

u1 = 3

u2 = 7

u3 = 11

dan seterusnya.

Langkah pertama untuk menyelidiki hal ini adalah membandingkan dua bilangan tersebut. Ada

dua cara membandingkan, yaitu dengan menggunakan operasi penjumlahan atau perkalian.

Mulai dengan data bilangan

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku 3 7 11 15 19 … … …

Kita cari hasil bagi antara dua suku berurutan, yaitu

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku 3 7 11 15 19 … … …

Hasil bagi ?

Hasil bagi tersebut adalah nilai dari . Dalam hal ini kita tidak memperoleh suatu

pola yang mudah dikenali.

Langkah kedua adalah mencari selisih (lawan operasi penjumlahan), yaitu

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku 3 7 11 15 19 … … …

Selisih 4 4 4 4 ?


Januari 2008

59

Selisih yang dihitung adalah u2 – u1, u3 – u2, u4 – u3, u5 – u4, …. Dalam hal ini kita memperoleh

suatu pola yang mudah dikenali yaitu selalu bernilai 4. Dengan demikian, kita mencoba

menyimpulkan bahwa pola yang terjadi adalah selisih tersebut selalu sama dengan 4.

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku 3 7 11 15 19 … … …

Selisih 4 4 4 4 4 4 …

Persoalannya sekarang adalah menentukan besarnya suku berikutnya. Untuk suku ke 6 dengan

mudah diisi, karena u6 – u5= 4

maka u6 = 4 + u5 = 4 + 19 = 23. Demikian pula suku ke 7, 8, … mudah dicari.

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku 3 7 11 15 19 23 27 …

Selisih 4 4 4 4 4 4 …

Jika ditanya tentang nilai suku besar, misalkan ke 100, kita dapat melakukan hal di atas sampai

seratus kali. Tetapi kita ingin melakukan ini dengan lebih cerdik. Kita tahu bahwa

u2 – u1 = 4

u3 – u2 = 4

u4 – u3 = 4

Jika kita jumlahkan, maka ruas kiri menjadi

(u2 – u1) + (u3 – u2) + (u4 – u3) = 4 + 4 + 4

u4 – u1 = 3 4

Perhatikan bahwa di ruas kiri beberapa suku saling menghapuskan.

(u2 – u1) + (u3 – u2) + (u4 – u3) = 4 + 4 + 4 = 3 4

Dengan cara ini kita dapat menentukan suku ke 100, 1000 atau sebarang nomor suku lainnya.

Bagi pembaca yang sudah mengenal tentang barisan hasil yang dijumpai di sini tidak


Januari 2008

60

mengejutkan. Tetapi teknik yang dipakai memberikan cara untuk mencari suku ke n barisan yang

lain.

Contoh 2.38

Diketahui barisan bilangan –5, –2, 1, 4, 7, …

a. Tentukan suku ke 100.

b. Tentukan suku ke n.

Penyelesaian

Pertama, kita selidiki perbedaan atau selisih antara dua suku berturutan. Dalam hal ini

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku –5 –2 1 4 7 … … …

Selisih 3 3 3 3 ?

a. Berdasarkan perhitungan di awal ini kita menduga bahwa pola barisan adalah selisih yang

tetap, yaitu sebesar 3. Untuk mencari suku ke 100, kita lakukan perhitungan berikut

u2 – u1 = 3

u3 – u2 = 3

u100 – u99 = 3

Jumlah 99 persamaan tersebut menghasilkan

u100 – u1 = 99 3

Jadi u100 = u1 + 99 3 atau u100 = –5 + 99 3.

b. Untuk mencari suku ke n, kita lakukan serupa. Yaitu

u2 – u1 = 3

u3 – u2 = 3

un – un –1 = 3

Kita jumlahkan (n–1) persamaan tersebut, menghasilkan

un – u1 = (n – 1)3


Januari 2008

61

Jadi

un = u1 + (n – 1)3

= –5 + (n – 1)3

= 3n – 8

Pola yang memiliki beda/selisih yang tetap ini biasa dinamakan barisan aritmatika.

a. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan yang mempunyai ciri yang khusus yaitu

selisih dari setiap sepasang barisan yang berurutan mempunyai nilai yang tetap. Secara

simbol matematika adalah sebagai berikut:

Jika adalah sebuah barisan bilangan yang mempunyai sifat

, maka rumus suku ke-n dapat ditentukan sebagai berikut:

Selain dengan pola selisih (operasi penjumlahan), seringkali membandingkan dua bilangan

dengan operasi pembagian menjadi lebih mudah. Sebagai contoh, misalkan pada masalah

menyimpan uang di bank. Misalkan pada awal tahun pertama kita menyimpan uang sebesar 1000

rupiah dan mendapat bunga sebesar 10% per tahun. Pada akhir tahun pertama, kita mendapat

bunga sebesar

Jika uang tersebut tetap disimpan di bank, maka jumlah uang pada akhir tahun pertama atau pada

awal tahun kedua adalah sebesar

1000 + 100 = 1100

Dengan cara yang sama, kita dapat mencari besar bunga pada tahun kedua, yaitu sebesar

Sedangkan jumlah uang pada akhir tahun kedua atau awal tahun ketiga sebesar


Januari 2008

62

1100 + 110 = 1210

Demikian seterusnya, akan diperoleh bilangan

1000; 1100; 1210; 1331; 1464; …

Perhatikan bahwa hasil bagi dua bilangan berturutan selalu tetap.

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku 1000 1100 1210 1331 1464 … … …

Hasil bagi 1,1 1,1 1,1 1,1 ?

Pola yang memiliki rasio/perbandingan yang tetap ini biasa dinamakan barisan geometri.

b. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah sebuah barisan bilangan yang mempunyai ciri yang khusus yaitu

perbandingan dari setiap sepasang barisan yang berurutan mempunyai nilai yang tetap.

Secara simbol matematika adalah sebagai berikut:

Jika adalah sebuah barisan bilangan yang mempunyai sifat

, maka rumus suku ke-n dapat ditentukan sebagai berikut:

c. Pola Bilangan Order 2 dan Lebih

Perhatikan barisan bilangan –1, 0, 3, 8, 15, 24, …

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …


Januari 2008

63

Besar suku –1 0 3 8 15 24 … …

Selisih 1 3 5 7 9

Selisih kedua 2 2 2 2 ? ? ?

Selisih antara dua bilangan memberikan barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, …. Barisan ini tidak

memperlihatkan aturan yang mudah dikenali. Tetapi selisih antara dua bilangan berturutan

adalah 2, 2, 2, 2, …. Berdasarkan hasil ini kita menduga bahwa barisan yang terakhir ini akan

terus sama dengan dua.

Kita dapat menggunakan teknik yang terdahulu. Sekarang kita akan mempelajari teknik lain.

Jika barisan semula ditulis sebagai

u1 = –1, u2 = 0, u3 = 3, u4 = 8, u5 = 15, u6 = 24

Tuliskan barisan baru sebagai v1, v2, v3, …, maka

u2 – u1 = v1 = 1

u3 – u2 = v2 = 3

u4 – u3 = v3 = 5

u5 – u4 = v4 = 7

u6 – u5 = v5 = 9

un – un –1 = vn –1

Selisih dua suku dari barisan v1, v2, v3, … adalah

v 2 – v 1 = 2

v 3 – v 2 = 2

v 4 – v 3 = 2

Khususnya, jika kita mencari besar dari vn –1, maka kita jumlahkan n – 2 kesamaan berikut ini

v 2 – v 1 = 2

v 3 – v 2 = 2

v 4 – v 3 = 2


Januari 2008

64

vn –1 – vn –2 = 2

Jumlah ruas kiri adalah

(v 2 – v 1) + (v 3 – v 2) + (v 4 – v 3) + … + (vn –1 – vn –2) = (n – 2) 2

vn –1 – v1 = (n – 2) 2

dengan (n – 2) 2 diperoleh dari ruas kanan, yaitu 2 + 2 + … + 2 sebanyak (n – 2). Jadi

vn–1 = v1 + (n – 2)2

= 1 + 2n – 4 = 2n – 3

Sekarang kita akan mencari besar nilai un. Kita melakukan hal yang serupa dengan mencari

nilai vn, yaitu

u2 – u1 = 1 = v1

u3 – u2 = 3 = v2

u4 – u3 = 5 = v3

u5 – u4 = 7 = v4

u6 – u5 = 9 = v5

un – un–1 = 2n – 3 = vn–1

Jumlah ruas kiri adalah

(u 2 – u 1) + (u 3 – u 2) + (u 4 – u 3) + … + (un – un –1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 3)

un – u1 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 3)

Jumlah dari

Dengan demikian

un – u1 = (n – 1)2

atau

un = u1 + (n – 1)2

= –1 + (n – 1)2

= –1 + n2 – 2n + 1

= n2 – 2n


Januari 2008

65

Khususnya jika nilai n diganti dengan 1, 2, 3, 4, 10 diperoleh

u1 = –1, u2 = 0, u3 = 3, u4 = 8, dan u10 = 100 – 20 = 80

Teknik Lain

Kita sudah mempelajari pola bilangan –1, 0, 3, 8, 15, 24, …

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku –1 0 3 8 15 24 … …

Selisih 1 3 5 7 9

Selisih kedua 2 2 2 2 ? ? ?

Besar suku ke n adalah un = n2 – 2n. Dalam bagian ini kita akan mempelajari hasil ini dengan

cara lain.

Perhatikan pola bilangan yang dibentuk dari rumus un = an2 + bn + c. Kita cari nilai

un – un –1 = an2 + bn + c – [ a (n – 1)2 + b (n – 1) + c ]

= an2 + bn + c – an2 + 2an – a – bn + b – c

= 2an – a + b

Ini adalah hasil selisih pertama dari pola bilangan. Selanjutnya, jika un – un –1 = vn, maka

vn – vn –1 = 2an – a + b – [ 2a (n – 1) – a + b ]

= 2a

yaitu selisih kedua dari pola bilangan. Berdasarkan hasil ini, jika kita mengetahui bahwa suatu

pola bilangan mempunyai selisih kedua yang konstan, maka rumus dari pola bilangan tersebut

adalah un = an2 + bn + c. Masalahnya bagaimana menentukan nilai a, b, c.

Untuk itu perhatikan gambar berikut


Januari 2008

66

Suku ke 1 2 3 4

Besar suku a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c

Selisih 3a+b 5a+b 7a+b

Selisih kedua 2a 2a

Berdasarkan hal ini, maka nilai a, b, c dari pola bilangan di atas dapat dicari, yaitu

2a = 2, 3a + b = 1 dan a + b + c = –1

Sistem persamaan ini memberikan hasil sebagai berikut

a = 1, b = –2 dan c = 0

d. Rumus Rekursif

Jika diketahui pola bilangan, dengan teknik yang telah ada mungkin kita telah dapat

menentukan besar setiap suku. Pada saat ini kita akan menentukan besar setiap suku jika

diketahui hubungan antara besar dua suku. Misalkan un = 3un –1 + 2n. Rumus seperti ini

disebut rumus rekursif. Jika u1 = 1, maka suku berikutnya dapat ditentukan berdasarkan

rumus rekursif tersebut, yaitu

n = 2 u2 = 3u1 + 4 = 7

n = 3 u3 = 3u2 + 6 = 27

n = 4 u4 = 3u3 + 8 = 89

Masalahnya, dapatkah kita menentukan besar suku un dinyatakan dalam un. Kita mulai hal ini

dengan bentuk yang sederhana.

Misalkan diketahui un = 3un –1. Hubungan ini mengatakan bahwa besar suku un adalah 3 kali

dari suku sebelumnya. Oleh karena itu ini mengingatkan kita akan bentuk perkalian. Tuliskan

hubungan ini untuk beberapa suku, diperoleh

u2 = 3u1

u3 = 3u2

u4 = 3u3

un = 3un –1


Januari 2008

67

Kalikan semua suku di ruas kiri dan kanan, masing-masing memberikan

u2 u3 u4 … un –1 un = (3u1) (3u2) (3u3) … (3un –2) (3un –1)

Dengan membagi u2 u3 u4 … un –1 un pada kedua ruas, maka

un = 3 3 3 … 3u1

n – 1 suku

= 3n –1u1

Nilai un bergantung pada nilai u1.

Teknik ini kita kembangkan untuk rumus rekursif un = 3un –1 + 2n. Berdasarkan hasil di atas,

maka kita menduga bahwa bentuk un adalah

un = A3n –1 + an + b

dengan A, a dan b akan ditentukan nilainya. Selanjutnya, nilai

un –1 = A3n –2 + a(n – 1) + b

= A3n –2 + an + b – a

yaitu dengan mengganti setiap n dengan n – 1. Gantikan ini ke persamaan yang diketahui,

maka

A3n –1 + an + b = 3[A3n –2 + an + b – a] + 2n

A3n –1 + an + b = A3n –1 + 3an + 3b – 3a + 2n

Sederhanakan persamaan ini untuk memperoleh

2an – 3a + 2b + 2n = 0

(2a + 2)n + 2b – 3a = 0

Persamaan ini berlaku bagi setiap n, khususnya untuk n = 1 diperoleh

2a + 2 + 2b – 3a = 0

– a + 2b = – 2


Januari 2008

68

dan untuk n = 2 diperoleh

4a + 4 + 2b – 3a = 0

a + 2b = – 4

Jumlah keduanya adalah

4b = – 6 atau b =

dan berdasarkan

a + 2b = – 4

a – 3 = – 4

Jadi a = –1, dan suku ke n adalah

Untuk menentukan nilai A, kita gunakan syarat bahwa u1 diketahui, maka

atau

Dengan demikian nilai

Khususnya, jika u1 = 1, dan gantikan nilai n dengan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 diperoleh

1, 7, 27, 89, 277, 843, 2543, 7645, 22953, 68879

e. Perumusan Pola

Pada bagian ini kita akan memperlihatkan cara menduga suatu pola bilangan. Hasil dugaan

ini selalu dapat dikaji dengan teknik yang sudah kita pelajari. Mulai dengan yang sederhana.

Misalkan diketahui pola bilangan 2, 4, 6, 8, 10, 12, …


Januari 2008

69

N 1 2 3 4 5 6 …

un 2 4 6 8 10 12 …

Dengan menuliskan bentuk terakhir menjadi

n 1 2 3 4 5 6 …

un 2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5 2 . 6 …

Mudah diduga bahwa suku ke n adalah

un = 2n

Serupa dengan di atas, adalah pola bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, 9, 11, …

N 1 2 3 4 5 6 …

un 1 3 5 7 9 11 …

Dengan menuliskan bentuk terakhir sebagai

n 1 2 3 4 5 6 …

un 2 . 1 – 1 2 . 2 – 1 2 . 3 – 1 2 . 4 – 1 2 . 5 – 1 2 . 6 – 1 …

Berdasarkan hasil ini kita mudah menduga bahwa

un = 2n – 1

Sekarang kita akan meduga bentuk-bentuk yang lebih kompleks, yaitu pola bilangan yang

diperoleh dari penjumlahan bilangan. Sebagai contoh

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = ?


Januari 2008

70

Untuk lebih melihat pola yang terjadi, tulis

un = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)

Dan kemudian buatlah tabel berikut

N 1 2 3 4 5 6 …

un 1 4 9 16 25 36 …

12 22 32 42 52 62

Mudah dilihat bahwa suku ke n mempunyai bentuk un = n2. Dengan demikian un = n2

Seringkali penjumlahan seperti di atas tidak mudah dilihat. Sebagai contoh

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + … + n = ?

Tetapi jika kita melakukan pembandingan dengan yang lain, misalkan terhadap n. Tulis un =

1 + 2 + 3 + … + n maka

n 1 2 3 4 5 6 …

un 1 3 6 10 15 21 …

1 2 3 …

Tuliskan bentuk terakhir dengan penyebut yang sama, diperoleh

n 1 2 3 4 5 6 …

…

Berdasarkan bentuk ini mudah diduga bahwa


Januari 2008

71

atau kita menggunakan teknik yang lalu untuk memutuskan hal ini. Dengan demikian

Sekarang kita mencoba menghitung

Sn = 12 + 22 + 32 + … +n2

Untuk itu kita membandingkan hasil ini dengan

un = 1 + 2 + 3 + … + n

Yaitu

n 1 2 3 4 5 6 …

Sn 1 5 14 30 55 91 …

un 1 3 6 10 15 21 …

1 3 …

Bentuk terakhir menyarankan untuk menuliskan bentuk dengan penyebut yang sama, yaitu

n 1 2 3 4 5 6 …

…

n 1 2 3 4 5 6 …

…

…

Berdasarkan hasil ini, maka


Januari 2008

72

Oleh karena itu

f. Pola Telekosping

Pada bagian ini kita akan mempelajari pola dengan bentuk berganti tanda. Misalkan kita ingin

menghitung bentuk

un = 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + …

sampai n suku. Dalam kasus ini kita dapat menyederhanakan bentuk tersebut menjadi

Dengan demikian untuk n = 2k bilangan genap, maka

Jika n = 2k + 1 ganjil, maka


Januari 2008

73

Berdasarkan rumus ini kita memperoleh

n 1 2 3 4 5 6 …

un 1 –2 3 –4 5 –6 …

Contoh lain, misalkan diberikan

Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan

Jumlah dari ruas kiri adalah dan jumlah dari ruas kanan

2.5.2. Deret Berhingga Bilangan

Deret berhingga bilangan yang saat ini dipelajari adalah deret aritmatika dan deret geometri.

Kedua deret tersebut merupakan penjumlahan dari barisan aritmatika dan geometri yang

diberikan.

a. Deret Aritmatika

Teknik Gauss

Jika diketahui bilangan 1, 2, 3, 4, …, maka seringkali kita harus menghitung jumlah bilangan


Januari 2008

74

1 + 2 + 3 + …

sampai dengan bilangan tertentu. Kita dapat menghitung ini dengan cara menjumlahkan satu

persatu. Tetapi kita akan menghitung dengan cara yang lebih cerdik. Misalkan kita akan

menghitung

J = 1 + 2 + 3 + … + 100

Cara yang biasa dilakukan adalah menuliskan kembali bilangan-bilangan tersebut dengan urutan

yang terbalik.

J = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

J = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1

2J = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101

Perhatikan bahwa ruas kanan ada bilangan 101 sebanyak 100. Oleh karena itu

2J = 100 101

J = 50 101

Khususnya, jika

Cara di atas dapat dipergunakan untuk menghitung jumlah bilangan dengan pola selisih

pertamanya selalu tetap. Perhatikan pola bilangan –5, –2, 1, 4, 7, …

Suku ke 1 2 3 4 5 6 7 …

Besar suku –5 –2 1 4 7 … … …

Selisih 3 3 3 3 ?

yaitu barisan dimana selisih dua bilangan berturutan selalu tetap. Kita ingin menghitung

(–5) + (–2) + 1 + 4 + 7 + …

sampai dengan bilangan tertentu. Jumlah n bilangan dari pola di atas adalah

Jn = (–5) + (–2) + 1 + 4 + 7 + … + (3n – 8)


Januari 2008

75

Seperti di atas, kita melakukan pembalikan urutan, maka

Jn = (–5) + (–2) + 1 + … + (3n – 11) + (3n – 8)

Jn = (3n – 8) + (3n – 11) + (3n – 14) + … + (–2) + (–5)

2Jn = (3n – 13) + (3n – 13) + (3n – 13) + … + (3n – 13) + (3n – 13)

Perhatikan bahwa ruas kanan terdapat penjumlahan (3n – 13) sebanyak n. Jadi

2Jn = n (3n – 13)

atau .

Secara sederhana, untuk mencari deret aritmatika , kita dapat menggunakan

rumus:

b. Deret Geometri

Penjumlahan Bilangan Dengan Pola Perkalian

Teknik serupa juga dapat dikembangkan untuk bilangan dengan pola perkalian. Misalkan

diketahui bilangan

2, 4, 8, 16, 32, …

yaitu bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 bilangan di depannya. Untuk

mudahnya, kita dapat menuliskan bilangan tersebut dalam bentuk

2, 22, 23, 24, 25, …

Kemudian, suku ke n dari pola bilangan ini adalah 2n, dan kita ingin mencari

J = 2 + 22 + 23 + … + 2n

2J = 22 + 23 + … + 2n + 2n +1

Selisih antara dua penjumlahan ini memberikan


Januari 2008

76

2J – J = 2n +1 – 2

J = 2n +1 – 2

Secara sederhana pula, untuk mencari deret geometri , kita dapat

menggunakan rumus:

Problem Set

1. Carilah angka satuan dari bilangan

(a) 52004

(b) 92004

2. Selidiki pola barisan bilangan berikut. Carilah suku ke 100.

(a) 3, 7, 11, 15, 19, …

(b) 9, 6, 3, 0, –3, …

3. Dengan berbagai teknik yang ada, carilah suku ke 10, 100, dan ke n dari pola bilangan

berikut

(a) –1, 2, 9, 20, 35, …

(b) 7, 14, 23, 34, 47, …

(c) 3, 15, 35, 63, 99, 143, 195, …

(d) –1, 4, 21, 56, 115, …

(e) 4, 15, 38, 79, 144, …

4. Dengan berbagai teknik yang ada, carilah suku ke 10, 100, dan ke n dari pola bilangan

berikut. Tuliskan suku ke n ini dalam bentuk yang sederhana.

(a) 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3, 1+2+3+4, …

(b) 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, …

(c) 13, 13+23, 13+23+33, 13+23+33+43, …

(d) 12, 12+23, 12+23+34, 12+23+34+45, …

5. Tentukan un jika

(a) un = –3un –1

(b) un = –3un –1 + 3n

(c) un = –3un –1 + n2

(d) un = 2un –1


Januari 2008

77

(e) un = 2un –1 – 3n

6. Diketahui un = un –1 + 6un – 2

(a) Tuliskan bahwa persamaan rekursif tersebut dapat ditulis sebagai un + 2un –1 = 3 (un –1 +

2un – 2)

(b) Tulis un + 2un –1 = vn, maka persamaan di (a) dapat ditulis sebagai vn = 3vn –1

(c) Selesaikan ini (carilah vn) dan selesaikan pula persamaan semula (cari un).

7. Selesaikan persamaan nomor (7) dengan memisalkan Penyelesaianan persamaan

mempunyai bentuk un = pn.

8. Diketahui un = 2un –1 + 15un – 2. Carilah un.

9. Diketahui un = 6un –1 + 9un – 2. Carilah un.

10. Tiga bilangan dari suatu pola adalah 5, 15, 25, … habis dibagi 5. Apakah tiga bilangan

berikutnya dari pola juga habis dibagi 5.

11. Tiga bilangan dari suatu pola adalah 3, 13, 23, … merupakan bilangan prima. Apakah

tiga bilangan berikutnya dari pola juga merupakan bilangan prima.

12. Tentukan suku ke n dari pola bilangan :

(a) 1, –3, 5, –7, 9, –11, …

(b) 1 . 2, 2 . 3, 3 . 4, 4 . 5, …

(c) 1, 3, 6, 10, ….

13. Hitunglah sampai n suku

(a) 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …

(b) 13 – 23 + 33 – 43 + …

(c)

(d)

(e) 1 + 3 + 6 + 10 + …

(f) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + …

(g)


Januari 2008

78

14. Sederhanakan penjumlahan berikut

(a) 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + … + n (n + 1)

(b) 13 + 23 + 33 + 43 + … + n3

2.6. PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan adalah sesuatu yang sering ditemukan dalam masalah-masalah matematika.

Konsep dasar dari pertidaksamaan adalah membandingkan nilai antar bilangan yang ada (sifat

keterurutan antar bilangan) dan aturan-aturan apa saja yang dapat dijalankan untuk mencari

solusi dari masalah pertidaksamaan yang dihadapi.

Definisi

Misalkan a, b R, maka:

a. jika atau

b. jika atau

a. Sifat-sifat dasar pertidaksamaan

Beberapa sifat yang penting dari pertidaksamaan antar lain adalah:

Misalkan a, b, c, d R, maka:

a. Jika maka

b. Jika dan maka

c. Jika dan maka

Jika dan maka

d. Jika maka

Jika maka

e. Jika dan maka

f. Jika dan maka

g. Untuk setiap a R berlaku


Januari 2008

79

h. Jika maka:

o dan atau

o dan

i. Jika maka:

o dan atau

o dan

b. Menyelesaikan masalah pertidaksamaan

Untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan, kita gunakan sifat-sifat pertidaksamaan

sebelumnya sehingga diperoleh hasil yang benar-benar diinginkan.

Pertidaksamaan AM – GM – HM

Definisi Rataan Aritmatika (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonis (HM)

Misalkan n bilangan asli dan bilangan-bilangan real positif, maka

a. Rataan Aritmatika (AM) dari bilangan-bilangan tersebut adalah:

b. Rataan Geometri (GM) dari bilangan-bilangan tersebut adalah:

c. Rataan Harmonis (HM) dari bilangan-bilangan tersebut adalah:

Hubungan Pertidaksamaan AM – GM – HM adalah :

HM GM AM

Problem Set


Januari 2008

80

1. Tentukan himpunan penyelesaian yang bulat dari sistem pertidaksamaan

dan

2. Carilah interval dari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

dan

3. Diketahui , dan , berapakah

Nilai terkecil yang mungkin dari (x+y)

Nilai terbesar yang mungkin dari (y-x) dan y/w.

4. Bila , hitunglah nilai dari:

i. ii.

5. Tentukan nilai x yang memenuhi dan , diman p dan q

adalah dua bilangan asli yang berurutan

6. Bila dan , berapakah nilai dari

7. Bila ab=6, bc=12 dan a+c=6, Carilah nilai a, b dan c

8. Berapakah nilai dari

9. Berapakah nilai dari

2.7. EKSPONEN

2.7.1. Bilangan berpangkat sebenarnya (positif)

Pemangkatan sebuah bilangan a terhadap bilangan n dinotasikan sebagai berikut:

dimana:

a = bilangan dasar/bilangan pokok


Januari 2008

81

n = eksponen/pangkat

Definisi pangkat sebenarnya:

Pangkat sebenarnya (positif) sebuah bilangan a adalah pemangkatan bilangan a terhadap

bilangan cacah n.

Pangkat positif an memiliki arti sebagai perkalian a sebanyak n faktor.

Contoh 2.39

a.

b.

c.

d.

2.7.2. Bilangan berpangkat tak sebenarnya (pangkat negatif dan pecahan)

Definisi pangkat tak sebenarnya:

Pangkat sebenarnya (positif) sebuah bilangan a adalah pemangkatan bilangan a terhadap

bilangan n yang bukan merupakan bilangan cacah (bilangan negatif atau pecahan).

a. Pangkat negatif

Misalkan a, n bilangan real, maka:

b. Pangkat pecahan

Misalkan a bilangan real, n bilangan asli, maka:

Contoh 2.40


Januari 2008

82

a.

b.

c.

d.

2.7.3. Sifat-sifat bilangan berpangkat

Beberapa sifat penting dalam bilangan berpangkat adalah:

Misalkan a, b, m, n bilangan-bilangan real, maka:

o

o

o

o

o

o

o

Problem Set

1. Diketahui , jika a = 27 dan b = 16, maka nilai p sama dengan

2. Bentuk sederhana dari adalah


Januari 2008

83

3. Diketahui x, y, z adalah bilangan riil yang lebih besar dari 1 dan w adalah bilangan riil

positif. Jika , , dan , tentukan w yang dinyatakan dalam z !

4. Jika diketahui . Tentukan

5. Carilah solusi dari

6. Hitung

7. Jika , dan , p adalah bilangan rasional maka tentukanlah nilai p !

8. Jika , tentukan nilai dari !

2.8. LOGARITMA

Logaritma yang disingkat dengan log adalah nama lain untuk pangkat atau eksponen pada

bilangan berpangkat. Contohnya untuk bilangan berpangkat 24 = 16, maka logaritmanya adalah 4.

Hal itu dapat juga dituliskan sebagai 2log 16 = 4, yang dibaca logaritma dengan bilangan pokok

2 dari 16 adalah 4.

Dari keterangan di atas terlihat bahwa ada dua pernyataan yang ekuivalen atau sama benarnya,

sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.

24 = 16 2log 16 = 4

(bentuk pangkat) (bentuk logaritma)

Jadi secara umum, logaritma didefinisikan sebagai invers atau balikan dari eksponen yaitu:

am = b alog b = m ( a 1, b > 0)


Januari 2008

84

Contoh 2.41

Untuk lebih memahami logaritma, hitung:

a. 4log 256 c.

b. 10log 10.000.000 d.

Penyelesaian

a. Misalkan x = 4log 256 maka berlaku

4x = 256 4x = 44 x = 4

Jadi 4log 256 = 4

b. Misalkan x = 10log 10.000.000, maka berlaku

10x = 10.000.000 10x = 107 x = 7

Jadi 10log 10.000.000 = 7

c. Misalkan x = maka berlaku

2x = 2x = 2–3 x = –3

Jadi = –3

d. Misalkan x = maka berlaku

3x = 3x = 3– 4 x = –4

Jadi, = –4

Sifat Logaritma

Sifat bilangan berpangkat dapat digunakan untuk menyederhanakan kalimat terbuka ataupun

pernyataan yang memuat bentuk pangkat. Karena logaritma adalah pangkat atau eksponen dari

bilangan berpangkat, maka sifat logaritma yang kita pelajari di sini adalah yang mirip dengan

sifat bilangan berpangkat.

1. Penjumlahan dua logaritma dengan bilangan pokok yang sama.

Pertama-tama, perhatikan contoh berikut.


Januari 2008

85

2log 16 + 2log 2 = 4 + 1 = 5

Selanjutnya, kita juga mempunyai hubungan berikut: 2log 32 = 5

Maka, berlaku hubungan: 2log 32 = 2log16 + 2log2 atau 2log (16 2) = 2log 16 + 2log2

Kemudian perhatikan persamaan berikut dan bandingkan dengan persamaan di atas.

am an = am+n

Oleh karena logaritma sama dengan pangkat, maka dapat dikatakan bahwa hasil kali logaritma

merupakan jumlah dari masing–masing logaritma dengan bilangan pokok yang sama. Atau

perkalian dua bilangan berpangkat juga menghasilkan bilangan berpangkat di mana pangkat yang

dihasilkan merupakan jumlah dari pangkat masing–masing bilangan dengan bilangan pokok

yang sama.

Jadi, secara umum Logaritma hasil kali dua bilangan adalah jumlah dari masing-masing

logaritma bilangan tersebut dengan bilangan pokok yang sama.

alog x + alog y = alog (xy)

2. Pengurangan dua logaritma dengan bilangan pokok yang sama.

Pertama-tama, perhatikan contoh berikut. 3log 27 – 3log 9 = 3 – 2 = 1

Kita juga mempunyai hubungan: 3log 3 = 1,

maka berlaku:

3log 3 = 3log 27 – 3log 9 atau 3log = 3log 27 – 3log 9

Kemudian perhatikan persamaan berikut dan bandingkan dengan persamaan di atas.

= am-n

Sekali lagi, karena logaritma adalah pangkat, maka dapat dikatakan bahwa hasil bagi logaritma

merupakan pengurangan masing–masing logaritma dengan bilangan pokok yang sama. Atau

dapat juga kita katakan bahwa pembagian bilangan berpangkat menghasilkan bilangan

berpangkat juga. Pangkat yang dihasilkan merupakan pengurangan dari pangkat bilangan

berpangkat yang dioperasikan dalam bilangan pokok yang sama.


Januari 2008

86

Secara umum Logaritma hasil bagi dua bilangan adalah selisih dari masing-masing logaritma

bilangan tersebut dengan bilangan pokok yang sama.

alog x – alog y = alog

3. Bilangan yang dilogaritmakan berbentuk bilangan berpangkat.

Perhatikan contoh berikut.

2log 43 = 2log 64 = 6

3 2log 4 = 3 2log4 = 3 2 = 6

sehingga berlaku:

2log 43 = 3 2log 4

Ketentuan yang sama juga berlaku untuk contoh berikut ini.

2log 82 = 2log 64 = 6

2 2log 8 = 2 2log8 = 2 3 = 6

sehingga berlaku:

2log 82 = 2 2log 8

Kemudian perhatikan persamaan berikut ini dan bandingkan dengan contoh di atas.

(am)n = amn

Berdasarkan pada alasan yang sama dengan sifat sebelumnya, maka bilangan berpangkat yang

dipangkatkan menghasilkan bilangan berpangkat juga. Pangkat yang dihasilkan merupakan

perkalian dari pangkat bilangan yang dipangkatkan dengan pangkatnya, atau dapat dikatakan


Januari 2008

87

bahwa logaritma dari bilangan berpangkat sama dengan perkalian dari logaritma bilangan itu

dengan pangkatnya.

Secara umum Logaritma bilangan berpangkat bilangan lain adalah bilangan lain tersebut kali

logaritma bilangan tersebut dengan bilangan pokok yang sama.

alog xy = y alog x

Berdasarkan uraian di atas, kita lebih memahami sifat logaritma yang mirip dengan sifat bilangan

berpangkat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 2.42

1. Hitung pernyataan logaritma berikut ini.

a. 6log 4 + 6log 9

b. 3log 54 – 3log 2

c. 4log 165

Penyelesaian

a. 6log 4 + 6log 9 = 6log (4 9)

= 6log 36

= 2

b. 3log 54 – 3log 2 = 3log

= 3log 27

c. 4log 165 = 5 4log 16

= 5 2

= 10

2. Sederhanakan pernyataan berikut ini.

a. 5log 3 + 5log 4 – 5log 6

b. 3 3log 2 + 3log 5

Penyelesaian

a. 5log 3 + 5log 4 – 5log 6 = 5log (3 4) – 5log 6


Januari 2008

88

= 5log 12 – 5log 6

= 5log

= 5log 2

b. 3 3log 2 + 3log 5 = 3log 23 + 3log 5

= 3log 8 + 3log 5

= 3log (8 5)

= 3log 40

Aplikasi Logaritma

Untuk melengkapi pembahasan logaritma ini, perhatikan contoh aplikasi berikut ini:

1. Misalkan kita menabung uang sejumlah P(0) dengan tingkat bunga r, yang

bersifat majemuk dengan m kali per tahun, maka nilai uang P yang dihitung setelah akhir

tahun ke t memenuhi rumus

Jika r = 20%, m = 1, maka berapa lama agar ung kita bernilai sebesar dua kalinya.

Penyelesaian

Karena r = 20%, m = 1, dan P = 2 P(0), maka didapat persamaan,

tahun.

Fungsi Logaritma

Definisi Fungsi Logaritma


Januari 2008

89

Fungsi f yang didefinisikan dalam persamaan f(x) = blog x disebut fungsi logaritma dengan

bilangan pokok b, dengan b > 0 dan b 1 serta x > 0. Daerah definisi dari f(x) adalah semua

bilangan real positif. Sedangkan rangenya adalah semua bilangan real.

Contoh 2.43

Jika f adalah fungsi logaritma dengan bilangan pokok 4, tentukan f(4), f , dan f(8).

Penyelesaian

Karena f adalah fungsi logaritma dengan bilangan pokok 4 , maka f(x) = 4log x, dan

f(4) = 4log 4 = 1,

f = 4log = 4log 4–1 = –4log 4 = –1

f(8) = 4log 8 = 4log 43/2 = – 4log 4 =

Contoh 2.44

Jika f adalah fungsi logaritma dengan bilangan pokok , tentukan f(4), f , dan f(8).

Penyelesaian

Karena f fungsi logaritma dengan bilangan pokok , maka f(x) = 1/4log x, maka

f(4) = 1/4log 4 = 1/4log = – 1/4log = –1, = 1/4log = 1, dan

f(8) =1/4log 8 =1/4log 43/2 =1/4log =1/4log = 1/4log =

Persamaan Logaritma

Sebagaimana pada bagian sebelumnya, pada bagian ini akan dibahas mengenai cara mencari

penyelesaian suatu persamaan yang melibatkan logaritma sehingga persamaan yang dimaksud

menjadi pernyataan yang benar. Untuk memudahkan perlu diperhatikan kembali logaritma dan

sifat–sifatnya. Karena logaritma merupakan invers eksponen, maka dalam penyelesaian

logaritma sering digunakan eksponen.


Januari 2008

90

Bentuk–bentuk dan cara penyelesaian suatu persamaan logaritma adalah sebagai berikut.

a. alog f(x) = b f(x) = ab

Contoh 2.45

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2log (x + 1) = 4.

Penyelesaian2log (x + 1) = 4 x + 1 = 24 x = 24 –1 = 16 – 1 = 15

Himpunan penyelesaian = {15}

b. alog f(x) = alog g(x) f(x) = g(x)

Contoh 2.46

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3log(3x2 – 6) = 3log (2x2 - x).

Penyelesaian3log(3x2 – 6) = 3log(2x2 - x) 3x2 – 6 = 2x2 – x x2 + x – 6 = 0 (x + 3) (x – 2) = 0

x = –3 atau x = 2 dan setelah diperiksa kembali ternyata logaritmanya terdefinisi.

Himpunan penyelesaian ={–3, 2}

c. f(x) log a = b [f(x)]b = a

Contoh 2.47

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan xlog 16 = 2.

Penyelesaianxlog 16 = 2 x2 = 16

x = 4 atau x = –4

untuk x = 4 logaritma terdefinisi, sedangkan untuk x = –4 logaritma tidak terdefinisi.

Himpunan penyelesaian = {4}.


Januari 2008

91

d. Persamaan logaritma yang dapat diselesaikan dengan cara persamaan kuadrat ax2 +

bx + c = 0.

Dalam menyelesaikan persamaan tipe ini, pertama buat pemisalan sehingga terbentuk persamaan

kuadrat. Selanjutnya selesaikan persamaan ini dan substitusikan kembali ke pemisalan semula.

Dengan memperhatikan persyaratan logaritma yang ada, akhirnya tentukan himpunan

penyelesaiannya.

Contoh 2.48

Tentukan x yang memenuhi 2log2x – 2logx – 6 = 0; dengan 2log2x = (2log x)2

Penyelesaian

Misalkan y = 2log x, maka persamaan logaritma di atas dapat ditulis sebagai berikut

y2 – y – 6 = 0 (y – 3) (y + 2) = 0 y = 3 atau y = – 2

Selanjutnya, substitusikan kembali ke pemisalan maka didapat,

3 = 2log x atau – 2 = 2log x x = 23 = 8 atau x = 2 –2 = 1/4

Himpunan penyelesaian = {8, 1/4}.

Contoh 2.49

Tentukan x yang memenuhi persamaan logaritma berikut. log log (x + 2) = 0

Penyelesaian

log log (x + 2) = 0

log (log (x + 2) = log 1

log (x + 2) = 1

log (x +2) = log 10

x + 2 = 10

x = 8

Himpunan penyelesaian = {8}

PROBLEM SET

1. Unyil membeli kancing baju dengan harga Rp. 9,00 per buah. Ia membayar seluruh

kancing yang ia beli Rp. 8.32a.b52,00. jika a – b = 3, tentukan nilai a dan b.

2. 24 pecatur bertanding dalam suatu turnamen catur. Panitia membagi mereka dalam 2

grup, A dan B, dimana seorang pesreta bertanding satu kali dengan peserta lain dalam


Januari 2008

92

grupnya masing-masing. Jumlah pertandingan di grup B 69 kali lebih banyak daripada

jumlah pertandingan di grup A. Cuplis adalah salah seorang peserta di grup A yang tak

terkalahkan dan meraih poin 5,5 (menang = 1 poin, remis = ½ poin). Berapa kali Cuplis

bermain remis?

3. Jika diketahui dan x > 0, maka nilai dari

4. x, y, z memenuhi persamaan , , dan , maka nilai x, y dan z

adalah…..

5. Hasil penjumlahan dari adalah….

6. Jika a, b, c, d ,e adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga a + b < c + d, b + c <

d + e, c + d < e + a, dan d + e < a + b, maka bilangan terbesar dan terkecil adalah…..

7. jika , maka nilai dari adalah…..

8. Bila , maka .......

9. 3 bilangan real a, b, dan c memenuhi persamaan

(a + b)(a + b + c) = 120

(b + c)(b + c + a) = 96

(c + a)(c + a + b) = 72

Nilai dari 3a + 2b + c adalah....

10. Buktikan bahwa jika a, b, c adalah bilangan bulat positif maka

adalah bilangan bulat

11. 1.1! + 2. 2! + 3.3! + ….+ 99.99! = ……………..

12. Sederhanakan

13. Hitung

14. Jika p dan q merupakan bilangan positif dan p2 + 2q2 = 34 dan p2 q2 = 7, carilah nilai p

15. m, n adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga mn + m + n = 71 dan m2n + mn2 =

880. Tentukan m2 + n2

16. a, b, c adalah bilangan bulat positif yang membentuk barisan geometri, b – a adalah kuadrat

sempurna dan . Tentukan a + b + c

17. Jika a2 + a–2 = 4, carilah a6 + a –6

18. Jika n2 + 1 = 5n, hitunglah

19. Jika , hitunglah nilai A dan B


Januari 2008

93

20. Jika diketahui x + y = 1 dan x3 + y3 = 19, tentukan x2 + y2

21. Jika , tentukanlah nilai dari

22. Carilah penyelesaian yang bernilai positif dari persamaan

23. Jika , tunjukkan bahwa

24. Notasi a b didefinisikan sebagai a adalah kelipatan dari b dan a dan b adalah bilangan

bulat positif. Dari pernyataan di bawah ini manakah yang benar. Jelaskan!

a. x y dan x z maka x (yz)

b. x y dan y z maka x + y z

c. x y dan y z maka x z

d. w x dan y z maka (wy) (xz)

25. Buktikan bahwa n4 + 4 adalah bilangan prima hanya jika n = 1 untuk n adalah bilangan asli.

26. Buktikan bahwa perkalian 4 bilangan bulat tak nol yang berurutan tidak pernah menjadi

kuadrat sempurna!

27. Carilah jumlah semua bilangan dari 1 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5

28. Selesaikan system berikut:

29. Jika

Tentukan nilai x, y, u, v yang memenuhi system di atas


Januari 2008

94


Januari 2008

95

3. GEOMETRI

Pada materi ini kita akan membahas materi geometri yang khususnya mengenai koordinat

geometri, persamaan garis lurus,dalil Pythagoras dan bangun datar.

3.1. Koordinat Geometri dan Persamaan Garis Lurus

a. Koordinat kartesius

Koordinat kartesius atau koordinat bidang adalah tempat kedudukan sepasang nilai (x, y).

Koordinat kartesius dibagi dalm empat bidang (kuadran) oleh sumbu x dan sumbu y. Posisi

sebuah titik direpresentasikan oleh (x, y).

b. Titik tengah

Titik tengah dari sebuah garis yang menghubungkan titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah titik

C(x3, y3) =


Januari 2008

96

x

y

A(x1, y1)

OB(x2, y2)

C(x3, y3)

x

y

Kuadran IKuadran II

Kuadran III

O

Kuadran IV

c. Jarak

Jarak antara titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah

d. Gradien

Gradien m dari sebuah garis lurus yang menghubungkan titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah

nilai kemiringan dari garis lurus tersebut. Representasi dalam rumusnya adalah sebagai

berikut:

Beberapa sifat gradien:

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu x mempunyai nilai gradien nol

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu y tidak mempunyai nilai gradient


Januari 2008

97

x

y

A(x1, y1)

OB(x2, y2)

|AB|

x

y

A(x1, y1)

OB(x2, y2)

mAB

Dua garis lurus yang saling sejajar mempunyai nilai gradien yang sama

Bila m1 dan m2 adalah gradient dari garis-garis lurus yang saling tegak lurus, maka

m1.m2 = – 1.

e. Kolinear

Tiga buah titik A(x1, y1), B(x2, y2) dan C(x3, y3) dikatakan terletak dalam satu garis lurus yang

sama (kolinear) jika dan hanya jika gradien AB = gradien BC = gradien AC atau ditulis

sebagai berikut:

f. Luas Segitiga

Sebuah segitiga yang terbentuk dari tiga buah titik yang tidak segaris A(x1, y1), B(x2, y2) dan

C(x3, y3) mempunyai luas yang ditentukan dengan formula:

g. Luas Segiempat

Sebuah segiempat yang terbentuk dari empat buah titik yang tidak segaris A(x1, y1), B(x2, y2),

C(x3, y3) dan D(x4, y4) mempunyai luas yang ditentukan dengan formula:

h. Persamaan garis lurus

Bentuk umum persamaan garis lurus adalah:


Januari 2008

98

Untuk menentukan persamaan garis lurus dapat dilakukan berbagai macam tergantung dari

kasus yang dihadapi.

Bentuk khusus 1

Persamaan garis lurus yang melalui (0, c) dan mempunyai gradient m adalah:

Bentuk khusus 2

Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x di (a, 0) dan memotong sumbu y di (0, b)

adalah:

Bentuk khusus 3

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) ditentukan oleh

persamaan:

Bentuk khusus 4

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dengan gradient m adalah:

i. Titik potong

Titik potong antara dua garis yang tidak sejajar adalah sebuah titik yang ditentukan oleh

solusi dari sistem persamaan linear (metode substitusi atau eliminasi).

3.2. Dalil Pythagoras

1. Dalil Pythagoras

Dalam suatu segitiga siku-siku, luas persegi pada sisi di depan sudut siku-siku (hipotenusa)

sama dengan jumlah luas persegi pada dua sisi yang lain.


Januari 2008

99

2. Dalil Pythagoras dalam bentuk rumus

Dalam suatu ABC siku-siku di C dengan panjang AB = c, BC = a dan AC = b, maka c2 = a2

+ b2.

3. Kebalikan dalil Pythagoras

Dalam suatu ABC apabila berlaku sifat c2 = a2 + b2, maka ABC adalah segitiga siku-siku

di C.

4. Tripel Pythagoras


Januari 2008

100

a

b

ca2

c2

b2

C

A

Ba

cb

Untuk m, n bilangan asli dan m > n, maka ketiga bilangan asli berikut: m2 + n2, m2 – n2 dan

2mn merupakan tripel Pythagoras.

5. Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku

Perbandingan sisi pada segitiga siku-siku untuk sudut 300 dan 600

Misalkan ABC segitiga siku-siku di C, A = 300 dan B = 600, maka:

Perbandingan sisi pada segitiga siku-siku untuk sudut 450 dan 450

Misalkan ABC segitiga siku-siku di C, A = 450 dan B = 450, maka:

Problem Set

1. Carilah nilai a agar jarak antara titik (a, 2) dan (3, 4) adalah 8 satuan panjang


Januari 2008

101

300

600

3aa2

aC

A

B

450

450

a 2a

aC

A

B

BC : AB : AC = 1 : : 1

atau

a : c : b = 1 : : 1

BC : AB : AC = 1 : 2 :

atau

a : c : b = 1 : 2 :

2. Tunjukkan bahwa titik-titik (2a, 4a), (2a, 6a) dan (2a+a , 5a) merupakan titik-titik

ujung sebuah segitiga sama sisi

3. Apakah ketiga titik berikut (a, b+c), (b, c+a), (c, a+b) terletak pada satu garis lurus yang

sama ? Jelaskan !

4. Tunjukkan bahwa garis-garis berikut ini :

7x 2y + 10 = 0, 7x + 2y 10 = 0 dan y + 2 = 0

membentuk sebuah segitiga sama kaki ! Hitunglah luasnya !

5. Rasio volume 2 kerucut adalah 1 : 4 dan rasio antar diameternya 4 : 5. Tentukan rasio

antar tinggi kedua kerucut tersebut.

3.3. Segitiga

Segitiga merupakan dasar dari bentuk geometri. Segitiga adalah sebuah bangun datar yang

terbentuk dari 3 buah titik yang tidak segaris.

a. Jenis-jenis segitiga

Segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya dikenal dalam berbagai jenis, yaitu:

Segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki adalah sebuah bangun segitiga yang 2 sisi yang sama panjang. Segitiga

sama kaki juga dapat mudah dikenali dengan terdapatnya 2 sudut yang sama besar.

Segitiga sama sisi


Januari 2008

102

Segitiga sama sisi adalah sebuah bangun segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Segitiga

sama sisi juga dapat mudah dikenali dengan melihat ketiga sudut yang sama besar.

Segitiga sembarang

Segitiga sembarang adalah sebuah bangun segitiga yang ketiga ukuran panjang sisinya

berbeda semuanya. Segitiga sembarang juga dapat mudah dikenali dengan melihat ketiga

sudut yang berbeda semuanya

b. Sudut segitiga

Segitiga merupakan sebuah bangun datar yang mempunyai sudut dengan jumlah ketiga

sudutnya adalah 1800. Hal ini berakibat untuk segitiga sama sisi mempunyai besar sudut 600

untuk ketiga sudutnya.

c. Keliling dan luas segitiga

Keliling dari sebuah segitiga adalah jumlah panjang semua sisinya. Sehingga jika sebuah

segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya adalah a, b dan c, maka keliling segitiga adalah a +

b + c.

Luas dari sebuah segitiga dapat dicari dengan berbagai cara:


Januari 2008

103

o

a. Dengan menggunakan rumus standar:

b. Dengan menggunakan informasi keliling

dimana

a, b dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga

s = keliling/2 = (a + b + c)/2

d. Kesebangunan

Segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun (ditulis ABC PQR) jika memenuhi salah

satu dari syarat berikut:

a. Terdapat 2 sudut yang bersesuaian yang sama besar.

b. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding yaitu perbandingan panjang sisi-

sisinya sama besar.

e. Garis Tinggi segitiga

Garis tinggi sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudutnya dan tegak

lurus terhadap sisi yang berada di hadapan titik sudut tersebut. Pada ABC di bawah ini AE

(tA), BF (tB) dan CD (tC) adalah garis-garis tinggi ABC.


Januari 2008

104

xa

byc

z

A B

C

P Q

R

Untuk mencari nilai tA, tB dan tC kita gunakan hubungan dengan luas segitiga

sehingga diperoleh bahwa:

i.

ii.

iii.

dimana

Sifat lain yang dapat diperoleh adalah:

i.

ii. CD : CA = BF : AB

f. Garis Berat segitiga

Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang membagi sisi segitiga menjadi 2 bagian yang

sama panjangnya. Pada ABC di bawah ini AE (zA), BF (zB) dan CD (zC) adalah garis-garis

berat ABC. Titik perpotongan antar garis berat disebut titik berat, yaitu titik O.

Beberapa hal yang harus dipahami sebagai akibat terbentuknya garis berat pada ABC, yaitu:

i. AO : OE = BO : OF = CO : OD = 2 : 1

ii. Garis EF sejajar AB, sehingga EF = AB/2 yang diperoleh dari sifat

kesebangunan segitiga.


Januari 2008

105

A B

C

D

E

FtA

tB

tC

a

c

b

A B

C

D

EFO

iii.

iv.

v.

g. Garis Bagi segitiga

Garis bagi sebuah segitiga adalah garis yang membagi sudut pada segitiga tersebut menjadi

dua bagian sama besarnya. Pada ABC di bawah ini AE (kA), BF (kB) dan CD (kC) adalah

garis-garis bagi ABC. Titik perpotongan antar garis bagi disebut titik bagi, yaitu titik O.

Beberapa hal yang merupakan akibat terbentuknya garis bagi:

i. ii. dan

iii. iv.

v.

dimana a=a1+a2, b=b1+b2 dan c=c1+c2.

h. Panjang proyeksi

Panjang proyeksi sisi segitiga terhadap sisi lainnya bergantung dari jenis

sudut yang menghadap sisi tersebut. Sehingga penentuan panjang proyeksi

menggunakan dalil Pythagoras.

Panjang proyeksi sisi dengan sudut lancip (< 900)


Januari 2008

106

A B

C

D

EFO a1

a2

c1

b1

c2

b2

Perhatikan ABC di bawah ini, panjang proyeksi sisi AC (b) terhadap sisi AB (c) adalah

panjang sisi AD (p) ditentukan dengan formula:

Sedangkan panjang proyeksi sisi BC (a) terhadap sisi AB (c)

adalah panjang sisi BD (c – p) ditentukan dengan formula:

Panjang proyeksi sisi dengan sudut siku-siku (900)


panjang sisi AB (c) ditentukan dengan formula:

Panjang proyeksi sisi dengan sudut tumpul (> 900)


panjang sisi AD (p) ditentukan dengan formula:


Januari 2008

107

A B

C

D

a

b

p c – p

A B

C

ab

c

i. Dalil Stewart

Dalil Stewart digunakan untuk menentukan panjang garis yang ditarik dari

titik sudut segitiga ke satu titik yang terletak pada sisi di hadapan sudut

tersebut. Perhatikan ABC di bawah ini, panjang CD (x) ditentukan oleh

formula:

j. Dalil Meneleous

Pada gambar di bawah, selalu berlaku:

k. Dalil De Ceva

AQ, BR dan PC sembarang garis yang melalui satu titik dalam ABC, maka akan selalu

berlaku:


Januari 2008

108

A B

C

ab

c D

p

A B

C

ab

c=c1+ c2

x

c1 c2

D

A B

C

R

Q

P

A B

C

P

QR

O

3.4. Lingkaran

Suatu lingkaran adalah sebuah tempat kedudukan titik-titik dimana semua titik tersebut

mempunyai jarak yang tetap terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tertsebut tersebut

dinamakan titik pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut disebut jari-jari lingkaran. Hal-hal

yang sekarang dipelajari adalah sebagai berikut:

a. Panjang busur lingkaran

Panjang busur AB dapat ditentukan

dengan perbandingan sudut dan

perbandingan keliling sebagai berikut:

sehingga

b. Luas juring lingkaran

Sama seperti panjang busur di atas, luas juring

lingkaran dapat ditentukan dengan

perbandingan sudut dan luas sebagai berikut:

sehingga


Januari 2008

109

B

A

r

r

O

O

r

B

A

r

c. Luas tembereng lingkaran

Tembereng adalah daerah yang terbentuk

di antara sebuah juring dan segitiga terbesar

yang berada di dalam juring tersebut

atau daerah tertutup yang dibatasi tali busur

dan busur lingkaran, sehingga luas tembereng

tersebut:

d. Hubungan antara busur, juring dan sudut pusat

Hubungan antara dua buah busur, juring dan sudut pusat

lingkaran adalah sebagai berikut:

e. Sudut pusat dan keliling lingkaran

Sudut disebut sudut pusat lingkaran

yang dibentuk dari dua jari-jari lingkaran.

Sudut disebut sudut keliling lingkaran

yang dibentuk dari dua tali busur lingkaran.

Hubungan antara sudut pusat dan keliling

adalah:

sudut pusat = 2 sudut keliling


Januari 2008

110

B

A

O

r

r

t C

O

B

A

C

D

B

A

O

f. Perpotongan tali busur dalam lingkaran

Perpotongan dua buah tali busur dalam lingkaran ada berbagai macam tipe, di antaranya

adalah:

i. Perhatikan gambar di samping, jika X adalah

titik perpotongan antara tali busur AD dan BC,

maka akan diperoleh hubungan sebagai

berikut:

AX XD = CX XB

ii. Perhatikan gambar di samping, jika X adalah

titik perpotongan antara tali busur AC dan BD,

maka akan diperoleh hubungan sebagai

berikut:

XA XC = XB XD

iii. Perhatikan gambar di bawah ini, jika X adalah titik perpotongan antara tali

busur AC dan garis singgung lingakran pada titik D, maka akan diperoleh hubungan

sebagai berikut:

XA XC = (XD)2

g. Garis singgung pada lingkaran

Beberapa jenis garis singgung pada lingkaran yang dipelajari adalah:


Januari 2008

111

D

C

B

A

X

O

D

C

B

AX

O

D

C AX

O

1. Panjang garis singgung yang ditarik dari titik di luar

lingkaran

Jika sebuah garis singgung AP dibentuk dari titik A dan P, maka jari-jari OA akan tegak

lurus terhadap garis singgung AP tersebut, sehingga dengan dalil Pythagoras panjang AP

dapat ditentukan dengan hubungan berikut ini:

(OP)2 = (AP)2 + r2

2. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

Jika terdapat dua buah lingkaran dengan jari-jari R dan r, d merupakan jarak antara pusat

kedua lingkaran tersebut. Sebuah garis singgung persekutuan luar AB dibentuk dari titik

A dan B, maka jari-jari OA dan OB akan tegak lurus terhadap garis singgung AB

tersebut, sehingga dengan dalil pythagoras panjang AB dapat ditentukan dengan

hubungan berikut ini:

d2 = (AB)2 + (R – r)2


Januari 2008

112

A

PO

r

A

B

O1

r

R

O2

r

d

3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

Jika terdapat dua buah lingkaran dengan jari-jari R dan r, d merupakan jarak antara pusat

kedua lingkaran tersebut. Sebuah garis singgung persekutuan dalam AB dibentuk dari

titik A dan B, maka jari-jari OA dan OB akan tegak lurus terhadap garis singgung AB

tersebut, sehingga dengan dalil Pythagoras panjang AB dapat ditentukan dengan

hubungan berikut ini:

d2 = (AB)2 + (R + r)2

h. Lingkaran luar, dalam singgung segitiga

Beberapa jenis lingkaran yang dibentuk dari sebuah segitiga yang dipelajari adalah:

1. Lingkaran luar sebuah segitiga

Jika diberikan sebuah ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b dan c, maka lingkaran luar

yang dapat dibentuk dari sebuah segitiga mempunyai jari-jari sebagai berikut:

2. Lingkaran dalam sebuah segitiga


Januari 2008

113

C

A

B

b

a

c

c O

rl

A

B

O1

r

R

O2

R+r

d

Jika diberikan sebuah ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b dan c, maka lingkaran

dalam yang dapat dibentuk dari sebuah segitiga mempunyai jari-jari sebagai berikut:

3. Lingkaran singgung sebuah segitiga

Jika diberikan sebuah ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b dan c, maka lingkaran

singgung yang dapat dibentuk dari setiap sisi segitiga tersebut mempunyai jari-jari

sebagai berikut:


Januari 2008

114

rd

B

a

C

A

b

c

c

A

B

C

ra

O

a

b

cB

Problem Set

1. Diketahui ABC sama sisi dengan panjang sisi a. Dari setiap sudut segitiga tersebut

dibuat 3 buah lingkaran sama besar yang saling bersinggungan seperti gambar di bawah ini.

Berapakah luas dari daerah yang diarsir?

2. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini

3. Pada gambar di bawah ini =120, jari-jari lingkaran tersebut adalah cm dan panjang

AC=2 cm. Hitunglah luas tembereng ADC

4. Tentukan luas daerah yang diarsir berikut ini


Januari 2008

115

5 cm

10 cm

4 cm

4 cm

5. Berapakah keliling dari daerah yang diarsir berikut ini, jika luas persegi tersebut adalah a2

cm2

6. Pada sebuah sudut AOB, garis OC adalah garis bagi untuk sudut tersebut.

a. Jika OK adalah sebuah garis pada sudut dalam, buktikan bahwa

b. Jika OK adalah sebuah garis pada sudut luar, buktikan bahwa

7. Misalkan x dan y sudut-sudut yang saling tegak lurus. Rasio antara sudut pelurus dari x

dan y adalah . Tentukan besar sudut x dan y !

8. Pada gambar berikut BA // FH , CB dan CF adalah garis bagi untuk sudut B dan F. Jika

. Tentukan !


Januari 2008

116

A

C

G

E

F H

KB

D40o

9. Pada gambar a, jika AB // CD , AD // EC, , . Tentukan !

Gambar (a) Gambar (b)

10. Pada gambar (b), dan adalah segitiga sama sisi. Jika panjang BF = 17 cm,

EC = 3 cm. Tentukan jumlah dari panjang-panjang AB + AH + DH + DF !

11. Pada , O adalah pertemuan garis-garis bagi dari sudut-sudut dalam . Jika OE //

BC, OD // AB dan panjang AD = 4 cm, DE = 5 cm, EC = 6 cm. Tentukan keliling dari

12. Diketahui AH BC, AD = DC = BH dan . Tentukan besar !


Januari 2008

117

A40o

75o

B

F

E

C D

H

A

B E C F

D

A

B

O E

D

C

B

A

H20o

DE

C

13. Pada , , , dan dan CE = EB. Tentukan besar

!

9. Perhatikan gambar 1, ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi a cm. Jika P

titik dalam segitiga sehingga PD // AB, PE // AC dan PF // BC, maka berapakah |PD| + |PE| +

|PF| ?

10. Perhatikan gambar 2, jika |AB|=12 cm, |AD|=8 cm, |AD|=|AE|, DAB = 400 dan CDE

= 200, maka berapakah |CE| ?

11. Diketahui bahwa a, b dan c adalah panjang sisi-sisi dari sebuah segitiga sama kaki ABC

yang merupakan bilangan asli. Jika terdapat hubungan (a + b + c)(a + b – c)=13 di antara

panjang sisi-sisinya. Tentukan besar a, b dan c yang dimaksud.

12. Perhatikan gambar 3, jika CA AB, ADC = 200, ABC = 100 dan |AD|=6 cm, maka

berapakah |BC| ?

13. Perhatikan gambar 4, jika A = 900, B = 750 dan |AB|=6 cm, maka berapakah |AC| ?


Januari 2008

118

C

A

E

B

D

B

A

CD

E

FP

gambar 1

A B

C

DE

gambar 2

A B

CD

gambar 3

B

A

C

gambar 4

14. Perhatikan gambar 5, jika DE // BC, DH // AC, EF // AB, |AD|=3 cm, |DB|=9 cm dan |

BC|=16 cm, maka tentukan |FH|

15. Berapa banyak sisi dari sebuah polygon, jika jumlah seluruh sudut dalamnya sebagai

berikut:

i. 3600

ii. 5400

iii. 9000

iv. 14400

v. 18000

vi. 21600

vii. 28800

16. Perhatikan gambar 6, ABC adalah segitiga siku-siku dan DFBE belah ketupat. Jika |AB|

=8 cm dan |AC|=6 cm, tentukan panjang belah ketupat tersebut.


Januari 2008

119

A

B C

D E

F H

K

gambar 5

A B

C

D E

F

gambar 6

A B

CD

K

N

gambar 7

17. Perhatikan gambar 7, ABCD adalah sebuah trapezium dan AECD adalah sebuah jajaran

genjang. Jika |AE|=|EB| dan |DK|= 4 cm, maka tentukan |KN| dan |NB|.

18. Perhatikan gambar 8, titik pusat dari dua buah setengah lingkaran yang kongruen dengan

radius 2 cm adalah M dan N. Kedua buah setengah lingkaran tersebut saling bersinggungan

pada titik K. Jika M, P, T dan S, L, N masing-masing terletak pada satu garis yang sama,

maka tentukanlah |PT|

19. Pada gambar 9, segitiga ABC dengan A = 900, B = 150 dan |BC|=16 cm, maka

berapakah luas daerah segitiga ABC ?

20. Perhatikan gambar 10, pada persegi ABCD diketahui |DE|=|EF|=|FC|. Jika jumlah luas

segitiga EKF dan AKB adalah 20 cm2, maka luas daerah persegi tersebut adalah?

21. Perhatikan gambar 11, diketahui bahwa DH // BC, DE // AC dan EF // AB, jika |BE|=3|

EC| dan luas daerah DEFH adalah 30 cm2, maka tentukan luas segitiga ABC


Januari 2008

120

M P T

NLS

K

gambar 8

C

A

B

gambar 9

C

A B

gambar 10

D E F

K

21. Luas sisi-sisi suatu balok adalah 14 cm2, 8 cm2, dan 7 cm2. Volume balok tersebut adalah....

22. Pada gambar 12 diketahui bahwa sisi dari persegi adalah 6 cm. Pada persegi tersebut

terdapat lingkaran dengan pusat O dan ¼ lingkaran dengan pusat B.. Jika |BE| = |EC|, carilah

jari-jari lingkaran yang berpusat di O

23. Pada segitiga ABC di gambar 13 terdapat jajaran genjang AFHE dan DBHE. Jika |DG| =

2 |GE| dan |AB| = 12 cm, tentukan |EH|

24. Misalkan , , , , , adalah sudut-sudut pada gambar 14, tentukan jumlah dari + +

+ + +

25. Diketahui sisi persegi pada gambar 15 adalah 1 satuan panjang. Daerah yang diarsir pada

gambar tersebut dibentuk dari 4 daerah seperempat lingkaran yang berpusat masing-masing

di tiap titik sudut persegi. Seperempat lingkaran yang berhadapan saling bersinggungan.

Carilah luas daerah yang diarsir!

26. Tentukan luas daerah pada gambar 16 jika diketahui |AB| = 5 cm, |BC| = 10 cm, |DC| = 13

cm, dan |AD| = 12 cm.


Januari 2008

121

Gambar 12 Gambar 13

27. Pada persegi ABCD, busur dari lingkaran yang berpusat di B dan D digambarkan seperti

pada gambar 17. Jika diketahui panjang sisi dari persegi adalah 6 cm, maka berapa luas

daerah yang diarsir?

28. Pada persegi panjang ABCD gambar 18, lingkaran dengan pusat K berjari-jari 2 cm

bersinggungan dengan seperempat lingkaran yang berpusat di B dan sisi AD dan DC. Jika |

AB| = 8 cm, tentukan jari-jari lingkaran yang berpusat di B.


Januari 2008

122

Gambar 14

D

C

BAGambar 16

Gambar 18Gambar 17A B

CD

4. KOMBINATORIKA, STATISTIKA DAN PELUANG

4.1. KOMBINATORIKA

Persoalan kombinatorik berkisar pada persoalan pencacahan atau klasifikasi dari suatu

pengaturan. Dasar utamanya adalah teori permutasi dan kombinasi. Sehingga kata-kata seleksi,

pola pengaturan, permutasi dan kombinasi sering kali digunakan. Pada umumnya persoalan

kombinatorik bersifat diskrit. Banyak persoalan kombinatorik sederhana sudah diketahui dan

diselesaikan oleh masyarakat umum, sebagai contoh adalah berapa banyak tim basket (terdiri

dari 5 pemain) yang bisa dibentuk bila ada 7 orang siswa.

Metode Pencacahan

Metode pencacahan dibagi menjadi dua, yaitu:

a. Pencacahan secara langsung

o Prinsip penjumlahan dan perkalian

o Permutasi

o Kombinasi

b. Pencacahan secara tidak langsung

o Prinsip Inklusi – Eksklusi

Prinsip penjumlahan

o Bila suatu himpunan S terbagi ke dalam himpunan bagian S1 , S2 , …, Sn

maka jumlah unsur dalam himpunan S akan sama dengan jumlah dari semua unsur yang ada

dalam setiap himpunan Si , i=1,2,…,n.

o Masing-masing himpunan bagian tersebut tidak saling tumpang tindih

(overlapping).

o Bila overlapping maka digunakan Prinsip inklusi–eksklusi.

Prinsip penjumlahan dapat dinyatakan dalam bentuk kombinatorik sbb:


Januari 2008

123

Misalkan ada sebanyak r1 cara mengambil bola di kotak pertama, dan r2 cara mengambil bola di

kotak kedua, dan seterusnya. Maka ada r1+ r2 + …+ rk cara untuk mengambil bola dari salah satu

kotak yang ada.

Contoh 4.1

Seorang guru di SMP Harapan mengajar di kelas 1, 2 dan 3. Jumlah murid kelas 1 adalah 30, di

kelas 2 adalah 32 dan kelas 3 adalah 27. Maka banyaknya murid yang diajar oleh guru tersebut

pada SMP Harapan adalah 30 + 32 + 27 = 89.

Contoh 4.2

Seorang akan membeli sebuah mobil dan dihadapkan pada 3 merek kendaraan yaitu Toyota,

Honda, dan Daihatsu. Untuk mobil merek Toyota ada 7 jenis pilihan, Honda ada 4 jenis pilihan,

dan Daihatsu ada 2 jenis pilihan. Maka orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak ?

Prinsip perkalian

Bila suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara dan kejadian lain dapat terjadi dalam n cara, maka

akan ada m x n cara kedua kejadian tersebut dapat terjadi.

Kejadian dapat merupakan jumlah dari cara pengaturan suatu pola atau pencacahan sejumlah

objek.

Contoh 4.3

Sebuah rumah makan akan membuat paket menu yang terdiri dari : sup, salad, steak dan es krim.

Bila rumah makan tersebut mempunyai 4 jenis sup, 2 jenis salad, 5 jenis steak dan 3 jenis es

krim. Berapa paket menu yang dapat dibuat ?

Penyelesaian

Banyak paket menu = 4 2 5 3 = 120 paket menu

Contoh 4.4

Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 0, 2, 3 dan 5

a. jika semua angka boleh berulang?

b. jika angka tidak boleh berulang?

c. jika angka tidak berulang dan merupakan kelipatan 2?

Penyelesaian


Januari 2008

124

Banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 0, 2, 3 dan 5 adalah:

a. 4 4 4 4 = 256

b. 4 3 2 1 = 24

c. 3 2 1 2 = 12

Prinsip Dasar

Banyak persoalan counting tidak dapat diselesaikan hanyak dengan prinsip perkalian ataupun

penjumlahan saja melainkan harus kombinasi keduanya

Contoh 4.5

Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 0, 2, 3 dan 5, dimana angka

pertama tidak boleh 0, tidak ada angka berulang serta bilangan tersebut habis dibagi 5?

Jawab :

Banyaknya angka tersebut adalah

3 2 1 1 + 2 2 1 1 = 6 + 4 = 10

Problem Set

1. Setiap user pada sistem komputer memiliki password yang

terdiri dari 6 sampai 8 karakter, dimana karakter tersebut terdiri dari huruf besar atau angka.

Setiap password harus mengandung paling sedikit satu angka. Berapa banyak password yang

dapat dibuat?

2. Berapa banyak barisan angka 0 dan 1 dengan panjang empat

dan tidak terdapat dua angka 1 berturutan?


Januari 2008

125

3. Di suatu acara pesta ada 20 orang yang saling bersalaman.

Banyaknya salaman yang terjadi ialah

4. Ada banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka yang jika dibagi

7 dan 8 tidak bersisa. Hitunglah banyaknya bilangan tersebut !

5. Berapakah bilangan terbesar dari bilangan-bilangan 3 angka

yang dimaksud ?

6. Sebuah keluarga mempunyai 3 orang anak. Saudara tahu

bahwa satu diantaranya perempuan. Berapakah probabilitas kedua anaknya perempuan ?

Konsep dasar yang sering digunakan dalam permutasi dan kombinasi adalah konsep bilangan

faktorial (n!), yang didefinisikan sebagai berikut:

n! = n (n-1) (n-2) … 2 1

dimana n adalah bilangan asli.

4.1.1. Permutasi

Permutasi n obyek berbeda x1, x2, …, xn adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan

tertentu dimana n! adalah permutasi dari n elemen.


Januari 2008

126

Contoh 4.6

3! = 6 adalah permutasi dari 3 elemen a, b, c :

abc bac cab

acb bca cba

Permutasi-r

Permutasi r dari n elemen x1, x2, …, xn yang berbeda adalah penyusunan r elemen dengan r < n.

Teorema 5.7

Untuk r < n, maka banyaknya permutasi r dari n objek yang berbeda adalah

atau

Contoh 4.8

Misalkan seorang salesman harus mengunjungi 8 kota yang berbeda, dimana dia harus mulai dari

sebuah kota dan mengunjungi ke tujuh kota lain dengan urutan sesuai keinginan salesman

tersebut. Berapa banyak cara salesman tersebut dapat mengunjungi kota-kota tersebut dengan

urutan yang berbeda?

Penyelesaian

Karena kota pertama ditentukan maka untuk mengunjungi ke tujuh kota lain ada 7! =

7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cara

4.1.2. Kombinasi

Misalkan X = { x1, x2, …, xn} adalah himpunan yang mengandung n elemen yang berbeda.

Kombinasi r dari X adalah penyusunan (tanpa memperhatikan urutan) r elemen dari X, untuk r <

n.

Banyaknya kombinasi r dari himpunan X adalah berupa koefisien binomial yaitu :


Januari 2008

127

Contoh 4.9

Berapa banyak cara dapat memilih 5 orang pemain tenis untuk membentuk suatu grup dari 10

orang pemain?

Penyelesaian

Contoh 4.10

Berapa banyak cara membagikan 5 buah kartu kepada 4 orang pemain jika banyaknya kartu ada

52 buah.

Penyelesaian

Karena setiap pemain aakan memperoleh 5 kartu maka kartu yang tersisa adalah 52-5.4=32,

sehingga banyak cara untuk membagikan kartu tersebut pada keempat pemain adalah:

Problem Set

1. Dari 367 orang maka paling sedikit terdapat 2 orang yang lahir pada tanggal yang sama,

buktikan

2. Dari 26 kata dalam Bahasa Indonesia maka paling sedikit terdapat 2 kata yang dimulai

dengan huruf yang sama, buktikan

4.2. STATISTIKA


Januari 2008

128

4.2.1 PENGERTIAN DASAR STATISTIKA

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mengumpulkan,

menganalisis dan menginterpretasikan data mengenai suatu kegiatan

tertentu dan mengambil kesimpulan, dalam keadaan dimana terdapat

ketidakpastian.

Dalam prakteknya, statistika digunakan untuk berbagai bidang seperti ekonomi, politik,

psikologi, kedokteran, kimia, fisika, biologi, geografi, komunikasi, dsb.

Secara umum statistika dibagi menjadi dua kelompok utama, yaitu:

1. Statistika Deskriptif

Statistika Deskriptif berusaha menjelaskan, meringkas dan

menggambarkan karakteristik-karakteristik penting dari data, seperti

rata-rata, median, penyajian dalam bentuk tabel atau grafik.

2. Statistika Inferensi

Statistika inferensi berusaha membuat penaksiran, keputusan, peramalan

atau generalisasi terhadap suatu populasi berdasarkan sampel yang

diambil dari populasi tersebut.

Beberapa pengertian penting yang harus diketahui dalam statistika adalah datum, data, populasi,

sampel dan skala pengukuran data.

Datum adalah sebuah informasi yang didapat dari fenomena yang diamati. Kumpulan dari datum

disebut data. Secara umum data dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu data kualitatif (data

kategorik) dan data kuantitatif (data numerik).

Data kualitatif (data kategorik) adalah data yang dinyatakan bukan dalam bentuk angka seperti

jenis kelamin (laki-laki, perempuan), tingkat pendidikan (SD, SMP, SMA, Diploma, S-1, S-2, S-

3), kecenderungan (tidak setuju, kurang setuju, biasa, setuju, sangat setuju), dan sebagainya.

Data kuantitatif (data numerik) adalah data yang dinyatakan dalam bentuk angka seperti suhu,

tinggi badan, berat badan, banyaknya mahasiswa di suatu universitas, dan sebagainya. Data

numerik dapat dibedakan lagi menjadi data diskrit dan data kontinu. Suhu, tinggi badan dan berat

badan termasuk data kontinu sedangkan banyaknya mahasiswa, jumlah anak, banyaknya

kecelakaan merupakan data diskrit. Data diskrit adalah data yang diperoleh dengan cara

mencacah. Sementara data kontinu adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur.


Januari 2008

129

Populasi adalah himpunan data yang mencirikan suatu fenomena yang akan diamati. Sedangkan

sampel adalah bagian dari populasi yang diambil dengan cara tertentu.

Contoh 4.11

Berikut adalah data dari 40 orang siswa kelas XI A di SMP XYZ

Tabel 1

Data siswa kelas XI A SMP XYZ

NoTinggi

Badan

Berat

Badan

Jenis

KelaminNo

Tinggi

Badan

Berat

Badan

Jenis

Kelamin

1 152 41 Perempuan 21 170 65 Perempuan

2 167 60 Laki-laki 22 168 63 Perempuan



5 162 56 Perempuan 25 174 71 Laki-laki



8 170 75 Laki-laki 28 170 59 Laki-laki













Dari data diatas, data tinggi badan dan berat badan merupakan data kuantitatif, sedangkan data

jenis kelamin merupakan data kualitatif.


Januari 2008

130

4.2.2. UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral) adalah ukuran yang

menunjukkan pusat data. Ukuran-ukuran tersebut adalah mean (rataan),

median dan modus.

Pada materi ini pembahasan tentang ukuran pemusatan data akan dibagi menjadi dua bagian

yaitu ukuran pemusatan untuk data tunggal dan ukuran pemusatan untuk data berkelompok.

4.2.2.1. Ukuran Pemusatan Data Tunggal

a. Rata-rata (Mean)

Di lain pihak, jika adalah nilai-nilai pengamatan dari suatu data maka:

Contoh 4.12

Nilai ujian biologi dari 10 orang siswa yang dipilih secara acak adalah 83, 56, 63, 78, 82, 35, 44,

70, 62, dan 53, hitunglah rata-rata nilai yang diperoleh kesepuluh siswa tersebut!

Penyelesaian

Rata-rata nilai yang diperoleh kesepuluh siswa tersebut adalah

b. Median

Misalkan adalah nilai-nilai pengamatan dari suatu data yang telah diurutkan dari

yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya, maka median adalah nilai yang tepat berada di

tengah-tengah jika banyaknya pengamatan ganjil dan rata-rata dari dua nilai yang berada di

tengah jika banyaknya pengamatan genap.

Median dilambangkan dengan .


Januari 2008

131

Rata-rata (mean) adalah

Contoh 4.13

Tentukan median dari contoh 2

Penyelesaian

Sebelum menentukan median dari data, terlebih dahulu data akan diurutkan dari yang terkecil

sampai terbesar, yaitu:

35, 44, 53, 56, 62, 63, 70, 78, 82, 83

Karena banyaknya pengamatan genap, n = 10, maka median dari data di atas adalah rata-rata dari

dua nilai yang berada di tengah yaitu nilai ke-5 dan ke-6,

c. Modus

Modus dari suatu data adalah nilai yang paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi

yang paling tinggi

Contoh 4.14

Tentukan modus dari data berikut: 9 9 9 3 3 6 7 8 2 10 10 5 5 3

Penyelesaian

Modus dari data ini adalah nilai yang paling sering muncul atau yang mempunyai frekeunsi

tinggi yaitu 9 yang muncul sebanyak 3 kali.

Catatan:

Jika suatu data mempunyai dua modus disebut bimodus

Suatu data dapat tidak mempunyai modus.

4.2.2.2. Ukuran Pemusatan Data Berkelompok

a. Rata-rata (Mean)

Untuk data yang berkelompok seperti pada tabel distribusi frekuensi yang telah dipelajari

sebelumnya, maka rata-rata dapat ditentukan dengan:


Januari 2008

132

dimana: k = banyak kelas

n = banyaknya pengamatan

= titik tengah kelas ke-i

= frekuensi kelas ke-i

Contoh 4.15

Tentukan rata-rata dari data yang disajikan pada tabel berikut!

Distribusi Frekuensi Berat Badan Siswa Kelas XI A SMP XYZ

Kelas Batas Kelas Tepi Kelas Titik Tengah Frekuensi

I 38 – 46 37,5 – 46,5 42 5

II 47 – 55 46,5 – 55,5 51 7

III 56 – 64 55,5 – 64,5 60 14

IV 65 – 73 64,5 – 73,5 69 9

V 74 – 82 73,5 – 82,5 78 3

VI 83 – 91 82,5 – 91,5 87 2

Penyelesaian

KelasTitik Tengah Frekuensi

I 42 5 210

II 51 7 357

III 60 14 840

IV 69 9 621

V 78 3 234

VI 87 2 174

n = 40


Januari 2008

133

Dari tabel diperoleh bahwa:

b. Median

Median untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan:

dimana:

= tepi bawah kelas yang memuat median

l = lebar interval kelas


= jumlah frekuensi sebelum kelas yang memuat median

= frekuensi kelas yang memuat median

Contoh 4.16

Tentukan median dari data yang disajikan pada Contoh 4!

Penyelesaian

Kelas Tepi kelas Frekuensi

I 37,5 – 46,5 5

II 46,5 – 55,5 7

III 55,5 – 64,5 14

IV 64,5 – 73,5 9

V 73,5 – 82,5 3

VI 82,5 – 91,5 2


Januari 2008

134

n = 40

Banyaknya pengamatan dari data ini adalah 40, maka median akan berada pada kelas III

(Mengapa?), sehingga ; = 9 ; dan .

Jadi mediannya adalah

c. Modus

Modus untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan:

dimana:

= tepi bawah kelas yang memuat modus

l = lebar interval kelas


= selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas

modus

= selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas

modus

Contoh 4.17

Tentukan modus dari data yang disajikan pada Contoh 4!

Penyelesaian

Kelas Tepi kelas Frekuensi

I 37,5 – 46,5 5

II 46,5 – 55,5 7

III 55,5 – 64,5 14

IV 64,5 – 73,5 9

V 73,5 – 82,5 3


Januari 2008

135

VI 82,5 – 91,5 2

n = 40

Modus untuk data ini berada pada kelas III (Mengapa?), sehingga ; = 9 ;

dan .

Jadi

4.2.3. RATA-RATA GABUNGAN

Dua kelompok data (atau lebih) yang diketahui nilai rata-rata dan

frekuensinya, jika digabung maka rata-rata gabungannya adalah:

dimana:

= rata-rata data I

f1 = frekuensi data I

= rata-rata data II

f2 = frekuensi data II

Beberapa ukuran numerik lain yang sering dijumpai dalam statistik adalah rata-rata geometrik,

rata-rata harmonik dan koefisien keragaman.

4.2.4. RATA-RATA GEOMETRIK DAN RATA-RATA HARMONIK

Rata-rata yang telah kita pelajari sebelumnya disebut juga rata-rata aritmatika. Disamping rata-

rata aritmatika, terdapat jenis rata-rata lain yaitu rata-rata geometrik dan rata-rata harmonik.

Rata-rata Aritmatik


Januari 2008

136

Rata-rata Geometrik

Rata-rata Harmonik

Contoh 4.18

Tentukan rata-rata aritmatik, rata-rata geometrik, dan rata-rata harmonik dari data berikut:

9 9 9 3 3 5 6 7 8 2 10 10 5 5 3

Penyelesaian

Catatan:

Pada umumnya, hubungan antara ketiga rata-rata ini adalah

Problem Set

1. Perhatikan tabel berikut ini:

Nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 3 5 12 17 14 6 3

Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai

rata-rata dikurangi 1. Dari tabel di atas, berapakah jumlah siswa yang

lulus?


Januari 2008

137

2. Tes matematika diberikan kepada tiga kelas siswa berjumlah 100

orang. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua, dan ketiga adalah 7, 8, dan

7,5. Jika banyaknya siswa kelas pertama 25 orang dan kelas ketiga 5

orang lebih banyak dari kelas kedua, maka nilai rata-rata seluruh siswa

adalah ………..

3. Umur rata-rata dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa

adalah 40 tahun. Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun dan

umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun, maka perbandingan

banyaknya dokter dan jaksa adalah ………..

4. Rata-rata 15 bilangan adalah 13,4. Rata-rata 8 bilangan pertama

adalah 12,5 sedangkan rata-rata 6 bilangan kedua adalah 14,5, maka

bilangan ke-15 adalah ……….

5. Seorang pekerja toko memiliki 4 kantong berisi kentang yang masing-

masing beratnya kurang dari 100 kg. Neraca yang akan dipergunakan

hanya dapat menimbang benda yang beratnya lebih dari 100 kg. Ia

memecahkan masalah ini dengan menimbang 2 kantong sekaligus. Hasil

penimbangan yang diperolehnya adalah 103 kg, 105 kg, 106 kg, 106 kg,

107 kg, dan 109 kg. Berat kantong yang paling ringan adalah …………

4.3. PELUANG

4.3.1. PELUANG SUATU KEJADIAN

4.3.1.1. Ruang Sampel dan Kejadian

Terdapat beberapa pengertian penting yang perlu diketahui sebelum

mempelajari peluang suatu kejadian, yaitu pengertian tentang percobaan

(eksperimen) acak, ruang sampel (ruang contoh), titik sampel (titik contoh),

dan kejadian.

Konsep peluang (probabilitas) berhubungan dengan percobaan

(eksperimen) yang memberikan hasil yang tidak pasti, artinya walaupun

percobaan tersebut diulang pada kondisi yang sama akan memberikan hasil


Januari 2008

138

yang dapat berbeda-beda. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu

percobaan disebut ruang sampel (ruang contoh) yang dinotasikan dengan

S. Anggota dari suatu ruang sampel disebut titik sampel (titik contoh).

Banyaknya titik sampel dinotasikan n(S). Sedangkan definisi dari kejadian

adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Jika suatu percobaan telah

dilakukan dan hasil yang diperoleh termasuk dalam himpunan bagian A,

maka dikatakan bahwa kejadian A telah terjadi.

Beberapa catatan penting yang perlu diperhatikan adalah:

Kejadian ditulis dengan huruf besar A, B, C, ………..

Gabungan kejadian A dan B dinotasikan dengan ,

Irisan kejadian A dan B dinotasikan dengan

Komplemen kejadian A (kejadian selain kejadian A) dinotasikan dengan

Ingat Dalil De Morgan, bahwa:

Contoh 4.19

Misalkan sebuah percobaan acak berupa pelemparan sebuah dadu. Kejadian

A adalah munculnya mata dadu ganjil dan dan kejadian B adalah munculnya

mata dadu yang lebih besar dari 2. Tentukan ruang sampel S, kejadian A, B,

, , , dan .

Penyelesaian

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 3, 5}

B = {3, 4, 5, 6}

= {1, 3, 4, 5, 6}

= {3, 5}

= {2, 4, 6}

= {1, 2}

4.3.1.2. Peluang Suatu Kejadian

Definisi dari peluang adalah sebagai berikut:


Januari 2008

139

Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai N hasil yang mungkin yang banyaknya berhingga

dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi. Misalkan A adalah suatu

kejadian yang mempunyai k hasil, maka peluang kejadian A adalah:

Contoh 4.20

Dari contoh 2.13, hitunglah P(A), P(B), dan P( )

Penyelesaian

Banyaknya hasil yang mungkin pada eksperimen ini = 6

Banyaknya hasil yang mungkin pada kejadian A = 3, sehingga

Banyaknya hasil yang mungkin pada kejadian B = 4, sehingga

Banyaknya hasil yang mungkin pada kejadian = 2, sehingga

Sifat-sifat Peluang :

Kejadian yang tidak pernah terjadi

Kejadian yang pasti terjadi

4.3.1.3. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n(S) = N, A adalah kejadian pada ruang sampel S

dengan n(A) = k, dan adalah komplemen pada kejadian A, maka . Akibatnya,

peluang dari komplemen kejadian A adalah:

Contoh 4.21


Januari 2008

140

Untuk contoh 10, tentukan dengan menggunakan definisi di atas!

Penyelesaian

Karena , maka

4.3.1.4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan

munculnya kejadian A dalam M kali percobaan adalah .

Contoh 4.22

Jika percobaan pada contoh 10 dilakukan sebanyak 300 kali. Tentukan frekuensi harapan

munculnya kejadian A?

Penyelesaian

Diketahui , maka frekuensi harapan munculnya kejadian A adalah kali.

4.3.2. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

Pada sub bab ini, kita akan membahas bagaimana peluang suatu kejadian yang merupakan

gabungan atau irisan dari dua kejadian yang lain. Selain itu, pada sub bab ini juga akan dibahas

tentang peluang bersyarat, kejadian saling lepas, kejadian saling bebas dan teorema Bayes.

4.3.2.1. Gabungan Dua Kejadian

Dari sifat fungsi himpunan diketahui bahwa:

Maka berdasarkan hal ini, peluang gabungan kejadian A dan B adalah:

Contoh 4.23



mata dadu yang lebih besar dari 2. Tentukan P( )!


Januari 2008

141

Penyelesaian

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 3, 5}

B = {3, 4, 5, 6}

= {3, 5}

maka =

4.3.2.2. Kejadian Saling Lepas

Jika , maka peluang gabungan dua kejadian adalah .

Dalam keadaan ini, A dan B disebut dua kejadian yang saling lepas.

Contoh 4.24



mata dadu genap. Tentukan P( )!

Penyelesaian

A = {1, 3, 5}

B = {2, 4, 6}

= { }

maka = 1

Perhatikan contoh 4.24, terlihat bahwa dua kejadian disebut saling lepas jika

kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.

4.3.2.2. Peluang Bersyarat


Januari 2008

142

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian yang bergantung pada

kejadian lainnya.

Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S maka peluang kejadian A dan B dapat

ditentukan bahwa:

atau

Contoh 4.25

Tiga bola lampu yang sudah rusak secara tidak sengaja tercampur dengan 8 bola lampu yang

masih baik. Bila dua bola lampu diambil secara acak dan tanpa pengembalian, hitunglah:

a) peluang bahwa kedua bola lampu masih baik

b) peluang bahwa kedua bola lampu rusak

c) peluang bahwa terambil satu bola lampu rusak dan satu yang masih baik

Penyelesaian

Misalkan A1 = kejadian terambilnya bola lampu pertama baik

A2 = kejadian terambilnya bola lampu kedua baik

B1 = kejadian terambilnya bola lampu pertama rusak

B2 = kejadian terambilnya bola lampu kedua rusak

a) Peluang kedua bola yang terambil baik =

Berdasarkan definisi peluang bersyarat maka

b) Peluang kedua bola yang terambil baik =

Berdasarkan definisi peluang bersyarat maka


Januari 2008

143

Peluang bersyarat dari kejadian B jika diketahui kejadian A telah terjadi adalah:

;

c) Kejadian terambil satu bola lampu rusak dan satu baik mempunyai dua kemungkinan yaitu

lampu pertama baik dan lampu kedua rusak (A1 B2) atau lampu pertama rusak dan lampu kedua

baik (B1 A2).

Maka P ( 1 rusak, 1 baik) = = =

Problem Set

1. Dua kartu bridge diambil berurutan secara acak dari satu set kartu

bridge. Kartu pertama dikembalikan dan kartu diacak kembali setelah itu

kartu kedua diambil. Berapa probabilitas paling sedikit satu dari kedua

kartu yang diambil adalah As?

2. Seorang siswa menghadapi 3 jenis test: Matematika, Fisika, dan

Biologi. Peluang ia lulus berturut-turut adalah 8/10, 9/10, dan 7/10.

Tentukan peluang ia lulus paling sedikit 1 jenis test.

3. Sebuah kotak terdiri dari 6 pulpen merah, 7 pulpen hijau dan 3 pulpen

biru. Jika 4 pulpen diambil secara acak tanpa pengembalian, hitunglah

probabilitas bahwa tidak satupun dari yang terpilih berwarna merah!

4. Suatu keranjang berisi 25 salak dan 2 diantaranya busuk. Jika kita

mengambil 3 salak sekaligus, maka probabilitas terambilnya salak baik

semua adalah

5. Probabilitas 3 penembak menembak tepat pada sasarannyamasng-

masing 1/6, ¼, dan 1/3. Masing-masing mendapat kesempatan satu kali


Januari 2008

144

untuk menembak ke arah sasaran. Berapa probabilitas hanya seorang

yang tepat menembak mengenai sasaran?


Januari 2008

145

SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL

TINGKAT PROVINSI, TAHUN 2005

BIDANG MATEMATIKA

A. SOAL ISIAN SINGKAT

1. Perhatikan segi enam berikut ini. Banyaknya segitiga yang dapat ditemukan pada gambar

tersebut adalah:

2. Bilangan asli n terbesar yang memenuhi adalah

3. Bilangan A adalah bilangan asli terkecil yang merupakan hasil kali dari 3 bilangan prima

pertama. Dua buah bilangan antara 200 dan 300 yang memiliki faktor prima tepat sama

dengan bilangan A tersebut adalah

(Catatan: 10 dan 30 punya faktor prima yang tidak tepat sama, sedangkan 12 dan 18

memiliki faktor prima yang tepat sama)

4. Semua pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi persamaan adalah

5. Bilangan 45 dapat dinyatakan sebagai selisih dari bilangan kuadrat, yakni , dengan

a dan b adalah bilangan asli. Semua pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi

adalah

6. 16 dapat dinyatakan sebagai 3x + 7y sebab jika x diganti dengan 3 dan y diganti dengan 1,

maka diperoleh 3.3+7.1 yang bernilai 16. 7 (tujuh) bilangan antara 100 dan 122 yang dapat

dinyatakan ke dalam bentuk 6x + 9y adalah


Januari 2008

146

7. Tiga bilangan bulat membentuk kumpulan data yang berata-rata 10. Banyaknya

kombinasi bilangan yang mungkin (sebutkan juga datanya), jika diketahui selisih data

terbesar dan terkecilnya tidak lebih dari 4 adalah

8. H adalah himpunan yang didefinisikan oleh { x B| x2 10, x - 1 < 2 } dengan B adalah

himpunan bilangan bulat. Banyaknya himpunan bagian tak kosong dari H adalah

9. Bilangan-bilangan real x yang memnuhi adalah

10. Dalam menentukan jawab perkalian bilangan 1493 dan 1507, seorang anak

mengurangkan langsung 49 dari 2.250.000. Dia sama sekali tidak mengalikan kedua bilangan

tersebut dengan panjang. Prinsip matematika yang digunakan oleh anak tersebut adalah

B. SOAL URAIAN

1. Perhatikan gambar berikut. Andaikata Anda diminta untuk mencari luas daerah di dalam

kurva ABCDE. Jika jarak terdekat dua titik secara mendatar atau vertikal adalah 5 cm,

berapakah luas segilima ABCDE ?

2. Seseorang memiliki sejumlah koin senilai 1000 rupiah. Setelah diperhatikan dengan

seksama, ternyata koin yang dimilikinya terdiri dari tiga macam koin di antara 4 macam koin

yang sekarang masih berlaku (500-an, 200-an, 100-an dan 50-an). Selidiki dan tentukan

berapa banyak kombinasi koin yang mungkin dimiliki oleh orang tersebut

3. Suatu bilangan X terdiri dari 6 angka dan dimulai dari angka 1. Jika angka pertama

dipindahkan dari ujung paling kiri ke ujung paling kanan tanpa mengubah susunan angka-


Januari 2008

147

C

A

B

D

E

angka yang lainnya, bilangan yang baru terbentuk adalah tiga kali lipat bilangan semula.

Berapakah bilangan X tersebut?

4. Pada gambar di bawah, titik O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r. Jika panjang

ruas garis ED juga sama dengan r, buktikanlah bahwa

5. Ada berapa banyakkah pasangan terurut bilangan asli (a, b), dengan syarat a < b dan

FPB(a, b) = 4 serta KPK (a, b) = 140 ?


Januari 2008

148

A

B

OCE

Dr r

r

SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL

TINGKAT PUSAT, TAHUN 2005

BIDANG MATEMATIKA

1. A adalah suatu himpunan bilangan. Himpunan A memiliki sifat tertutup terhadap

pengurangan, artinya hasil pengurangan dua bilangan di A akan menghasilkan bilangan di A

juga. Jika diketahui dua anggota dari A adalah 4 dan 9 tunjukkan bahwa:

a. 0 A

b. –13 A

c. 74 A

Selanjutnya, daftarkan semua anggota himpunan A

2. (2, 0, 4, 1) adalah salah satu selesaian/jawab dari . Jika semesta

pembicaraan pada persamaan ini adalah himpunan semua bilangan bulat tidak negatif,

tentukan banyak penyelesaian yang mungkin dari .

3. Adi adalah karyawan pada salah satu perusahaan tekstil yang bertugas menyimpan data.

Suatu ketika Adi diminta pimpinan perusahaan untuk menyiapkan data tentang kenaikan

produksi selama lima periode. Setelah dicari, Adi hanya menemukan empat data kenaikan,

yaitu 4%, 9%, 7% dan 5%. Satu lagi, yaitu data ke-5 tidak ditemukan. Selidiki data kenaikan

produksi yang ke-5, bila Adi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari 5 data

tersebut adalah sama.

4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi sistem persamaan:

5. Diketahui gambar berikut, ABCD adalah persegi dan E adalah titik sembarang di luar persegi

ABCD.


Januari 2008

149

D

BA

E

C

Selidiki apakah berlaku hubungan ?

6. Di antara bilangan 1/5 dan 1/4 terdapat tak hingga banyak bilangan pecah. Tentukan 999

bilangan pecah di antara 1/5 dan 1/4 sehingga selisih antara bilangan pecah berikutnya

dengan bilangan pecah sebelumnya konstan.

(Maksudnya jika adalah bilangan pecah yang dimaksudkan, maka

)

7. Pada gambar-gambar di bawah adalah: ”Gambar berikutnya diperoleh dengan menambah

gambar segitiga sama sisi berwarna hitam yang ukuran sisinya setengah dari masing-masing

segitiga warna putih yang tersisa pada gambar selanjutnya”. Jika pola tersebut berkelanjutan

(kontinu) sampai tak hingga,

Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3 Gambar 4

a. Jika diketahui luas segitiga sama sisi pada gambar 1 adalah 1 satuan luas,

tentukan luas keseluruhan daerah yang dibentuk oleh segitiga-segitiga hitam pada gambar

5.

b. Andaikata anda diminta untuk menentukan luas keseluruhan luas daerah yang

dibentuk oleh segitiga-segitiga hitam pada gambar ke-20, rumus yang bagaimanakah

yang bisa anda gunakan.

8. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita definisikan a*b = ab + a - b. Bilangan asli x

dikatakan penyusun penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yang memenuhi

x*y = n. Sebagai contoh, 2 adalah penyusun 6, karena terdapat bilangan asli 4 sehingga 2*4 =

2.4 + 2 - 4 = 8 + 2 - 4 = 6. Tentukan semua penyusun 2005.

9. Tiga orang hendak makan siang di suatu rumah makan. Untuk menentukan siapakah yang

membayar, mereka membuat permainan. Masing-masing mengetos satu koin secara bersama-

sama. Jika hasilnya muka semua atau belakang semua, maka mereka mengetos lagi. Jika


Januari 2008

150

tidak demikian, maka ”orang ganjil” (yaitu orang yang koinnya muncul dari dua orang

lainnya) yang membayar. Tentukan semua banyaknya hasil yang mungkin jika permainan

berakhir pada pengetosan:

a. Pertama

b. Kedua

c. Ketiga

d. Kesepuluh

10. Diketahui bentuk , dengan x dan y adalah bilangan-bilangan bulat.

a. Jika n < 20, bilangan berapa sajakah n tersebut, dan diperoleh dari pasangan (x, y)

apa saja.

Tunjukkan bahwa tidak mungkin menghasilkan


Januari 2008

151

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP-MTs TAHUN 2007

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONALDIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMAHARI: I

Petunjuk

1. Terdapat lima soal yang perlu Anda jawab di hari pertama.

2. Jawablah masing-masing soal secara lengkap di tempat yang

disediakan.

3. Skor masing-masing soal maksimal 7.

4. Waktu yang disediakan untuk menjawab semua soal di hari pertama ini

adalah 3 jam (180 menit).

5. Jika Anda merasa ada yang tidak jelas, silahkan mengajukan

pertanyaan kepada pengawas dengan didahului mengangkat tangan

Anda.

SOAL 1:

Satu set kartu memuat 100 kartu yang masing-masing ditulisi bilangan dari 1 sampai dengan 100. Pada setiap dua sisi kartu ditulis bilangan yang sama, sisi pertama berwarna merah dan sisi yang lain berwarna hijau. Pertama-tama Leny menyusun semua kartu dengan tulisan merah menghadap ke atas. Kemudian Leny melakukan tiga langkah berikut ini:I. Membalik semua kartu yang nomornya habis dibagi 2II. Membalik lagi semua kartu yang nomornya habis dibagi 3III. Membalik lagi semua kartu yang nomornya habis dibagi 5, namun tidak

membalik semua kartu yang nomornya habis dibagi 5 dan 2.Tentukan banyak kartu Leny sekarang yang bernomor berwarna merah dan menghadap ke atas!

SOAL 2:

Hitunglah luas daerah dari tiga daerah setengah lingkaran yang beririsan seperti tampak pada gambar berikut.


Januari 2008

152

SOAL 3:

Diketahui bahwa Tentukan nilai A agar .

SOAL 4:

Ada 13 kado berbeda yang akan dibagikan semuanya kepada Ami, Ima, Mai, dan Mia. Jika Ami mendapat paling sedikit 4 kado, Ima dan Mai masing-masing mendapat paling sedikit 3 kado, dan Mia mendapat paling sedikit 2 kado, ada berapa banyak susunan kado yang mungkin diperoleh?

SOAL 5:

Suatu bilangan asli disebut bilangan kuaprim jika memenuhi keempat syarat berikut.(i) Tidak memuat angka nol.(ii) Angka-angka penyusun bilangan itu berbeda.(iii) Satu angka pertama dan satu angka terakhir

merupakan bilangan prima atau bilangan kuadrat.(iv) Setiap pasang angka berurutan membentuk bilangan

prima atau bilangan kuadrat.Sebagai contoh, kita periksa bilangan 971643.(i) 971643 tidak memuat angka nol.(ii) Angka-angka penyusun 971643 berbeda.(iii) Satu angka pertama dan satu angka terakhir dari

971643, yaitu 9 dan 3 merupakan bilangan prima atau bilangan kuadrat.(iv) Setiap pasang angka berurutan, yaitu 97, 71, 16, 64,

dan 43 membentuk bilangan prima atau bilangan kuadrat.Jadi 971643 merupakan bilangan kuaprim.

a. Carilah bilangan kuaprim 6-angka paling besar.b. Carilah bilangan kuaprim 6-angka paling kecil.c. Angka berapa yang tidak pernah termuat dalam sebarang bilangan

kuaprim? Jelaskan.


Januari 2008

153

a

a

b

b

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP-MTs TAHUN 2007

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONALDIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

HARI KE 2Petunjuk

1. Terdapat lima soal yang perlu Anda jawab di hari kedua (Soal 6 sampai

dengan Soal 10).

2. Jawablah masing-masing soal secara lengkap di tempat yang

disediakan.

3. Skor masing-masing soal maksimal 7.

4. Waktu yang disediakan untuk menjawab semua soal di hari kedua ini

adalah 3 jam (180 menit).

5. Jika Anda merasa ada yang tidak jelas, silahkan mengajukan

pertanyaan kepada pengawas dengan didahului mengangkat tangan

Anda.

SOAL 6:

Empat bangun berbentuk layang-layang seperti gambar berikut ( , bilangan asli kurang dari 10) ditata sedemikian rupa sehingga membentuk persegi dengan lubang berbentuk persegi pula di tengah-tengahnya. Lubang berbentuk persegi di tengah-tengah tersebut memiliki keliling 16 satuan panjang. Berapakah keliling yang mungkin diperoleh dari persegi terluar yang terbentuk jika diketahui pula bahwa dan adalah bilangan-bilangan yang relatif prima.

SOAL 7:

Jika , , , dan dan jika p, q, r, dan s adalah bilangan asli, berapakah nilai terkecil dari yang memenuhi ?

SOAL 8:

Ucok bermaksud menyusun suatu kode kunci (password) yang terdiri atas 8 angka dan memenuhi ketentuan berikut:(i) Angka yang dipakai adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

(ii) Angka pertama yang dipakai adalah minimal 1, angka kedua minimal 2, angka ketiga minimal 3, dan seterusnya.


Januari 2008

154

(iii) Angka yang sama bisa digunakan beberapa kali.

a) Berapa banyak password berbeda yang mungkin disusun Ucok?

b) Berapa banyak password berbeda yang mungkin disusun Ucok, jika ketentuan (iii) diganti dengan: tidak boleh ada angka yang digunakan lebih dari satu kali.

SOAL 9:

Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku

a (b + c) = (a b) + (a c).

a. Cari contoh yang menunjukkan bahwa

a + (b c) ≠ (a + b) (a + c).

b. Kapan berlaku

a + (b c) = (a + b) (a + c)?

Jelaskan jawaban Anda.

SOAL 10:

Hasil survey terhadap N orang dengan pertanyaan apakah mereka memelihara anjing, burung, atau kucing dirumah adalah sebagai berikut: 50 orang memelihara burung, 61 orang tidak memelihara anjing, 13 orang tidak memelihara kucing, dan paling sedikit ada 74 orang yang memelihara paling sedikit dua jenis binatang di rumah. Berapakah nilai maksimum dan minimum dari nilai N yang mungkin?


Januari 2008

155

modul pelatihan

Documents