Fungsi Rasional

BAB IIFUNGSI rasionalStandar KompetensiMenyelesaikan masalah berkaitan dengan fungsi rasional.Kompetensi Dasar1. Menentukan Asimtut-asimtut dari fungsi rasional.2. Menentukan titik balik fungsi rasional3. Menggambar grafik fungsi rasional.

Selain fungsi linier dan fungsi kuadrat yang sudah dibahas pada Bab sebelumnya, kita perlu mengenal fungsi lain yaitu Fungsi Rasional. Dalam bagian ini akan dibahas bagaimana menggambar grafik dari Fungsi Rasional dengan berbagai bentuk. Sebelumnya kita perlu untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi rasional tersebut.Definisi. Fungsi Rasional adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk , dengan p(x) dan q(x) masing masing polynomial dan q(x) 0 pada domainnya.Sebelum kita menggambar grafik Fungsi Rasional, perlu untuk dikenal tentang asimtut asimtut.A. Nilai Nol Fungsi RasionalNilai nol fungsi rasional adalah nilai nilai x yang menyebabkan y = f(x) = 0. Pada Fungsi Rasional , nilai nilai pembuat nolnya adalah nilai nilai x yang menyebabkan p(x) = 0 asalkan nilai tersebut tidak menyebabkan q(x) = 0 juga. Perlu dipertegas bahwa nilai x yang menyebabkan p(x) = 0 belum tentu menjadi nilai nol untuk fungsi f(x), hal ini terjadi jika nilai x tersebut menyebabkan q(x) = 0 yang menyebakan fungsi menjadi tidak terdefinisi. Seperti diketahui bahwa nilai nol fungsi berkaitan dengan titik potong dengan sumbu X, Asimtut adalah garis yang semakin jauh semakin mendekati grafik fungsi, tetapi tidak pernah memotong ataupun menyinggung grafik fungsi. Atau dapat dikatakan Definisi asimtut dari sebuah garis lengkung ialah garis yang makin lama makin dekat pada garis itu sehingga berjarak sekecil-kecilnya.jadi jika x = a adalah pembuat nol, maka titik potong dengan sumbu X adalah (a,0).B. Asimtut asimtutDefinisi1. Asimtut tegakAsimtut tegak adalah garis yang sejajar dengan sumbu y, sehingga persamaan asimtut berbentuk x = c. Berdasarkan definisi dapat disimpulkan bahwa asimtut tegak diperoleh apabila y atau , hal ini dapat terjadi pada saat q( x) = 0. Jadi Persamaan asimtut tegak diperoleh dari persamaan q( x) = 0.2. Asimtut mendatarAsimtut mendatar adalah garis yang sejajar dengan sumbu x, sehingga persamaan asimtut berbentuk y = c. Berdasarkan definisi dapat disimpulkan bahwa asimtut mendatar diperoleh apabila x atau dapat dikatakan persamaan asimtut mendatar adalah y = . Jadi jika = , maka persamaan asimtut mendatar ialah garis y = .3. Asimtut Miring Apabila asimtut tidak sejajar dengan sumbu x ataupun sumbu y, maka asimtut tersebut disebut asimtut miring. Perhatikan Persamaan fungsi : , dengan melakukan pembagian akan didapatkan persamaan y = = . Misalkan g(x) = , jika x maka g(x) 0. Hal ini menunjukkan bahwa untuk x nilai y untuk persamaan y = akan mendekati nilai y untuk persamaan y = . Jadi dapat disimpulkan bahwa asimtut miring dari fungsi adalah persamaan y = .Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa asimtut miring dari fungsi , dengan syarat c 0 adalah garis dengan persamaan y = ax + b. Kasus untuk Fungsi Rasional berbentuk f(x) = i. Asimtut tegakAsimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah px + q = 0 atau x = .ii. Asimtut MendatarAsimtut mendatar diperoleh apabila x atau dapat dikatakan persamaan asimtut mendatar adalah y = = . Jadi persamaan asimtut mendatar ialah garis y = .iii. Asimtut MiringUntuk kasus y = tidak memiliki asimtut miring.Contoh 1.Tentukan asimtut - asimtut dari fungsi y = Jawab :Asimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah 2x = 0 atau x = 0.Asimtut mendatar diperoleh apabila x , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut mendatarnya adalah y = = . Jadi persamaan asimtut mendatar ialah garis y = .Contoh 2. Tentukan asimtut - asimtut dari fungsi y = Jawab :Asimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = tidak memiliki asimtut tegak. Hal ini disebabkan karena tidak ada nilai x yang menyebabkan y tidak terdefinisi.Asimtut mendatar diperoleh apabila x , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut mendatarnya adalah y = = . Jadi y = juga tidak memiliki asimtut mendatar.Contoh 3.Tentukan asimtut-asimtut dari fungsi y = Jawab :Asimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah x-1 = 0 atau x = 1.Asimtut mendatar diperoleh apabila x , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut mendatarnya adalah y = = 2. Jadi asimtut mendatar dari fungsi y = adalah persamaan garis y = 2.Kasus untuk Fungsi Rasional berbentuk f(x) = .i. Asimtut tegakAsimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah px + q = 0 atau x = . ii. Asimtut MendatarAsimtut mendatar diperoleh apabila x atau dapat dikatakan persamaan asimtut mendatar adalah y = = . Jadi y = tidak memiliki asimtut mendatar.iii. Asimtut MiringUntuk kasus y = , Jika . Maka asimtut miringnya adalah y = mx +n.Contoh 4.Tentukan asimtut-asimtut dari fungsi y = Jawab :Asimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah x-1 = 0 atau x = 1.y = , jadi asimtut miringnya adalah persamaan garis y = x + 1.Contoh 5.Tentukan asimtut-asimtut dari fungsi y = Jawab :Asimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah 2x+1 = 0 atau x = .y = , jadi asimtut miringnya adalah persamaan garis y = x - . Kasus untuk Fungsi Rasional berbentuk f(x) = .i. Asimtut tegakAsimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = asimtut tegaknya diperoleh dari akar akar persamaan kuadrat px2 + q x + r = 0 , untuk penjelasan lebih lanjut lihat kembali tentang akar akar persamaan kuadrat pada Bab I . ii. Asimtut MendatarAsimtut mendatar diperoleh apabila x atau dapat dikatakan persamaan asimtut mendatar adalah y = = . Jadi asimtut mendatarnya adalah y = . iii. Asimtut MiringUntuk kasus y = , tidak mempunyai asimtut miring.Contoh 6.Tentukan asimtut-asimtut dari fungsi y = Jawab :Asimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = asimtut tegaknya diperoleh dari akar akar persamaan kuadrat = 0 , jadi asimtut tegaknya adalah x = 2 dan x = -2.Asimtut mendatar diperoleh apabila x atau dapat dikatakan persamaan asimtut mendatar adalah y = = . Jadi asimtut mendatarnya adalah y = .

C. Titik Balik Fungsi RasionalMisalkan titik balik Fungsi Rasional adalah ( a,m ), artinya grafik fungsi y = f(x) menyinggung garis dengan persamaan y = m. Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa garis y = m sejajar dengan sumbu X dan melalui titik ( 0,m ). Jadi untuk mencari titik balik grafik fungsi , perlu dicari adakah garis y = m yang menyinggung f(x).Kasus untuk Fungsi Rasional berbentuk f(x) = Untuk mengetahui apakah titik balik dari fungsi y = ada atau tidak, maka perlu dicari apakah ada garis y = m yang menyinggung y = .Oleh karena itu diperoleh :

Dari uraian diatas terlihat bahwa selalu dapat ditemukan absis dari titik potong garis y = m dengan fungsi y = , yaitu . Sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak ada titik balik untuk fungsi f(x) = .Kasus untuk Fungsi Rasional berbentuk f(x) = .Untuk mengetahui apakah titik balik dari fungsi y = ada atau tidak, maka perlu dicari apakah ada garis y = m yang menyinggung y = . Oleh karena itu diperoleh :

Dari uraian diatas diperoleh persamaan kuadrat artinya titik balik dari fungsi y = akan ada jika nilai D = 0 atau , nilai m yang diperoleh dari persamaan ini adalah ordinat dari titik balik fungsi y = .Contoh 7.Tentukan titik balik dari fungsi y = Jawab :Untuk mengetahui apakah titik balik dari fungsi y = ada atau tidak, maka perlu dicari apakah ada garis y = m yang menyinggung y = . Oleh karena itu diperoleh :

Dari uraian diatas diperoleh persamaan kuadrat artinya titik balik dari fungsi y = akan ada jika nilai D = 0 atau .

Jadi, m = 0 atau m=1. Artinya titik balik y = adalah (-1, 0) dan (0,1)

Kasus untuk Fungsi Rasional berbentuk f(x) = .Untuk mengetahui apakah titik balik dari fungsi y = ada atau tidak, maka perlu dicari apakah ada garis y = m yang menyinggung y = . Oleh karena itu diperoleh :

Dari uraian diatas diperoleh persamaan kuadrat artinya titik balik dari fungsi y = akan ada jika nilai D = 0 atau , nilai m yang diperoleh dari persamaan ini adalah ordinat dari titik balik fungsi y = .Contoh 8.Tentukan titik balik dari fungsi y = Jawab :Untuk mengetahui apakah titik balik dari fungsi y = ada atau tidak, maka perlu dicari apakah ada garis y = m yang menyinggung y = . Oleh karena itu diperoleh :

Dari uraian diatas diperoleh persamaan kuadrat artinya titik balik dari fungsi y = akan ada jika nilai D = 0 atau .

Jadi, m = 0 atau m=1/4. Artinya titik balik y = adalah (-1, 0) dan (2,1/4).

D. Menggambar Grafik Fungsi Rasional Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut , langkah langkah yang harus diperhatikan adalah sebagai berikut :1) Menentukan titik potong dengan sumbu X2) Menentukan titik potong dengan sumbu Y3) Mencari persamaan asimtut asimtut4) Menentukan titik balik5) Untuk mempermudah dalam menggambar grafik perlu untuk ditentukan beberapa titik bantu.Contoh 9.Gambarkan grafik dari fungsi y = Jawab :1). Menentukan titik potong dengan sumbu XGrafik fungsi memotong sumbu X pada saat y = 0. Jadi grafik memotong sumbu X pada saat 2x + 1 = 0 atau x = -, titik potongnya adalah (-,0).2). Menentukan titik potong dengan sumbu YGrafik fungsi memotong sumbu Y pada saat x = 0. Jadi grafik memotong sumbu Y pada saat y = atau y = -, titik potongnya adalah (0,-).3). Menentukan asimtut asimtutAsimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah x-2 = 0 atau x = 2.Asimtut mendatar diperoleh apabila x , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut mendatarnya adalah y = = 2. Jadi asimtut mendatar dari fungsi y = adalah persamaan garis y = 2. 4). Menentukan titik balikSeperti yang telah diuraikan diatas jelas bahwa fungsi y = tidak memiliki titik balik.5). Menentukan titik titik bantuX-2-101

Y-3/41/3-1/23

Contoh 10.Gambarkan grafik dari fungsi y = Jawab :1). Menentukan titik potong dengan sumbu XGrafik fungsi memotong sumbu X pada saat y = 0. Jadi grafik memotong sumbu X pada saat = 0 atau x = -1, titik potongnya adalah (-1,0).2). Menentukan titik potong dengan sumbu YGrafik fungsi memotong sumbu Y pada saat x = 0. Jadi grafik memotong sumbu Y pada saat y =atau y = -1/8 , titik potongnya adalah (0,-1/8).3). Menentukan asimtut asimtutAsimtut tegak diperoleh apabila y , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut tegaknya adalah = 0 atau x = -2 dan x = 4.Asimtut mendatar diperoleh apabila x , jadi untuk kasus y = diperoleh asimtut mendatarnya adalah y = = 1. Jadi asimtut mendatar dari fungsi y = adalah persamaan garis y = 1. 4). Menentukan titik balik Titik balik y = adalah (-1, 0) dan (2,1/4).5). (lihat contoh 8) 5). Menentukan titik titik bantuX-1012

Y0-1/8-4/11-9/14

LATIHANA. Tentukan Asimtut dari fungsi berikut :1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. B. Gambarlah grafik dari Fungsi pada soal bagian ANani Kurniati 8