modul differensiasi dan integrasi transformasi laplace.pdf

7/22/2019 Modul differensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace.pdf

1/9

MATEMATIKA IV

MODUL 12Diferensiasi dan Integrasi

Transformasi Laplace

ZuhairJurusan Teknik Elektro

Universitas Mercu BuanaJakarta

2008 01 13()


2/9

created b y zuhair 2

Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace memiliki banyak sifat umum yang cukup menakjubkan

yang kita dapat gunakan untuk mendapatkan transformasi atau transformasi invers

Laplace-nya. Tentu saja, metode-metode untuk mencapai tujuan itu didasarkan pada

sifat-sifat itu sendiri seperti integrasi langsung, pemanfaatan linearitas, pergeseran dan

diferensiasi atau integrasi dari fungsi original (t).

Dalam modul ini kita mempertimbangkan diferensisasi dan integrasi dari

transformasi Laplace F(s) dan mendapatkan operasi yang berkorespondensi untuk

fungsi original (t).

Diferensiasi Transformasi Laplace

Dapat diperlihatkan bahwa bila (t) memenuhi kondisi teorema yang ada dalam

modul 9 dan derivatif dari transformasi Laplace yang berkorespondensi,

F(s) = (f) = e-st(t) dt0

Berkenaan dengan s dapat diperoleh dengan diferensiasi di bawah tanda integral

berkenaan dengan s. Jadi,

F(s) = e-st{ t (t) } dt0

Konsekuensinya, bila () = F(s), maka,

{ t (t) } = F(s) ...............................................(1)

Diferensiasi transformasi fungsi yang berkorespondensi dengan multiplikasi fungsi

dengan t. Sifat transformasi Laplace ini memungkinkan kita memperoleh transformasi

baru dari yang telah diberikan.

CONTOH 1.

t sin tCarilah transformasi Laplace dari (t) =

2Penyelesaian:

Dari persamaan (1) di atas dan formula 8 dalam Tabel 1,


3/9


(sin t) = s2 + 2

kita peroleh,d d

(t sin t) = { } = { (s2 + 2)-1} =ds s2 + 2 ds

2s (s2 + 2)-2 2s =

(s2 + 2)2

Dengan membagi hasil di atas dengan 2, kita dapatkan,

t sin t s

{} = 2 (s2 + 2)2

CONTOH 2.

sin t t cos tCarilah transformasi Laplace dari (t) =

23Penyelesaian:

Serupa dengan CONTOH 1, dari persamaan (1) dan formula 7 dalam Tabel 1,

s

(cos t) =

s2

+ 2kita peroleh,

d s

(t cos t) = { }ds s2 + 2

(s2 + 2) 2 s2= { }

(s2 + 2)2

s2 2=

(s2 + 2)2

sehingga,

sin t t cos t 1

{} = (sin t t cos t) =23 23


4/9


1 1 (s2 2)

{(sin t) (t cos t) } = { } =

23

23

s2

+ 2

(s2

+ 2)2

1 (s2 + 2) (s2 2) 1 23 1

= { } = = 23 (s2 + 2)2 23 (s2 + 2)2 (s2 + 2)2

CONTOH 3.

sin t + t cos tCarilah transformasi Laplace dari (t) =

2Penyelesaian:

Transformasi Laplace dari (t) adalah,sin t + t cos t 1

{} = (sin t + t cos t) =2 2

1 1 (s2 2)

{(sin t) + (t cos t) } = { + } =2 2 s2 + 2 (s2 + 2)2

1 (s2 + 2) + (s2 2) 1 2 s2 s2

= { } = = 2 (s2 + 2)2 2 (s2 + 2)2 (s2 + 2)2

Tabel 5 memperlihatkan transformasi Laplace yang diperoleh dari CONTOH 1, 2 dan 3.

Tabel 5. Aplikasi diferensiasi transformasi Laplace.

(t) ()

1

2

3

1 (sin t t cos t)

23

t sin t2

1 (sin t + t cos t)2

1

(s2 + 2)2

s

(s2 + 2)2

s2

(s2 + 2)2


5/9


In tegrasi Transform asi Laplace

Dengan cara serupa, jika f(t) memenuhi kondisi yang ada dalam teorema di

(t)modul 9 dan limit dimana t mendekati 0 dan limit tersebut eksis, maka,

t

(t)

{} = F() d ....................................(2)t s

dalam model ini, integrasi transformasi fungsi (t) berkorespondensi dengan pembagian

(t) dan t. Dari definisi transformasi Laplace, persamaan (2) dapat ditulis ke dalam

bentuk,

F() d = { e-t(t) dt } ds s 0

dan dapat diperlihatkan bahwa integrasi persamaan di atas dapat ditukar, yaitu,

F() d = { e-t(t) d } dt = (t) { e-t d } dt =s 0 s 0 s

Integral terhadap dapat dihitung sebagai berikut,

1 1 1

e-t d = e-t | = (e- e-st) = e-sts t s t t

sehingga, (t) (t)

F() d = e-st{} dt = {}s 0 t t

dan transformasi invers Laplacenya adalah,

(t)

-1{ F() d } = s tCONTOH 4.

2Carilah transformasi invers Laplace dari fungsi n (1 + )

s2Penyelesaian:

Kita tuliskan,


6/9


2

F() d = n (1 + )

s s2

Dengan diferensiasi,

d d 2

{ F() d } = {n (1 + ) }ds s ds s2

d s2 + 2

F(s) = {n () }ds s2

d

= {n (s2 + 2) n (s2) }ds

2 2s=

s s2 + 2

dimana ekualitas terakhir dapat diverifikasi secara mudah dengan perhitungan langsung.

Dari Tabel 1, kita peroleh,

2 2s

(t) =

-1

{F(s)

}=

-1

{

}= 2 2 cos t

s s2 + 2

Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2),

(t)

{} = F() dt s

Karena itu,

2 f(t)

-1{n (1 + )} = -1{ F() d } =

s2 s tHasil kita adalah,

2 2

-1{n (1 + )} = (1 cos t)s2 t

CONTOH 5.

Carilah transformasi invers Laplace dari fungsi F(s) = arc cot (s / )


7/9


Penyelesaian:

Dengan cara serupa kita tuliskan,

s F() d = arc cot s

Dengan diferensiasi,d d s

{ F() d } = {arc cot }ds s ds

Misalkan, = arc cot (s / )

cot = s / , sin = / (s2 + 2), cos = s / (s2 + 2)

Diferensiasi ekspresi ini menghasilkan,d(cot ) = d(s / )

cosec2 d = ds /

d / ds = 1 / ( cosec2)

= sin2 /

= sin2 /

= / (s2 + 2),

sehingga,d d s

{ F() d } = {arc cot }ds s ds

F(s) = d / ds = / (s2 + 2)

Dari Tabel 1, kita peroleh,

(t) = -1{ F(s) } = -1{ / (s2 + 2) } = sin t


(t)

{} = F() dt sKarena itu,

(t)

-1{arc cot (s / )} = -1{ F() d } = s t

Hasil kita adalah,


8/9


s sin t

-1{arc cot } = t

CONTOH 6.

sCarilah transformasi invers Laplace dari fungsi F(s) = n []

s2 + 1Penyelesaian:

Dengan cara serupa kita tuliskan,

s

F() d = n []s s2 + 1

Ekspresi ini didiferensialkan,

d d s

{ F() d } = { n [] }ds s ds s2 + 1

d

F(s) = { n s n (s2 + 1) }ds

2s 1=

s2 + 1 s

Dengan memanfaatklan Tabel 1, diperoleh,

(t) = -1{ F(s) } = -1{ 2s / (s2 + 1) 1 } = 2 cos t 1


(t)

{} = F() dt s

Karena itu,

s (t)

-1{n []} = -1{ F() d } = s2 + 1 s t

Hasil kita akhirnya adalah,

s 2 cos t 1

-1{n []} = s2 + 1 t


9/9


SOAL-SOAL

Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi (t) berikut,

1. t cos 2t

2. t e2t

3. t cosh t

4. t2 et

5. t sinh 2t

6. t2 sinh 2t

7. t2 cos t

8. t e-2t sin t

Tentukanlah (t) bila () didefinisikan sebagai berikut,

19.

(s + 1)2

210.

(s a)3

2s11.

(s2 4)2

s + a12. n

s + b

s13. n

s 1

s2 + 114. n

(s 1)2

15. arc cot (s + 1)

modul differensiasi dan integrasi transformasi laplace.pdf

Documents