modul 1 pengenalan matlab

KOMPUTASI SISTEM FISIKA BERBASIS MATLAB 2011

Created @ 2011 by Mada Sanjaya WS 1

MATLAB adalah perangkat lunak yang dapat digunakan untuk analisis dan visualisasi data.

MATLAB didesain untuk mengolah data dengan menggunakan operasi matriks. MATLAB juga

mampu untuk menampilkan grafis dan memiliki bahasa pemrograman yang baik.

MATLAB yang digunakan pada modul ini adalah MATLAB versi 7.10. Untuk menjalankan

program MATLAB sama seperti program lainnya. Dari menu program files pilih folder

MATLAB. Selanjutnya pada layar akan muncul antar muka MATLAB seperti pada gambar 1.1.

Pada antar muka awal MATLAB tersebut terdapat 3 (tiga) jendela utama yaitu jendela Current

Directory, Command Window dan Command History.

Current Directory digunakan untuk melihat direktori file tempat bekerja

Command Window digunakan untuk memasukkan perintah program (command) yang akan

dieksekusi

Comman History digunakan untuk melihat perintah program (command) yang pernah

digunakan.

PENGENALAN MATLAB UNTUK KOMPUTASI SISTEM FISIKA

Objektif: 1. Mengetahui cara mengoperasikan dan prosedur membuat program dasar dalam

MATLAB 2. Mengetahui cara menginisialisasi variable dalam MATLAB 3. Mengetahui operasi matematika dan fungsi dasar dalam MATLAB 4. Mengetahui cara membuat grafik pada MATLAB

RUANG KERJA MATLAB



Gambar 1.1: Tampilan MATLAB 7.10

Command Window

Windows ini muncul pertama kali ketika kita menjalankan program MATLAB. Command

Windows digunakan untuk menjalankan perintah-perintah MATLAB, memanggil tool MATLAB

seperti Editor, fasilitas help, model simulink, dan lain-lain. Ciri dari Windows ini adalah adanya

prompt (tanda lebih besar) yang menyatakan MATLAB siap menerima perintah. Perintah

tersebut dapat berupa fungsi-fungsi bawaan (toolbox) MATLAB itu sendiri.

Editor Window

Windows ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAB yang berfungsi sebagai Editor

script MATLAB (listing perintah-perintah yang harus dilakukan oleh MATLAB). Secara formal

suatu script merupakan suatu file eksternal yang berisi tulisan perintah MATLAB. Tetapi script

tersebut bukan merupakan suatu fungsi. Ketika anda menjalankan suatu script, perintah di

dalamnya dieksekusi seperti ketika dimasukkan langsung pada MATLAB melalui keyboard.



M-file selain dipakai sebagai penamaan file juga bisa dipakai untuk menamakan fungsi, sehingga

fungsi fungsi yang kita buat di jendela Editor bisa di simpan dengan ektensi .m sama dengan file

yang kita panggi dijendela Editor. Saat kita menggunakan fungsi MATLAB seperti inv, abs, cos,

sin dan sqrt, MATLAB menerima variabel berdasarkan variabel yang kita berikan. Fungsi M-file

mirip dengan script file dimana keduanya merupakan file teks dengan ektensi.m. sebagaimana

script M-file, fungsi m-file tidak dimasukkan dalam jendela Command Window tetapi file

tersendiri yang dibuat dengan Editor teks.

Gambar 1.2: Editor Window MATLAB

Figure Window

Windows ini merupakan hasil visualisasi dari script MATLAB. MATLAB memberikan

kemudahan bagi programmer untuk mengedit Windows ini sekaligus memberikan program

khusus untuk itu, sehingga selain berfungsi sebagai visualisasi output yang berupa grafik juga

sekaligus menjadi media input yang interaktif.



Gambar 1.3: Figure Window MATLAB

Simulink

Windows ini umumnya digunakan untuk mensimulasikan sistem kendali berdasarkan blok

diagram yang telah diketahui. Untuk mengoperasikannya ketik “simulink” pada Command

Windows.

Gambar 1.4: Simulink library dalam MATLAB



Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam

proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses

perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variabel dalam proses perhitungan.

Misalnya:

>> a=4;

>> b=5;

>> c=b^2-a^2

c =

9

>> d=sqrt(c)

d =

3

Atau jenis variabel boleh pula ditulis dalam bentuk kalimat

>> perpindahan=10;

>> waktu=5;

>> kecepatan=perpindahan/waktu

kecepatan =

2

Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t

hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya

sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

INISIALISASI VARIABEL

PERHITUNGAN BERULANG



Gambar 1.5: Menghitung berulang pada Command Window

Jika yang diinginkan hanya bilangan genapnya saja, maka

Gambar 1.6: Menghitung berulang dengan interval pada Command Window

Atau yang diinginkan adalah kebalikan dari 10 menjadi 0, dengan interval 2

Gambar 1.7: Menghitung berulang dengan interval pada Command Window

Dengan memanfaatkan kemampuan MATLAB dalam perhitungan berulang.

Tentukan kecepatan dan perpindahan tiap detik sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan

awal 10 m/s dan percepatan 2 m/s2.

APLIKASI DALAM FISIKA



SOLUSI

Dengan menggunakan persamaan GLBB

푣 = 푣 + 푎푡

푥 = 푣 푡 +12 푎푡

Jika program ditulis pada M-file, sebagai berikut:

Gambar 1.8: Script program pada M-file

Maka pada Command Window, jika program di-run akan menghasilkan data output berupa

kecepatan dan perpindahan tiap sekon sebagai berikut

Gambar 1.9: Output running pada Command Window



TIPE DATA

Tipe data dalam MATLAB terdiri dari bilangan dan string (karakter). Berikut penulisan bilangan

dan string pada MATLAB.

1. Bilangan

Bilangan real

- Bilangan 1,25 ditulis 1.25

- Bilangan -0.25 ditulis -0.25 atau -.25

Bilangan imajiner

- Bilangan 10i atau 10j ditulis 10i atau 10 j

- Bilangan -0.25i ditulis -0.25i atau -.25i

Bilangan berpangkat

- Bilangan 5 x 1010 ditulis 5e10

- Bilangan 5 x 10-10 ditulis 5e-10

2. String, yaitu variabel yang dianggap teks dalam bahasa program. Dalam MATLAB,

string ditulis dengan perintah disp(‘karakter’) atau dengan symbol (‘’).

Contoh:

Gambar 1.20: Script program pada M-file untuk menampilkan string

PROGRAM DASAR DAN OPERASI MATEMATIKA MATLAB



Gambar 1.9: Output string pada Command Window

VARIABEL

Variabel dalam MATLAB tidak memerlukan pendeklarasian terlebih dahulu, jika digunakan

variabel yang telah digunakan sebelumnya, maka variabel baru akan me-replace variabel lama.

Penulisan variabel harus diawali dengan huruf, kemudian dapat diikuti oleh huruf, angka, atau

underscore ( _ ).

KONSTANTA

Dalam MATLAB terdapat beberapa konstanta yang sering digunakan dalam fisika komputasi

sebagai berikut

Tabel 1.1: Konstanta dalam program MATLAB

No Konstanta Keterangan

1 pi 3.14159265...

2 i atau j Bagian imajiner √−1

3 ans Nama sebuah operasi

4 eps Presisi relatifdari ploting point (2-52)

5 realmin Ploting point terkecil

6 realmax Ploting point terbesar

7 NaN Not a Number, komputasi dari (n/0)

8 inf Infinity, komputasi dari (0/0)



FUNGSI-FUNGSI M-FILE DAN COMMAND WINDOW

Fungsi dalam M-File dan Command Window sangat bermanfaat digunakan dalam perhitungan

yang variabelnya dapat divariasikan. Berikut beberapa fungsi M-File dan Command Window:

Tabel 1.2: Fungsi-fungsi dalam program MATLAB

No Fungsi Keterangan

1 disp(‘karakter’) Menampilkan string/karakter

2 num2str Konversi numerik menjadi string

3 input Meminta pemakai memasukan input

4 pause Menghentikan program sampai menekan <ENTER>

5 pause (n) Berhenti selama n detik

6 clear all Menonaktifkan semua variabel

7 clc Menghapus semua variabel dankarakter pada

Command Window

8 % Penanda komentar, akan diabaikan dalam

perhitungan

9 Titik koma( ; ) Tidak menampilkan data variabel

OPERASI MATEMATIKA DASAR

Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan pada tabel

berikut ini :

Tabel 1.3: Operasi dasar matematika MATLAB

No Operasi Simbol

1 Penambahan +

2 Pengurangan -

3 Perkalian *

4 Pembagian / atau \

5 perpangkatan ^



OPERASI RELASI

Beberapa penggunaan operator relasi antara dua operand (A dan B) ditunjukkan pada tabel

berikut ini :

Tabel 1.4: Operasi relasi dalam MATLAB

No Operasi Keterangan

1 < Kurang dari

2 > Lebih dari

3 = Sama dengan

4 <= Kurang dari sama dengan

5 ~= Tidak sama dengan

FUNGSI MATEMATIKA DASAR DAN TRIGONOMETRI

Fungsi matematika dasar dalam MATLAB diperlihatkan pada table berikut:

Tabel 1.5: Fungsi matematika dalam MATLAB


1 abs Menghitung nilai absolut

2 exp Memperoleh nilai dari e pangkat bilangan tertentu (e

= 2.718282)

3 log Menghitung logaritma natural (ln) suatu bilangan

4 sqrt Menghitung akar pangkat 2 dari suatu bilangan

5 ceil Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat

menuju plus tak berhingga.

6 fix Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat

menuju nol..

7 flor Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat

menuju minus tak berhingga.



8 gcd Menghitung nilai faktor pembagi terbesar

9 isprime Menghasilkan true jika merupakan bilangan prima.

10 log10 Menghitung logaritma suatu bilangan untuk dasar 10.

11 mod Menghitung nilai modulus.

12 primes Menghasilkan daftar bilangan.

13 rem Menghitung nilai remainder.

14 round Membulatkan bilangan ke bilangan bulat terdekat.

Tabel 1.6: Fungsi trigonometri dalam MATLAB


1 sin Menghitung sinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam

radian.

2 cos Menghitung cosinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam

radian.

3 tan Menghitung tangen suatu bilangan, dimana bilangan dalam

radian.

4 acos Menghitung arccosinus (invers cos) suatu bilangan yang

menghasilkan sudut dalam radian, dimana bilangan harus

antara -1 dan 1.

5 asin Menghitung arcsinus suatu bilangan yang menghasilkan

sudut dalam radian, dimana bilangan harus antara -1 dan 1.

6 atan Menghitung arctangensuatu bilangan yang menghasilkan

sudut dalam radian.

7 cosh Menghitung cosinus hiperbolik dari suatu sudut dalam

radian.

8 sinh Menghitung sinus hiperbolik dari suatu sudut dalam radian.

9 tanh Menghitung tangen hiperbolik dari suatu sudut dalam

radian.

10 cosd Menghitung cosinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam

derajat.



11 sind Menghitung sinus suatu bilangan, dimana bilangan dalam

derajat.

12 tand Menghitung tangen suatu bilangan, dimana bilangan dalam

derajat.

13 sec Menghitung

)cos(1

xsuatu bilangan, dimana bilangan dalam

radian.

14 csc Menghitung

)sin(1


radian.

15 cot Menghitung

)tan(1


radian.

MEMBUAT GRAFIK 2 DIMENSI

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam

bentuk grafik. Untuk menampilkan grafik, dalam MATLAB terdapat fasilitas fungsi plot baik

dalam dua dimensi maupun tiga dimensi. Untuk grafik dua dimensi, fungsi plot dapat ditulis

plot(x,y,’karakter kurva’)

Pada contoh aplikasi dalam fisika dengan kasus GLBB sebelumnya, untuk membuat grafik

kecepatan terhadap waktu dan perpindahan terhadap waktu dapat dibuat dalam script sebagai

berikut

MEMBUAT GRAFIK



Gambar 1.22: Script program pada M-file untuk grafik 2D

Gambar 1.23: Output pada Command Window meminta input dan menampilkan grafik 2D

MEMBUAT BEBERAPA GRAFIK DALAM SATU FIGURE

Selain dapat menampilkan satu grafik, dalam MATLAB juga dapat dibuat program untuk

menampilkan beberapa grafik dalam satu figure. Untuk menampilkan beberapa grafik dalam satu

figure, dalam MATLAB terdapat fasilitas fungsi subplot baik dalam dua dimensi maupun tiga

dimensi. Untuk grafik dua dimensi, fungsi subplot dapat ditulis



figure

subplot(m,n,p)

plot(x1,y1,’karakter kurva1’)

xlabel(‘nama sumbu x1’)

ylabel(‘nama sumbu y1’)

title(‘nama grafik’)

subplot(m,n,p)


xlabel(‘nama sumbu x2’)

ylabel(‘nama sumbu y2’)

title(‘nama grafik’)

dengan m adalah jumlah baris, n jumlah kolom, dan p adalah ruang urut dari grafik yang akan

ditampilkan. Seperti pada contoh aplikasi untuk sistem GLBB pada fisika, dapat ditampilkan

grafik kecepatan vs waktu dan grafik perpindahan vs waktu.

Gambar 1.24: Script program subplot menghasilkan dua grafik dalam satu figure



Gambar 1.25: Output pada Command Window meminta input dan menampilkan dua grafik

dalam satu figure

MEMBUAT BEBERAPA KURVA DALAM SATU GRAFIK

Untuk dapat menghasilkan beberapa kurva dalam satu grafik, maka fungsi plot harus ditulis

menjadi

plot(x1,y1,’karakter kurva1’,x2,y2,’karakter kurva2’)

kemudian dilengkapi dengan fungsi legend(‘nama kurva1’,’nama kurva2’). Sebagai contoh

untuk studi kasus GLBB membuat grafik perpindahan dan kecepatan terhadap waktu dalam satu

grafik dapat ditulis dalam script program sebagai berikut,



Gambar 1.26: Script program subplot menghasilkan dua kurva dalam satu grafik

Gambar 1.27: Output pada Command Window meminta input dan menampilkan dua kurva

dalam satu grafik



MEMBUAT BEBERAPA GAMBAR DALAM SATU LISTING PROGRAM

Fungsi plot yang dapat menghasilkan beberapa gambar dalam satu kali program, dapat dibuat

dengan menuliskan

figure(1)


xlabel(‘nama sumbu x’)

ylabel(‘nama sumbu y’)

tittle(‘nama title grafik1’)

figure(2)


xlabel(‘nama sumbu x’)

ylabel(‘nama sumbu y’)

tittle(‘nama title grafik2’)



Gambar 1.28: Script program menghasilkan dua grafik dalam satu program

Gambar 1.29: Output dua figure Window dari satu program



Berikut adalah beberapa studi kasus pemanfaatan materi pendahuluan fisika komputasi II.

CONTOH 1

Gambar 1.30: Vektor gerak parabola

Besaran-besaran gerak yang berupa besaran vektor dapat diuraikan menjadi komponen-

komponennya dalam setiap arah vektor-vektor basisnya. Sehingga gerak dalam dua dimensi

dapat diuraikan menjadi kombinasi dua gerak satu dimensi dalam dua arah yang saling tegak

lurus (misalnya dalam arah x dan y). Demikian juga gerak dalam tiga dimensi dapat diuraikan

menjadi kombinasi tiga gerak satu dimensi dalam tiga arah yang saling tegak lurus (dalam arah x,

y, dan z). Semua persamaan-persamaan kinematika gerak lurus dalam bab sebelumnya, dapat

digunakan untuk mendeskripsikan gerak dalam masing-masing arah. Sebagai contoh akan

diberikan gerak partikel dalam dua dimensi (bidang) yang mengalami percepatan konstan dalam

arah vertikal dan tidak mengalami percepatan dalam arah horizontal. Aplikasi dari gerak ini

adalah gerak peluru, yang lintasannya berupa lintasan parabolik.

CONTOH KASUS BEBERAPA APLIKASI MATLAB UNTUK SISTEM FISIKA



Misalkan di titik asal koordinat (0, 0) sebuah partikel bergerak dengan kecepatan awal 0v yang

membentuk sudut terhadap sumbu x. Partikel ini mengalami percepatan gravitasi sebesar −g

(ke arah sumbu y negatif). Kecepatan awal partikel dapat diuraikan menjadi komponen x dan y,

yaitu cos00 vv x dan sin00 vv y . Gerak partikel sekarang dapat dianalisa sebagai gerak

dengan kecepatan konstan pada arah x dan gerak dengan percepatan konstan pada arah y. Sesuai

pembahasan pada bagian sebelum ini, posisi partikel pada arah x dan y diberikan oleh

tvtx x0)( (1.1)

20 2

1)( gttvty y (1.2)

Kecepatan partikel pada arah x tetap, yaitu xx vtv 0)( , sedangkan kecepatan partikel pada arah y

berubah sebagai gtvtv yy 0)( . Besar kecepatan partikel diberikan oleh

22 )()()( tvtvtv yx .

Dengan mensubstitusikan variabel waktu t pada pers. (1.1) ke dalam pers. (1.2) diperoleh

2202

tan)( xvgxxy

x

(1.3)

Persamaan ini menghubungkan y dengan x dan menyatakan persamaan lintasan proyektil, Karena

xv0 , 0 dan g konstan, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

2)( CxBxxy ,



yaitu persamaan parabola, Jadi lintasan proyektil bentuknya adalah parabola (“Galileo’s

Discovery of the Parabolic Trajectory” Oleh Stillman Drake dan James Maclacman dalam

Scentific American, Maret, 1975.).

Dengan sedikit analisis diperoleh ketinggian maksimum sebesar

gvy

2sin 22

0 . (1.4)

Posisi terjauh partikel, yaitu posisi ketika partikel kembali memiliki posisi y = 0, terjadi pada

gv

gvv

x xy 2sin2 2000 . (1.5)

Waktu tempuh partikel sampai kembali ke posisi y = 0, dapat ditulis sebagai

gvt sin2 0 . (1.6)

1. Buatlah grafik posisi gerak proyektil, baik komponen posisi sumbu x maupun y terhadap

waktu! (hint: buat dua grafik dalam satu figure).

2. Buatlah grafik kecepatan gerak proyektil, baik komponen kecepatan sumbu x maupun y

terhadap waktu! (hint: buat dua grafik dalam satu figure).

3. Buatlah grafik komponen posisi x versus y!

4. Buatlah grafik jangkauan terjauh versus sudut serta ketinggian maksimum versus sudut

awal! (hint: buat dua grafik dalam satu figure).



Solusi:

Grafik posisi gerak proyektil, baik komponen posisi sumbu x maupun y terhadap waktu!

Output



Grafik kecepatan gerak proyektil, baik komponen kecepatan sumbu x maupun y terhadap waktu!

Output



Grafik komponen posisi x versus y!

Output



Grafik jangkauan terjauh versus sudut serta ketinggian maksimum versus sudut awal!



Output

Contoh 2

Gerak osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangan stabilnya.

Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak tersebut bersifat periodik yaitu

berulang-ulang. Banyak contoh osilasi yang mudah dikenali, misalnya perahu kecil yang



berayun turun naik, bandul jam yang berayun ke kiri dan ke kanan, dan osilasi molekul udara

dalam gelombang bunyi.

Satu macam gerak osilasi yang lazim dan sangat penting adalah gerak harmonik sederhana.

Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan setimbangnya, gerak harmonik sederhana

akan terjadi seandainya ada gaya pemilih yang sebanding dengan simpangan dan

kesetimbangannya kecil. Suatu sistem yang menunjukan gerak harmonik sederhana adalah

sebuah benda yang tertambat ke sebuah pegas secara vertical.

Gambar 1.31: Sistem pegas vertikal gerak harmonik sederhana

Pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya pada benda. Apabila benda

disimpangkan sejauh y dari kedudukan setimbangnya, pegas mengerjakan gaya –ky ,dan terdapat

gaya mg ke bawah seperti yang diberikan oleh hukum Hook:

(1.7)

Tanda minus pada hukum Hook timbul karena gaya pegas ini berlawanan arah dengan

simpangan. Jika kita memilih y positif untuk simpangan ke bawah maka y negatif terjadi jika

simpangan ke atas. Dengan menggabungkan hukum Hook dengan persamaan hukum Newton

maka akan didapatkan:

(1.8)

atau



(1.9)

Percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan

karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapat digunakan untuk

mengidentifikasi sistem - sistem yang dapat menunjukan gejala gerak harmonik sederhana.

Adapun gerak harmonik diklasifikasikan lagi menjadi dua jenis yaitu gerak harmonik teredam

dan gerak harmonik tak teredam yang mana klasifikasi ini didasarkan pada ada tidaknya gaya

gesek yang mempengaruhi gerak osilasi benda.

Pada semua gerakan osilasi yang sebenarnya energi mekanik terdisipasi karena adanya suatu

gaya gesekan. Bila dibiarkan saja amplitudo dari gerakannya akan semakin berkurang hingga

akhirnya nol yang menyebabkan benda berhenti bergerak. Bila energi mekanik gerak osilasi

berkurang terhadap waktu, gerak dikatakan teredam. Jika gaya gesekan atau redaman kecil gerak

hampir periodik sekalipun amplitudo berkurang secara lambat terhadap waktu. Selain adanya

gaya balik pada gerak ini ada gaya lain yang bekerja melawan arah gerak misalnya karena

kekentalan zat cair atau bidang yang tak licin, tempat gerakan berlangsung.

Gambar 1.32: Gerak harmonik teredam dalam zat cair

Misal gaya seperti ini adalah F = -rv dengan r adalah konstanta redaman dan v faktor kecepatan.

Tanda negatif menunjukan bahwa gaya ini berlawanan dengan arah gerak.



Persamaan gerak yang terjadi adalah:

∑푭 = −풌풙− 풓풗 = 풎풂 (1.10)

풎 풅ퟐ풙풅풕ퟐ

= −풌풙− 풓 풅풙풅풕

(1.11)

풎 풅ퟐ풙풅풕ퟐ

+ 풌풙+ 풓 풅풙풅풕

= ퟎ (1.12)

풅ퟐ풙풅풕ퟐ

+ 풌풎풙 + 풓

풎풅풙풅풕

= ퟎ (1.13)

atau

풅ퟐ풙풅풕ퟐ

+ 흎ퟎퟐ풙 + ퟐ풂 풅풙

풅풕= ퟎ (1.14)

Jika 2푎 = dan 휔 = ; 휔 adalah frekuensi angular gerak harmonik sederhana tak teredam

maka solusi persamaan diferensial tersebut adalah:

풙 = 푨ퟎ풆 풂풕퐬퐢퐧 (흎풕 + 휽ퟎ) (1.15)

Untuk r kecil dan 휔 adalah frekuensi gerak harmonik teredam yang didefinisikan sebagai:

흎 = 흎ퟎퟐ − 풂ퟐ, 풂 = 풓

ퟐ풎 (1.16)

퐴 푒 menunjukan amplitudo yang menurun secara eksponensial. 퐴 = amplitude mul-mula.

Jika redaman sangat besar, 푎 lebih besar dari 휔 dan 휔 menjadi imaginer. Disini tak ada osilasi

dan simpangan benda akan menjadi nol tanpa melewati kedudukan setimbangnya paling tidak

akan melewati kedudukan setimbang satu kali.



Macam – macam gerak harmonik teredam

1. r = 0, tak teredam

2. r < √4푘푚, gerak harmonik yang “underdamped” (teredam berosilasi).

3. r = 4km, gerak harmonik yang “critically damped” (teredam kritis) osilasi berhenti,

kedudukan setimbang dicapai dalam waktu singkat.

4. r > √4푘푚, gerak harmonik yang “overdamped”(teredam jenuh) kedudukan setimbang

dicapai dalam waktu lama.

Buatlah grafik posisi x terhadap waktu t, dengan empat kondisi yaitu tak teredam, under damped,

critically damped, dan overdamped (Hint: gunakan persamaan 1.15 serta buat empat grafik

tersebut dalam satu figure dengan model 2 baris dan 2 kolom)

Solusi:



Output



Contoh 3

Rangkaian RC

Rangkaian RC adalah rangkaian yang terdiri atas hambatan, R dan kapasitor, C yang

dihubungkan dengan sumber tegangan DC. Ada dua proses dalam rangkaian RC yaitu:

Pengisian Muatan (Charge)

Gambar 1.33: Rangkaian pengisian kapasitor

Pada proses pengisian diasumsikan bahwa kapasitor mula-mula tidak bermuatan. Saat saklar

ditutup pada t = 0 dan muatan mengalir melalui resistor dan mengisi kapasitor. Berdasarkan

hukukm Kirchhoff , maka diperoleh muatan sebagai fungsi waktu sebagai



푞(푡) = 퐶휀 1− 푒 = 푄 1− 푒 (1.17)

Dengan RC yang merupakan konstanta waktu, maka diperoleh juga arus dan potensial pada

kapasitor sebagai potensial fungsi waktu

퐼(푡) = 퐼 푒 (1.18)

푉 (푡) = 휀 1− 푒 (1.19)

Pelepasan Muatan (Discharge)

Pada proses pelepasan muatan, potensial mula-mula kapasitor adalah CQVc / , sedangkan

potensial pada resistor sama dengan nol. Setelah t = 0, mulai tejadi pelepasan muatan dari

kapasitor.

Gambar 1.34: Rangkaian pengosongan kapasitor

Berdasarkan hukukm Kirchhoff berlaku muatan sebagai fungsi waktu ditulis sebagai

푞(푡) = 푄푒 (1.20)

Potensial dan arus pada kapasitor sebagai fungsi waktu dapat ditulis menjadi



푉 (푡) = ( ) = 푒 (1.21)

퐼 = − = 푒 (1.22)

1. Buatlah grafik potensial vs waktu dan arus vs waktu dalam pengisian kapasitor rangkaian

RC! (Hint: gunakan plot dua grafik dalam satu figure)

2. Buatlah grafik potensial vs waktu dan arus vs waktu dalam pengosongan kapasitor

rangkaian RC! (Hint: gunakan plot dua grafik dalam satu figure)

Solusi:

Grafik Pengisian Kapasitor

Output



Grafik Pengosongan Kapasitor

Output



Contoh 4

Rangkaian Seri RLC

Gambar 1.35: Rangkaian RLC

Dari rangkaian RLC seri diatas, kapasitor sebelumnya telah terisi penuh dengan muatan sebesar

Q0. setelah saklar tertutup maka arus mulai mengalir. Maka daya yang hilang pada resistor

sebesar

= −퐼 푅 (1.23)

Sehingga persamaan umum untuk rangkaian seri RLC adalah



+ 퐿퐼 = −퐼 푅 (1.24)

Karena besarnya arus sebanding dengan penurunan muatan kapasitor maka

퐿 + 푅 + = 0 (1.25)

Dengan solusi umumnya adalah

푄(푡) = 푄 푒 cos(휔′푡 + 휑) (1.26) Dimana

훾 = (1.27)

adalah faktor redaman.

Dan

휔′ = 휔 − 훾 (1.28)

Adalah frekuensi angular osilasi teredam.

Dan 0Q dan ditentukan oleh kondisi awal. Jika R = 0, maka frekuensi angular kembali

menjadi frekuensi osilasi harmonik sebesar.

휔 =√

(1.29)

Terdapat tiga kondisi terkait osilasi teredam yaitu under damped, critically damped dan over

damped dengan kriteria sebagai berikut

Untuk under damping,



푅 < (1.30)

Untuk critically damping,

푅 = (1.31)

Untuk over damping,

푅 > (1.32)

Buatlah grafik muatan Q terhadap waktu, dengan empat kondisi yaitu tak teredam, under

damped, critically damped, dan overdamped (Hint: gunakan persamaan 1.26 serta buat empat

grafik tersebut dalam satu figure dengan model 2 baris dan 2 kolom)

Solusi:



Output

Contoh 5

Terdapat tiga buah gelombang dengan fungsi sebagai berikut: y1 = 0,1 cos (kx - t); y2 = 0,1 cos (kx – t + 900);

y3 = 0,2 cos (kx – t – 300)

Tentukan resultan gelombang yr hasil superposisi ketiga gelombang tersebut. Buatlah grafik y1, y2, y3, dan yr terhadap waktu! (Hint: Buat empat grafik tersebut dalam satu

figure dengan model 2 baris dan 2 kolom)



Solusi:

Output



RASA INGIN TAHU ADALAH IBU DARI SEMUA ILMU

PENGETAHUAN

modul 1 pengenalan matlab

Documents