MODUL IPROGRAM MINITAB1.1 Pengenalan Program MinitabMinitab merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untukmempermudahpengolahandatastatistik. Keunggulanminitabadalahdapat digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial dan teknik. Minitab telah diakui sebagai programstatistika yangsangat kuat dengantingkat akurasi taksiran statistik yang tinggi. Minitab menyediakan beberapa pengolahan data untuk melakukan analisis regresi, membuat ANOVA, membuat alat-alat pengendalian kualitas statistika, membuat desain eksperimen (factorial, response surface dan taguchi), membuat peramalan dengan analisis time series, analisis realibilitas dan analisis multivariate, serta menganalisis data kualitatif dengan menggunakan cross tabulation. 1.2 Bagian-bagian MinitabMinitab terdiri atas beberapa bagian dan Gambar 1.2 menunjukan beberapa bagian Minitab. Gambar 1.1 Tampilan window Minitab. 1ToolbarWindow sessionWindow dataWindow graphProject manager1.2.1 ToolbarToolbar merupakan alat untuk mempermudah dan mempercepat perintah Minitab.Toolbar Minitab berbentuk tombol-tombol dalam window Minitab. Pengoperasiannyapunmudah, yaituhanyadenganmenekan(klik) toolbar tertentu untuk menjalankan suatu perintah.Gambar 1.2Beberapa Toolbar khas dalam Minitab1.2.2 Window DataWindow data pada minitab dinamakan dengan worksheet. Worksheet pada window data terdiri dari kolom-kolom dan baris, dimana 1 kolom berisi kolom variable tertentudan1baris berisi suatuobservasi. Sel palingatas suatu kolomberisi namakolomyangdisediakanolehMinitabsecara otomatis. NamanyaadalahC1, C2, C3 dan seterusnya. Kita bisa pula memberi nama kolom yang disediakan dibaris kedua suatu kolom. Kolom dalam Minitab bisa diberi nama yang panjang. Gambar 1.3 menunjukan bentuk window data pada Minitab.Gambar 1.3 Window Data1.2.3 Window SessionWindowsessionmenampilkanhasil analisisdatayangtelahdilakukan. Kita bisa mengedit dan memformat teks, menambahkan komentar, melakukan perintah menyalin, mengubah huruf atau mencari dan mengganti angka serta huruf. Pekerjaan yang telah dilakukan atau hasil analisis dalam window bisa 2disimpandandicetak. Kita dapatpulamenggunakan windowsessionuntuk memerintah minitab dalamtipe text dan menjalankan programmacro. Menjalankan perintah melalui wondow session membutuhkan bahasa perintah tertentu. Gambar berikut ini menampilkan bentuk window session. Gambar 1.4 Window Session1.2.4 Window GraphWindow graph menampilkan grafik data statistik . Pada program minitab kita dapat membuat grafik beresolusi sebanyak 100 gambar secara bersamaan. Ada 4 jenis grafik yang bisa dibuat dalam minitab, yaitu:1. Grafik dasarAdabeberapagrafikyangdikategorikangrafikdasarsepertiscatterplot, plot timesseries, histogram, boxplot, plot draftsman, plot contour, dan lain-lain.2. Grafik 3DGrafik yang bisa dibuat dalam 3 dimensi dalam minitab adalah scatterplot, plot surface dan plot wireframe.3. Grafik-grafik khusus statistikaGrafik-grafik tersebut adalah dotplot, diagram lingkaran (pie chart), plot marginal dan plot probabilitas.4. Character GraphGrafik ditampilkan window session dalam tipe text.31.2.5 Project ManagerProject Manager berfungsi mengatur file-file yang tersimpan dalam project. Project Manager terdiri atas beberapa folder dan window suatu folder seperti ditunjukan pada gambar berikutGambar 1.5 Project ManagerGambar di atas memperlihatkan bahwa project manager terbagi menjadi dua bagian. Bagian kiri project manager menunjukan subfolder-subfolder yang merupakan isi project tertentu. Window di sebelah kanan menampilkan daftar file pada subfolder tertentu yang ditunjuk. 4MODUL IIALAT ALAT STATISTIK DALAM MINITABSeiringdenganperkembangannya, Minitabmengalami perbaikan-perbaikandalam menyediakan metode-metode analalisis data statistik. Pada modul ini penulis akan memberikan pnejelasan lebih terperinci mengenai alat-alatpengolahan data statistik yang disediakan menu data Statitistik dalam minitab.2.1 Statitika SederhanaDiawal menu stat, Minitab menampilkan metode untuk analisis statistik sederhana, yaitu melalui submenuBasic Statistik. Perhitungan statistik sederhana yangdilakukandalammenuantaralainmenghitungbanyaknyadata, rata-rata, median, kuartil 1 dan 3, nilai terbesa (maksimum) dan terkecil (minimum) serta standar deviasi. 2.2 Analisis RegresiMinitabmenyediakanalat-alat untukmelakukananalisisregresi, yaitumelalui submenu Regression. Analisis regresi yang bisa dilakukan dalamsubmenu regressionmeliputi analisis regresi sederhana dananalisis regresi berganda. Untukanalisisregresi berganda, Minitabmenyediakanmetodeanalisisregresi untuk memilih model regresi terbaik. Tidak hnya itu, Mintab menyediakan pula berbagai analisis regresi logistik. 2.3 Analysisof Variance (ANOVA)Minitab mnyediakan alat untuk melakukan Analysis of Varianceatau lebih sering terkenal ANOVA dalam submenuANOVA. 2.4 Design of Experiment (DOE)Untukmemperbaiki kualitas, designof experiment (eksperimendesain) sering digunakan sebagai salah satu alat. Minitab menyediakanbeberapaanalisis untuk desaineksperimen. Desain eksperimenyang disediakanMinitab adalahdesain 5eksperimen factorial, response surface , desain mixture, dan yang terbaru adalah desain Taguchi. 2.5 Peta KendaliPeta Kendali adalah salah satu alat statistic untuk mengendalikan kualitas. Lebih lanjut, Minitab menyediakan kemudahan membuat peta kendali. Submenu Control Chart menyediakan peta kendali2.6 Alat-alat untuk Mengendalikan KualitasMinitabtidakhanyamenyediakanpetakendali sebagai alat-alat statistikuntuk mengendalikan kualitas, tetapi juga beberapa alat statistik untuk mengendalikan kualitas dalamsubmenuQualityTools. SubmenuQualityTools menyediakan pula analisis kemampuan proses utnuk data yang berdistribusi nonnormal, poisson dan binomial.2.7 Analisis ReliabilitasKelebihanminitabadalah aplikasinya untukmeningkatkankualitassepertipeta kendali, desain eksperimen , diagrampareto, diagramishikawa dan analisis kemampuan proses. Kemudian minitab menyediakan pula alat untuk menganalisis reliabilitas melalui submenu Reliability/Survival.2.8 Analisis MultivariatAnalisis multivariate merupakan analisis data statistic yang bnayak digunakan dan bermanfaat dalamberbagai bidang seperi pemasaran, teknik, dan masalah-masalahsocial. Minitabmenyediakanoperasi-operasiuntuk melakukananalisis multivariate melalui submenu multivariate.2.9 Analisis Time SeriesUntukkeperluan peramalan, minitab menyediakan analisis time series dalam submenu time series.62.10 Analisis Data KualitatifMinitabmemberikanbeberpametodeuntukmeringkas datadalamtabledan melakukan analisis data kualitatif yang dikelomppkan ke dalam menu tables.2.11 Analisis NonparametrikMintabmemberikanpulakemudahandalammelakukananalisisnonparametric yang perintah-perintahnya dikelompokan ke dalam submenunonparametrics. 2.12 Exploratory Data Analysis (EDA)Agar mudah melakukan eksplorasi data dan mencari residual suatu model, program minitab menyediakan Exploratory Data Analysis dalam submenu EDA.2.13 Power and Sample SizeUntukmeyakinkanapakahdesainyangtelahdirancangcukupandal dandata yang telah diperoleh cukup memuaskan, kita perlu melakukan beberapa uji. Salah satucaramelihatnyaadalahdenganmelihat apakahjumlahsampleyangtelah diambil sudah mencukupi. Minitab menyediakan alat untuk melakukannya dalam submenu Power and Sample Size.7MODUL IIIOPERASI DASAR MINITABPada modul ke-3 akan mempelajari operasi dasar Minitab, yaitu cara memasukkan data, menyimpan data, dan membuka file. 3.1Proses Analisis Statistik dalam MinitabTahap-tahap analisis data statistik diawali dengan melakukan desain untuk mengambil data (desainsamplingatau desaineksperimen), dilanjutkan dengan mengumpulkan data, menganalisa data dan terakhir adalah mengambil kesimpulan berdasarkan analisa data.Pengolahan data dalam Minitab bisa dilakukan melalui menu Stat.Menu stat menyediakan beberapa metode analisa statistik. Apabila membutuhkan analisa data melalui grafik, kita dapat melakukannya melalui graph dalam Minitab. Sealin kedua menu, apabilapenggunaMinitabakanmelakukanperhitunganmatematikaatau statistic tertentu atau memanipulasi data sesuai dengan kebutuhan, maka kita dapat melakukannyamelalui menuDataatauCalc.Output analisadataditampilkan melalui windowsessionataudisimpandalamworksheet. Jikamelakukananlaisa grafik, maka window graph akan menampilkan outputnya. Setelah mengahsilkan output, interprestasi data bukan lagi tugas Minitab. Dalam Tahap interpretasi data, peneliti sangat berperan dalam menginterpretasikan output yang dihasilkan Minitab dan menganalisis hasil yang telah didapatkan. 3.2 Memasukan DataPertama kali menjalankan minitab, kita akan melihat project yang belum terisi. Karena worksheet masih kosong, kita harus memasukan data yang akan diolah ke dalam worksheet atau memanggil data yang sudah dimasukandalam format lain. Contohilustrasi menggunakandatapadatable3.1di bawahini. Datadalah jumlah reaktor nuklir pada suatu negara.8Tabel 3.1 Data Reaktor Nuklir terbesar di DuniaNegara Jumlah Reaktor Nuklir BenuaBelgia 4 EropaPerancis 22 EropaFinlandia 2 EropaJerman 7 EropaBelanda 1 EropaJepang 11 AsiaSwedia 3 EropaSwitzerland 1 EropaUSA 47 AmerikaTotal 98Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich,T., 1995. Statistics for Engginering and The Science. Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey3.2.1 Memberi Nama KolomCara memberi nama pada komo sebagai berikut:1. Letakkan kursor di sel di bawah C12. Ketikkan Negara pada sel.3. Ulangi tahap 1 dan 2 untuk memberi nama pada kolom C2 dan C3 dengan nama Jumlah Reaktor Nuklir dan Benua.Pemberian nama kolompada minitab bisapanjang, dapat mencapai 31 karakter. Hasil pemberian nama dapat dilihat pada gambar 3.1.Gambar 3.1 Tampilan window Data setelah kolom diberi nama.Jikaadakesalahandalam memberi namapada kolom, cara mengubahnya adalah:1. Letakkan kursor pada sel yang namanya akan diubah.2. Ketikan nama yang baru pada sel.3. Tekan [enter]9Secara otomatis, nama kolom yang lama akan berganti dengan yang baru.3.2.2 Memasukkan Data dalam Window DataUntuk melakukan analisa data dengan menggunakan Minitab, kita terlebih dahuluharusmemasukandatayangakandianalisis kedalamworksheet. Tahap-tahap memasukan data adalah :1. Klik tanda entry arrow [ ] di pojok kiri atas window data untuk entry datakebawah. Kliktandaentryarrow [ ] untukentrydatakearah kanan.Gambar 3.2 Entry Arrow Arah Bawah dan Kanan2. Masukkandatasesuai dengantable 3.1padakolomNegara, Jumlah Reaktor Nuklir dan BenuaGambar 3.3 menunjukan worksheet berisi hasil Minitab. Gambar memperlihatkan kolom C1 dan C3 berubah menjadi C1-T dan C3-T. huruf T menunjukan tipe data pada kolom tersebut.10Entry ArrowGambar 3.3 Tampilan hasil memsukkan data pada window Data.3.3 Menyimpan WorksheetCara menyimpan data yang telah dimasukan agar tidak hilang adalah:1. Pilih File > Save Current Worksheet As2. Pada kolom File Name ketikan nama file, contoh Nuclear3. Selanjutnya, klik Save.SebagaipenggunaMinitab perlu mengingat bahwa dalam menu File, Minitab menyediakan 3 perintah untuk menyimpan, yaitu perintah pertama untuk menyimpan semua project (windowsession, worksheet, project manager dan graph), kedua hanya untuk menyimpan worlsheeet, dan terakhir hanya untuk menyimpan grafik. Jika ingin menyimpan suatu file dalamwindowtertentu, pastikanwindownyasedang aktif sehingga dalam menuFile,perintah print akan diikuti nama.3.4 Membuat WorksheetLangkah-langkah membuatworksheet baru adalah:1. Pilih File > New atau tekan tombol [Ctrl] + [N]2. Pilih Minitab Worksheet3. Klik OKMemasukkan Data Menggunakan AutofillMemasukkan Deret Bilangan Tunggal berulang dari Data Tunggal11Kitadapat memasukkanderet bilangantunggal hanyadenganmengisikan data. Contoh bilangan tunggal berulang adalah: 1, 1, 1, putih, putih, putih, 1/99, 1/99, 1/99, .Langkah-langkahnya sebagai berikut:1. Ketikan data tunggal, misalnya 1 pada sel pertama dalam kolom C1.2. Blok sel seperti tampak dalam gambar 3.4 (a) .3. Letakkankursordipojokkananbawahselsehinggakursorberubah menjadi +, klik kiri, tahan dan geser ke bawah sampai baris ke-n.Gambar 3.4 Autofill untuk memasukkan deret bilangan tunggalCatatan: Untuk data tipe date/time, pada tahap kedua, tekan [Ctrl].Memasukkan Deret Bilangan berpola yang Berulang Contohpola deret berpola yang berulang adalah: 1, 2, 3, 1, 2, 3, merah, putih, merah, putih, Jan-07, Feb-07, Jan-07, Feb-07, Langkah-langkahnya sebagai berikut:1. Pada kolom C1, ketikkan angka 1, 2 dan3 pada baris pertama, kedua dan ketiga.2. Blok ketiga sel seperti ditunjukkan dalam gambar 3.5.123. Tekan tombol [Ctrl] dan letakkan kursor pada pojok kanan bawah sel yangdi bloksehinggakursor berubahmenjadi+.Klikkiri, tahandan geser ke bawah sampai baris ke-n Gambar 3.5 Memasukkan deret bilangan berpola menggunakan autofillMemasukkan Deret Bilangan dari Beberapa BilanganConto deret bilangan yang mempunyai selisih sama adalah: Dari 1 untuk membuat: 1, 2, , 100 Dari 1/1/07 untuk membuat : 1/1/07, , 2/2/07 Dari hari 1 untuk membuat : hari 1, , hari 100Langkah-langkahnya adalah:1. PadakolomC1, masukkanangka1dan2padabaris pertamadan kedua.2. Letakkan kursor pada sel yang telah diberi angka seperti diutnjukkan dalam gambar 3.63. Tekan[Ctrl], laluletakkankursor di pojokkananbawahsel yang dibloksehinggakursorberubahbentukmenjadi +, Klikkiri, tahandan geser ke bawah.Gambar 3.5 Memasukan deret bialngan menggunakan autofill13Memasukkan Deret dari Daftar TertentuDeret berikut merupakan deret tertentu, misalnya nama hari, bulan dan jam: Jan, Feb, , Dec Mon, Tue, , SunLangkah-langkahuntuk memasukkan data seperti berikut:1. Isikan kata Jan pada baris pertama dalam kolom C5.2. Blok sel data seperti ditunjukkan dalam gambar 3.63. Letakkan lursor di pojok kanan bawah sel yang diblok sehingga kursor berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan geser ke bawah.Gambar 3.6 Memasukkan data untuk deret tertentu.Memasukkan Data Melalui Window SessionSebelum menuliskanperintah pada window session, pastikan terdapat command prompt MTB>padawindowsession. Jikabelumada, caramengaktifkannya adalah meletakkan kursor pada window Session. Selanjutnya, beri cek pada Editor > Enable Commands.Ada beberapa contoh memasukkan data dari window session.Contoh 1.Jika data akan dimasukkan pada kolom C1, baris pertama sampai baris kesembilan akan diisikan angka 1,4,3,5,9,2,4,6,7,dan 5. Caranya: 1. Tuliskan perintah di bawah pada window session:MTB > SET c1 (enter)DATA> 1 4 3 5 9 2 4 6 7 5 (enter)DATA> END (enter)142. Lihat kolom C1 pada window data.Contoh 2Jika akan dimasukan pada kolomC2, baris pertama sampai kesembilan akan diisikan angka 1 sampai 9. Caranya:1. Tuliskan perintah berikut pada window session:MTB> SET C2 (enter)DATA> 1 : 9 (enter)DATA> END (enter)2. Lihat hasilnya pada kolom C2 di window data.Contoh 3.Jika data akan dimasukkan pada kolomC3, mulai dari baris pertama sampai kesembilan akan diisikan angka 1. Caranya:1. Tuliskan perintah berikut pada window session:MTB> SET C3 (enter)DATA> 9 (1) (enter)DATA> END (enter)2. Lihat hasilnya pada kolom C3 di window dataContoh 4Jika akan dimasukkan data pada kolom C4, baris pertama sampai baris kesembilan akan diisikan angka 1,1,1,2,2,2,3,3, dan 3. Caranya:1. Tuliskan perintah berikut pada window session:MTB> SET C4 (enter)DATA> 3 (1)3 (2) 3 (3) (enter)DATA> END (enter)atauMTB> SET C4 (enter)DATA> (1:3) 3 (enter)DATA> END (enter)2. Lihat hasilnya pada kolom C4 di window data.15Contoh 5Jika akan dimasukkan data pada kolom C5, baris pertama sampai kesembilan akan diisikan angka 1,2,3, 1,2,3,1,2 dan 3. Caranya:1. Tuliskan perintah berikut pada window session:MTB> SET C5 (enter)DATA> 3 (1:3) (enter)DATA> END (enter)2. Lihat hasilnya pada kolom C5 di window data.Memasukkan Data Berpola Melalui Menu CalcMemasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya SamaJika akan memasukan deret :100, 90, , 10, 100, 90, , 10. Caranya adalah:1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Simple Set of Numbers.Gambar 3.7 Kotak Dialog Simple Set of Numbers2. PadaStorepatterneddatain,isikanC6. artinyaadalahdatayang akan dibuat dimasukkan ke dalam kolom C6.3. Karena kita mengetahui nilai awal adalah 100, isikan 100 dalam From forst value4. bilanganterakhir deret adalah 10, maka dalam To last value,isikan 10.5. Isikan 10 dalam In steps of karena selisih deret adalah 10.166. DalamList each value, isikan 1. koolom dimaksudkan untuk mengulang tiap bilangan. 7. deret yangakandimasukkanadalahderet bilangan10010yang berselisih10dandiulangsebanyak4kali. Olehkarenaitu, isikan4 dalam List the whole sequence.8. KlikOK.Outputnya ditampilkan dalamkolomC6. Kolommemperlihatkan 40 pengamatan. Deretdiawali denganbilangan100danpengamatanke40 berisi bilangan 10.Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Tidak SamaBerikut adalah data yang ingin dimasukkan:2, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 11, 11Langkah-langkah membuat deret dalam Minitab asalah:1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Arbitrary Set of Numbers. Layarmonitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikutGambar 3.8 Kotak dialog Arbitrary Sets of Numbers2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c73. Di bawah Arbitrary set of numbers, isikan 2 : 4 7 114. Dalam List each value, isikan 25. Dalam List the whole sequence, Isikan 16. Klik OK17Memasukkan Deret Bertipe Data TextMinitab memberikan pula kemudahan memasukkan deret berpola yang bertipe text. Contoh deretadalah kamu, saya, mereka, kamu, saya, mereka. Cara memasukkan data adalah 1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values.Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikutGambar 3.9 Kotak dialog Text Values2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c83. Di bawah Text values, isikan kamu, saya, mereka4. Dalam List each value, isikan 15. Dalam List the whole sequence, Isikan 26. Klik OK Memasukkan Deret Beraturan Bertipe Date/TimeContoh deret bertipe date/time beratruran adalah11/1/07, 11/2/07, , 11/30/07Cara memasukkan data pada contoh adalah:1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values.Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut18Gambar 3.10 Kotak dialog Simple Set of Date/Time Values2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c93. Di bawahPatternedSequencein,isikan11/1/07dalam start Date dan 11/30/07 dalam End Date.4. Dalam List each value pilih Daydan isikan 2 dalam by. Artinya selang deret yang akan dibuat adalah dua hari.5. DalamList eachvaluedanList thewholesequencemasing-masing isikan angka 1.6. Klik OK.Tipe DataDalammelakuaknanalisadatastatistic, kitaharusmemperhatikanskaladata yang akan diolah. Dalam Minitab, skala data berkaitan dengan tipe data. Minitab menyediakan 3 tipe data, yaitu: NumericText Date/TimeKetiganya bisa diatur sesuai dengan keinginan pengguna. Bila dikaitkan denan jenis skala data, tipe data numeric adalah jenis skala data kuantitatif (interval atau rasio), tipe data text dan date/time adalah jenis skala data kualitatif.Menentukan Tipe DataMemformat Data Bertipe Numeric191. Tempatkan kursor pada salah satu sel di kolom C1 dan klik kanan. Setelah itu, daftar menu seperti pada gambar 3. 11.Gambar 3. 11Menu untuk menentukan tipe data2. PadaperintahFormatColumn,ada3pilihantipedata, yaitunumeric, text, dan date/time. Plih numeric.3. PadakotakdialogNumericFormat Column, pilihexponential withdi bawah Format. Isikan angka 2 dalam kotak decimal places. Klik OK.4. DalamkolomC1,masukkan 1; 0.2; dan 500 pada baris pertama,kedua dan ketiga.Tampilan kolom C1 dalam worksheet adalahGambar 3. 12 Tampilan dalam kolom C1Memformat Data Bertipe Text5. Letakkan kursor pada salah satu sel di kolom C6.6. Klik kanan.7. Dalammenu, pilihFormat Column>Text.Nama kolomC6 akan menjadi C6-T. Artinya, tipe data pada kolom C6 adalah text. 8. pada baris pertama, kedua, danketiga, ketikkan Indonesia, @, dan Rp.10.00020Gambar 3. 13 Tampilan dalam kolom C6Memformat Data Bertipe Date/Time1. Letakkan kursor pada salah satu sel dalam kolom C7.2. Klik kanan.3. Pilih Format Column > Date/TimesLayarmonitorakanmemperlihatkankotakdialogDate/TimeColumn. Format seperti ditunjukkan gambar 3. 14Gambar 3. 14 Kotak Dialog untuk format date/time4. Pilihh:mm:ss AM/PMdi bawah Current Date /Time Formats.Kolom example menunjukan contoh tipe data.5. KlikOK.Namakolomakanmenjadi C7-D. Artinyatipedatapada kolom C7 adalah date/time.6. DalamkolomC7barispertamasampaiketiga, ketikkan12;11:23dan 9:50:23Tampilan pada kolom C7 menjadi:21Gambar 3. 15Tampilan kolom C7.Memanipulasi DataMembuat RangkingSebagai ilustrasi, data yang digunakan untuk membuat rangking adalah data dari worksheet Nuclear.MTW. Jumlah reactor nuklir di setiap negara berbeda-beda, ada yang banyak maupun sedikit. Jika ingin mengetahui rangking suatu Negara berdasarkan jumlah reactor nuklir , caranya adalah:1. Pilih Data > Rank seperti gambar 3. 16 di bawah.Gambar 3. 17 Kotak Dialog Rank2. Dalam kotak dialog Rank, masukkan variableJumlah Reaktor Nuclear ke dalamRank data in.3. DalamStore in,masukkan C44. Klik OKOutputnya bisa dilihat dalam worksheet pada kolom C4. Dalam hal ini urutannya dari data terkecil hingga terbanyak. Data memperlihatkan ada dua Negarayangjumlahreactor nuklirnya1, yaituBelandadanSwitzerland. Karena ada 2 negara, maka kedua Negara dalam kolom C4 diberi rangking 1,5.22Gambar 3. 18 Rangking jumlah reactor nuklir di suatu negara Membuat Urutan DataRangking Negara-negara yang memiliki reactor nuklir diurutkan mulai dari Negarayangmemiliki jumlahreactor nuklirpalingsedikit sampai paling banyak. Caranya adalah:1. Pilih Data > Sort, seperti pada gambar di bawah.Gambar 3. 19 Kotak Dialog Sort2. DibawahSort column(s),masukkanvariableNegara, Jumlah reactor nuklir, dan Benua.3. Pada By column, masukkan C44. Di bawahStore sorteddata in, pilihColumn(s) of current worksheet5. kolomdi bawahcolumn(s) of current worksheetakan aktif. Kemudian ketikkan C9, C10, C11 dalam kolom.6. Klik OK23MODUL IVANALISIS STATISTIK SEDERHANAPada modul ini akan membahas beberapa analisis statistic sederhana, yaitu membangkitkanbilanganacak, menghitungstatistic, analisis deskriptif danmembuat grafik. 4.1 Membangkitkan Bilangan AcakApabila akanmelakukan studi simulasi, kita tentu membutuhkan data dari distribusi tertentu.Minitab menyediakan kemudahan memabngkitkan data dengan distribusi tertentu. Datayangakandibangkitkanadalahdatayangberdistribusi eksponensial dengan rata-rata ( ) sebesar 0.25. cara memabngkitkan data adalah:1. Buka project baru pilih Minitab Project2. Pilih Calc > Random Data > Eksponential.Kotak dialog akan mucul seperti gambar di bawah.Gambar 4.1 Kotak Dialog Exponential Distribution.3. DalamGenerate,isikan 500 untuk membangkitkan data sebanyak 500 pengamatan.4. Untuk menyimpan data ketikkan C1 di bawah Store in column (s)5. isikan 0.25 dalam scale dan 0 dalam Treshold. Artinya data yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 0.25.246. Klik OKWorksheet pada kolomC1 menunjukan output yang ditampilkan dalam Minitab. Dalamkolomtersebut akanterdapat bilanganacaksebanyak500data. DalamMinitab, tiap kali akan membangkitkan bilangan acak, bilangan yang dihasilkan akan berbeda.4.2 Uji Distribusi DataUntukmembuktikanbahwadata yangyangtelahdibangkitkanbenar-benar sesuai dengan yang diinginkan, kita perlu melakukan uji distribusi data.Tahap-tahap uji distribusi data antara lain:1. Pilih Stat > Reliability/Survival > Distribution Analysis (Right Censoring) > Parametric Distribusi Analysis.Gambar 4.2 Kotak Dialog Parametric Distirbution Analysis2. Di bawah variable isikan C!, karena data yang akan diuji ada pada kolom C1. 3. Pada Assumed distribution pilih Exponential4. Selanjutnya, klik OKInterpretasi Output Uji DistribusiOutput Minitab akan ditunjukan dalam window Session dan window Graph. 25Gambar 4.3Grafik plot probabilitas untuk uji distribusi dataGrafikdiatas menunjukanplot uji distribusi eksponensial untukdatadalam kolom C1. Suatu data dikatakan mengikuti distribusi tertentu apabila titik-titiknya mengikuti garis lurus. Selain plot probabilitas, gambar 4.3 menunjukkan pula nilai rata-rata, standar deviasi, median, interquartil range (IQR) untuk data di kolom C1. Berdasarkan output, diketahui rata-rata data adalah 0.259. Nilai rata-rata hamper mendekati rata-rata yang diinginkan yaitu 0.25. Semakin kecil perbedaannya menunjukkan validitas alat pembangkit data.Untuk mengetahui bahwa data yang telah dibangkitkan telah mengikuti distribusi eksponensial, kita melakukan uji hipotesis. Dalam hal ini uji hipotesisnya adalahH0 : data mengikuti distribusi eksponensialH1 : data tidak mengikuti distribusi eksponensialUji hipotesis akan menggunakan level toleransi( ) sebesar 5 %. Untuk membuktikan hipotesis, uji distribusi menggunakan statistic Anderson-Darling. Semakin kecil nilai statistic Anderson-Darling semakin besar peluang gagal meolak hipotesis awal. 26Distribution Analysis: C1 Variable: C1Censoring InformationCountUncensored value 500Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))Distribution: ExponentialParameter EstimatesStandard95.0% Normal CIParameterEstimateError Lower UpperMean 0.2696840.01213690.2469160.294553Log-Likelihood = 161.514Goodness-of-FitAnderson-Darling (adjusted) = 0.716Characteristics of DistributionStandard 95.0% Normal CI EstimateErrorLowerUpperMean(MTTF) 0.2696840.0121369 0.246916 0.294553Standard Deviation 0.2696840.0121369 0.246916 0.294553Median 0.1869310.0084127 0.171149 0.204169First Quartile(Q1)0.07758340.00349160.07103320.0847376Third Quartile(Q3) 0.3738620.0168253 0.342298 0.408337Interquartile Range(IQR) 0.2962790.0133338 0.271264 0.323600Evaluasi hasil uji distribusi bisadilakukanhanyapadasalahsatuwindow karena hasil pada window session maupun window graph tidak berbeda. Perbedaanyaadalahoutput tekstidakmenampilkangrafikplot probabilitasyang dapat mempermudah interpretasi hasil.4.3 Membuat HistogramKita bisa mengetahui pola distribusi suatu data dalam kolom C1, C2 dan C3 secara bersamaan dengan membuat histogram. Dalam Minitab dapat membuat histogram melalui menu Graph. Langkah-langkah membuat histogram adalah1. Pilih Graph > Histogram. Pada layar monitor akan muncul gambar berikutGambar 4.5 Kotak Dialog Histogram2. Pada kotak dialog, pilihWith Fit and Groups.Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti gambar 4.6Gambar 4.6 Kotak Dialog Histogram- With Fit and Groups273. Data yang akan dibuat histogramnya adalah data dalam kolom C1, C2 dan C3. Oleh kaena itu masukkan C1 C2 C3 di bawah Graph variable.Histogramdibuat untukmelihat bentukprobabilitydistribusi function(pdf)data padakolomC1sampai C3. Dalamhistogramkitabisamembuat garispdfyang menggambarkan bentuk distribusi data. Cara melakukannya adalah1. Pada kotak dialog Histogram-With Fit and Groups, pilih Data View2. pada kotak dialog pilih Distribution.3. Di bawah Distribution, pilih Exponential. Ini berarti plot pdf akan membentuk distribusi eksponential berdasarkan pengamatan. 4. Selanjutnya klik OK.4.4 Menghitung StatistikSebelum menghitung data, sebagai ilustrasi masukkan data pada table 4.1 di bawah ini ke dalam worksheet baru. Tabel 4.1 Data Penggunaan Listrik per bulanUkuran Rumah(kaki2)Penggunaan Listrik per Bulan(KwH)1290 11821350 11721470 12641600 14931710 16711840 17111980 18042230 18402400 19562930 1954Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New JerseyStatistik yang diinginkan adalah rata-rata ukuran rumah danpenggunaan listrik per bulan. Langkah-langkah menghitungnya adalah:1. Pilih Calc > Column Statistics. Kotak dialog akan muncul seperti gambar 4.7.28Gambar 4.7 Kotak Dialog Column Statistics2. Karena statistic yang diinginkan adalah rata-rata, maka di bawah statistic pilih mean.3. Variabelyangdihitung adalah variable penggunaan listrik per bulan sehingga isikan variable listrik per bulan ke dalam input variable.4. Selanjutnya, klik OKGambar 4.8 menunjukan outputnya dalam window sessionGambar 4.8 Rata-rata penggunaan Listrik per BulanOutputnya memperlihatkan rata-rata penggunaan listrik per bulan adalah 1604,7 kaki 2.4.5 Analisis Statistik DeskriptifAnalisis statistic yangpaling sederhana adalah analisis statistic deskriptif. Inti anlisis statistic deskriptif adalah mengumpulkan, meringkas, dan menyajikan data dalam bentuk yang mudah dibaca. Analisis statistic menghitung beberapa statistic sederhana seperti rata-rata, standar deviasi, kuartil, median, nilai terbesar dan nilai terkecil. Tahap-tahap analisisnya sebagai berikut:1. Pastikan worksheet berisi data yang akan dianalisis29Mean of Penggunaan Listrik per BulanMean of Penggunaan Listrik per Bulan = 1604.72. Plih Stat > Basic Statistics > Display Descriptive StatisticsGambar 4.9 Kotak dialog Display Descriptive Statistics3. Masukkanvariableukuranrumahdanpenggunaanlistrikper bulan dalam daftar variable di bawah variable. 4.Selanjutnya, Klik OK.Interpretasi Output Statistik DeskriptiveOutput statistic deskriptive yang ditampilkan dalam window session menunjukkan beberapa istilah.Variable berarti menunjukkan variable yang dianalisis, dalam hal ini ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan. Gambar 4.10 Output Statistik DeskriptiveSelainvariable, output memperlihatkanhurufNyangberatejumlahpengamatan yang dianalisis sebnayak 10 pengamatan. Statistik deskriptive menunjukkan ukuran kecenderunganpusat seperti rata-rata(mean), median(median), kuartil 1(Q1), dankuartil3(Q3),sertaukuran penyebaran seperti standar deviasi(StDev),dan standart error of mean (SE Mean).Statistikdeskriptive menyeeediakan informasi data tertinggi(maximum)dan terendah(minimum)yang berguna untuk 30Descriptive Statistics: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan Variable NN*MeanSE MeanStDevMinimumQ1MedianUkuran Rumah10 01880164518 129014401775Penggunaan Listr10 01604.7 97.2307.4 1172.01243.51691.0VariableQ3MaximumUkuran Rumah2273 2930Penggunaan Listr1868.5 1956.0mengukur rangesebagai ukuranpenyebarandata. Standarderror of meantidak selalu digunakan dalam statistic deskriptive. Untuk menghitungya standard deviasi dibagidengan n . Statistikdeskriptive merupakanukuranpenyebaran distribusi rata-rata sampel yang berguna untuk uji hipotesis. 4.6 Membuat grafikSalah satu tujuan membuat grafik data adalah supaya informasi lebih menarik dan mudah dipahami. Salah satu grafik yan gakan dibuat adalah scatter diagram. Grafik yangmenggambarkanpolahubunganantaraduavariableadalahscatterdiagram atau scatter plot. Cara membuat plot data adalah:1. Pilih menu Graph > ScatterplotGambar 4.11 Kotak Dialog untuk memlih bentuk scatterplotKotakdialogmenyediakanbeberapabentukscatterplot. Scatterplot yangakan dibuat adalah scatterplot sederhana dan hanya menggambarkan hubungan antara dua variable. Cara melakukannya adalah: 2. Pilih sample3. Kemudian klik OK4. Masukkan variable yang akan dijadikan sebagai variable y dan variable x.5. Kemudian klik OK.31Gambar 4.12Scatter diagram hubungan ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulanOutput proses menghasilkan scatter diagramyangbentuknya seperti dalam gambar 4. 12. output memperlihatkantitikdalamgrafikyangmerupakandata. Setiaptitikpadagambardiatas menunjukkan hubungan antara variable y dengan variable x. 32MODUL VMEMBANDINGKAN RATA-RATA POPULASISuatupenelitian sering ingin membandingkan suatu populasi dengan nilai statistic tertentu atau membandingkan suatu populsi dengan populasi lain. Minitab menyediakan beberapa metode utnuk melakukan analisis statistic ini. Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Besar ( 30) n Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Kecil5.1 Uji Rata-rata Populasi33Uji 2 arahHipotesis:0 01 0::HH Statistik uji: 0 0/yy yzs n Daerah penolakan/ 2 az z > Uji 1 arahHipotesis:0 01 0::HH atau az z < Asumsi:Data mendekati distribusi normalUji 2 arahHipotesis:0 01 0::HH Statistik uji: Daerah penolakan/ 2 at t > Uji 1 arahHipotesis:0 01 0::HH atau at t < Derajat Bebas (df) = n 1Dimana n adalah jumlah dataAsumsi:Data mendekati distribusi normalUji 1 arahHipotesis:0 01 0::HH atau az z < Asumsi:Data mendekati distribusi normalDalam statistika, uji hipotesis dilakukan untuk membandingkan rata-rata suatu populsi. Salah satu metode uji hipotesisnya adalah uji t dan uji z. Uji t menggunakan statistika t danuji z menggunakan statistika z. Uji t digunakan apabila jumlah sample kurang dari 30 ( 30) n .Dan standar deviasi( ) populasi tidak diketahui. Sebaliknya, statistika z digunakan jika jumlah sample besar ( 30) n dan standar deviasi( ) populasi diketahui. Kedua statistic dapat digunakan apabila data mengikuti atau mendekati distribusi normal dengan parameter tertentu. Bila data tidak memenuhi asumsi tersebut maka kedua uji tidak bisa digunakan. Sebagaicontohdatayang digunakan terdapat pada table 5.1, yaitu data rasio panjangtulangterhadaplebar tulanglenganatas dari fosil suatuspecies. Para arkeologmeyakini bahwarasiodapat digunakanuntukmenentukanjenisspesies binatang tertentu.Sebelumnya mereka telah menemukan spesies A yang memilki rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang adalah 8.5.Tabel 5.1 Data rasio panjang terhadap lebar pada tulang lengan atas10.73 9.07 10.33 9.848.48 9.57 9.94 8.378.52 6.23 6.66 8.868.91 10.48 9.39 9.898.93 10.02 11.67 9.179.38 9.20 9.98 9.178.89 9.29 8.07 6.858.71 9.41 9.35 9.938.87 10.39 9.17 8.1711.77 8.38 8.30 12.008.80Sumber:Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc.Englewood Cliffs, New JerseyUntukmembuktikanbahwakeempatpuluhsatuspesies samadenganspesiesA, maka kita perlu melakukan uji rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang fosilyangtelahditemukan. Dari penelitianstandardeviasi tidakdiketahui, maka yangakandigunakanadalhuji t. Tahap-tahapmelakauakanuji t dalamMinitab adalah:1. Pilih Stat > Basic Statistic > 1-Sample t.342. Dalam kotak dialog masukkan varibel Rasio ke dalam kotak di bawah Varibel. Dalam analisis, rata-rata rasio data dalam table akan dibandingkan dengan rasio spesies A, yaitu 8.5. cara melakukannya adalah:3. Isikan 8.5 ke dalamTest mean.4. pilih Graph untuk menampilkan output dalam bentuk grafik. 5. beri tanda cek pada Histogram of Data.6. Kemudian klik OKGambar 5.1 Kotak Dialog 1 sampel tInterpretasi outputGambar 5.2 dan 5.3 menunjukkan output analisisnya. Output 5.2 menunjukkan nilai-nilai statistic seperti rata-rata, standar deviasi dan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata. Gambar 5.2 Hasil uji rata-rata 1-sample tHipotesisHipotesis pada analisis adalah:H0 : Rata-rata rasio tulang( ) 8.5 H1 : Rata-rata rasio tulang ( ) 8.5 35One-Sample T: Rasio Test of mu = 8.5 vs not = 8.5Variable N MeanStDevSE Mean95% CI TPRasio 419.247321.202450.18779(8.86778, 9.62686)3.980.000Dugaan (hipotesis) awal adalah keempat uluh satu fosil yang telah ditemukan sama denganspesiesA. Sebaliknya, hipotesis alternativemengatakanbahwakeempat puluh satu fosil yang telah ditemukan tidak sama dengan spesies A. Daerah PenolakkanUji 1 arah:Tolak hipotesis awal apabila t t> atau ( ) t t> Uji 2 arah:Tolak hipotesis awal apabila / 2 at t >Gambar 5.3 Histogram RasioInterprestasi Output Uji Rata-rata PopulasiAnalisis menggunakan level toleransi sebesar 5% dan uji 2 arah. Tabel distribusi t memperlihatkan nilai0.05/ 2| | tdengan derajat bebasn-1 = 41 1 = 40sebesar 2.021. Gambar 5.2 menunjukkan nilai statistic T sebesar 3.98. Apabila statistic T pengamatandibandingkandengan statistic/ 2t, statistic T lebih besar. Ini berarti kesimpulannya adalah menolak hipotesis awal jaid, uji 2 arah menunjukkan bahwa keempat puluhsatufosil tulangyangtelahditemukantidaksamadenganjenis spesies A.5.2 Membandingkan Rata-rata DuaPopulasi dalam Satu PercobaanUntuk menggambarkan uji antara 2 populasi, akan menggunakan ilustrasi dalam Tabel 5.2 yang merupakan data pengukuran waktu respons antara 2 jenis disc 36drive 1 dan disc drive 2. Jenis disc dirve 1 memperoleh 13 pengamatan, sedangkan disc drive 2 memperoleh 12 pengamatan. Peneliti ingin membandingkan kedua jenis disc drive. Tabel 5.2 Waktu respons 2 jenis Disc DriveDisc Drive 1 Disc Drive 259 60 47 71 48 4492 73 33 38 41 3954 75 61 47 68 34102 74 53 40 7573 84 63 60 86Tahap-tahap analisis data dalam Minitab sebagai berikut:1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-Sample tGambar 5.4 Kotak Dialog 2-Sample t2. Pilih Sample in difference columns3. Dalam First masukkan variable Disk 14. Dalam Second masukkan variable Disk 25. Analisis mengasumsikan varian populasi adalah sama.Cara melakukan uji t yang mengasumsikan bahwa varian populasi adalah sama:6. Beri tanda cek pada Assume equal variance7. Klik tomobl Graph8. Pada kotak dialog, beri tanda cek pada Boxplot of Data9. Selanjutnya, klik OK.37Gambar 5.5 Hasil Uji Rata-rata dua sample independenGambar 5.6 Boxplot Disc Drive 1 dan Disc Drive 2HipotesisHipotesis untuk tabel adalah0 _ _1 _ _ 21 _ _1 _ _ 2: ( ) 0: ( ) 0Disk Drive Disk DriveDisk Drive Disk DriveHH Hipotesis awal (H0) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 sama denganrata-ratawakturespon disc drive 2. sebaliknya,hipotesis alternative (H1) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan rata-rata waktu respons disc drive 2. Daerah Penolakan38Two-Sample T-Test and CI: Disc Drive 1, Disc Drive 2 Two-sample T for Disc Drive 1 vs Disc Drive 2 NMeanStDevSE MeanDisc Drive 11368.2 18.75.2Disc Drive 21553.8 15.84.1Difference = mu (Disc Drive 1) - mu (Disc Drive 2)Estimate for difference:14.430895% CI for difference:(1.0468, 27.8148)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.22P-Value = 0.036DF = 26Both use Pooled StDev = 17.1831/ 2 at t >Interpretasi Output Uji Rata-rata 2 Sampel IndependenGambar 5.7 Daerah penolakan pada distribusi t untuk = 5% dan df=40 Uji rata-rata dua sampel independent akan menggunakan level toleransi sebesar 5%. Derajat bebas (df) pada penelitian adalah 26. Tabel distribusi t menunjukkan nilai statistic t0.05/2 pada df =26 sebesar 2.056. Output 5.5 memperlihatkan statistic T hasil pengamatn adalah 2.22./ bila dilihat pada grafik penolakan gambar 5.7 menunjukan bahwa statistic T(2.22) jatuh di daerah penolakan. Hasil menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan waktu respons disc drive 2.Boxplot pada gambar 5.6 menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 lebih cepat dibandingkan waktu respons disc drive 2, yang terlihat dari posisi rata-rata waktu responsdisc drive 1 lebih tinggi dari pada rata-rata waktu respons disc drive 2. 5.3 Membandingkan Varian dua PopulasiSuatu penelitian tidak mengukur rata-ratanya, tetapi juga varian datanya yang menunjukkan penyebaran data. Ada 2 metode utnuk melakukan uji dengan menggunakan varian, yaitu uji varian suatu populasi dan uji rasio antara 2 varian. Ujivariansuatupopulasidigunakanuntukmenguji kesesuaianvariansuatudata dengan varian tertentu. Aapaun uji rasio varian digunakan apabila 2 populasi yang variannyaakandibandingkan. Keduametodesama-samamensyaratkandistribusi yang mendasari data adalah distribusi normal.39/ 2 0.025 / 2 0.025 2.056 2.056Daerah penolakanDaerah penolakanSebagai ilustrasi, agar mudah memahami mengenai uji rasio antarvarian maka kita akan menggunakan data pada table 5.2. Uji varian 2 populasiLangkah-langkah untuk melakukan uji varian 2 populasi dalam Minitab adalah:1. PIlih Stat > Basic Statistics > 2 variancesGambar 5.8 Kotak Diaolg 2 Varians2. Pilih Samples in different columns3. Dalam First, Isikan Dsik 14. Dalam Second, isikan Disk 25. Selanjutnya klik OK40Uji 2 arahHipotesis:2102221122: 1: 1HHStatistik uji: 22 2 11 2 2222 2 22 1 21sF jika s sssF jika s ss > >Daerah penolakan/ 2 aF F >Uji 1 arahHipotesis:210222 21 112 22 2: 1: 1 1HH atau > Derajat Bebas1 12 211v nv n HipotesisHipotesis pada analisis adalah:2_ _10 2_ _12_ _11 2_ _1: 1: 1Disk driveDisk driveDisk driveDisk driveHH>Hipotesis awal (H0) menduga bahwa varian waktu respons disc drive 1 sama dengan waktu respons disc drive 2.Daerah PenolakanF F>Derajat bebas (df) pengamatan adalah1 12 21 13 11 15 1v nv n Interpretsi Output Uji Rasio VarianGambar 5.9 Output hasil perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drivePada output dapat terlihat bahwa nilai statistic F adalah 1.39 . Pada table distribusi F nilai (5%,12,14)2.53 F . Nilai F masih berada di atas nilai statistic F hasil pengamatan. Oleh karena itu, kesimpulan hasil uji adalah varian waktu respons disc drive 1 dan varian disc drive 2 secara statistic tidak berbeda.41Test for Equal Variances: Disc Drive 1, Disc Drive 2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations NLowerStDevUpperDisc Drive 11312.793018.659933.3688Disc Drive 21511.094515.807826.7933F-Test (normal distribution)Test statistic = 1.39, p-value = 0.548Levene's Test (any continuous distribution)Test statistic = 0.11, p-value = 0.740Pada gambar 5.9 tampak bahwa varian waktu respons disc drive 1 sebesar 2 2_ _1(18.66) 348.19Disc drive , sedangkan varians waktu respons disc drive 2 sebesar 2 2_ _ 2(15.81) 249.89Disc drive . Secara matematis varian berbeda, namun secara statistis telah terbukti bahwa kedua varian waktu respon tidak berbeda. Pada gambar 5.10menunjukkan 2 jenis grafik yaitu dotplot (grafik bagian atas) dan boxplot (grafik bagian bawah). Pada grafik memperlihatkan penyebaran waktu respons disc drive 1 tidak berbeda jauh dengan penyebaran waktu respons disc drive 2. Gambar 5.10 Grafik hasil Perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive42MODUL VIANALISIS KORELASIKoefisienkorelasi Pearsonbergunauntukmengukurtingkat keeratanhubunganlinear anatara dua variable. Nilai korelasi berkisar antara -1 samapai +1. nilai korelasi negative berarti hubungan antara 2 variabel adalah negative. Artinya, apabila salah satu variable menurun, maka variable lainnya akanmeningkat. Sebaliknya, nilai korelasi positif berarti hubungan antara kedua variable adalah psotif. Artinya apbila salah satu variable meningkat, makavariablelainnyameningkat pula. Suatuhubungananatara2variabel dikatakan berkorelasi kuat apabila makin mendekati 1 atau (-1). Sebaliknya, suatu hubungan dikatakan lemah apabila semakin mendekati 0 (nol).HipotesisHipotesis untuk uji korelasi adalah:01: 0: 0HH Dimana adalah korelasi antara 2 variabel. Daerah PenolakanP-value < Untuk membuat interpretasi analisis korelasi, ada beberapa hal yang harus diingat, yaitu:1. Koefisien korelasi hanya mengukur hubungan linear. Jika ada hubngan nonlinear, maka koefisien korelasi akan bernilai 0.2. koefisien korelasi sangan snsitif terhadap nilai ekstrim.3. kita bisa membuat korelasi hanya jika variable memiliki hubungan sebab akibat.Langkah-langkah menghitung korelasi antara dua variable dengan menggunakan Minitab adalah:1. Pilih Stat > Basic Statistics > Correlation432. Pada kotak dialog, letakkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan pada kolom di bawahVariabels.3. Untuk menampilakn P-value, pilihDisplay p-value, klik OK.Gambar 6.1 Kotak dialog CorrelationInterpretasi Output KorelasiOutput analisis korelasi yang akan ditampilkan dalam windows session. Output menunjukkan nilai korelasi atara ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan sebesar 0.898. seperti telah dijelaskan sebelumnya, apabila nilai korelasi Pearson semakin mendekati 1atau(-1), berarti hubunganantara2variabel semakinerat. Karenanilai korelasi antaraukurandanpenggunaanlistrikbernilai 0.898, makahubunganantara kedua variable diduga erat. Agar lebih menyenangkan, kita perlu uji atau hipotesis. Hipotesis0 1: 0 : 0 H vs H Dalamhal ini, hipotesisawal adalahtidakadakorelasi antaraukuranrumahdandan penggunaan listrik,sedangkan hipotesis alternatifnya adalah ada korelasi antara ukuran dan rumah dengan penggunaan listrik. Correlations: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan 44Pearson correlation of Ukuran Rumah and Penggunaan Listrik per Bulan = 0.898P-Value = 0.000Daerah penolakan Penjelasan sebelumnya telah mengatakan bahwa daerah penolakan adalah apabila P-value > .Gambar 6.2 memperlihatkan daerah penolakkannya. Pada gambar, apabila p-valuejatuhdalamdaerah(daerahpenolakan, daerahyangdiarsir), makaberarti menolak hipotesis awal.Interpretasi Output AnalisisHasil analisiskorelasi memperlihatkanbahwanilai P-valueadalah0. KarenaP-value jatuhdi daerahpenolakan, maka keputusannyaadalahmenolakhipotesis awal yang mengatakan bahwa tidakadakorelasi antara ukuran rumah dan penggunaan listrik. Ini berarti menerima hipotesis alternative. Oleh karena itu, kesimpulan yang didapat dari uji hipotesis adalah antara ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan ada hubunggan erat, yaitu sekitar 89,9% 45MODUL VIIDISTRIBUSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIKRuang sampeladalah gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistikadandinyataandenganlamabang S.Sedangkanhimpunanbagian darisampel adalah kejadian. Definisi peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel.Contoh 1. Misalkan sebuah mata uang dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah ={gambar, angka} atau { , } M Bdengan M = angka, dan B = gambar. Maka suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {M} atau {B}.Contoh 2.Misalkan sebuah dadu dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah {1,2,3,4,5,6}, Suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {1} atau {2} atau atau {6}. Penulisan ruang sampel seperti diatas tidak praktis, maka didefinisikan peubah acak, umumnyadinotasikan sebagaix,y, z, sebagai fungsi dengan daerah asal ruang sampel dandaerahdefinisinya bilanganreal. Padacontoh1kita bisarepresentasikansuatu peubah acak diskrit x = {0,1} atau {-1, 1} dengan 0 /-1 menyatakan angka (M) dan 1/1 menyatakan gambar (B). Pada contoh 1 dan 2, peubah acak diatas (x dan y) adalah peubah-peubah acak yang diskrit. Contoh-contoh peubah acak yang kontinu adalah yang berasal dari ruang sampel yangmengukur seperti berat badan, tinggi badan, temperatur danlain-lain. Dimana pengukurannya tersebut tidak eksak (tepat sekali). Contoh Tinggi badan= 170 cm berarti bukan mutlak tingginya 170 cm mungkin 169,999cm atau 170,005 cm.A. Distribusi Binomial 46Padakasusdalamdistribusibertipediskritseperti binomial,kejadian yangdiamati hanya dikelompokkan dalam2 kategori, yaitu sukses dan gagal. Bentuk fungsi kepadatan peluang (fkp) binomial adalah:Dimana :!!( 1)!nnx x n| ` . ,Dengan x adalah variabel acak, n adalah banyaknya data yang diuji/eksperimen dan p adalah peluang terjadinya kejadian x. Sedangkan fungsi distribusinya :Atau disebut juga Fungsi distributif kumulatif. Contoh :Misalkanxpeubahacakberdistribusi binomialdenganbanyak datandan peluang terjadinya kejadian x adalah p, atau ditulis:x bersdistribusi( ; , ) B x n patau ~ ( , ) x B n pUntuk peubah acak xyang diketahui fkp-nya, biasanya dapat dihitung ekspetasi dan variansinya, dan masing-masing didefinisikan sebagai berikut: Ekspetasi dari : ( ) . ( ) x E x x p X x adalah nilai harapan / rataan dari x. Variansi dari 2 2 2 2 2: ( ) [{ ( ) } ] ( ) ( ( )) ; X Var x E x E x E x E x dengan 2 2( ) ( ) E x x f x :akar positif dari variansi adalah simpangan baku /standar deviasi, yang menyatakan variansi data disekitar rata-rata. Untuk distribusi binomial: ( ) E x np (bisa dibuktikan sebagai latihan ) dan2var( ) , X npq dengan 1 q p .Catatan : bedakanrataan danvariansi dalamdistribusi data /statistika deskriptif dengan rataan dan variansi 2 disini.47Perintah-perintah padaMinitabLangkah-langkah memasukkan data yang berdistribusi binomial secara random dalam Minitab.1. PilihCalc > Random Data > Binomial2. Pada kotak dialog seperti pada gambar masukan banyaknya data yang diinginkan pada kolom Generate, contohnya 100.3. pada kolom store in column(s) masukkan C1.4. Isikan peluangnya pada Number of Trials5. Isikan probability sucsescontoh 0.95.6. Kemudian klik OK.Gambar 7.1 Kotak dialog distribusi BinomialProbability Density Function48Untukmencari fungsi kepadatanpeluangataufungsi peluangdistribusi binomial denganndanpditentukandari kolomCi yanghasilnyadisimpandi kolomCj. ( ) Ci Cj .Sebagai ilustrasinya sebuah mata uang logam yang simetri dilantunkan sebanyak 10 kali. Jika dimisalkan X = jumlah muncul muka. Tentukan:a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kejadian (x) yang mungkinb. Hitung kemungkinan muncul muka lebih dari 5 kali tapi kurang dari 9 kali!Langkah-langkahnya pada Minitab antara lain:1. Input data pada kolom C1dari 0 : 102. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability4. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya pengamatan.5. Pada Probability of Succses,masukkan 0.5 yang menunjukkan peluang muncul muka dalam 1 kali lantunan.6. Pilih Input columnketik C1 dan Optional storeage ketik C2.7. Kemudian klik OK.49Gambar 7.2 Kotak Dialog Probability Density Functiona. Fungsi kepadatannya untuk setiap kajadian (x) yang mungkin terdapat pada kolom 2 ditunjukkan dalam gambar 7.3Gambar 7.3 Probability Density Functionb. 50(5 9) ( 6) ( 7) ( 8)0.205078 0.117188 0.0439450.36621136.62%P x P X P x P X < < + + + +Cumulatif Distibution FunctionUntuk mencari fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial denganndanp ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya diletakkan di kolom Cj. Perhatikan contoh berikut lebih lanjut. Misalkan peluang suatu obat x dapat menyembuhkan seseorang dari sakit flu adalah 70%. Setiap hari diasumsikan ada 10 orang yang sakit flu dan membeli obat tersebut.a. tentukan fkp dan fungsi distribusinya (FD)b. Berapakah peluang bahwa yang tidak sembuh sembuh dari sakit flu adalah 3 orang?c. Bagaimana kejadian yang mungkin terjadi untuk 20 hari yang lainnya.Untuk menjawab pertanyaan diatas lakukan perintah-perintah berikut pada Minitab:1. Masukkan data pada kolom C1 dari 0 : 102. Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dengan cara seperti di atas dan masukkan 10 pada kotaknumber of trial,dan 0.7 pada kotakProbability of success.Simpan pada kolom C2.Untuk mencari fungsi kumulatif distribusi: 3. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability5. PadaNumberofTrial,masukkan10yang menunjukkan banyaknyaruang sampel.6. Pada Probability of Succses, masukkan 0.77. Pilih Input columnketik C1 dan Optional storeage ketik C3. 518. kemudian klik OK.Gambar 7.4 Kotak Dialog Culmulatif Distribution Functiona. Output fungsi kepadatanpeluangdankumulatif distribusi ditunjukkan pada gambar berikut:Gambar 7.5 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatifb. Ditanyakan peluang untuk 3 orang yang tidak sembuh.. Karenapeluangobatxyangmembuat orangsembuhadalah70%, dansisanya 30% adalah untuk yang tidak sembuh. Maka dengan p = 30% = 0.3, akan dicari peluang untuk 3 orang yang masih sakit, atau P(Z = 3) =?52Caranya:Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dan distribusi kumulatifnya dengancarasepertidiatasdan masukkan 10padakotaknumber of trial,dan 0.3 pada kotakProbability of success.Simpan pada kolom C4.Gambar 7.6 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi KumulatifDari gambardi atasdiketahui bahwapeluangyangtidaksembuhdari dari flu adalah 3 orang sebesar 0.266828 = 26.68%c. Kejadian yang mungkin terjadi selama 20 hari (untuk obat x yang mempunyai peluang menyembuhkan orang = 70%)Caranya : Random data binomial sebanyak 20 pada kolom C4 dengan nilai n = 10 dan p = 0.7. Hasilnya dapat ditunjukkan pada tabel berikut:Tabel 7.1 Data random berdistribusi BinomialB. Distribusi HipergeometrikDistribusi binomial digunakan bila penarikkan sampel dilakukan dengan pengembalian. Untuk kasus penarikan tanpa pengembalian, digunakan distribusi C45 87 66 86 47 48 49 66 78 79 953hipergeometrik. Misalkan52kartu bridgeyang terdiridari 26kartumerah dan26 kartu hitam. 5 kartu diambil secara acak dan ingin diketahui peluang menarik 3 kartu merah dari26kartu merah dan 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam.Ada263| ` . ,cara menarik 3 kartu merah dan 262| ` . ,cara mengambil 2 kartu hitam. Jadi banyaknya cara mengambil 3 kartu merah dan 2 kartu hitam dalam lima kali penarikkan ialah 263| ` . ,262| ` . ,. Banyaknya cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu bridge ialah 525| ` . , . Jadipeluangmengambil5kartu tanpa pengembalian,3 diantaranya merah dan 2 hitam, diberikan oleh:26 263 20.3251525| `| `

. ,. ,| ` . ,Percobaan hipergeometrik dapat disimpulkan sebagai berikut:Misalkan ada n benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan sisanya, n-k diberi nama gagal. Ingin dicari peluang memilih xsukses dari sebanyak kyang tersedia,bila sampel acak berukuran ndiambil dariN benda. Percobaan seperti ini dikenal dengannama percobaanhipergeometrik. Distribusi peluang peubahacak hipergeometrik dinotasikan sebagai berikut:~ ( , , ) x H N n kDengan fungsi kepadatan peluangnya adalah:( ) ( ) , 0,1, 2,...,k N kx n xP X x f x x nNn | `| `

. ,. , | ` . ,Contoh:54Suatupanitia5orangakandipilihsecaraacakdari3kimiaawandan5fisikawan. Hitunglah distribusi peluangbanyaknya kimiawan dalam panitia tersebut. Jawab:Misalkan peubah acakxyang menyatakan banykanya kimiawan dalampanitia, dengan N =8, n = 5, k = 3. Distribusi peluang untuk x adalah:3 8 35( ) ( ) , 0,1, 2, 385x xP X x f x x | `| `

. ,. , | ` . ,Sehingga: C. Latihan1. Buat model distribusi binomial dengan n = 12, dan p = 0.45Jawablaha. P(x = 6), P(x = 8)?b.( 8), (3.6 8.2) ? P x P x > 2. Seoranginsinyur pengawaslalulintasmelaporkanbahwa755 kendaraan yang melintasi suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKI. Buat programnya dan cari outputnya, tentukan:a. Peluang paling sedikit 3 dari 5 kendaraan yang lewat berasal dari luar DKIb. Peluang ada 2 dari 10 kendaraan yang lewat berasal dari DKI3. Suatu bursa buku murah memiliki 100 buku cerita dan 300 buku umum. Seorang anak membeli 10 buku secara acak. Tentukan peluangnya bila 4 buku diantaranya adalah buku cerita?4. Misalkan Y suatu peubah acak, memiliki peluang sukses p = 2/3 dalam n kali pengulangan dari suatu percobaan. 55( 0) 1/ 56;( 1) 15/ 56( 2) 30/ 56( 3) 10/ 56P XP XP XP X a.Jika n = 3, tentukan(2 )!b.Jika n = 5, tentukan( 2)!P YP Y5. Dari kotak berisi 12 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian ditembakkan. Bila kotak itu mengandung tiga peluru cacat yang tidak akan meledak. Buat programnya dan jawab berapa peluangnya:a. Keempatnya meledakb. Paling banyak 2 yang tidak meledakc. Tepat 2 meledak atau minimal 3 tidak meledak.MODUL VIIIDISTRIBUSI POISSONPercobaan yang menghasilkan peubah acak x yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selamaselangwaktutertentuataudalamdaerahtertentu, disebutPercobaan Poisson. Suatu percobaan poisson memiliki sifat berikut:1. Banyaknya sukses terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruholeh(bebasdari)apa yang terjadi pada selangwaktu atau daerahlain yang terilih.2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya 56daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tertentu.3. Peluang terjadi lebihdari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut dapat diabaikan.Panjang selang waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, sebulan, atau malah setahun. Contohnya seperti banyaknya mobil yang masuk tol per jam, jumlah mahasiswi yang gagal di mata kuliah kalkulus per tahun, jumlah kecelakaan yang terjadi di sekitar rumah per minggu, dan lain sebagainya.Distribusi peluang peubah acak poisson x, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh:,... 2 , 1 , 0 ,!) ( ) ( xxex f x x Pxdengan menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerahtertentudan ... 71828 . 2 e MisalkanXberdsitribusi poissonatau) ( ~ P xmempunyai mean=varian= .Kejadian-kejadianyang berdistribusipoissonadalah kejadian yang jarang terjadi. Distribusi binomial dengan peluang sukses (p) yang sangat kecil, dapat dihampiri dengan distribusi poisson, dengan np .A. Contoh Soal1. Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatuperhitunganselama1milidetikdalamsuatupercobaandi laboratorium adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitung dalam suatu milidetik tertentu? Jawab:Dik : x = jumlah partikel yang melewati alat penghitung

) ( ~ P xdengan= 4Dit: P(X = 6)?Untukmendapatkan jawabannya maka lakukanlangkah-langkah berikut pada program Minitab:2. Input data pada kolom C1 0 : 20;573. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability;5. PadakotakMean,masukkan4yangmenunjukkanrata-rata.6. Pilih Input columnketik C1 dan Optional storeage ketik C2.7. Kemudian klik OK.Gambar 8.1 Kotak Dialog Fungsi Kepadatan ProbabilitasUntuk mengetahui fungsi kumulatif distribusinya lakukan langkah-langkah berikut ini:9. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson10.Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability11.Pada kotak dialog Mean, masukkan 4 yang menunjukkan banyaknya rata-rata banyaknya partikel.12.Pilih Input columnketik C1 dan Optional storeage ketik C3. 13.Kemudian klik OK58Gambar 8.2 Kotak Dialog Fungsi Distributif KumulatifOutput fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan pada gambar berikut:Gambar 8.3 Output pdf dan cdfDari data di atas diketahuibahwa P(X = 6) = f(6) = 0.104196 = 10.42%Untuk mengetahui grafiknya hubungan antara Fungsi Distribusi Kumulatif denganbanyaknyadatadanFungsiKepadatanPeluangdenganbnyaknyadata, lakukan langkah berikut ini:1. Pilih Graph > Scatterplot > Simple > OK2. MasukkanFd(x) =(C3)sebagai variable sumbuydanx=(C1)sebagai variable sumbu x.3. Kemudian klik OK4. Buka kembali graph.5. Masukanf(x)=C2sebagai variable sumbu y danx = C1sebagai variable sumbu x.596. Kemudian klik OK.Output dari grafik dapat dilihat pada gambar berikut:Gambar 8.4 Grafik Hubungan Fungsi Distribusi KumulatifGambar 8.5 Grafik Hubungan Fungsi Kepadatan Peluang2. Dalamsuatuproses produksi yangmenghasilkanbarang dari gelas, terjadi belembungatau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa sample acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?Jawab.60Pada dasarnya percobaan ini merupakan distribusi binomial dengan n = 8000 danp = 0.001. karenapsangatdekat dengan noldanncukup besar,maka akan dihampiri dengan distribusi poisson dengan (8000)(0.001) 8 np . Jadi jika zmerupakan banyaknya barang yang bergelembung, maka :6 60 0( 7) (8000.0.001) (8) 0.3134z zP Z b p < Atau dapat dilihat nilai P(Z < 7) pada hasil keluaran berikut dengan menggunakan Minitab:1. Input Data pada kolom C1 dari0 : 102. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;3. Pada kotak dialog pilih Probability;4. Pada kotak Mean, masukkan 8.5. Pilih Input columnketik C1 dan Optional storeage ketik C2.6. Kemudian klik OK7. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;8. Pada kotak dialog pilih Cumulatif Probability;9. Pada kotak Mean, masukkan 8.10.Pilih Input columnketik C1 dan Optional storeage ketik C3.11.Kemudian klik OKOutputnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:61Gambar 8.6 Output pdf dan cdf Dari data diatas dapat dilihatbahwa Fungsi Kumulatif Distribusi pada P(Z = 6) = 0.313374.C. Latihan1. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 3 kecelakaan seminggu. Hitunglah berdasarkan program yang anda buat, peluang bahwa pada suatu minggu tertentu akan terjadi:1. tepat 5 kecelakaan !2. Paling sedikit ada 7 kecelekaan !3. Antara ada 3 dan ada 6 kecelekaan !2. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Buat programnya dan hitung :62a. Berapa peluangnya pada suatu hari tertentu ada tanker yang terpaksa disuruh pergi karena melebihi kapasitas pelabuhan?b. dari 30 hari yang diamati, berapa hari terdapat tepat 15 tanker?3.Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksipernafasan adalah 0.002. Carilahpeluangbila2000orangyangterseranginfeksi tersebut kurangdari 5 orang yang akan meninggal?4.Suatudaerahdi bagiantimur AmerikaSerikat, rata-rataditimpaanginatopan setahun. Carilah peluang di suatu tahun tertentu:a. tidak sampai 4 angin topan yang akan menimpa daerah tersebut.b. antara 6 sampai 8 angin topan akan menimpa daerah tersebut.5. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan barang) diketahui bahwa permintaan rata-ratadarigudangterhadap suatu bahan tertentu lima kali sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu bahan tersebut:a. diminta lebih dari lima kalib. tidak diminta sama sekali?. 63MODUL IXDISTRIBUSI PELUANG KONTINUA. DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)Distribusi peluangkontinuyangterpentingdalamseluruhbidangstatistikaadalah distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar di bawah, yang mengambarkan berbagai kumpulan data yang muncul di alam, industri, dan penelitian. 64xDistribusi normal seringdisebut puladistribusi Gauss, untukmenghormati Gauss (1777-1855). Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng tadi disebut peubah acak normal. Atau ditulis) , ( ~2 N X . Distribusi normal, bergantung pada dua parameterdan. Fungsi padat peluang (pdf) peubah acak normal X dengan rataan . Dan variansi 2ialah: < < ]]]

x e x fx,21) (21 Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut:1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimumkurva, terdapat pada x(atau median );2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan .3. Kurvamempunyai titikbelokpada t x. Cekungkebawahbila + < < x dan cekung ke atas untuk harga x lainnya;4. Keduaujungkurva normal mendekatiasimtot sumbu datar bila harga x bergerak menjauhi baik ke kiri maupun ke kanan;5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sembu datar dengan 1.Catatan: Dalam praktek/kehidupan sehari-hari, sulit sekali ditemukan suatu kasus/kejadianyangbenar-benar berdistribusi normal (atau ) , ( ~2 N X . Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas dibawah kurva diantara kedua ordinat 1x x sama dengan peluang peubah acak X mendapat harga antara 1x x dan 2x x . Jadi:dx e dx x f x X x Px xxxx]]]

< < 212 1212121) ( ) (Dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir.Berikut adalah gambar dari persamaan diatas;65Tabel Normal.Untukmengatasi kesulitandalammenghitungintegral fungsi padat normal maka dibuat tabel luas kurva normal untuk rataan nol danvariansi 1. Dalamhal ini dibutuhkan untuk suatu transformasi untuk peubah acak x yang mempunyai rataan dan variansi 2 .Transformasi tersebut merupakan pemusatan dan pembakuan terhadap x, yaitu:xxXZ Sehingga z berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 1. Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku (standar).Catatan: simpangan baku = deviasi standar.Tabel normal baku berisi informasi tentang z dan ) (z dimana ) ( ) ( ) ( z Fd z Z P x fungsi distribusi kumulatif dari z.Plot berdistribusi peluang normal berbentuk seperti huruf S. Untuk mempermudah analisa kenormalan, maka digunakan skor normal, yaitu :,`

.|+25 . 0375 . 01niz .Yanggunanyaadalah untuk menguji apakah data yang kita peroleh itu bersitribusi normal atau tidak, dengan melihat apakah plotnya bergaris lurus atau tidak. Catatan: untuk jumlah data yang sama dan saling berbeda nilainya satu sama lainnya, maka nilai skornya sama.Contoh : a. 5060708090b. 3545556575Untuk a dan b , keduanya mempunyai nilai skor yang sama tapi berbeda datanya. Perintah-perintah pada Minitab melalui window session adalah sebagai berikut:MTB > random 20 C1;SUBC> normal 0 1.MTB > nscore C1 C266MTB > plot C2*C1;SUBC> symbol.Gambar 9.3 Scatterplot bilangan berdistribusi normal dengan normal score.MTB > cdf C1 C5MTB > plot C5*C1;SUBC> symbol.Gambar 9.4 Scatterplot dari cdf berdistribusi normalTB > invcdf C5 C6MTB > Plot C6*C1;SUBC> Symbol.67Gambar 9.5 Scatterplot dari invcdf berdistribusi normalBerikut ini adalah sebagian dari table normal baku:1. Masukkan data C1 melalui window session. Langkah-langkahnya:MTB > set C1DATA > -.5 : 1.5 / .1DATA > END. 2. Pilih Calc > Probability Distribution > normal3. Pada kotak dialog pilih cumulative distribution4. Masukkan C1 sebagai input column dan C2 sebagai optional storeage.5. Selanjutnya OK.Catatan : bila subcommand tidak ditulis maka mintab dengan sendirinya memberikannilai (default) sama dengan normal 0.1.Diketahui x berdistribusi normal dengan 10 & 502 . Carilah peluang bahwa x mendapat harga antara 45 dan 62.Jawab:Row z Phi (z)123456789101112131415161718192021-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.50.3085380.3445780.3820890.4207400.4601720.5000000.5398280.5792600.6179110.6554220.6914620.7257470.7580360.7881450.8159400.8413450.8643340.8849300.9032000.9192430.93319368576392 . 0308538 . 0 884930 . 0) 5 . 0 ( ) 2 . 1 () 2 . 1 5 . 0 (1050 621050 45) 62 45 ( < < < <

,`

.| >Z PZ P Z P x PB. Hampiran Normal Terhadap Binomial (atau Poisson)Peluang binomial dapat diperoleh langsung dari rumus) , ; ( p n x BAtau dari tabel bilankecil. Bilanbesardantidakadadalamdaftaryangtersedia, makapeluang binomial dihitung dengan cara hampiran. Teorema : bila x peubah acak binomial dengan rataan np dan variansi,2npq , maka bentuk limit distribusinya:*) .........( 1 , p qnpnp XZ Bila nmaka berdistribusi normal baku ) 1 , 0 ; (z NCatatan : untuk ndan harga pyang sangat kecil, maka peluang binomial dapat dihampiri olehpeluangdistribusi poisson)) ( ~ ( np p X , sehinggamembentuk persamaan (*) berubah menjadi :69npnp XZContoh: X berdistribusi binomial ). 4 . 0 , 15 ; (x Ditanyakan ) 9 7 ( x P?Jawab:1. Dengan menggunakan rumus binomial9790 7(7 9) ( ;15, 0.4)( ;15, 0.4) ( ;15, 0.4)0.9662 0.60980.3564PP x b xb x b x 2. Dengan menggunakan hampiran normal:6.5 6 9.5 6(7 9)1.9 1.9(0.263 1.842)( 1.842) ( 0.263)0.3636P x P ZP zP Z P Z | ` < < . , < < < simple > OK.5. Pada kotak dialog histogram masukkan variabel C2 pada kotak graph variable > OKOutput histogram C2 akan ditunjukkan seperti gambar dibawah.Gambar 10.3 Grafik histogram dari C2 dengan fungsi transformasi y = log (x)75Jika dibuat transformasi y =x , maka perintah pada program Minitab sama dengan diatas, tetapi fungsi yang digunakan C3 = SQRT (C1). Kemudian setelah itu dibuat histogram dari C3 yang menghasilkan grafik seperti dibawah.Gambar10.4 Grafik Histogram dari C3 dengan fungsi transformasi y =x6. Pilih Graph > steam and Leaf7. Masukkan C3 pada kotak graph variable. > OKStem-and-Leaf Display: C3 Stem-and-leaf of C3N= 60Leaf Unit = 0.10 10 00000000000 10 0 10 0 29 07777777777777777777 29 0(14)100000000000000 17 1222 14 14444455 717777 318 220 123AnalisaPada plot pertama terlihat data sangat jauh dari normal (dikatakan menjurai ke atas). Lalu dicoba transformasi Z = log x, dan diperoleh plot kedua yang ternyata membuat datamenjadi menjurai kebawah. Dicobalagi dengantransformasi y= x , dan diperoleh plot yang lebih mendekati normal, walaupun dari histogram masih belum simetri.76Pencarian transformasi yang cocok masih terus dapat dilakukan sehingga dihasilkan histogramyangsimetri (ataumendekati simetri) danplot normal yangmendekati garis lurus.Contoh 2Jikapeubahacakdiubahdenganmengalikanataumenambahkansuatunilai skalar makameanjugaberubahdenganmengalikanataumenambahkanscalar tersebut. Untukvariansi, jikapeubahacakdikalikandenganscalar makavariansinyajuga dikalikan dengan kuadrat skalar. Tapi jika ditambahkan dengan skalar maka variansinya tetap. Ini dikarenakan plot hanya bergeser sejauh pergeseran mean. Jadi, hanya mean yang berubah.Langkah yang dilakukan pada Minitab antara lain:1. Pilih Calc > Random Data > Normal2. Pada kotak Generate, masukkan 60 data dan mean = 0.4, lalu OK.3. Pilih Calc > Calculator 4. Pada kotak dialog, masukan fungsi 3*C1 pada kotak expression > OK.5. Pilih Stat > Basic Statistic > Display Descriptive Statistics 6. Pilih Varibel C1 dan C2 > Statistics 7. Cek Mean,Median,TrMean,Stdev,Semean, Min dan Max. > OK.Descriptive Statistics: C1, C2 VariableCumN MeanSE MeanTrMeanStDevMinimumMedianMaximumC1600.4270.120 0.3910.932 -1.233 0.2993.336C2601.2800.361 1.1722.795 -3.698 0.897 10.009B. DISTRIBUSI SAMPLINGMisalkan akan diambil kesimpulan mengenai proporsi orang Indonesia yang merokok. Tentunya tidak mungkin menanyai semua penduduk Indonesia. Karena itu ada yang dinamakan sample acak, yaitu beberapa data dari populasi diambil secara acak, dan kemudian dihitung proporsi orang yang merokok (populasi adalah keseluruhan pengamatan yang akan diteliti).Percobaan ini dilakukan beberapa kali. 77Suatunilai yangdihitungdari sampledinamakanstatistik. Karenabanyaksampel maka kita dapatkan banyak nilai statistik yang berbeda dari sampel ke sampel. Karena itu statistik adalah suatu peubah acak juga. Dalam modulini, akan dibahas mengenai distribusi beberapa statistik, khususnya rataan sampel dan variansi sampel.Misalkan diambil sampel berukuran n dari suatu populasi, dan diulangi sebanyak k kali, kemudian dari tiap sampel diambil rataannya, maka rataan sampel itu mempunyai distribusi, dan disebut distribusi sampling dari rataan. Jika yang diamati variansinya untuktiapsampel, maka variansi sampel itu mempunyai distribusi dan dinamakan distribusi sampling dari variansi.Misalkan X ~ F sembarang, dengan rataan dan variansi 2 , maka( )

,`

.| nnx Enx En nxE X Ei ii1) (1 1) (.( )

,`

.| ) (1 1) (2 2i iix V a rnx V a rn nxV a r X V a r , (karenaix bebas)nnn2221 .Bila populasi yang tidak diketahui distribusinya (berhingga atau tidak), diambil sampelnya, maka distribusi sampel rataannya akan berdistribusi hampir normal dengan rataan dan variansinya n2, asalkan ukuran sampel besar dan ekspetasi dari sampel acak dan berhingga.Contoh program simulasi distribusi rataan untuk normal dan binomial.1. Distribusi rataan untuk N(0,4)MTB > random 15 C1 C60MTB > normal 0 2MTB > copy C1 C60 m1MTB > transpose m1 m2MTB > copy m2 C1 C15MTB > rmean C1 C15 C16MTB > histogram C16Histogram of C16 N = 60Midpoint Count78-1.2 3 * * *-0.8 9 * * * * * * * * *-0.4 10 * * * * * * * * * * 0.0 17 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0.4 15 * * * * * * * * * * * * * * * 0.8 5 * * * * * 1.2 1 *MTB > nscore C16 C17MTB > plot C17 C16MTB > describe C16N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN C16 60 -0.0332 0.0429 -0.0258 0.5636 0.0728 MIN MAX 01 03C16-1.3268 1.3702 -0.4820 0.4704MTB > boxplot C16Untukdistribusi rataandari binomial, gunakanprogramyangsama, hanyarandom normal diganti random binomial.N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN C1100 -0.169 -0.472 -0.219 3.960 0.396MIN MAX 01 03C1-8.905 10.585 -3.042 2.460Contoh 3Data : N = 100-8 sebanyak 2-6 sebanyak 11-4 sebanyak 13-2 sebanyak 190 sebanyak 162 sebanyak 17794 sebanyak 116 sebanyak 88 sebanyak 210 sebanyak 1Minitab- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 100) di kolom C1- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK- Didapat plot Histogram of C1C1Frequency840-4-820 15 10 5 0Histogram of C1- Pilih menu Graph > Stem-and-Leaf- Pilih C1 sebagai Graph variables- DiperolehStem-and-leaf of C1N= 100Leaf Unit = 1.0 2 -088 13-066666666666 26-04444444444444 45-02222222222222222222(8)-000000000 470 00000000 390 22222222222222222 220 44444444444 110 66666666 3 0 8880 1 1 0- Pilih menu Graph > Boxplot- Pilih Simple, lalu OK- DiperolehC11050-5-10Boxplot of C1- Pilih menu Calc > Calculator- Store result in variables C2- Expression pilih Normal score(C1), lalu OK- Diperoleh data normal score nya di C2- Pilih menu Graph > Scatterplot- Pilih Simple, lalu OK- Pilih C2 sebagai Y variable dan C1 sebagai X variable, lalu OK- Diperoleh Scatterplot of C2 vs C181C1C210 5 0 -5 -103210-1-2Scatterplot of C2 vs C1C. LATIHAN1. Data di bawah ini menyajikan penduduk ke-22 wilayah metropolitan terbesar di AS padatahun1970. Petugas sensus mencobamendefinisikanwilayahini sehingga merupakan satuan populasi yang berarti.- Diagramkanlah data mentahnya- Bagaimana bentuk disribusinya (jelaskan)- Buat juga boxplotnya- Transformasi apa yang dipakai agar bentuk distribusinya menjadi berbentuk hampir normal1420 1390 2071 2754 6979 1385 2064 1556 4200 19857032 1404 1814 11529 1857 1359 4818 2401 2363 31101422 28612. Gunakandatano.1. Bandingkanlahtransformasi manakahyanglebihbaikantara akar dua dengan versi kebalikan negatif. Jelaskan!3. Simulasi sebanyak20 pengamatan dan diletakkan di 5 kolom, dari N(0,4). Lakukan percobaan ini sebanyak 3 kali, dan perhatikan histogramdan normal plotnya. Bagaimana analisa anda!824. Buat program untuk menset 80 buah rataan (terhadap C1-C30) dari B(x ; 10, 0.2) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda jelaskan dari outputnya!5. Di bawah ini adalah produk kosmetik bruto per kapita negara belahan bumi barat tertentu(1971), dlaUS$, yangdiambildaribuku MemahamiData (Erickson dan Nosanchuk).Argentina 1260 Jamaica 740Bolivia 219 Meksiko 712Brazil 452 Nikaragua 471Kanada 4317 Panama 782Costa Rica 586 Peru 356Ekuador 306 Uruguay 836Guatemala 371 Amerika Serikat 5121Haiti110 Venezuela 1151Buat histogram, batangdaun, dannormal plotnya. Kemudianambil log-nya, dan buat kembali histogram, batang daun, dan normal plotnya. Bandingkan! Analisalah!MODUL XISELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN83Taksiransuatuparameter populasi dapat diberikanberupataksirantitikatauberupa taksiran selang.Taksiran titik suatu parameter populasi merupakan nilai tunggal suatu statistik. Sebagai contoh, nilai x suatustatistik X , dihitungdari suatuukurann, merupakan taksiran titik parameter populasi. Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titikpenaksir.Taksiran selang untukdari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk 2 1 < < , dimana2 1 & tergantung pada nilaistatistik.Biasanya=X , dengan kata lain 2 1 & tergantung padaX . Atau k x 1 dan k x + 2 , dengan k ditentukan dari distribusi sampelX .Catatan : parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak diketahui, misalnya 2& . perbedaan sampel (berlainan) memberikan nilai X yang berbeda, ini mengakibatkanpenaksiran selang bagi parameter berbeda pula.Misalkan dari suatu distribusi sampel dapat ditentukan 2 1 & , sedemikian sehingga < < 1 ) (2 1P. Makadenganpeluang% 100 ). 1 ( ini, sampel acakyang diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung .Contoh : Misalkan 95 . 0 ) (2 1 < < P. Artinya, yang dihitung berdasarkan sampel acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95% bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL84Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan % 100 ). 1 ( adalah selang pada daerah yang diaksir, yaitu antara 2 / z dan 2 / z. Misalkan ambil % 5 05 . 0 , maka % 95 1 . Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara% 5 , 2z dan% 5 , 2z. Nilai 2 / z t dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa nilai kritisz untuk beberapa nilai yang sering digunakan.Nilai2 / z1% = 0.01 -2.575% = 0.05 -1.9610% = 0.10 -1.64B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI TPerhatikan gambar di bawah iniPenggunaannyasamadenganselangkepercayaanpadadistribusinormal.Nilaitdapat dilihat dari tabelt, denganvmenyatakanderajat kebebasandan 1 menyatakan berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v untuk data yang berasal dari 1 populasi : v = n - 1 untuk data yang berasal dari 2 populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan :22 1 + n n v .C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN85 Z INTERVAL K% C1 . . . C2 ) 100 1 ( nDigunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi dengan nilai 2diketahui.Bentuk selang tersebut adalah :) ) / ( ) , / ( (2 / 2 /n z x n z x + Di mana :x= mean datan = ukuran sampelz = nilai dari tabel normal untuk K % T INTERVAL K % C1 . . . C2 ) 100 1 ( nDigunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi dengan 2 tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan 21dan 22tidak diketahui.Bentuk selang tersebut adalah :) ) / ( ) , / ( (2 / , 2 2 / , 2n s t x n s t xn n + Di mana :x= mean datas = standar deviasi sampeln = ukuran sampelt = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan (n-1)D. CONTOH SOAL1. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk silinder. Sampel beberapapotongandiukurdanternyatadiameternya:1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 dan 1.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.86Jawab:MTB > set C1DATA > 1.010.971.031.040.990.980.991.011.03DATA > endMTB > tinterval 99.0 C1N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENTC.IC1 9 1.00556 0.02455 0.00818 (0.97809, 1.03302)2. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaanfilm.Waktu (menit)Perusahaan A 103 94 110 87 98 88Perusahaan B 97 82 123 92 175 118Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggapbahwa waktu putar berdistribusi hampir normal.Jawab:MTB > read C1 C2DATA > 103 97DATA > 94 82DATA > 110 123DATA > 87 92DATA > 98 175DATA > 88 118DATA > endMTB > let C3 = C2 C1MTB > tinterval90 C3N MEAN STDEV SEMEAN 90.0 PERCENTC.IC3 6 -17.8 32.5 13.3 (-44.6, 8.9)E. LATIHAN1. Ambilsampelacak sebanyak100, daridistribusinormal baku, dan tentukan selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel dari N(0, 4) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda simpulkan!Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn N(0, 4). (Gunakan tabel normal)872. Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat sebanyak9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2dan9.6liter. Carilahselang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap hampir normal. Lakukan pula perhitungan secara manual. (Gunakan tabel t)3. Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan menurunkan berat badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam 2 minggu. Berat tujuh wanita yang menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu 2 minggu.1 2 3 4 5 6 7Berat sebelum 58.5 60.3 61.7 69.0 64.0 62.6 56.7Berat sesudah 60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan apakah pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir normal.4. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam di petak sawahyangsama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per detik sbb:Universitas1 2 3 4 5 6 7 8 9Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap bahwadistribusi hasil hampir normal. Jelaskanmengapakeduavarietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. (Gunakan tabel t)88 SELANG KEPERCAYAAN1 POPULASI2 POPULASI2 diketahui2 tdk diketahui berpasangandr pop. normal(n < 30)) (2 1n n ) 30 ( n 21 , 22 tdk diketahui

2 2 = 2s2 2d ds XX 2 1X X D distribusi distribusi tdistribusi tnormal ) / ( | |2 / , 1n s t xn t 2.575. Jadi, z = -3.43 terletak dalamdaerahpenolakanmakakesimpulannyaadalahH0ditolak, artinyarata-rata dayatahantidaksmaadengan8. Caralainyanglebihmudahuntukmengujinya adalah dengan membandingkan dengan nilaip-nya. Jika < nilai p, maka H0 diterima. Untuk sebaliknya, H0 ditolak.93B. UJI-T 1 SAMPEL : UJI RATAAN DG 2 TDK DIKETAHUISelainuji-zadapadauji-t, yaituuntukmenguji rataanbilavariansipopulasitidak diketahui. Langkah-langkahpengerjaansamadenganuji-z, denganrumusuntukT adalah :T=0/ s n dengan daerah kritis 1, / 2 1 / 2in nt T t < Basic Statistics > 1-sample t3. Padakotakdialog, pilihsampleincolumninputC2,test meaninput10 selanjutnya OKGambar 12.2 Kotak dialog 1-sample t94One-Sample T: C2 Test of mu = 10 vs not = 10Variable N Mean StDevSE Mean95% CITPC21010.06000.2459 0.0777(9.8841, 10.2359)0.770.460Analisa: nilai kritisdari t untuktaraf keberartian0.10danderajat kebebasan9: 0.05,91.833 t < dan 0.05,91.833 t Basic Statistics > 1-sample t2. Pada kotak dialog klik option, pilih less than pada kolom alternative,lalu OK > OKGambar 12.3 Kotak dialog 1-sample t - optionsHasil outputnyasebagai berikut:One-Sample T: C2 Test of mu = 10 vs < 1095%UpperVariable N Mean StDevSE MeanBound TP95C21010.06000.2459 0.077710.20250.770.770Analisa : Dengan nilai kritis T < -1.833 maka kesimpulan adalah H0 diterima.C. UJI-T 2 SAMPEL : UJI SELISIH RATAANPengertian uji t 2 sampel sama dengan uji t 1 sampel, hanya saja terdapat 2 sampel yang kemudian diuji selisih rataannya, dengan rumus1 2 1 21 2( ) ( )(1/ ) (1/ )pX XTS n n +untuk 1 2 dan tidak diketahuiContoh 4Diberikan 2 sampel acak berukuran 1 211& 14 n n , dari dua populasi normal yang bebas satusamalain. Dari sampel diperoleh1 2 1 275, 20, 6.1, 5.3 x x s s . Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0.05 bahwa 1 2 , lawan tandingan 1 2 . Anggap bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama.Jawab:Pengujian :0 1 2: H atau 1 20 lawan 1 1 2: H atau 1 20 Langkah-langkah yang dilakukan pada Minitab :1. Bangkitkan 11 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C1 dengan n = 75 dan p = 6.12. Bangkitkan 14 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C2dengan n = 60 dan p = 5.33. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-sample t4. Pada kotak dialog pilih samples in different columns, input C1 sebagai first dan C2 sebagai second5. Ceklist Assume equal variances. Selanjutnya OK96Gambar 12.4 2-samples tOutput yang dihasilkan adalah sebagai berikut:Two-Sample T-Test and CI: C1, C2 Two-sample T for C1 vs C2 N MeanStDevSE MeanC11177.99 4.301.3C21164.13 4.021.2Difference = mu (C1) - mu (C2)Estimate for difference:13.864295% CI for difference:(10.1594, 17.5690)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 7.81P-Value = 0.000DF = 20Both use Pooled StDev = 4.1652Analisa : Diketahui untuk taraf keberartian 5% daerah kritis adalah 0.029,232.069 T < dan0.029,232.069 T >. Maka T=8.16 terletak dalamdaerah penolakan, artinya keputusan adalah H1diterima atau selisih mean tidak sama dengan nol, atau terdapat beda mean kedua populasi.9798