BAB II

ELEKTROMAGNETIKA I1Modul 02ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINATELMAG I (A108)ELMAG I (TT-33-02)ELMAG IELMAG I (B305)ELMAG I (TT-33-02)ELMAG IELEKTROMAGNETIKA I#Materi :2.1 Analisis Vektor dan Fasor2.2 Sistem Koordinat2.3 Transformasi Koordinat2.4 Integral VektorELEKTROMAGNETIKA I#2.1 Analisis VektorSkalar : Besaran yang hanya memiliki nilaiVektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arahContoh : Temperatur, laju, jarak, dllContoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dllELEKTROMAGNETIKA I#Notasi Vektor A ditulis dengan A atau

dengan

adalah besar vektor A atau panjang vektor A

adalah unit vektor A atau vektor satuan searah AVektor satuan atau unit vektor menya-takan arah vektor, besarnya satuELEKTROMAGNETIKA I#Lebih mudah menuangkan konsep vektor menggunakan sistem koordinatTiga sistem koordinat : - Koordinat Cartesius- Koordinat Silinder- Koordinat Bola2.2 Sistem KoordinatELEKTROMAGNETIKA I#Koordinat CartesiusKoordinat Cartesius tersusun atas tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurusmasing-masing sumbu x, y, dan zadalah vektor satuan searahsumbu x, sumbu y, danSumbu z

yxz

ELEKTROMAGNETIKA I#Dalam koord. Cartesiussembarang vektor AditulisAx, Ay, Az adalah komponenvektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb zKoordinat Cartesius

yxz

ELEKTROMAGNETIKA I#Koordinat CartesiusBesar vektor A ditulis

Unit vektor A atau vektor satuan searah A ditulis

ELEKTROMAGNETIKA I#Tulis dan Gambarkan Vektor A berpangkal di (0,0,0) dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z.

Tulis dan Gambarkan Vektor B berpangkal di (3,0,0) dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z.

Contoh ELEKTROMAGNETIKA I#Gambar kedua Vektor tsbxyz243AABELEKTROMAGNETIKA I#Contoh 2Titik A terletak dalam koordinat Carte-sius (3,4,5), semua koordinat dalammeter.Tentukan : Gambar vektor posisi A Penulisan vektor posisi A Besar vektor A Unit vektor searah AELEKTROMAGNETIKA I#Elemen perpindahan, luas dan volume pada Koordinat CartesiusElemen kecil perpindahan (displacement infinitesimal) :

dxdydzxyzP2P1Lihat jarak P1 ke P2ELEKTROMAGNETIKA I#Elemen kecil luas Elemen kecil luas dalam bidang yz

Elemen kecil luas dalam bidang xz Elemen kecil luas dalam bidang xy

Elemen kecil volume

ELEKTROMAGNETIKA I#Koordinat Silinder z

Dalam koord. Silindersembarang vektor Aditulis

A, A, Az adalah kompo-nen vektor A dalam arah sb , sb , dan sb zELEKTROMAGNETIKA I#Contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat silinder A= 3a + 2a + az berpangkal di M(2, 0, 0)B= 3a + 2a + az berpangkal di N(2, /2, 0)ELEKTROMAGNETIKA I#Gambar vektor tsbxyzMN3a 2aaz3a 2aazBAELEKTROMAGNETIKA I#Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax +2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan 2ax + 3ay + az.ELEKTROMAGNETIKA I#Tetapi bagaimana kalau spt ini:

Diperlukan tabel konversi mempermudah:

a a azax .Cos - Sin 0ay .Sin Cos 0az .001ELEKTROMAGNETIKA I#Elemen kecil perpindahan, luas, dan volume pada Koordinat Silinderd d dzElemen kecil perpin-dahan :

Elemen kecil volume

ELEKTROMAGNETIKA I#Elemen kecil luas

Elemen kecil perpindahan, luas, dan volume pada Koordinat SilinderELEKTROMAGNETIKA I#Koordinat Bolaxyz

Vektor A ditulis :

Ar, A, A adalah kompo-nen vektor A dalam arah sb r , sb , dan sb ELEKTROMAGNETIKA I#Contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola A= 3ar + a + 2a berpangkal di M(2, /2, 0) B= 3ar + a + 2a berpangkal di N(2, /2, /2)

ELEKTROMAGNETIKA I#Gambar Vektor tsbxyzMNB3ara 2a 2a 3ara AELEKTROMAGNETIKA I#Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax +2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan 2ax + 3ay - az.ELEKTROMAGNETIKA I#Elemen vektor perpindahanElemen volume

Elemen kecil perpindahan, luas, dan volume pada Koordinat BolaElemen vektor luas

ELEKTROMAGNETIKA I#2.3 Transformasi Koordinat

1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (, ,z)

(x, y, z)(, , z)

ELEKTROMAGNETIKA I#Contoh 1Ubahlah vektor A=3 ax+ 4 ay + 5 az denganpangkal di (0,1,0) ke koordinat silinder dgnpangkal yang sama.ELEKTROMAGNETIKA I#Contoh 2Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy.Tentukan : Koordinat titik P pada sistem koordinat Silinder Vektor B dalam koord. Silinder Vektor B pada titik x=3 dan y=4ELEKTROMAGNETIKA I#2. Silinder (, ,z) ke Kartesius (x,y,z)

(, ,z)(x,y,z)

ELEKTROMAGNETIKA I#Contoh Vektor A= 3a+4a+5az berada pada sistem koordinat silinder dengan titik pangkal di (10,/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesianELEKTROMAGNETIKA I#Transformasi Koordinat3. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, , )

ELEKTROMAGNETIKA I#Transformasi Koordinat4. Bola (r,,) ke Kartesius (x,y,z)

ELEKTROMAGNETIKA I#Transformasi KoordinatKartesius (x,y,z) Bola (r, , ) ar a aax .Sin CosCos Cos-Sin ay .Sin SinCos SinCosaz .Cos -Sin 0ELEKTROMAGNETIKA I#ContohVektor A=3ar+5a+4a berada pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesianar a aax .Sin CosCos Cos-Sin ay .Sin SinCos SinCosaz .Cos -Sin 0ELEKTROMAGNETIKA I#2.4 Integral Definisi Integral Garis

dengan l adalah panjang lintasan a sampai bliA(li)abELEKTROMAGNETIKA I#Contoh Cari integral garis dari vektor A=yax-xay melalui garis parabola y=x2 dari titik (-1,1) sampai titik (2,4)-1214xyy=x2ELEKTROMAGNETIKA I#Integral garis lintasan tertutup

Tentukan usaha W yang dilakukan oleh

untuk memindahkan benda dari A(0,0) ke B(2,4) melalui lintasan parabola:kemudian kembali lagi ke A(0,0) melalui lintasan garis lurus.

ContohELEKTROMAGNETIKA I#Integral Garis (Vektor Konservatif)

Jikamaka F disebut medan konservatif. Tentukan usaha W yang dilakukan oleh F=xax untuk memindahkan material dari A(0,0) ke B(2,4) melalui lintasan garis lurus kemudian kembali lagi ke A(0,0) melalui lintasan parabola y=x2

ContohELEKTROMAGNETIKA I#Integral PermukaanKonsep Vektor Permukaan:Arah : Tegak lurus permukaanBesar: Sama dengan luas permukaan yang diwakilinya.dSaibidS = vektor permukaan.ELEKTROMAGNETIKA I#Integral PermukaanKonsep Vektor Permukaan diperlukan dalam menghitung total flux vektor yang menembus suatu permukaandSi-1aibidSi+1dSiFFdSiFFluks medan vektor F menembus dSi adalah :

ELEKTROMAGNETIKA I#ContohTentukan Total Flux F yang menembus permukaan kubus jika F adalah:

dan permukaan kubus dibatasi olehx=[0,1]y=[0,1]z=[0,1]ELEKTROMAGNETIKA I#Int(0,1;0,1;0,1)(F.ds)=241