standar modul 02

13 1 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id

MODUL PERKULIAHAN

Analisa Struktur I

Modul Standar untuk digunakan dalam Perkuliahan di Universitas Mercu Buana

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

TEKNIK PERECANAAN DAN DESAIN

Teknik Sipil 02 MK Acep Hidayat,ST,MT

Abstract

Kompetensi

Materi Analisa Struktur I berisikan konsep analisis deformasi struktur statis tertentu dan metode analisis struktur statis tak tentu sederhana.

Mahasiswa dapat memahami konsep deformasi struktur balok statis tertentu dengan metode integrasi dan Conjugate Beam dan menganalisis struktur statis tak tentu dengan metode Clapeyron dan Distribusi Momen/Cross.


DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI

2.1 Pendahuluan

Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila terbebani.

Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur terlalu

berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan) pemakainya.

Deformasi lentur adalah perubahan bentuk struktur yang disebabkan oleh momen

gaya dalam .Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan

persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga metode,

yaitu metode integrasi ganda (doubel integrations), luas bidang momen (Momen Area

Method), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat

cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang sekaligus. Sedangkan

metode luas bidang momen sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui lendutan

dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan

tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-

lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan

panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang

datar walaupun terdeformasi.

2.2 Penurunan Rumus

Pada waktu membahas tegangan lentur (modul 3) kita sudat mendapat hubungan :

M : Momen gaya dalam

R : Jari-jari kelengkungan

E : Elastisitas bahan

I : Momen Inersia penampang

Karena sangat kecil, maka AB

putaran sudut di B


Pada = OC2 + CB =OB2

Mc

B

Karena yB sangat kecil dibanding 2R YB2 0

lendutan di B

Hubungan kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan

Perjanjian tanda untuk kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan adalah:

Bidang momen : MX+ Bidang momen : MX

+

Dari PQ :dx positif (x+) Dari PQ :dx positif (x+)

d negatif ; Mx+ d positif; Mx

-

Pers. Mx positif (serat bawah tarik) Pers. Mx negatif (serat bawah tekan)


Maka didapat hubungan : = persamaan deferensial deformasi (PDD)

Persamaan ini bila di integrasi sekali (menjadi . ) akam menghasilkan persamaan putaran

sudut. Dan bila diintegrasi lagi (menjadi. y) akan menghasilkan persamaan lendutan. Jadi,

bila suatu elemen struktur dengan pembebanan tertentu mempunyai persamaan gaya dalam

(Mx), maka deformasinya (putaran sudut dan lendutan) dapat dihitung.

2.3 Contoh Soal

1.

sebuah balok kantilever dengan EI tertentu

mendapat gaya luar berupa momen pada ujungnya.

Hitung lendutan dan putaran sudut di titik B (

) !

jawab

Bila x kita mulai dari titik B, maka persamaan gaya

dalam momen pada penampang sejauh x dari B

menjadi :

Mx = -M

Persamaan diferensial deformasi :

Diintegrasi sekali menjadi

Diintegrasi sekali lagi menjadi

Untuk mendapatkan nilai konstanta integrasi C1 dan C2 diperlukan 2 persamaan dari hasil

menghitung harga deformasi yang diketahui (kondisi batas).

Pada struktur kantilever ini, harga lendutan yang sudah diketahui (kondisi/syarat batas)

adalah yA=0 dan A=0 (jepit). Maka :

Syarat batas (1) :

A =

0= M.l + C1 C1 = - Ml


Syarat batas (2) : YA = 0x = l

Sehingga persamaan deformasinya menjadi :

Putaran sudut :

Lendutan :

Menghitung dan yB : titik B x = 0

2.

Hitung dan YA dari kantilever dengan pembebanan

seperti di samping ini!

Jawab :

X dari titik A

Mx = - P. X = - 3x


Syarat batas (1) :

B =

Syarat batas (2) : YB = 0X3 = 4


Persamaan deformasinya :

Putaran sudut :

Lendutan :

Periksa putaran sudut di B :

B =

Menghitung dan YA : x = 0

A =

3.

Hitung dan YB dari kantilever di bawah ini !

Jawab :

Ambil x dari kanan

Mx = - Rx.1/2x = - q . x .1/2 x = - qx2

Mx = - .2 .x2 = -x2

Persamaan diferensial deformasi:

Syarat batas:

SB (1): = 0 (jepit) x = 4

A =


SB (2) : = yA = 0x = 4

0 = -64 + C2 C2 = +64

Persamaan deformasi :

Perhitungan deformasi :

4. Hitung dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :

Reaksi perletakan :

MA = 0

+P.3 VB.5 = 0

+15 5 VB = 0 VB = +3t ()

V = 0

VA + VB P = 0

VA + 3 5 = 0 VA = 5 3 = 2t ()


Persamaan bidang mmomen ( x dari kiri ) pada interval terakhir:

Mx = + VA. x P(x - 3) = + 2x 5(x 3)


Syarat batas

SB (1) : yA = 0 x = 0

SB (2) : yB = 0 x = 5


Putaran sudut :

Lendutan :

Perhitungan Deformasi :


5. hitung putarannn sudut dan lendutan tengah bentang dari balok dengan pembebanan

seperti di bawah ini.

Jawab :

Reaksi Perletakan : VA = VB =

Persamaan bidang momen (x dari kiri) :

Mx = +VA . x Rx .1/2 x = +4x .qx2

Mx = +4x x2


Syarat batas (SB) :

SB (1) : yA = 0 x = 0

0 = 0 0 + 0 + C2 C2 = 0

SB (2) : yB = 0 x = 4




Lendutan di tengah bentang

6. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan

pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :

R = 5 . 2 = 10 t

Reaksi Perletakan : MA = 0


+P . 1 VB . 4 + R . 4 = 0

4 4 + 45 = 0 VB = +

V = 0 VA + VB P R = 0

VA + - 4 10 = 0 VA = 14 - =

Persamaan bidang momen : (x diambil dari kiri)

Mx = VA . x P(x-1) q(x-2)2 + VB(x-4)

Mx = - 4(x-1) (x-2)2 + (x-4)


- 4(x-1) (x-2)2 + (x-4)

Syarat batas (SB) :

SB (1) : yA = 0 x = 0

0 = C2

SB (2) : yB = 0 x = 4


Periksa : yB = 0 ? x = 4



yC = ? x = 7

yC = +


Garis elastis/deformasinya adalah :

7. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan pembebanan

seperti di bawah ini.

Penyelesaian :

Ambil x dari kiri :

Mx = Rx. 21 x = q. x.

21 x =

21 .q.x

2

Mx = 21 .3.x

2

= 23 x

2


EI 22

dx

yd = - Mx = - ( 2

3 x2)

EI dx

dy = -

23 .

31 x

3 + C1

= - 13

21 Cx

EI y = -21 .

41 . x

4 + C1x + C2

EI y = -81 . x

4 + C1x + C2

Syarat batas:

1) A = 0 x = 0

EI dx

dyI A = - 1

3

21 Cx

= - 21 .0

3 + C1


0 = C1

2) A = yA = 0 x = 0

EI yA = - 81 . x

4 + C1x + C2

= - 81 . 0

4 + 0 + C2

0 = C2

3) Persamaan deformasi:

EI dx

dy = - 3

21 x

EI y = -81 . x

4

4) Perhitungan deformasi:

1) B = ? x = 4

EI dx

dyI B = -

2

1 x

3

= -2

1 4

3

EI B = - 32

B = -EI

32

EI yB = -8

1x

4

EI yB = -8

1.4

4

EI yB = - 32

yB = -EI

32

8. Hitung A, B, yc dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini!


Penyelesaian:

Reaksi perletakan:

MB = 0

- (P. 2) (VA . 5) = 0

- (5.2) 5VA = 0

VA = 5

10

VA = 2 t ( )

V = 0

VA + VB - P = 0

2 + VB 5 = 0

VB = 3 t ( )

Persamaan bidang momen ( x dari kanan) pada interval terakhir:

Mx = VB. x P (x 2)

= 3x 5 ( x 2)


- EI 2

2

dx

yd = Mx

- EI 2

2

dx

yd = 3x 5 (x 2)

- EI dx

dy = 3.

2

1x

2 + 5.

2

1(x - 2)

2 + C1 =

2

3x

2 +

2

5(x - 2)

2 + C1

- EI y = 2

3.3

1x

3 -

2

5.3

1(x 2)2 + C1x + C2

Syarat batas (SB):

1) yB = 0 x = 0

- EI yB = 2

1x

3 -

6

5 (x 2)2 + C1x + C2


- EI yB = 2

10

3 -

6

5(0 2)2 + C1.0 + C2

C2 = 0

2) yA = 0 x = 5

- EI yA = 2

1x

3 -

6

5 (x 2)2 + C1x + C2

- EI yA = 2

15

3 -

6

5(5 2)2 + C1.5 + C2

- EI yA = 2

125-

3

45+ 5C1 + 0

5C1 = - 2

80

C1 = - 8

Persamaan deformasi:

Putaran sudut : - EI dx

dy =

2

3x

2 -

2

5(x - 2)

2 + C1

Lendutan : - EI y = 2

1x

3 -

6

5 (x 2)2 + C1x + C2

Perhitungan deformasi:

A = ? x = 5

- EI dx

dyI A =

2

3x

2 -

2

5(x - 2)

2 + C1

= 2

35

2 -

2

5(5 - 2)

2 8

= 2

75 -

2

45-

2

16=

2

14

- EI dx

dy = 7

A = -EI

7

B = ? x = 0

- EI dx

dyB =

2

3x

2 -

2

5(x - 2)

2 + C1

- EI dx

dyB =

2

30

2 -

2

5(0 - 2)

2 - C1


- EIB = -8

B = EI

8

C = yc ? x = 2

- EI yc = 2

1x

3 -

6

5 (x 2)2 + C1x + C2

- EI yc = 2

12

3 -

6

5 (2 2)2 + C1.2 + C2

- EI yc = 2

8-

2

32

- EI yc = - 12

yc = EI

12

C = yc ? x = 2

- EI yc = 2

1x

3 -

6

5 (x 2)2 + C1x + C2

- EI yc = 2

12

3 -

6

5 (2 2)2 + C1.2 + C2

- EI yc = 2

8-

2

32

- EI yc = - 12

yc = EI

12


DAFTAR PUSTAKA

1. Chu Kia Wang, Statically Indeterminate Structures, Mc Graw-Hill, Book

Company, Inc.

2. Kinney, J.S. Indeterminate Structural Analysis, Addison-Wesley

Publishing Co.

standar modul 02

Documents