Nama: Risdawati HutabaratNPM: 1215031064Kelas: B

Mencari Model-model Energi dalam zat padat

Pada umumnya untuk zat padat, energi yang diberikan kepada getaran kisi merupakan andil yang terpenting pada kapasitas termal, malah pada bahan isolator non-magnetik getaran kisi merupakan kontribusi satu-satunya. Sedangkan kontribusi lainnya berupa konduksi elektron terjadi pula pada logam, dan keberaturan magnetik terjadi pada bahan magnet.

Gambar 1. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu

a. Model Teori Klasik

Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C. Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :

ε=energi kinetik+energi potensial

ε=12mv2+ 1

2c x2

ε=m2

(v2+ω2 x2 )

dengan v laju getaran osilator, x simpangan osilator ω frekuensi sudut getaran

osilator (¿√ cm ). Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajad bebas

mempunyai energi rata-rata :

Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga-dimensi, maka untuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :

Dengan demikian kapasitas kalornya :

dari hasil (2.42) ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.

b. Model Einstein

Dalam model ini, atom-atom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit :

Pada tingkat dasar n = 0, energi osilator є0 = 0. Tingkat berikutnya n = 1, 2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah ђω ; lihat gambar 2.12.

Gambar 2. Spektrum energi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.

Pada keseimbangan termal, energi rata-rata osilator dinyatakan oleh :

faktor (bobot) Boltzmann exp(-єn/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergi

єn tertempati. Persamaan (2.44) dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan

ungkapan :

Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :

Sehingga kapasitas kalornya:

Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut

frekuensi Einstein.Untuk menyederhana persamaan (2.46) didefinisikan suhu Einstein (θE) menurut :

dan persamaan (2.46) tereduksi menjadi :

Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (θE/T) berharga kecil; sehingga exp (θE/T)

dapat diuraikan ke dalam deret sebagai berikut :

Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana untuk suhu rendah? Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak

pada penyebut dalam persamaan (2.48); yaitu :

sehingga ungkapan kapasitas panas menjadi :

Dengan,

c. Model Debye

Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi dari ω=0 sampai dengan ω =ωD. Batas frekuensi ωD disebut frekuensi potong Debye.

Menurut model Debye ini, energi total getaran atom pada kisi diberikan oleh ungkapan

є (ω) adalah energi rata-rata osilator seperti pada model Einsteinsedangkan g (ω) adalah rapat keadaan

Dalam selang frekuensi antara ω = 0 dan ω = ωD, g(ω) memenuhi :

Apabila kita menggambarkan kontur yang berhubungan dengan ω = ωD dalam

ruang - q seperti pada gambar 2.4. akan diperoleh sebuah bola yang disebut bola Debye, dengan jejari qD yang disebut jejari Debye dan memenuhi

Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian

juga variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil : ex ≅ 1 + x

sehingga integral yang bersangkutan menghasilkan Masukkan hasil ini kepersamaan (2.56)

3DSesuai dengan hukum Dulong-Petit, sehingga pada suhu tinggi model ini cocok dengan hasil eksperimen. Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada persamaan (2.56)

menuju takberhingga; dan integral tersebut menghasilkan 4π4/15. Dengan demikian :

Gambar 3 Rapat keadaan menurut Model Debye.

d. Model Born-Von- Karmann

Kondisi batas Born- von Karman adalah kondisi batas periodik yang memaksakan pembatasan bahwa fungsi gelombang harus periodik pada Bravais kisi tertentu . ( Dinamakan Max Born dan Theodore Von Karman ) . Kondisi ini sering diterapkan dalam fisika keadaan padat untuk model kristal yang ideal .

Kondisi tersebut dapat dinyatakan sebagai

Kondisi tersebut dapat dinyatakan sebagai di mana saya berjalan di atas dimensi kisi Bravais , ai adalah vektor primitif kisi , dan Ni adalah setiap bilangan bulat ( dengan asumsi kisi tak terbatas ) . Definisi ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa:

untuk setiap kisi vektor translasi T sedemikian rupa sehingga :

Kondisi batas Born- von Karman adalah penting dalam fisika keadaan padat untuk menganalisis banyak fitur dari kristal , seperti difraksi dan celah pita . Pemodelan potensi kristal sebagai fungsi periodik dengan kondisi batas Born- von Karman dan menghubungkannya dengan hasil persamaan Schrödinger dalam bukti teorema Bloch , yang sangat penting dalam memahami struktur pita kristal .