GETARAN DALAM ZAT PADAT

2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar

Padatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saat gelombang yang merambat mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada jarak antaratom, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap sebagai medium kontinu. Dengan demikian persoalan fisisnya menyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut gelombangelastik.

Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatu batang isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis dan modulus Young Y, antara x dan (x+dx) menurut hukum Newton mempunyai persamaan gerak

dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan. Regangan e=du/dx dan tekanan S dihubungkan oleh hukum HookeS = Y u

Untuk bagian yang kecil sesungguhnyaS = S(x+dx) S(x) = (S/x) dxsehingga persamaan gerak gelombangn di atas menjadi

yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.

=2 u[ ]

A dx = S ( x + dx) S ( x) At 2

(2.1)

(2.2) 2 u 2 u

x 2 Y

= 0t 2

(2.3)

yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.

Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaituu = Ao ei(kx - t) (2.4) Dimana Ao, k dan adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radial gelombang. Substitusi solusi (2.4) ke dalam persamaan gelombang (2.3)

menghasilkan = vs k (2.5)

dengan

vs = (Y/)1/2 (2.6)

adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (2.5) antara frekuensi dan bilangan gelombang disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier,dengan kemiringan kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2.1 berikut.

=vsk

0 k

Gambar 2.1 Kurva dispersi gelombang elastik

Relasi dispersi linier (dengan kecepatan suara vs sebagai kemiringannya) dimiliki oleh beberapa gelombang, antara lain gelombang optik dalam vakum, dan gelombang suara dalam cairan dan gas.

Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieran terjadi karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkan dengan jarak antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal.

Persamaan (2.6) dapat digunakan untuk menentukan modulus Young. Misalnya, pengukuran menunjukkan untuk suatu padatan tertentu vs= 5.105 cm/sdan = 5 gr/cm3 sehingga didapatkan nilai Y = 1,25.1012 gr/cm s2.

Apabila gelombang elastik satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusi domain ruangnya saja, yakniu = Ao eikx (2.7)

dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehingga memiliki syarat batas periodiku (x=0) = u (x=L) (2.8) dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (2.7) ke dalam (2.8) menghasilkan kondisieikL = 1 (2.9)

sehinggakn = (2/L) n, dimana n=0, 1, 2, (2.10) Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah modagetar.

Jika L besar sekali, maka kn hampir kontinu (pandangan makro). Dalam domain k, jarak antartitik adalah (2/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan (k+dk) sebesardN = (L/2) dk (2.11) Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara dan (+d). Rapat keadaan g() didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g()d memberikan jumlah moda getar yang mempunyai frekuensi antara dan (+d) seperti di atas. Oleh karenaitu didapatkan

g ( ) = L 1 2 d / dkUngkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengan demikian g() yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah

g ( ) = L 1

(2.12)

d / dkTerlihat bahwa rapat keadaan g() bergantung pada relasi dispersi. Untuk hubungan linier (2.5), dimana d/dk=vs, maka didapatkan

g ( ) = L 1 vsyang konstan tidak bergantung pada .

(2.13)

Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan syarat bahwae i (k x L +k y L +k z L ) ) = 1sehingga(kx , ky , kz) = [ n (2/L) , m (2/L) , l (2/L) ] (2.14) dimana n, m, l = 0, 1, 2, . Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwa sebuah titik mempunyai volume (2/L)3 dan merepresentasikan satu moda getar,seperti Gambar 2.2 berikut.

ky

kontur

kontur (+d)

kx

d

k

Gambar 2.2 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi

Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletak pada permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx , ky , kz) = (0,0,0).Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletakdalam elemen volume 4k2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk). Dengan demikian, jumlah moda getar dalam selang vektor gelombang di atas

2 2

dN = 4k dk = V k dk

(2.15)

(2 / L)3

2 2

dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g() diperoleh dengan menggunakan hubungan dispersi (k).

Apabila digunakan hubungan dispersi linier (2.5), maka didapatkanV 2g ( ) = (2.16)2 2 3vs

yang dilukiskan dalam Gambar 2.3 berikut.

Gambar 2.3 Rapat keadaan dalam medium elastikTernyata bahwa bertambahnya g() berbanding lurus dengan 2, tidak seperti dalam kasus satu dimensi dimana g() berharga konstan. Hal ini terjadi karena kenaikan elemen volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dan karena itu berbanding lurus juga dengan 2 karena sebanding dengan k.Ungkapan g() di atas bersesuaian dengan moda tunggal untuk setiap nilaiG G

k . Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k

mengandung tiga moda

berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal. Hubungan

dispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (2.16) menjadi

2 1 1

g ( ) = V

2 3 3+

(2.17)

2 vL vT dimana vL dan vT, masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinal dan transversal. Jika vL=vT, maka ungkapan (2.17) menjadi3V 2g ( ) = (2.18)2 2 3vs

2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat

Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas tersimpan sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak atau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi sama, yaitu ()k0T, dengan k0 adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berarti energi kinetik setiap atom gas memiliki energi ()k0T. Gas monoatomik memiliki tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1 kilomolU = NA (3/2) k0T = (3/2) RT (2.19)

Dengan demikian, kapasitas panas pada volume konstan

C = U V

T V

= 3 R2

(2.20)

Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas Q yang diperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu T, yakni C=Q/T. Jika proses berlangsung pada volume tetap, maka Q=U, dimana U adalah kenaikanenergi dalam sistem. Dalam hal persamaan di atas, NA adalah bilangan Avogadro dan R adalah tetapan gas. Menurut (2.20) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk gas He dan Ar pada suhu kamar.

Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana,

energi kinetik rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi

total sistem atom dalam kristal menurut hukum ekipartisi

U = N 3A

2

k oT +

3 k T = 3RT2 o

(2.21)

Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan adalahCV = (U/T)V = 3R (2.22) Harga (2.22) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlakuuntuk hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi.

Selanjutnya, eksperimen menunjukkan bahwa nilai CV menurun apabila T menurun, dan mendekati nol apabila T menuju 0 K. Disamping itu, terdapat indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat rendah mendekati nolmutlakCV T3Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teori mekanika kuantum.2.1.2.1 Model Einstein tentang CV Zat Padat

Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan radiasi benda hitam, maka konsep kuantisasi energi itu juga diterapkan Einstein dalam teorinya tentang CV zat padat. Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagai berikut.a. Atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi sama dan energi diskritn = n , n = 0, 1, 2, (2.23)dengan adalah frekuensi osilator. Jarak antartingkat energi ini sebesar .b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti

distribusi Boltzmann

f ( n

) = e n / koT

(2.24)

rata

Sebuah osilator dengan satu derajat kebebasan mempunyai energi rata-

n

f ( n )

= n =0

f ( n )n=0

Substitusi (2.23) dan (2.24) ke persamaan di atas menghasilkan = = e = / koT 1

(2.25)

Gambar 2.4 berikut menyajikan perbandingan energi kuantum rata-rata osilator dan energi klasik kristal untuk satu derajat kebebasan.

klasik

kuantum

O T

Gambar 2.4 Energi kuantum rata-rata dan energi klasik rata-rata kristalTampak bahwa pada suhu tinggi, sehingga koT>>, osilator berada dalam keadaan kuantum tereksitasi tinggi. Pada keadaan demikian sifat kuantum

spektrum dapat diabaikan, sehingga dihasilkan energi klasik rata-rata

= koT .

Pada suhu rendah, koTE, bentuk e E / Tdalam deret pangkat E/T, sehingga menghasilkanCV 3 Rseperti hasil teori klasik.

dapat diekspansikan

b. Pada suhu yang sangat rendah, dimana TD, didapatkanCV 3 R

yang sesuai dengan hukum Dulong-Petit. Dalam keadaan demikian, setiap

moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi klasik rata-rata

= koT .

Jika kita substitusikan energi klasik rata-rata tersebut ke dalam (2.29) akan didapatkan E = 3RT dan CV=3R.b. Pada suhu rendah, T