Set -2 - Survei Deformasi Struktur

2

MACAM-MACAM MODEL MATEMATIKA

Didalam geomatika, pengukuran-pengukuran seperti jarak dan sudut, bukanlah

karena data tersebut akan langsung dipakai, melainkan digunakan untuk

menentukan suatu nilai/besaran yang lainnya, misalnya koordinat. Sebelum

suatu survei pengukuran dilakukan, biasanya diperhitungkan terlebih dahulu

kuantitas (misalnya parameter yang akan dicari, ketilitian, konstanta, dll.) yang

akan ditentukan dalam proses pengukuran.

Hubungan yang merelasikan antara pengukuran (observasi) dengan kuantitas

ini disebut dengan model. Karena didalam Geomatika hubungan yang terjadi

antar kuantitas ini didasari pada hukum/kondisi fisika dan geometrik-nya,

maka model ini sering disebut sebagai model matematika. Terdapat 6 macam

model matematka yang paling sering digunakan untuk menentukan besarnya

besarnya parameter yang akan ditentukan dari sekumpulan observasi.

Ingatlah kembali bahwa untuk menentukan kuantitas yang dicari q (atau fungsi

dari q), suatu model dikonstruksikan untuk terdiri dari parameter x, observasi ℓ dan konstanta c:

f(q) = f (c, x, ℓ)

1 THE DIRECT MODEL (MODEL DIRECT / LANGSUNG)

Model yang secara eksplisit menyatakan unknown (parameter) sebagai fungsi

dari observasi (ℓ):

Untuk model non-linier: x = g (ℓ)

Untuk model linier: x = Gℓ + w

Dimana:

x dan w adalah vektor yang berdimensi u x 1

G adalah matrik desain/koefisien yang berdimensi u x n

ℓ adalah vektor berdimensi n x 1

u adalah banyaknya persamaan model (condition equation)

n adalah banyaknya observasi

Pada kasus dimana G = I, dan w = 0, maka x = ℓ ( u = n)

Contoh:

i. Untuk model geometrik non-linier:

Area A dari segitiga isoscheles: A = 0.5 xy dimana x dan y adalah

observasi (alas dan tinggi)

ii. Linier geometrik model dengan w = 0

Transformasi konform 2D:

3

122212

1

1

atau cossin

sincos

Gx

y

x

aa

aa

y

x

iii. Mode linier secara umum:

13133313

3

2

1

3

2

1

atau

3.7

2.2

1.6

814

326

411

wGx

x

x

x

Perlu diingat bahwa model DIRECT ini memiliki solusi yang unik, artinya dari

sekumpulan nilai observasi ℓ hanya akan didapat satu solusi parameter x.

Model seperti ini tidaklah umum didalam Geomatika karena observasinya

tidak teratakan (unadjusted!) sebab disini tidak ada pengukuran lebih

(redundant observation).

2 THE INDIRECT MODEL (MODEL INDIRECT / TIDAK

LANGSUNG)

Adalah model dimana sekumpulan observasi ℓ dinyatakan secara eksplisit

sebagai fungsi dari unknown parameter x.

Dalam bentuk non-linier: ℓ = f(x)

Dalam bentuk linier: ℓ = A x + w

Bentuk linier dari model indirect sering disebut dengan model parameter

(metode parameter) dan matrik A yang berdimensi n x u (dimana n u)

disebut sebagai matrik desain atau matrik desain pertama. Hitung perataan

via model indirect dikenal sebagai “the method of observation only”. Jumlah

observasi dinyatakan dengan n dan jumlah unknown parameter dinyatakan

dengan u.

Contoh:

i. Distorsi radial lensa dimana r adalah jarak radial (konstanta), dr distorsi

radial yang terukur (observasi), dan Ki adalah koefisien distorsi

(parameter). Persamaannya (linier):

73

52

31 rKrKrKdr

atau

3

2

1753

K

K

K

rrrxA

Karena terdapat 3 buah parameter K, maka jelaslah kita membutuhkan 3

atau lebih pengamatan (observasi) dr (pada r yang berbeda-beda), maka

pertimbangkanlah 4 observasi berikut:

4

inedoverdeterm 1) x (3 3) x (4 1 x 4

3

2

1

74

54

34

73

53

33

72

52

32

71

51

31

4

3

2

1

K

K

K

rrr

rrr

rrr

rrr

dr

dr

dr

dr

dari sini terlihat bahwa jumlah pengamatan, n = 4; dan jumlah parameter,

u = 3.

ii.

2

76

1424

2163

14

3213

212

3211

xl

xxxl

xxl

xxxl

disini terlihat bahwa n = 4 dan u = 3, sehingga terdapat pengamatan lebih

(overdetermined).

2

7

14

21

001

116

024

621

3

2

1

4

3

2

1

14133414

x

x

x

l

l

l

l

wxA

iii. Transformasi konform 2D – pada kasus disini model dapat dikatakan

indirect jika observasi diekspresikan sebagai fungsi dari parameter.

xA

dy

dx

y

x

aa

aaS

y

x

1

1

cossin

sincos

dimana (x, y) adalah koordinat yang diukur (observasi); sudut a dan

faktor skala S adalah nilai yang diketahui (konstanta) dan (x1, y

1) adalah

koordinat pada sistem lain yang akan dicari nilainya (parameter).

Model ini biasanya diekspresikan dengan penulisan yang berbeda dengan

(x, y) sebagai observasi, dan (x1, y

1) sebagai konstanta dan akan dicari

empat parameternya:

5

xA

d

c

b

a

xy

yx

y

x

d

c

y

x

ab

ba

y

x

ii

10

01

atau

11

11

1

1

Dari persamaan ini terlihat bahwa satu pengukuran titik koordinat (x, y)

akan membentuk 2 persamaan, dan untuk menentukan besarnya masing-

masing keempat parameter tersebut sehingga didapatkan solusi yang

unik, dibutuhkan pengukuran dua buah pengukuran koordinat (x, y).

iv. Pada kasus non-linier: penentuan jarak pada bidang datar:

21

22ijijij yyxxd

dari rumus tersebut terlihat bahwa didalam masalah penentuan posisi

dengan perpotongan jarak, titik (xj, yj) tidak ditentukan hanya dari satu

buah jarak saja. Sehingga sekumpulan model persamaan indirect atau

parameter harus disusun sedemikian rupa sehingga terdapat cukup data

pengukuran jarak (observasi) untuk menentukan posisi titik itu, atau

menentukan parameter (xj, yj). Dengan kata lain, dua buah pengukuran

jarak akan menghasilkan solusi yang unik, dan untuk mendapatkan

redundancy (pengukuran lebih) diperlukan pengukuran jarak lebih dari

dua dari titik-titik yang sudah diketahui posisinya (koordinatnya).

Koordinat (xj, yj) adalah parameter yang akan dicari dan koordinat-

koordinat (xi, yi) diketahui nilainya.

Karena model matematiknya adalah non-linier maka terlebih dahulu harus

dilinierkan dengan deret Taylor:

1

2

3

4

(xi, y

i)

(xj, y

j)

d14

d24

d34

6

ijj

ijj

ij

ij

ij

i

ij

ij

ij

i

my

f

x

f

md

yy

y

f

d

xx

x

f

0

0

0

0

koordinat 00 , jj yx adalah nilai koordinat pendekatan dari parameter (titik

4) dan 0ijd adalah jarak dari titik i ke titik pendekatan j.

Model persamaan matematika hasil linierisasi adalah:

03443443413413434

02442442412412424

01441441411411414

dymxymxd

dymxymxd

dymxymxd

tetapi karena titik 1 sampai 3 diketahui koordinatnya, maka x1, y1, …,

y3 akan sama dengan nol, karena itu persamaan diatas akan menjadi:

03443443434

02442442424

01441441414

dymxd

dymxd

dymxd

dalam bentuk matrik akan menjadi:

wA

d

d

d

y

x

m

m

m

d

d

d

034

024

014

4

4

3434

2424

1414

34

24

14

Notasi digunakan karena parameter yang dicari disini adalah nilai

perbedaan dengan/terhadap nilai pendekatan awalnya. Sedangkan nilai w

adalah nilai fungsi pada harga parameter pendekatan. Tetapi model

inderect ini dapat pula ditulis dengan variasi lain:

Agar model matematika yang digunakan dapat fit maka setiap pengukuran

harus dikoreksikan terhadap residunya, sehingga persamaannya akan

menjadi:

7

0344344343434

0244244242424

0144144141414

dymxvd

dymxvd

dymxvd

Atau:

3403443443434

2402442442424

1401441441414

ddymxv

ddymxv

ddymxv

Dalam bentuk matrik dapat ditulis:

wAv

dd

dd

dd

y

x

m

m

m

v

v

v

34034

24024

14014

4

4

3434

2424

1414

34

24

14

Vektor w disini adalah: “perhitungan – pengukuran”.

Sedangkan solusi untuk parameter dari sistem yang berpengamatan lebih

ini adalah:

0xx

sekali lagi ditekankan bahwa adalah nilai koreksi dari nilai pendekatan

parameter. Sehingga untuk mencari nilai parameter yang sesungguhnya

nilai ini harus ditambahkan dengan nilai parameter pendekatannya.

3 THE IMPLICIT MODEL (MODEL IMPLISIT)

Model matematika implisit ini sesuai untuk kasus dimana hubungan antara

parameter dengan observasinya tidak dapat dibedakan/dipisahkan secara jelas

(memiliki hubungan yang non-linier), sehingga kita tidak dapat

mengekspresikannya secara eksplisit antara yang satu dengan yang lainnya:

f(x, ℓ) = 0

fungsi ini memiliki kombinasi parameter dan observasi, sehingga sering

disebut dengan perataan dengan teknik kombinasi (combined adjustment

model), atau sering diistilahkan sebagai model parameter plus kondisi.

Setelah dilinierisasi model ini akan memiliki bentuk:

0111 wBxA mnnmuum

dimana:

A adalah matrik desain pertama (matrik koefisien terhadap parameter)

8

B adalah matrik desain kedua (matrik koefisien terhadap observasi)

w adalah vektor konstanta dari besarnya m

u adalah jumlah parameter

n adalah jumlah pengukuran

m adalah jumlah persamaan kondisi

fB

x

fA

model parameter adalah kasus khusus dari model implisit yang didapat jika B

= -I. Rank dari A dan B menentukan apakah model ini memiliki redudancy

kurang , unik, atau lebih.

Contoh:

i. 02211 xx

dimana i adalah observasi dan xi adalah parameter. Persamaan ini akan

menghasilkan model yang linier berikut:

0022

011

2

102

01

2

121 xx

v

vxx

x

x

Model dapat ditulis dengan:

0wvBA

Sekali lagi, adalah koreksi dari nilai pendekatan parameter, sehingga

nilai parameternya adalah

0xx

sedangkan v adalah nilai residu dari observasi, berarti nilai observasi

yang teratakan adalah:

v̂ , dan

w sering disebut dengan vektor perbedaan pada nilai pendekatan.

ii. Perhatikan persamaan garis lurus y = mx + b berikut:

9

Jika diasumsikan bahwa koordinat xi dan yi adalah pengukuran

(observasi), sedangkan gradient m dan offset b adalah parameter yang

akan ditentukan nilainya, maka:

y - mx - b = 0

kita akan membentuk model implisit 0wBvA karena pada

model ini persamaan-persamaan model/kondisinya adalah fungsi dari

parameter dan observasi yang tergabung didalam persamaan. Sehingga

persamaan diatas bukan lagi linier dalam konteks parameter dan

observasi, karena itu untuk 1 titik pengamatan dilakukan:

00

1

1

bxmyw

v

vv

b

m

mf

B

xx

fA

x

y

Nilai d adalah koreksi terhadap parameter karena digunakan parameter

pendekatan dan v adalah koreksi terhadap pengukuran (observasi).

Dalam bentuk matrik model persamaannya dapat ditulis menjadi:

011 00bxmy

v

vm

b

mx

x

y

x1

x2

x3

Gradient = m

b

y1

y2

y3

x

y

10

Persamaan ini berlaku untuk satu titik pengukuran. Jika dilakukan

pengukuran ke tiga buah titik maka persamaannya akan menjadi:

01316631223 wvBA

untuk satu buah titik terdapat 2 observasi, maka untuk tiga titik nilai n =

6; untuk satu titik terdapat 1 persamaan, maka untuk tiga titik nilai m = 3.

iii. Kita tinjau lagi masalah penentuan persamaan garis lurus. Kita ingin

membuat model indirect untuk model matematika-nya, dengan

mengasumsikan nilai x sebagai konstanta.

b

mxbmxy 1

Bentuk persamaan diatas sudah dalam bentuk Ax , tetapi jika kita

ingin menentukan koreksi x ketimbang nilai x itu sendiri, maka:

1

00

00

00

1

:atau

1

wxAv

ybxmb

mxv

bxmb

mxy

bbxmmy

jika bentuk diatas kita samakan dengan model implisit, maka:

wxAv

bxmyb

mxv

001

Perhatikan, bentuk persamaan ini akan sama dengan model implisit

kecuali kalau B = -I.

Secara sederhana dapat disimpulkan bahwa perbedaan antara model

indirect dengan model implicit dalam kasus persamaan garis lurus ini

adalah bahwa dalam model indirect residu observasi v hanya ditujukan

untuk y, sedangkan dalam model implicit residu observasi v terbagi

0

10000

00100

00001

1

1

1

03

03

02

02

01

01

0

0

0

3

2

1

3

3

2

2

1

1

bxmy

bxmy

bxmy

v

v

v

v

v

v

m

m

m

b

m

x

x

x

x

y

x

y

x

y

11

dalam pengukuran x dan y. Solusi yang dihasilkan untuk penentuan

parameter m dan b untuk kedua solusi ini kurang lebih akan sama. Model

indirect biasanya lebih disukai karena kesederhanaannya, tetapi model

implicit menawarkan kehandalan dalam perhitungan/analisa statistiknya.

iv. Perhatikan persamaan parabola cbxaxy2 berikut:

Untuk mengestimasi persamaan parabola diatas maka akan ditentukan

parameter parabola yaitu: a, b, dan c. Jika dilakukan observasi terhadap

pasangan keempat titik koordinat, maka model implicit-nya akan menjadi:

02ycbxax

1

1

1

1

;

;;;

:dimana0

424

323

222

121

0020

4

4

3

3

2

2

1

1

xx

xx

xx

xx

A

v

v

v

v

v

v

v

v

v

dc

db

da

ycxbxawBf

Af

wBvA

y

x

y

x

y

x

y

x

i

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

12

12000000

00120000

00001200

00000012

0

0

0

0

ba

ba

ba

ba

B

4 THE CONDITION MODEL (MODEL KONDISI)

Model ii digunakan bila tidak ada parameter yang terlibat didalam persamaan

matematikanya.

Untuk kasus non-linier: 0)(g

Untuk kasus linier: 0wBv

Dimana v̂ , dimana v adalah residu pengukuran.

Contoh:

i. Pengukuran sudut-sudut sebuah sigitiga: a + b + c - 1800 = 0

0

0180111

1

0

wB

c

b

a

atau:

0

0180111 0

wvB

cba

v

v

v

c

b

a

ii. Pengukuran tinggi (yang diukur adalah beda tinggi hi).

Jumlah pengukuran = n = 7

Jumlah minimum pengukuran = n0 = 4

h1

h2

h7

h6

h3

h4

h5

13

Persamaan = 7 - 4 = 3 = redudancy

0

0

1000110

0110001

0011111

0

0

0

17

6

5

4

3

2

1

7

73

732

561

54321

B

h

h

h

h

h

h

h

hhh

hhh

hhhhh

Disini terdapat satu persamaan untuk setiap satu buah redudancy. Ada

beberapa alternatif dalam penyusunan persamaan. Yang perlu diperhatikan

adalah bagaimana menentukan persamaan-persamaan yang linier

independen.

Pada saat ini, seiring dengan pesatnya perkembangan teknologi komputer,

model kondisi ini jarang dipergunakan. Dan karena itu tidak akan dibahas

lebih lanjut didalam mata kuliah ini.

5 CONSTRAINT

Pada model ini, fungsi konstrain dapat diterapkan jika ada tambahan informasi

(yang juga berupa fungsi) yang menjelaskan hubungan antara fungsi dengan

parameter atau observasinya, yang biasanya hanya berupa parameter tertentu.

Model indirect atau model implicit juga ikut disertakan dalam persamaan

konstrain.

0

0

hwH

wBvA - persamaan konstrain

Dari persamaan diatas terlihat bahwa konstrain adalah sebagai tambahan dari

persamaan utamanya (model indirect atau model implicit) sebagai tambahan

observasi.

Contoh:

Perhatikan suatu jaringan sipat datar dimana dua titik yang terletak pada batas

tepi permukaan air danau, dikondisikan memiliki tinggi yang sama (konstrain).

Jika dibuat model indirect: i pengukuran (observasi) beda tinggi:

14

Danau

l1

l3l2

l6l5

l4

h5

h1

h3

h4h2

Persamaan observasi:

136

355

454

243

232

121

hh

hh

hh

hh

hh

hh

Persamaan konstrain-nya adalah: h1 = h5 atau h1 - h5 = 0. Penambahan

persamaan konstrain ini akan merubah persamaan sebelumnya:

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

10001

00101

10100

11000

01010

00110

00011

0

h

h

h

h

h

atau:

x

H

A

0

Konstrain

15

6 MODEL STEP BY STEP (BERTAHAP)

Dengan model ini, pembentukan model secara bertahap, pengukuran/observasi

i dibuat dalam serangkaian seri untuk parameter x yang sama. Untuk model

statik:

0),(

0),(

22

11

xf

xf

Solusi dalam model f2 akan mengikuti model f2 dan memberikan estimasi

yang lebih baik untuk parameter x. Untuk kasus statik dikenal dengan istilah

sequential adjustment, step by step adjustment, dynamic network

adjustment. Dan untuk kasus dinamik dimana dilakukan secara real time

sering disebut dengan kalman filtering.

Contoh:

Tinjaulah kembali persamaan garis lurus y = mx + b untuk model indirect:

b

mx

Ax

i 1

untuk seri / epoch pertama diamati tiga buah titik (1 – 3):

11

1

111

1

1

3

2

1

3

2

1

ˆ

:normalnya Persamaan

1

1

1

TTAAAx

b

m

x

x

x

y

y

y

Untuk seri / epoch kedua diamati tiga buah titik (4 – 6):

22

1

222

2

2

6

5

4

6

5

4

ˆ

:normalnya Persamaan

1

1

1

TTAAAx

b

m

x

x

x

y

y

y

Solusi:

2211

1

22113ˆ TTTTAAAAAAx

16

7 CONTOH KASUS TRANSFORMASI KOORDINAT

7.1 Persamaan umum 2D Similarity Transformation:

y

x

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

dimana adalah faktor skala di sistem (x’, y’) dan adalah rotasi salib sumbu

dari sistem (x,y) ke sistem (x’,y’).

7.2 Penyusunan model indirect

Jika:

x’,y’ adalah pengukuran (observasi)

x,y dianggap sebagai konstanta

x, y adalah unkonwn parameter (4 buah)

sin

cos

b

a

pada kasus ini x, y akan ditentukan dari sistem (x,y).

maka persamaan diatas dapat dirubah menjadi:

d

c

y

x

ab

ba

y

x

'

'

maka sekarang parameter yang dicari adalah a, b, c, d; dan persamaan

observasi menjadi:

d

c

b

a

xy

yx

y

x

10

01

'

'

persamaan tersebut adalah persamaan linier, atau dalam bentuk lain:

x'

y'

x

y

x

y

xyx'

y'

17

Ax ;dan bentuk linier untuk model indirect adalah wAxv .

Karena observasi selalu memiliki kesalahan maka:

xAv

d

c

b

a

xy

yx

vy

vx

y

x

10

01

'

'

'

'

sehingga:

wxAv

y

x

d

c

b

a

xy

yx

v

v

y

x

'

'

10

01

'

'

dengan kata lain w = “minus observation”

Untuk menentukan parameter yang dicari digunakan:

dycx

ab

ba

;

tan 1

22 21

7.3 Mem-fix-kan faktor skala

Skala dibuat = 1

x, y akan ditentukan dalam sistem (x’, y’)

sehingga yang menjadi parameter sekarang adalah , x’, y’, dan

persamaannya menjadi:

'

'

cossin

sincos

'

'

y

x

y

x

y

x

karena persamaan tersebut adalah non-linier maka model indirect-nya menjadi:

wAv , sehingga:

'cossin

'sincos

'

'

'

'

yyx

xyx

vy

vx

y

x

dimana:

18

tmeasuremenncalculatio

tmeasuremenncalculatio

yyyx

xxyxw

yy

xyy

yx

xxx

A

yd

xd

d

''cossin

''sincos

;

''

'''

''

'''

;

'

'

000

000

w adalah calculation – observation. Bukan lagi “minus observation” seperti

pada kasus nomor 7.2 diatas. Dan bentuk linier untuk model indirect-nya

adalah:

wAv

yyyx

xxyx

yd

xd

d

yx

yx

v

v

y

x

'cossin

'sincos

'

'10sincos

01cossin

000

000

'

'

8 MODEL INDIRECT DENGAN CONSTRAINT

Untuk kasus seperti pada nomor 1:

d

c

y

x

ab

ba

y

x

'

'

Misalkan kriteria konstrain-nya adalah = 1, maka persamaan bukan lagi

linier:

wAv

ydyaxb

xcybxa

dd

dc

db

da

xy

yx

v

v

y

x

y

x

'

'

10

01

0

0

'

000

'

000

'

'

Dari kasus 1 diketahui pula bahwa 12

122

ba

Diketahui rumus konstrain adalah: H + wh = 0 ; dimana:

1

;

0

21

21

21

22

0

0

0

0

22

0

22

0

oo

h

oooo

baw

ba

ba

b

ba

a

parameter

fH

db

dq

19

Sehingga persamaan model indirect-nya akan menjadi:

1

''

''

00

10

01

0 0

0

0

0

0

0

0

'

'

yy

xx

dd

dc

db

da

ba

xy

yx

v

v

y

x

Disini w juga adalah “calculation – observation”.

9 MODEL IMPLICIT

Model digunakan jika baik sistem (x,y) dan sistem (x’, y’) adalah observasi /

pengukuran. Sehingga:

Pengukuran : (x, y) & (x’, y’)

Parameter: a, b, c, d.

Persamaan dalam bentuk matrik:

d

c

y

x

ab

ba

y

x

'

'; kalau mau dibuat model implicit, persamaan

harus diubah dulu menjadi:

0'

'

y

x

d

c

y

x

ab

ba

Karena persamaannya adalah non-linier maka model implicitnya menjadi:

0wvBA

dimana:

0

0'

'

10

01

10

01

10

01

observasi

10

01

parameter

'

';;

000

000

'

'00

00

00

00

000

000

'

'

wvBA

ydyaxb

xcybxa

v

v

v

v

ab

ba

dd

dc

db

da

yy

yx

ab

bafB

yy

yxfA

ydyaxb

xcybxaw

dd

dc

db

da

v

v

v

v

v

y

x

y

x

y

x

y

x