bab i pendahuluan - · pdf filepemodelan matematika. model matematika adalah himpunan dari...
TRANSCRIPT
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Manusia tidak lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di
dunia. Permasalahan permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana
dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan
ilmu bantu tertentu. Salah satu ilmu bantu yang dapat digunakan adalah
matematika.
Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan
pemahaman masalah. Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang jelas,
sistematis dan keterkaitan antar konsep yang kuat. Oleh karena itu, banyak
permasalahan di luar bidang matematika yang bisa diselesaikan dengan mudah
menggunakan matematika. Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah
pemodelan matematika. Model matematika adalah himpunan dari rumus dan atau
persamaan berdasarkan fenomena nyata dan dibuat dengan harapan bisa
merepresentasikan dengan baik fenomena nyata tersebut menurut ilmu yang
melatarbelakanginya. Melalui model matematika, matematika berusaha
merepresentasikan berbagai fenomena yang terjadi di alam ini. Dalam
perkembangannya, model matematika telah digunakan dalam ilmu fisika, biologi,
kesehatan dan bahkan ilmu-ilmu sosial.
Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi.
Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung
mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari
negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam.
Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan
populasi.
Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap
tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga
tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor
perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan
2
datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan
konsumsi untuk perencanaan kegiatan.
Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model
logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas
untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh
secara tak terhingga. Laju pertumbuhan penduduk akan terbatas akan ketersediaan
makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,
jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.
Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan
(equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju
pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi
diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk
berkembang biak.
Indonesia adalah Negara besar dengan jumlah penduduk yang banyak. Agar
tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana, maka diperlukan
perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya bisa dimulai
dengan memprediksi pertumbuhan populasi penduduk Indonesia.
Berdasarkan uraian diatas, maka penulis mengambil judul Penerapan
Model Verhults pada Populasi Penduduk Indonesia.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang diuraikan diatas, permasalahan yang akan
dibahas dalam penelitian ini adalah :
Bagaimana memprediksi jumlah populasi menggunakan model logistik
pertumbuhan populasi?
Bagaimana menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik
berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi ?
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model logistik
pertumbuhan populasi Verhulst.
3
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan dari penelitian ini adalah :
Mengetahui hasil prediksi populasi berdasarkan perhitungan model logistik
pertumbuhan populasi (Verhulst).
Menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik dari suatu populasi
menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan pendekatan teoritis, dimana penulis
menganalisa jurnal, mengeksplor apa yang ada didalam jurnal dan kemudian
menarik kesimpulan dari penelitian ini.
1.6 Sistematika Penulisan
Adapun sistematika yang dipakai dalam penyusunan studi literatur ini,
adalah sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini meliputi Latar Belakang Masalah, Rumusan masalah, Batasan
Masalah, Tujuan Penelitian, Metode Penelitian, Sistematika Penulisan dan
Kerangka Berfikir dari studi literatur.
BAB II LANDASAN TEORI
Bab ini akan menguraikan dasar teori yang akan digunakan dalam
penyusunan studi literatur, yang meliputi Persamaan Diferensial dan Model
Pertumbuhan Populasi (model eksponensial pertumbuhan populasi (model
Malthus) dan model logistik pertumbuhan populasi (Verhulst)).
BAB III
Bab ini merupakan bab pembahasan yang merupakan aplikasi teori yaitu
model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) menggunakan studi kasus
pertumbuhan populasi Indonesia.
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
Dalam bab ini, berisi kesimpulan dan saran yang merupakan hasil yang
telah didapatkan.
4
DAFTAR PUSTAKA
1.7 Kerangka Berfikir
Ledakan pertumbuhan populasi manusia dan penggunaan sumberdaya
secara besar-besaran merupakan penyebab utama kerusakan lingkungan. Kedua
kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran
dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana
ukuran populasi akan berubah menurut waktu.
Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu pertumbuhan
populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Model ini memprediksi
bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat populasi tersebut
tumbuh. Namun, pertumbuhan eksponensial tidak dapat dipertahankan tanpa batas
dalam populasi apapun. Model logistik, merupakan model yang lebih realistis
membatasi pertumbuhan dengan menyertakan daya tampung, ukuran populasi
yang dapat didukung oleh sumberdaya yang tersedia.
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial
Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam
ini dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu
kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial.
Persaman diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau
beberapa turunan dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak
diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah
saja, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa.
Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka
persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.
Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan
tertinggi yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde
5
pertama hanya mengandung . bentuk umum dari persamaan diferensial pertama
dapat dituliskan sebagai ,, = 0, atau biasa di tulis = (,). Arti
fisis diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.
Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan
kedalam bentuk
= () ...(2.1)
dengan manipulasi aljabar murni. Maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap ,
diperoleh
= + (2.2)
Dikiri dapat dapat diubah kepada sebagai variabel dari pengintegralan. Dengan
kalkulus, = , maka
= + (2.3)
Jika dan adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan
mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian
persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1)
disebut persamaan terpisah , karena di (2.3) variabel sekarang terpisah : hanya
muncul dikanan dan hanya dikiri. [6]
2.2 Model Pertumbuhan Populasi
Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu
angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk
memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu. [8]
2.2.1 Model Eksponensial
Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana.
Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal
dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak
dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan.
Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan
migrasi diketahui.
Prediksi bahwa jumlah populasi akan tumbuh secara eksponensial pertama
kali dicetuskan oleh Malthus (1798) [1]. Populasi yang tumbuh secara
6
eksponensial pertama kali diamati terjadi di alam bebas. Dinamika populasi dapat
di aproksimasi dengan model ini hanya untuk periode waktu yang pendek saja.
Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu
berbanding lurus dengan jumlah populasi yang ada. [2]
Misalkan () menyatakan jumlah populas