model gelombang soliter yang dihasilkan oleh aliran...

MODEL GELOMBANG SOLITER YANG DIHASILKAN OLEH ALIRAN

YANG MELALUI SEBUAH GUNDUKAN

SKRIPSI

Oleh:

FARIDA MASLUCHAH

NIM. 10610016

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2014



SKRIPSI

Diajukan kepada:

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh:

FARIDA MASLUCHAH

NIM. 10610016

JURUSAN MATEMATIKA


UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2014



SKRIPSI

Oleh:

FARIDA MASLUCHAH

NIM. 10610016

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji:

Tanggal: 02 April 2014

Pembimbing I

Mohammad Jamhuri, M.Si

NIP. 19810502 200501 1 004

Pembimbing II,

Dr. Abdussakir, M.Pd

NIP. 19751006 200312 1 001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika


NIP. 19751006 200312 1 001



SKRIPSI

Oleh:

FARIDA MASLUCHAH

NIM. 10610016

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan

Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan

untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Tanggal: 10 April 2014

Penguji Utama : Dr. Usman Pagalay M.Si

NIP. 19650414 200312 1 001 ________________

Ketua Penguji : H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd

NIP. 19710420 200003 1 003 ________________

Sekretaris Penguji : Mohammad Jamhuri, M.Si

NIP. 19810502 200501 1 004 ________________

Anggota Penguji : Dr. Abdussakir, M.Pd

NIP. 19751006 200312 1 001

________________

Mengesahkan,



NIP. 19751006 200312 1 001

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : FARIDA MASLUCHAH

NIM : 10610016

Jurusan : Matematika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Judul : Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran yang

Melalui Sebuah Gundukan

menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar

merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan

atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya

sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka.

Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan,

maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, 02 April 2014

Yang membuat pernyataan,

Farida Masluchah

NIM. 10610016

MOTTO

“Allah menghendaki kemudahan bagimu, dan tidak

menghendaki kesukaran bagimu”

HALAMAN PERSEMBAHAN

Dalam iringan doa dan rasa syukur yang teramat besar, sehingga penulis persembahkan karya tulis ini kepada:

Bapak tercinta (Mustajab), Ibu tercinta (Mutmainah) dan Kakak tercinta (Amir Farhan) yang tidak pernah berhenti

mencurahkan do’a dengan penuh ketulusan hati dan kesabaran jiwa demi keberhasilan penulis. Semoga engkau

selalu mendapat perlindungan Allah SWT .

Untuk orang terdekat penulis (Moh. Zainuddin Malik) yang selalu memberikan semangat, doa serta motivasi dalam

menyelesaikan skripsi ini.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Alhamdulillah puji syukur ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat, taufiq, hidayah serta inayahnya penulis dapat menyelesaikan studi di

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus menyelesaikan skripsi sebagai tugas

akhir dengan judul “Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran yang

Melalui Sebuah Gundukan” .

Keberhasilan penulisan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan

pengarahan dari semua pihak, baik berupa motivasi, pikiran, tenaga maupun doa.

Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang.

2. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

4. Mohammad Jamhuri, M.Si dan Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku Dosen

Pembimbing skripsi yang tulus ikhlas serta penuh kesabaran dalam

membimbing dan mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Evawati Alisah M.Pd, selaku Dosen Wali yang selalu memberikan motivasi

dan bimbingan mulai semester satu hingga semester akhir.

ix

6. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, terutama seluruh dosen,

terima kasih atas segenap ilmu dan bimbingannya.

7. Bapak Mustajab, Ibu Mutmainah dan Kakak Amir Farhan yang tidak pernah

lelah memberikan do’a, kasih sayang serta semangat dan motivasi kepada

penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

8. Sahabat-sahabat penulis (Chusnul Fathonah, Syifa’ul Amamah, Ayu Dewi

Purwandini, Afidah Karimatul L., Siska Dwi O., Khafidho , Khuriatul Hawin,

Binti tsamrotul, Fatma Mufidah, Rianti Mandasari, Masruroh, Nur Laili

Arofah) dan mahasiswa Jurusan Matematika 2010 khususnya Matematika A

yang selalu memotivasi penulis, terima kasih atas semua pengalaman berharga

dan kenangan terindah saat menuntut ilmu bersama.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, terima kasih atas do’a

dan dukungan dalam kelancaran skripsi ini.

Maka dengan iringan do’a semoga Allah SWT akan membalas semua

amalan mereka dengan pahala yang berlipat ganda, di dunia dan akhirat. Semoga

skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan bagi para pembaca

pada umumnya, Amin ya Robbal ‘alamiin...

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Malang, April 2014

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN

HALAMAN MOTTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii

DAFTAR ISI ..................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii

ABSTRAK ........................................................................................................ xiii

ABSTRACT ...................................................................................................... xiv

xv ................................................................................................................... ملخص

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................ 4

1.4 Asumsi Dasar ................................................................................... 4

1.5 Manfaat Penelitian .......................................................................... 4

1.6 Metode Penelitian ........................................................................... 4

1.7 Sistematika Penulisan ..................................................................... 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Persamaan-persamaan Dasar .......................................................... 7

2.1.1 Persamaan Kontinuitas ......................................................... 8

2.1.2 Persamaan Momentum ......................................................... 12

2.1.3 Persamaan Bernoulli ............................................................. 18

2.1.3.1 Koordinat Cartesius ................................................. 19

2.1.4 Persamaan Laplace ............................................................... 22

2.2 Kajian Keagamaan ........................................................................ 23

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Penurunan Persamaan forced KdV ................................................ 27

3.1.1 Kondisi-kondisi Batas pada Fluida ..................................... 27

3.1.1.1 Kondisi Batas pada Permukaan Fluida ................... 27

3.1.1.2 Kondisi Batas pada Dasar Fluida ............................ 29

3.1.2 Penskalaan Variabel ........................................................... 31

3.1.3 Aproksimasi Variabel-variabel yang Digunakan ............... 41

3.1.4 Peninjauan pada Tiap-tiap Orde dari Deret Asimtotik ....... 48

3.1.5 Penyederhanaan Solusi dari Deret Asimtotik ..................... 50

xi

3.2 Solusi Gelombang Soliter .............................................................. 55

3.2.1 Solusi Homogen ................................................................. 56

3.2.2 Solusi Non Homogen .......................................................... 66

3.3 Kajian Keagamaan ......................................................................... 72

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan ................................................................................... 74

4.2 Saran ............................................................................................. 75

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 76

LAMPIRAN

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Bentuk Saluran Fluida dalam Dua Dimensi ................................... 7

Gambar 2.2 Ilustrasi Keseimbangan Massa ....................................................... 9

Gambar 3.1 Persamaan (3.100) untuk .................................................... 62

Gambar 3.2 Persamaan (3.100) untuk .................................................... 62

Gambar 3.3 Persamaan (3.100) untuk ................................................. 63

Gambar 3.4 Solusi Persamaan (3.90) untuk ........................................... 63


Gambar 3.6 Solusi Persamaan (3.90) untuk ........................................ 65


Gambar 3.8 Solusi Persamaan (3.89) untuk ........................................ 70

Gambar 3.9 Solusi Persamaan (3.89) untuk ..................................... 71

xiii

ABSTRAK

Masluchah, Farida. 2014. Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran yang

Melalui Sebuah Gundukan. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains

dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

Pembimbing: (I) Mohammad Jamhuri, M.Si

(II) Dr. Abdussakir, M.Pd

Kata Kunci: Gelombang Soliter, Persamaan forced KdV, Metode Koefisien Tak Tentu

Penelitian ini membahas penurunan model gelombang permukaan yang

dihasilkan oleh aliran yang melalui suatu gundukan, yang dilakukan dengan

mengasumsikan aliran fluida berada pada saluran dua dimensi yang mempunyai

kecepatan seragam dan dasar tidak rata, sehingga kecepatan aliran tersebut berubah dan

menimbulkan gelombang pada permukaan fluida. Adapun langkah-langkah penurunan

model gelombang permukaan tersebut sebagai berikut: menurunkan persamaan-

persamaan dasar fluida, penskalaan, aproksimasi dengan deret asimtotik, peninjauan tiap-

tiap orde, menyederhanakan solusi ke dalam model matematika dan interpretasi dari

model tersebut.

Model gelombang yang dihasilkan berupa persamaan ketinggian permukaan,

persamaan ketinggian tersebut berupa persamaan differensial parsial nonlinier yang

dikategorikan ke dalam bentuk persamaan forced KdV, dengan bentuk forced-nya

merupakan representasi dari gundukan. Kemudian persamaan tersebut diselesaikan

menggunakan metode beda hingga skema eksplisit dan disimulasikan. Simulasi tersebut

menunjukkan bahwa, dengan kecepatan aliran dan besar kecilnya gundukan yang berbeda

menghasilkan ketinggian gelombang yang berbeda-beda. Untuk peneliti selanjutnya dapat

melakukan aproksimasi deret asimtotik sampai orde kelima.

xiv

ABSTRACT

Masluchah, Farida. 2014. The Solitary Wave Models Generated by Flow Passing a

Bump. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and

Tecnology, State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang.

Advisor: (I) Mohammad Jamhuri, M.Si

(II) Dr. Abdussakir, M.Pd

Keywords: Solitery wave, forced Korteweg de Vries (fKdV) equation, Method of

indeterminate coefficients

This study discusses about derivation of surface wave models generated by flow

passing a bump. In the derivation, we assume a fluid flow is at two dimensional channel

having a uniform speed and flat bottom, so that the flow velocity changed and generated

waves on the fluid surface. The steps of a derivation surface wave models can be

generated as follows: derive a governing equation of fluid, scale the variabels, approximat

the system of equation using asymptotic series function, review the order of

approximation, simplify the solution of the mathematical model and interprete the model.

The obtained wave equation is an equation of surface height, the equation of

height is in the form of nonlinear partial differential equations which are categorized into

forced KdV equation, with the forcing term representing the bump. Then, the forced KdV

equation is solved with explicit finite difference schemes and simulation. The simulation

shows that, varied flow velocity and the size of bump generated different wave height.

For further research one can perform an asymptotic series approximation to the fifth

order.

xv

ملخص

كلية ، قسم الرياضيات .أطروحة.نماذج موجة االنفرادي منشأ بواسطة التدفق من خالل التلة.٤١٠٢ .فريدة،مصلحة

.العلوم والتكنولوجيا، جامعة والية اإلسالمية موالنا مالك إبراهيم ماالنج ، املاجستريحممد مجهوري .٠:مستشار

، املاجستريكريشعبد ال. د. ٤

املعادلة، معامل الطريقة غري متأكد( KdV)موجة االنفرادي، أجربت كدف:البحثكلمات ن تدفق خالل التلة، واليت تتم عن طريق افرتاض تدفق السائل يف قناة يعصلميناقش االخنفاض يف مناذج املوجات السطحية البعثهذه

خطوات اخنفاضا يف . ثنائية األبعاد وجود سرعة موحدة وقاعدة ليست مسطحة، حبيث تغري سرعة تدفق وموجات السبب على سطح السائل، رتبة، واستعراض كل ةقارباملالسلسلة بالتحجيم، وتقريب خفض املعادالت األساسية من السوائل، و : منوذج املوجات السطحية على النحو التايل

.وتبسيط حل النموذج الرياضي وتفسري النموذجشكل املعادالت التفاضلية اجلزئية غري . معادلة االرتفاع. منوذج معادلة املوجةاليت يتم إنشاؤها يف شكل املعادلة ارتفاع السطح

مث يتم حل املعادلة باستخدام طريقة الفروق احملددة . سري، مما اضطر أشكاله هو متثيل من التلالق KdVاليت تصنيفهايف شكل املعادلة اخلطيةللباحث القادم، ميكن أن . احملاكاةيبني أنه مع سرعة املوجة وحجم املطبات من ارتفاعات خمتلفة تنتج موجة خمتلفة.مع خطة واضحة ومث حماكاة

.تؤدي سلسلة تقريب مقارب للرتتيب اخلامس

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai

macam ilmu yang lain dan selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang

semakin kompleks sehingga penting untuk dipelajari. Matematika merupakan alat

untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah. Dalam bahasa

matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,

dipahami, dianalisis, dan dipecahkan. Untuk keperluan tersebut, pertama dicari

pokok masalahnya, kemudian dibuat rumusan atau model matematikanya

(Purwanto, 1998).

Secara umum pengertian model merupakan usaha menciptakan suatu

replika dari suatu fenomena alam. Kesesuaian model terhadap fenomena alam

tergantung dari ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan

fenomena alam tersebut.

Abdussakir (2007) menyatakan bahwa alam semesta memuat bentuk-

bentuk dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum

matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan oleh Allah

dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan

yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi.

Allah SWT berfirman dalam Al-Qur’an surat Al-Qomar ayat 49:

2

Artinya: “Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.”

Ayat ini menjelaskan bahwa semua yang ada di alam ini, ada ukurannya, ada

hitungannya, ada rumusnya atau ada persamaannya. Sebagaimana dalam skripsi

ini bahwa fenomena alam yang terkait dengan gelombang permukaan yang

dihasilkan oleh aliran yang melalui suatu gundukan akan menghasilkan model

matematika dalam bentuk persamaan forced KdV (Korteweg-de Vries).

Berbagai fenomena alam banyak yang terkait dengan gelombang, di

antaranya adalah bunyi, cahaya, pergerakan air laut, aliran air sungai, riak pada air

kolam, dan contoh-contoh lain yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari.

Jika sekumpulan air dikenakan gaya, maka akan timbul gelombang yang disebut

sebagai gelombang permukaan. Gelombang permukaan adalah fenomena yang

dapat ditemui ketika mengamati permukaan air laut dan biasa disebut sebagai

ombak.

Jika suatu fluida yang memiliki kecepatan seragam mengalir pada sebuah

saluran dengan dasar yang tidak rata, kemudian mengalami gangguan berupa

gundukan pada dasar saluran, maka kecepatan aliran fluida tersebut akan berubah

dan menimbulkan gelombang pada permukaan fluida. Wiryanto (2010)

memodelkan gelombang permukaan yang muncul akibat gangguan yang terjadi

pada dasar saluran. Model yang dihasilkan adalah persamaan Bousinessq dengan

dasar saluran tak rata sebagai pembangkit gelombangnya. Solusi dari persamaan

tersebut berupa gelombang soliter yang berjalan dalam dua arah. Gelombang

soliter adalah gelombang yang memiliki satu puncak, dimana dalam

3

perambatannya mempertahankan bentuk dan kecepatannya. Persamaan gerak

yang dapat menggambarkan gerak gelombang soliter adalah persamaan Korteweg-

de Vries (KdV) (Hakim, 2009).

Dalam penelitian ini diturunkan model gelombang permukaan untuk

masalah yang sama dengan yang dikerjakan oleh Wiryanto (2010). Perbedaannya

gelombang permukaan yang diobservasi kemudian diturunkan ke dalam bentuk

persamaan KdV, yang diketahui sebagai bentuk dari perjalanan gelombang soliter

yang berjalan satu arah. Dalam penurunan model, penulis menyelesaikan

persamaan Laplace beserta kondisi-kondisi batasnya ke dalam bentuk persamaan

ketinggian permukaan pada fluida. Kemudian persamaan ketinggian tersebut

disederhanakan ke dalam persamaan forced KdV, dengan bentuk forced-nya

merupakan representasi dari gangguan yang berada pada dasar saluran.

Selanjutnya digunakan prosedur numerik dengan menggunakan metode beda

hingga untuk menentukan solusi dari persamaan forced KdV tersebut.

Berdasarkan latar belakang di atas maka penulis tertarik untuk melakukan

penelitian dan menyajikannya dalam judul “Model Gelombang Soliter yang

Dihasilkan oleh Aliran yang Melalui Sebuah Gundukan”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah bagaimanakah model gelombang soliter yang dihasilkan oleh

aliran yang melalui sebuah gundukan?

4

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah menurunkan model gelombang soliter

yang dihasilkan oleh aliran yang melalui sebuah gundukan.

1.4 Asumsi dasar

Berikut beberapa asumsi dasar yang digunakan dalam membuat batasan

masalah:

1. Permasalahan ditinjau sebagai masalah satu dimensi.

2. Fluida diasumsikan ideal, yaitu tak termampatkan atau tidak bergantung pada

tekanan, tak kental dan mempunyai kerapatan konstan.

3. Fluida diasumsikan sebagai fluida tak berotasi atau tidak berputar terhadap sumbu

aliran.

4. Fluida diasumsikan memiliki rapat massa yang homogen atau konstan atau tidak

berubah terhadap waktu.

5. Tekanan hidrostatiknya diasumsikan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

1.5 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai model morfologi

pantai yang mempunyai dasar tidak rata atau alirannya mengalami gangguan.

1.6 Metode Penelitian

Teknik kajian yang digunakan dalam pembahasanan skripsi ini adalah

penelitian kepustakaan (Library Research). Penelitian kepustakaan merupakan

penampilan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil kepustakaan

5

berisi satu topik yang di dalamnya memuat beberapa gagasan yang berkaitan dan

harus didukung oleh data yang diperoleh dari berbagai sumber kepustakaan.

Metode yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:

1. Menurunkan persamaan-persamaan dasar dari hukum-hukum kesetimbangan

yang terjadi pada aliran fluida.

2. Melakukan penskalaan yang bertujuan untuk mengecilkan variabel , , dan

kecepatan.

3. Melakukan aproksimasi atau taksiran terhadap variabel-variabel yang

digunakan.

4. Menyelesaikan sistem dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap orde dari

deret, mulai dari orde yang paling rendah sampai orde yang dikehendaki.

5. Menyederhanakan solusi dari deret asimtotik ke dalam sebuah model

matematika.

6. Memberikan interpretasi dari model yang dihasilkan.

1.7 Sistematika Penulisan

Secara umum penulisan penelitian ini terdiri dari empat bab. Masing-

masing bab dibagi ke dalam beberapa subbab dengan rumusan sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan

Dalam bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan

masalah, tujuan masalah, asumsi dasar, manfaat penelitian, metode

penelitian, dan sistematika penulisan.

6

Bab II Kajian Pustaka

Dalam bab ini terdiri atas persamaan-persamaan dasar fluida yang

mendasari penulisan penelitian ini. Adapun persamaan-persamaan

dasar fluida yang termuat di dalamnya adalah persamaan

kontinuitas, persamaan momentum, persamaan Bernoulli, dan

persamaan Laplace.

Bab III Pembahasan

Dalam bab ini berisi tentang bagaimana model gelombang soliter

yang dihasilkan oleh aliran yang melalui sebuah gundukan dengan

melakukan penskalaan, melakukan aproksimasi atau taksiran

terhadap variabel-variabel yang digunakan, menyelesaikan sistem

dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap orde dari deret, mulai

dari orde yang paling rendah sampai orde yang dikehendaki,

menyederhanakan solusi dari deret asimtotik ke dalam sebuah

model matematika, interpretasi dari model tersebut.

Bab IV Penutup

Dalam bab ini berisi tentang kesimpulan dari materi yang telah

dibahas pada bab sebelumnya dan berisi saran untuk

pengembangan selanjutnya.

7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Persamaan-persamaan Dasar

Penelitian ini berkaitan dengan gelombang permukaan yang disebabkan

oleh aliran fluida yang mengalami gangguan berupa gundukan pada dasar saluran,

bentuk dari aliran tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Bentuk Saluran Fluida dalam Dua Dimensi

Untuk melihat bagaimana perilaku dari gelombang tersebut, dapat diturunkan

model matematika yang merupakan representasi dari ketinggian gelombang pada

permukaan tersebut. Dalam penurunan model digunakan persamaan-persamaan

dasar yang berasal dari hukum-hukum kekekalan yang terjadi pada aliran fluida.

H

8

2.1.1 Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas mengungkapkan bahwa massa fluida bersifat kekal

yakni tidak dapat diciptakan ataupun dimusnahkan. Kekekalan massa fluida

mempersyaratkan bahwa dalam suatu volume zat massa selalu konstan, karena itu

laju perubahan massanya sama dengan nol. Berbagai bentuk persamaan

kontinuitas untuk suatu volume kontrol diturunkan dengan menyatakan secara

matematik, bahwa laju massa rata-rata ke dalam suatu daerah tertentu sama

dengan laju perubahan massa di daerah tersebut (Olson, 1993).

Volume kontrol adalah suatu daerah sembarang dalam ruang yang dipilih

semata-mata untuk memudahkan pemecahan masalah-masalah aliran fluida,

sedangkan permukaan kontrol adalah permukaan-permukaan yang membatasi

volume kontrol (Olson, 1993).

Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa di dalam suatu sistem

adalah tetap konstan terhadap waktu. Dalam bentuk persamaan

dimana ialah massa total (Streeter, 1986).

Douglas (2001), menyatakan massa jenis dinotasikan yang didefinisikan

sebagai massa per satuan volume, yaitu

sehingga

=

=

(2.1)

9

dimana adalah massa jenis dan adalah volume .

Perubahan massa terhadap waktu dinyatakan dalam bentuk

(2.2)

Pada elemen volume, perubahan massa rata-rata merupakan selisih antara

massa yang masuk dan keluar, sebagaimana yang ditunjukkan dalam Gambar 2.2

Gambar 2.2 Ilustrasi Keseimbangan Massa

Berdasarkan Gambar 2.2, banyaknya massa yang masuk pada elemen

volume per satuan waktu (melintasi bidang ) adalah

.

Banyaknya massa yang keluar melewati bidang yaitu

,

sehingga perubahan massa antara massa yang masuk dengan massa yang keluar

dalam arah adalah

.

10

Sebagai catatan menyatakan komponen kecepatan dalam arah . Begitu juga,

banyaknya massa yang masuk dalam arah dan arah adalah

dan banyaknya massa yang keluar melewati bidang dan melewati bidang

yaitu

.

Perubahan massa antara massa yang masuk dengan massa yang keluar dalam arah

dan arah adalah

Sebagai catatan menyatakan komponen kecepatan dalam arah dan

menyatakan komponen kecepatan dalam arah .

Oleh karena itu, perubahan massa persatuan waktu sama dengan

perubahan massa dalam arah plus perubahan massa dalam arah plus

perubahan massa dalam arah

(2.3)

Bagi persamaan (2.3) dengan besaran yaitu volume daerah yang diamati

sehingga menjadi

11

(2.4)

Kemudian didekati dengan diperoleh

Sehingga persamaan (2.4) perubahan massa persatuan waktu menjadi

(2.5)

Fluida dengan kerapatan massa relatif konstan artinya tidak berubah-

ubah maka

, sehingga persamaan (2.5) menjadi

(2.6)

Persamaan (2.6) ini disebut sebagai persamaan kontinuitas. Dalam bentuk

vektornya dapat dituliskan

dimana

Operator gradien menyatakan differensiasi terhadap berbagai komponen arah,

sedangkan menyatakan vektor kecepatan dalam tiga dimensi.

12

Aliran yang kerapatan massanya dalam persamaan kontinuitas dianggap

konstan disebut aliran tak dapat mampat, aliran dianggap tak dapat mampat bila

perubahan kerapatan fluida dapat diabaikan. Sebetulnya semua fluida dapat

dimampatkan walaupun sangat sedikit, tetapi pada umumnya yang dianggap tidak

dapat mampat adalah fluida yang kerapatannya tidak tergantung pada tekanan

(Olson, 1993).

2.1.2 Persamaan Momentum

Dalam mekanika fluida, hukum Newton dinamakan kekekalan momentum

linier atau asas momentum. Hukum kedua Newton menyatakan bahwa gaya yang

bekerja pada suatu massa tertentu sebanding dengan laju perubahan momentum

linier massa tersebut terhadap waktu (Olson, 1993).

Douglas (2001) menyatakan bahwa momentum linier (atau “momentum”

untuk singkatnya dari sebuah benda didefinisikan sebagai hasil kali massa dan

kecepatannya. Momentum jamaknya adalah “momenta”) biasanya dinyatakan

dengan simbol . Karena kecepatan merupakan vektor maka momentum

dinyatakan dalam bentuk vektor. Arah momentum adalah arah kecepatan, dan

besar momentum adalah

(2.7)

Berdasarkan hukum kedua newton bahwa gaya total adalah perkalian massa

dengan percepatan, maka hukum kedua newton dapat dinotasikan sebagai

Dengan menggunakan definisi percepatan sebagai turunan dari kecepatan

terhadap waktu, persamaan tersebut dapat dinotasikan

13

Apabila diintegralkan kedua ruas terhadap diperoleh

(2.8)

ruas kanan dari persamaan (2.8) merupakan definisi dari momentum yang

ditunjukkan pada persamaan (2.7).

Dari persamaan (2.8), jika diturunkan terhadap t didapatkan

(2.9)

yang berarti bahwa gaya total adalah rata-rata perubahan momentum persatuan

waktu, karena = diperoleh hubungan sebagai berikut

(2.10)

Dalam tiga dimensi persamaan (2.10) dapat ditulis dalam bentuk

sehingga untuk rata-rata perubahan momentum persatuan waktu dapat dinotasikan

Olson (1993) menyatakan bahwa teorema momentum untuk mekanika

fluida, yaitu gaya netto yang bekerja pada fluida sama dengan laju perubahan

momentum fluida terhadap waktu plus laju gaya fluks atau pemindahan

momentum ke luar dari volume kontrol melalui permukaannya.

Teorema momentum dapat diterapkan pada aliran-aliran baik yang steady

maupun yang tidak steady, berdimensi satu, dua, atau tiga, dapat mampat atau

14

tidak dapat mampat. Aliran disebut steady bila kondisi-kondisi dalam aliran tidak

berubah terhadap waktu, aliran yang tidak demikian tentu saja disebut aliran

unsteady atau tidak steady. Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat

steady, akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka, aliran itu tidak steady

(Olson, 1993).

Berdasarkan teorema momentum maka keseimbangan momentum pada

elemen volume dapat dinyatakan dengan

perubahan momentum = rata-rata momentum masuk – rata-rata momentum keluar

+ jumlah gaya-gaya. Gaya yang digunakan dalam pembahasan ini adalah gaya

gravitasi dan gaya tekanan.

Chorlton (1967) menyatakan bahwa gaya gravitasi pada massa diferensial

di dalam volume kendali ialah

di sini secara umum boleh mempunyai orientasi sebarang terhadap sistem

koordinat yang dipakai.

Gaya tekanan fluida didefinisikan sebagai gaya tekan yang diterima

persatuan luas fluida dan dinotasikan sebagai berikut

Dengan cara yang sama dalam menghasilkan persamaan kontinuitas maka

dengan Gambar 2.2 juga dapat menghasilkan persamaan momentum, yaitu

perubahan momentum untuk arah , momentum yang masuk bidang adalah

massa yang melintasi bidang dan kecepatan yang melintasi bidang . Fluida

15

dengan rapat massa dan bergerak dengan kecepatan melintasi bidang maka

dalam selang satuan waktu terdapat sebanyak

Sehingga momentum yang melintasi bidang adalah

sedangkan momentum yang keluar bidang adalah massa yang melintasi bidang

dan kecepatan yang melintasinya adalah

Maka resultan dari gaya-gaya tersebut dalam arah yaitu

menyatakan tekanan pada bidang , sedangkan menyatakan percepatan

akibat gravitasi dalam arah .

Perubahan momentum untuk arah , momentum yang masuk bidang adalah

massa yang melintasi bidang dan kecepatan yang melintasinya. Massa yang

melintasi bidang dengan kecepatan yang melintasi bidang adalah

Sehingga momentum yang melintasi bidang sebesar




16



Perubahan momentum untuk arah , momentum yang masuk bidang adalah

massa yang melintasi bidang dan kecepatan yang melintasinya. Massa yang

melintasi bidang dengan kecepatan yang melintasi bidang adalah

Sehingga momentum yang melintasi bidang sebesar






Berdasarkan keseimbangan momentum maka perubahan momentum untuk

arah dalam elemen volume

sama dengan momentum yang masuk

dikurangi momentum yang keluar plus jumlah gaya-gaya, yaitu

17

(2.11)

Kemudian bagi persamaan (2.11) dengan besaran yaitu volume daerah

yang diamati sehingga menjadi

Kemudian didekati dengan maka

Sehingga perubahan momentum dalam arah diperoleh

(2.12)

18

Dengan cara yang sama, perubahan momentum dalam arah dan adalah

(2.13)

(2.14)

Persamaan (2.12)-(2.14) disebut sebagai persamaan momentum. Bentuk vektor

persamaan (2.12)-(2.14) dapat dituliskan:

(2.15)

Kemudian kedua ruas persamaan (2.15) dibagi dengan didapatkan

(2.16)

dimana:


sedangkan menyatakan vektor kecepatan dalam tiga dimensi dan merupakan

percepatan akibat gravitasi.

2.1.3 Persamaan Bernoulli

Integrasi persamaan-persamaan Euler untuk aliran nonrotasi yang tidak

dapat mampat menghasilkan persamaan Bernoulli. Persamaan ini menghubungkan

kecepatan, tekanan, dan perubahan ketinggian dalam fluida yang tidak viskous.

Persamaan Bernoulli sering digunakan untuk aliran berdimensi satu yang efek-

19

efek viskous dapat diabaikan. Persamaan Euler boleh juga diintegrasi untuk aliran

rotasi yang tidak dapat mampat, sebagaimana halnya untuk aliran yang dapat

mampat (Olson, 1993).

Persamaan–persamaan untuk fluida-fluida tidak viskous akan

dikembangkan baik dalam sistem koordinat natural (streamline atau garis arus)

maupun dalam sistem koordinat Cartesius. Apabila diintegrasi, persamaan-

persamaan tersebut akan menjadi persamaan-persamaan Bernoulli baik untuk

aliran tak dapat mampat maupun aliran dapat mampat. Streamline atau garis arus

adalah garis yang setiap saat menjadi tempat singgungan vektor-vektor kecepatan

(Olson, 1993).

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah elemen fluida secara umum ada dua

macam: body forces dan gaya-gaya permukaan (surface forces). Body forces

adalah gaya-gaya yang bekerja pada volume atau massa elemen fluida. Gaya-gaya

ini meliputi gaya gravitasi dan gaya pada fluida penghantar dalam sebuah medan

magnet. Untuk fluida-fluida tidak viskous, gaya-gaya permukaan pada sebuah

elemen fluida tidak viskous yang terdapat di dalam fluida adalah gaya-gaya

normal yang disebabkan oleh tekanan (Olson, 1993).

2.1.3.1 Koordinat Cartesius

Misalkan X, Y, dan Z adalah body forces per satuan massa dalam arah-arah

, , dan sedemikian rupa sehingga resultanya adalah , dan

misalkan vektor kecepatan adalah (Olson, 1993).

20

Olson (1993) menyatakan gaya-gaya permukaan pada sebuah elemen

dengan sisi-sisi , , dan serta massa hanya ditimbulkan oleh

tekanan, sehingga resultan gaya itu dalam arah x adalah

Ini sama dengan hasil kali antara massa dan percepatan dalam arah x, bila

percepatan adalah

Karena jumlah komponen-komponen gaya dari luar persatuan volume sama

dengan komponen percepatan

(2.17)

Demikian pula untuk arah-arah dan

(2.18)

dan

(2.19)

Untuk persamaan (2.17)-(2.19) bentuk vektornya dapat dituliskan sebagai berikut

(2.20)

dengan

21


sedangkan menyatakan vektor kecepatan sebagai medan vektor

konservatif, yaitu adanya fungsi skalar .

Chorlton (1967) menyatakan perkalian vektor

, maka hasil kali vektor untuk adalah

(2.21)

Untuk aliran yang seragam dan fluida tak berotasi maka

persamaan (2.21) diperoleh

Dengan

, persamaan (2.20) menjadi

(2.22)

Dengan mengintegralkan persamaan (2.22) terhadap variabel , , dan diperoleh

dengan

, sehingga menjadi

22

(2.23)

Persamaan (2.23) merupakan persamaan Bernoulli dan merupakan fungsi

sebarang dari akibat integrasi yang dilakukan terhadap , , dan .

2.1.4 Persamaan Laplace

Aliran potensial adalah aliran nonrotasi yang komponen-komponen

kecepatannya boleh diturunkan dari fungsi-fungsi potensial kecepatan. Kondisi ini

berlaku untuk fluida tak dapat mampat dan karena aliran fluida tersebut nonrotasi,

persamaan Bernoulli berlaku untuk medan aliranya secara keseluruhan. Variasi-

variasi kecepatan dan tekanan untuk sebuah medan aliran dapat diketahui dari

pola arus dan dari penerapan Bernoulli (Olson, 1993).

Olson (1993) menyatakan aliran rotasi atau nonrotasi tergantung apakah

partikel-partikel dalam fluida berputar terhadap sumbu aliran. Untuk aliran

nonrotasi terdapat sebuah fungsi yang disebut potensial kecepatan. Fungsi ini

sedemikian rupa sehingga komponen-komponen kecepatan dan dapat

diperoleh dari

Dengan penggunaan tanda negatif pada fungsi di atas menunjukkan

bahwa aliran bergerak ke arah berkurangnya potensial. Kalau fungsi potensial ini

digabungkan dengan definisi untuk (curl V) maka didapatkan

23

Vortisitas didefinisikan sebagai curl V, yang besarnya sama dengan

kecepatan sudut atau rotasi. Pada umumnya, besaran vektor vortisitas merupakan

fungsi posisi dan waktu dalam sebuah fluida. Kalau vortisitas di seluruh fluida

yang bergerak sama dengan nol, aliran fluida itu disebut aliran nonrotasi. Dengan

demikian curl V = 0 dan

,

,

yang didapatkan dengan

menetapkan koefisien-koefisien i, j, dan k dalam curl V masing-masing sama

dengan nol (Olson, 1993).

Dengan demikian, kondisi nonrotasi menjamin pendefinisian potensial

kecepatan. Dari penggabungan di atas dengan persamaan kontinuitas

,

diperoleh

(2.23)

atau dalam bentuk vektor

Aliran nonrotasi juga disebut aliran potensial, persamaan (2.23) merupakan

persamaan Laplace dalam fungsi potensial (Olson, 1993). Persamaan (2.23) ini

merupakan persamaan diferensial parsial orde-2 yang memerlukan syarat batas

untuk memperoleh solusinya.

2.2 Kajian Keagamaan

Berdasarkan ayat sebelumnya bahwa semua yang ada di alam ini, ada

rumusnya atau ada persamaannya. Ahli matematika tidak dapat membuat rumus

sedikitpun, mereka hanya menemukan rumus atau persamaan. Albert Einstein

24

tidak membuat rumus tetapi dia hanya menemukan dan

menyimpulkannya. Archimedes menemukan hitungan mengenai volume benda

melalui media air. Hukum Archimedes itu sudah ada sebelumnya dan dialah yang

menemukan pertama kali melalui hasil menelaah dan membaca ketetapan Allah

(Abdussakir, 2007).

Matematika juga dapat digunakan dalam mengungkapkan kejadian

menjadi ungkapan yang sistematis. Ditemukannya pemodelan-pemodelan

matematika adalah salah satu keajaiban Allah. Pada hakikatnya manusia hanya

mencari persamaan atau rumus-rumus yang berlaku pada suatu fenomena. Dalam

penelitian ini fenomena alam yang terkait dengan gelombang permukaan akan

menghasilkan model matematika dalam bentuk persamaan fKdV. Dalam

menentukan rumus atau persamaan perlu adanya pembuktian kebenaran, apakah

rumus atau persamaan tersebut benar atau salah.

Allah berfirman dalam surat Al-Israa’ ayat 36 :

Artinya: “Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai pengetahuan

tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan hati, semuanya itu akan

diminta pertanggungan jawabnya.”.

Kemudian apabila hal tersebut benar, maka tunjukkan bukti dari kebenaran

tersebut. Allah SWT berfirman dalam surat Al-Baqarah ayat 111:

25

Artinya: “Dan Dia mengajarkan kepada Adam Nama-nama (benda-benda) seluruhnya,

kemudian mengemukakannya kepada Para Malaikat lalu berfirman: "Sebutkanlah

kepada-Ku nama benda-benda itu jika kamu mamang benar orang-orang yang benar!".

Selain itu juga terdapat dalam surat Al-Baqarah ayat 111 sebagai berikut:

Artinya: “Dan mereka (Yahudi dan Nasrani) berkata: "Sekali-kali tidak akan masuk

surga kecuali orang-orang (yang beragama) Yahudi atau Nasrani". demikian itu (hanya)

angan-angan mereka yang kosong belaka. Katakanlah: "Tunjukkanlah bukti

kebenaranmu jika kamu adalah orang yang benar".

Dalam ayat tersebut bahwa Allah SWT seakan-akan meminta bukti

kebenaran yang menguatkan anggapan mereka apabila mereka dapat

mengemukakan bukti-bukti yang benar maka dugaan mereka benar. Sebagaimana

dalam skripsi ini dijelaskan mengenai model gelombang permukaan yang

diturunkan ke dalam bentuk persamaan fKdV, yang diketahui sebagai bentuk dari

perjalanan gelombang soliter yang berjalan satu arah. Dalam penurunan model

tersebut, dengan menyelesaikan persamaan Laplace beserta kondisi-kondisi

batasnya ke dalam bentuk persamaan ketinggian permukaan pada fluida kemudian

persamaan ketinggian tersebut disederhanakan ke dalam persamaan forced KdV.

Kebenaran persamaan yang diperoleh dilengkapi dengan bukti.

26

BAB III

PEMBAHASAN

Dalam bab ini dijelaskan penurunan model gelombang permukaan yang

dihasilkan oleh aliran yang melalui sebuah gundukan. Penurunan model dilakukan

dengan mengasumsikan aliran fluida berada pada saluran dua dimensi yang

mempunyai dasar tidak rata dan memiliki kecepatan seragam, kemudian aliran

mengalami gangguan berupa gundukan pada dasar saluran, sehingga kecepatan

aliran tersebut berubah dan menimbulkan gelombang pada permukaan fluida.

Model gelombang permukaan diperoleh dengan menyederhanakan persamaan-

persamaan kesetimbangan yang diturunkan dari hukum-hukum kekekalan yang

terjadi pada aliran fluida berupa persamaan ketinggian permukaan fluida.

Persamaan ketinggian tersebut berupa persamaan diferensial parsial nonlinier

yang dapat dikategorikan ke dalam bentuk persamaan forced KdV. Adapun

langkah-langkah penurunan model tersebut sebagai berikut: menurunkan

persamaan-persamaan dasar fluida kemudian dilakukan penskalaan, aproksimasi

variabel dengan deret asimtotik, peninjauan tiap-tiap orde dengan deret asimtotik,

menyederhanakan solusi ke dalam sebuah model matematika, dan yang terakhir

interpretasi dari model tersebut.

27

3.1 Penurunan Persamaan forced KdV

3.1.1 Kondisi-kondisi Batas pada Fluida

Dalam gerak partikel fluida mempunyai kondisi batas yaitu kondisi batas

dinamik dan kondisi batas kinematik. Kondisi batas dinamik terjadi karena adanya

gaya-gaya yang bekerja pada fluida sedangkan kondisi batas kinematik terjadi

karena gerak partikel (Hakim, 2009).

3.1.1.1 Kondisi Batas pada Permukaan Fluida

Pada permukaan fluida terdapat kondisi batas kinematik dan kondisi batas

dinamik, yaitu:

a) Kondisi batas kinematik

Kondisi batas kinematik diturunkan berdasarkan ide dasar dari sifat

kontinum fluida. Misalkan adalah kurva yang membatasi air dan

udara dan dinyatakan oleh persamaan permukaan

. Ketika suatu partikel di dan partikel tersebut tetap pada permukaan maka

. Didefiniskan suatu operator untuk turunan total terhadap waktu , atau

dinamakan turunan mengikuti gerakan dan dinotasikan sebagai

Karena telah didefinisikan untuk vektor kecepatan dalam dua dimensi ,

maka turunan total tersebut dapat dituliskan sebagai

Adapun penurunan untuk kondisi batas kinematik pada permukaan fluida yaitu

28

dimana , sehingga

(3.1)

Dengan

menyatakan komponen kecepatan dalam arah dan

menyatakan komponen kecepatan dalam arah , maka persamaan (3.1) menjadi

Jadi kondisi batas kinematik pada permukaan fluida adalah

(3.2)

b) Kondisi batas dinamik

Kondisi batas dinamik diturunkan dari persamaan Bernoulli yang berlaku

pada permukaan fluida. Adapun persamaan Bernoulli yaitu

dimana merupakan fungsi sebarang dari t akibat integrasi yang dilakukan

terhadap dan .

Diasumsikan bahwa fluida tak kental dan tekanan pada permukaan sama

dengan tekanan pada udara adalah konstan maka , sehingga persamaan

Bernoulli menjadi

29

Pada keadaan seragam (uniform) maka ruas kiri dari persamaan Bernoulli

berlaku kecepatan vertikal

, kecepatan horizontal

dan

dimana merupakan kecepatan mula-mula, karena tidak ada perubahan terhadap

waktu, maka

Sehingga kondisi batas dinamik pada permukaan fluida yaitu

(3.3)

3.1.1.2 Kondisi Batas pada Dasar Fluida

Pada dasar fluida hanya berlaku kondisi batas kinematik sedangkan

kondisi batas dinamik tidak diamati karena partikel pada dasar fluida tidak

bergerak.

Nyatakan fungsi posisi untuk fluida yang tidak rata

. Ketika suatu partikel di dan partikel tersebut tetap pada

permukaan fluida maka

. Didefinisikan suatu operator untuk turunan total

terhadap waktu , atau dinamakan turunan mengikuti gerakan dan dinotasikan

sebagai

30

Karena telah didefinisikan untuk vektor kecepatan dalam dua dimensi ,

maka turunan total tersebut dapat dituliskan sebagai

Adapun penurunan untuk kondisi batas kinematik pada dasar fluida yaitu

(3.4)

Dengan

menyatakan komponen kecepatan dalam arah dan

menyatakan komponen kecepatan dalam arah , maka persamaan (3.4) menjadi

Jadi kondisi batas kinematik pada dasar fluida adalah

(3.5)

Berdasarkan persamaan Laplace beserta kondisi batas pada permukaan fluida dan

kondisi batas pada dasar fluida akan dilakukan penskalaan variabel ( , c, ,

, h, dan ). Penskalaan variabel tersebut bertujuan untuk mengecilkan variabel ,

, dan kecepatan c. Namun sebelumnya variabel tersebut akan digunakan tanda

31

bar yang bertujuan untuk membedakan sebelum dilakukan penskalaan dengan

setelah dilakukan penskalaan.

3.1.2 Penskalaan Variabel

Skala disini didefinisikan sebagai perbandingan antara keadaan nyata

dengan model atau gambarnya dan penskalaan didefinisikan sebagai mengubah

ukuran baik memperbesar atau mengecilkan. Sebagai gambarannya, ketika ingin

mengambar sebuah rumah cukup sulit apabila mengambar sesuai keadaan aslinya,

sehingga terlebih dahulu dilakukan penskalaan pada panjang dan lebarnya. Begitu

juga sebelum diperoleh model gelombang soliter, terlebih dahulu dilakukan

penskalaan terhadap persamaan Laplace beserta kondisi batas pada permukaan

fluida dan kondisi batas pada dasar fluida.

Suatu saluran fluida yang memiliki panjang L jauh lebih besar

dibandingkan dengan kedalamannya H, sehingga dapat didefinisikan sebuah

parameter yang sangat kecil sebagai

. Dengan mengasumsikan

amplitudo dari gundukan sangat kecil dibandingkan dengan kedalaman dari

saluran maka kita dapat menyatakan gundukan tersebut sebagai ,

sehingga fungsi potensialnya dapat ditulis sebagai ,

dimana menyatakan kecepatan aliran fluida yang seragam.

Sebagaimana dalam Wiryanto (2010), skala-skala lain yang digunakan di

antaranya satuan kecepatan dalam ,

,

,

,

, dan

32

dimana menyatakan gravitasi, H menyatakan kedalaman fluida, menyatakan

waktu, menyatakan perbedaan kecepatan aliran, menyatakan representasi

gundukan, dan menyatakan ketinggian permukaan.

Selanjutnya dilakukan penskalaan dengan mensubstitusikan skala-skala ke

persamaan (2.23), (3.2), (3.3) dan (3.5) sebagai berikut:

Pertama, penskalaan variabel pada persamaan Laplace (2.23)

Skala-skala ,

,

,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

33

(3.6)

Skala-skala , , ,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

34

(3.7)

Persamaan (3.6) dan persamaan (3.7) disubstitusi ke persamaan (2.23), sehingga

diperoleh penskalaan pada persamaan (2.23)

(3.8)

Kedua, penskalaan pada persamaan (3.2)

Skala-skala , , ,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

35

(3.9)

Skala-skala dan

disubstitusi ke

diperoleh

(3.10)

Skala-skala dan

disubstitusi ke

diperoleh

(3.11)

36

Skala-skala ,

,

,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

(3.12)

Persamaan (3.9)-(3.12) disubstitusi ke persamaan (3.2)

(3.13)

37

Ketiga, penskalaan pada persamaan (3.3)

Skala-skala ,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

(3.14)

Skala-skala ,

,

,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

38

(3.15)

(3.16)

Skala-skala , , ,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

39

(3.17)

Persamaan (3.14)-(3.17) disubstitusi ke persamaan (3.3) diperoleh

(3.18)

Keempat, penskalaan pada persamaan (3.5)

Skala-skala , , ,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

40

(3.19)

Skala-skala

,

disubstitusi ke

diperoleh

(3.20)

Skala-skala ,

,

,

dan

disubstitusi ke

diperoleh

41

(3.21)

Persamaan (3.19)-(3.21) disubstitusi ke persamaan (3.5)

(3.22)

Setelah dilakukan penskalaan, kemudian mencari solusi dari persamaan (3.8)

beserta kondisi batas persamaan (3.13), persamaan (3.18) dan persamaan (3.22)

dengan menggunakan deret asimtotik, dengan dilakukan aproksimasi (hampiran)

terhadap variabel-variabel tak bebasnya dalam deret pangkat sampai orde ketiga.

3.1.3 Aproksimasi Variabel-variabel yang Digunakan

Persamaan (3.8) beserta kondisi batas persamaan (3.13), persamaan (3.18)

dan persamaan (3.22) sulit untuk diselesaikan secara langsung, sehingga

dilakukan aproksimasi atau hampiran dengan menggunakan deret asimtotik.

Hakim (2009) menyatakan deret asimtotik adalah suatu teknik yang

digunakan untuk menentukan suatu fungsi yang merupakan penyelesaian dari

42

suatu masalah nilai awal atau batas, dimana fungsi tersebut dinyatakan dalam

deret pangkat terhadap parameter kecil .

Dalam deret asimtotik, persamaan (3.8) beserta kondisi-kondisi batasnya

diaproksimasi dengan memisalkan variabel-variabel tak bebasnya dalam bentuk

deret asimtotik. Variabel-variabel tak bebas yang digunakan dalam bentuk deret

asimtotik tersebut adalah

a) Variabel tak bebas (gundukan) dalam bentuk deret asimtotik dengan

menuliskan

(3.23)

dimana , , dan merupakan bentuk orde pertama, kedua, dan ketiga

dengan adalah parameter yang kecil.

b) Variabel tak bebas (tinggi permukaan) dalam bentuk deret asimtotik dengan

menuliskan

)3(3)2(2)1( (3.24)



c) Variabel tak bebas (perbedaan kecepatan aliran) dalam bentuk deret

asimtotik dengan menuliskan

)2(2)1(1)0( ccc (3.25)



43

Adapun aproksimasi atau hampiran persamaan (3.8), (3.13), (3.18), (3.22) dengan

memisalkan variabel-variabel tak bebasnya dalam bentuk deret asimtotik sebagai

berikut

a) Aproksimasi pada persamaan (3.8)

Variabel tak bebas (gundukan) pada persamaan (3.8) dalam bentuk deret

asimtotik

(3.26)

(3.27)

(3.28)

Substitusikan persamaan (3.27)-(3.28) ke persamaan (3.8) sehingga diperoleh

hampiran dari persamaan (3.8) adalah

(3.29)

b) Aproksimasi pada persamaan (3.13)

Variabel tak bebas (gundukan) dan (ketinggian permukaan) pada persamaan

(3.13) dalam bentuk deret asimtotik

(3.30)

(3.31)

(3.32)

44

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)



(3.37)

45

c) Aproksimasi pada persamaan (3.18)

Variabel tak bebas (gundukan), (ketinggian permukaan) dan c (perbedaan

kecepatan aliran) pada persamaan (3.18) dalam bentuk deret asimtotik

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)



46

kemudian diuraikan menjadi

47

(3.47)

d) Aproksimasi pada persamaan (3.22)

Variabel tak bebas (gundukan) dan c (perbedaan kecepatan aliran) pada

persamaan (3.22) dalam bentuk deret asimtotik

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)



(3.52)

Setelah dilakukan aproksimasi variabel-variabel tak bebasnya kemudian

didapatkan solusi dari masing-masing persamaan (3.8), (3.13), (3.18) dan (3.22)

dengan melakukan peninjauan pada tiap-tiap orde sampai orde ketiga dari deret

asimtotik.

48

3.1.4 Peninjauan pada Tiap-tiap Orde dari Deret Asimtotik

Berdasarkan persamaan (3.29), (3.37), (3.47), dan persamaan (3.52) akan

ditinjau setiap orde untuk mendapatkan solusi dari deret asimtotik.

a) Orde

Berdasarkan orde didapatkan solusi dari persamaan (3.29), (3.37), (3.47), dan

persamaan (3.52) yaitu

(3.53)

dan

(3.54)

(3.55)

dan

(3.56)

b) Orde 2



(3.57)

dan

(3.58)

49

(3.59)

dan

(3.60)

c) Orde 3



(3.61)

dan

(3.62)

(3.63)

dan

(3.64)

Selanjutnya dari persamaan (3.53) sampai dengan (3.64) disederhanakan ke dalam

model matematika.

50

3.1.5 Penyederhanaan Solusi dari Deret Asimtotik

Adapun langkah-langkah dalam penyederhanaan solusi dari deret

asimtotik ke dalam model matematika sebagai berikut:

a) Pada orde diperoleh

(3.65)

Integralkan persamaan (3.65) terhadap yaitu

(3.66)

Dengan menggunakan kondisi batas (3.54) maka diperoleh

,

sehingga persamaan (3.66) menjadi

(3.67)

Untuk kondisi batas (3.56) sama seperti kondisi batas (3.54) didapatkan

Selanjutnya untuk kondisi batas (3.55) dengan

dihasilkan

51

(3.68)

Kemudian integralkan persamaan (3.67) terhadap yaitu

(3.69)

(3.70)

Dengan menggunakan kondisi batas pada persamaan (3.69) diperoleh

(3.71)

Dari persaman (3.68) dan persamaan (3.71) didapatkan

Maka persamaan (3.69) dan persamaan (3.70) menjadi

(3.72)

52

b) Pada Orde

Substitusikan persamaan (3.72) ke persamaan (3.57) diperoleh

(3.73)


(3.74)

Dengan menggunakan kondisi batas (3.60) maka didapatkan

, (3.75)


(3.76)

Kemudian dengan menggunakan kondisi batas (3.58) pada persamaan (3.76) akan

diperoleh

. (3.77)

Dengan 1)0( c , persamaan (3.76) menjadi

(3.78)


53

(3.79)

Dengan menggunakan kondisi batas (3.59) untuk persamaan (3.79) didapatkan

(3.80)


(3.81)

Dengan

maka persamaan (3.81) diperoleh

(3.82)

c) Pada orde diperoleh

54

(3.83)

Substitusikan persamaan (3.82) ke persamaan (3.83) didapatkan

(3.84)


(3.85)

Dengan menggunakan kondisi batas (3.64) pada persamaan (3.85) maka diperoleh

(3.86)


(3.87)

Kemudian dengan menggunakan kondisi batas (3.62) didapatkan

55

Dengan diperoleh

(3.88)

Dengan mengabaikan tanda superscript maka persamaan (3.88) dapat

disederhanakan menjadi

(3.89)

Persamaan (3.89) merupakan model matematika untuk gelombang permukaan

yang berbentuk persamaan forced KdV, dimana adalah ketinggian

permukaan fluida, adalah representasi dari gundukan pada dasar saluran,

adalah perbedaan kecepatan aliran. Grimshaw, dkk (2007) menyatakan adalah

perbedaan kecepatan aliran, dimana jika disebut aliran subkritis (subcritical

flow), jika disebut aliran kritis (critical flow), jika disebut aliran

superkritis (supercritical flow). Pada keadaan menunjukkan tidak

adanya gangguan pada dasar saluran yang dikenal dengan persamaan KdV dan

mempunyai solusi analitik yang berbentuk secant-hiperbolik.

3.2 Solusi Gelombang Soliter

Penurunan model matematika untuk gelombang permukaan diperoleh

dengan cara menyelesaikan persamaan Laplace beserta kondisi-kondisi batasnya

ke dalam bentuk persamaan ketinggian permukaan fluida. Persamaan ketinggian

56

tersebut disederhanakan ke dalam persamaan forced KdV. Adapun persamaan

forced KdV yang dihasilkan yaitu

dengan adalah ketinggian permukaan fluida, adalah representasi dari

gundukan pada dasar saluran dan adalah perbedaan kecepatan aliran. Persamaan

forced KdV dikenal sebagai salah satu bentuk persamaan diferensial parsial yang

tidak memiliki solusi analitik, sehingga untuk menentukan solusinya dapat

digunakan prosedur numerik. Namun sebelum itu ditinjau solusi untuk dasar

saluran rata dengan menggunakan metode koefisien tak tentu.

3.2.1 Solusi Homogen

Pada bagian ini akan dijelaskan solusi untuk dasar saluran rata atau tidak

ada gundukan pada dasar saluran . Untuk dasar saluran rata maka

persamaan (3.89) dapat dinyatakan sebagai

(3.90)

Model gelombang permukaan (3.90) merupakan representasi dari

gelombang yang berjalan satu arah tanpa mengalami perubahan dan tanpa adanya

interaksi antar satu gelombang dengan gelombang yang lain. Solusi persamaan

(3.90) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu dengan

memisalkan profil dari gelombang permukaan yang dihasilkan berbentuk secant

hiperbolik, sehingga dapat diperoleh solusi persamaan (3.90) dalam bentuk fungsi

secant hiperbolik juga. Misalkan solusi persamaan (3.90) dalam bentuk fungsi

secant hiperbolik adalah

57

(3.91)

dengan merupakan ketinggian permukaan, A merupakan amplitudo

gelombang, B merupakan lebar dari gelombang, C merupakan kecepatan aliran

dari gelombang dan D merupakan sebarang konstanta. Konstanta-konstanta

tersebut diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (3.91) ke persamaan (3.90),

tujuannya untuk memenuhi konstanta-konstanta A, B, dan C. Adapun langkah-

langkahnya sebagai berikut:

a) Hitung

,

, dan

58

b) Substitusi

,

, dan

ke persamaan (3.90) dan kumpulkan koefisien

dan , sehingga diperoleh

59

(3.92)

Persamaan (3.92) dapat diuraikan menjadi

Kemudian kumpulkan koefisien dan

menjadi

(3.93)

Untuk memperoleh bentuk yang lebih sederhana bagi persamaan (3.93) dengan

, sehingga diperoleh

60

(3.94)

Karena maka persamaan (3.94)

menjadi

(3.95)


Kumpulkan koefisien dan diperoleh

(3.96)

Persamaan (3.96) dapat disederhanakan menjadi

. (3.97)

Misalkan

dan sehingga

persamaan (3.97) menjadi

(3.98)

Kemungkinan persamaan (3.98) dapat dipenuhi dengan

atau dan , apabila dapat dipenuhi jika

61

dan . Sehingga digunakan dan

untuk memenuhi persamaan (3.98) sebagai berikut

dan . Dari dan

menghasilkan ,

, dan

.

Jadi dapat disimpulkan bahwa solusi dari persamaan (3.90) dalam bentuk fungsi

secant hiperbolik adalah

(3.99)

dengan koefisien A, B, dan C harus memenuhi hubungan-hubungan sebagai

berikut ,

dan

.

Misalkan

,

,

, dan diberikan kondisi awal

, maka diperoleh solusi

(3100)

Berdasarkan persamaan (3.100) dapat dilustrasikan pada Gambar 3.1, Gambar 3.2,

dan Gambar 3.3 dengan menggunakan perbedaaan kecepatan aliran ,

dan

62

Gambar 3.1 Persamaan (3.100) untuk


-150-100

-500

50100

150

0

10

20

30

40

500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

xt

Tin

gg

i P

erm

uka

an

-150-100

-500

50100

150

0

10

20

30

40

500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

xt

Tin

ggi P

erm

ukaan

63


Kemudian simulasi dari hasil solusi persamaan (3.90) dapat juga diilustrasikan

pada Gambar 3.4, Gambar 3.5, dan Gambar 3.6 berikut

Gambar 3.4 Solusi Persamaan (3.90) untuk

-150-100

-500

50100

150

0

10

20

30

40

500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

xt

Tin

ggi P

erm

ukaan

64

Solusi persamaan (3.90) dengan dapat diilustrasikan pada gambar

3.4 yang menunjukkan perambatan gelombang mengalami perubahan pada

ketinggian gelombang. Hal ini terlihat, ketika dan ketinggian

gelombang 0.3932, sedangkan ketika dan ketinggian gelombang

0.0013. Selain itu, perambatan gelombang berjalan menuju ke hulu dengan

kecepatan fase sebesar . Kecepatan fase dapat dilihat dari puncak

gelombang satu dengan puncak gelombang yang lainnya sehingga seberapa cepat

puncak gelombang berpindah persatuan waktu.


Selanjutnya solusi persamaan (3.90) dengan dapat diilustrasikan

pada gambar 3.5 yang menunjukkan perambatan gelombang mengalami

65

perubahan pada ketinggian gelombang. Hal ini terlihat, ketika dan

ketinggian gelombang 0.3932, sedangkan ketika dan ketinggian

gelombang . Selain itu, perambatan gelombang berjalan ke arah

hilir dengan kecepatan fase sebesar 0.9167. Kecepatan fase dapat dilihat dari

puncak gelombang satu dengan puncak gelombang yang lainnya sehingga

seberapa cepat puncak gelombang berpindah persatuan waktu.

Sebaliknya solusi persamaan (3.90) untuk dapat diilustrasikan

pada gambar 3.6 perambatan gelombang berjalan ke arah hulu dengan kecepatan

fase sebesar 1.0833. Kecepatan fase dapat dilihat dari puncak gelombang satu

dengan puncak gelombang yang lainnya sehingga seberapa cepat puncak

gelombang berpindah persatuan waktu. Selain itu perambatan gelombang

mengalami perubahan pada ketinggian gelombang. Hal ini terlihat, ketika

dan ketinggian gelombang 0.3932 sedangkan ketika dan

ketinggian gelombang .

Gambar 3.6 Solusi persamaan (3.90) untuk

66

Selain perbedaan kecepatan aliran (c) yang mempengaruhi perambatan

gelombang, amplitudo gelombang dan lebar dari gelombang juga mempengaruhi

perambatan gelombang, semakin besar nilai amplitudo menyebabkan amplitudo

gelombang semakin tinggi akibatnya lebar dari gelombang semakin kecil.

3.2.2 Solusi Non Homogen

Bentuk tak homogen dari persamaan KdV disebut persamaan forced KdV

sebagaimana pada persamaan (3.89). Persamaan forced KdV dikenal sebagai

salah satu bentuk persamaan diferensial parsial yang tidak memiliki solusi

analitik, sehingga untuk menentukan solusinya digunakan prosedur numerik.

Dalam skripsi ini metode yang digunakan adalah metode beda hingga

skema eksplisit atau CTCS (central time central space). Adapun persamaan beda

CTCS yang digunakan adalah

(3.101)

(3.102)

(3.103)

(3.104)

Selanjutnya persamaan (3.101), (3.102), (3.103) dan (3.104) disubstitusi ke dalam

persamaan (3.89) sebagai berikut

67

(3.105)


68

(3.106)

Persamaan (3.106) adalah model pendekatan persamaan (3.89) dengan

menggunakan metode beda hingga skema eksplisit atau CTCS (central time

central space).

Persamaan fKdV merupakan representasi dari gelombang yang dihasilkan

oleh aliran yang melalui sebuah gundukan, maka dalam simulasi ini gaya luar

yang digunakan sebagaimana yang terdapat dalam Grimshaw, dkk (2007), yaitu

Bentuk gaya luar yang digunakan di atas, berupa gundukan dengan puncak datar

dengan lebar L dan tinggi gundukan sebesar , sedangkan merupakan sudut

kemiringan antara dan sebagai lebar kaki dari gundukan tersebut.

Kemudian dilakukan simulasi dengan menggunakan perbedaan kecepatan aliran

yaitu , dan , serta , dan . Hasil

dari perhitungan numerik tersebut dapat diilustrasikan pada Gambar 3.7, Gambar

3.8 dan Gambar 3.8 sebagai berikut

69


Solusi persamaan (3.89) untuk dapat diilustrasikan pada Gambar 3.7

yang menunjukkan bahwa adanya gangguan pada dasar saluran mengakibatkan

timbulnya riak-riak gelombang pada permukaan. Pada saat riak-riak

gelombang berjalan ke arah hulu dan pada saat riak-riak gelombang

berjalan ke arah hilir.

Riak-riak gelombang berjalan dengan mengalami perubahan pada

ketinggian riak-riak gelombang tersebut yaitu , dan

diperoleh tinggi gelombang sebesar 0.4695 sedangkan , dan

diperoleh tinggi gelombang sebesar 0.6874. Besar kecilnya gundukan

70

mempengaruhi tinggi gelombang permukaan. Semakin besar gundukan maka

semakin besar pula amplitudo pada gelombang permukaan tersebut.


Selanjutnya solusi persamaan (3.89) untuk dapat diilustrasikan

pada Gambar 3.8 yang menunjukkan bahwa adanya gangguan pada dasar saluran

mengakibatkan timbulnya riak-riak gelombang pada permukaan. Pada saat

riak-riak gelombang berjalan ke arah hulu dan pada saat riak-riak

gelombang berjalan ke arah hilir.

Riak-riak gelombang berjalan dengan mengalami perubahan pada

ketinggian riak-riak gelombang tersebut yaitu , dan

diperoleh tinggi gelombang sebesar 1.0581 sedangkan , dan

71

diperoleh tinggi gelombang sebesar 1.2499. Besar kecilnya gundukan

mempengaruhi tinggi gelombang permukaan. Semakin besar gundukan maka

semakin besar pula amplitudo pada gelombang permukaan tersebut.


Sebaliknya solusi persamaan (3.89) untuk dapat diilustrasikan

pada Gambar 3.9 menunjukkan bahwa adanya gangguan pada dasar saluran

mengakibatkan timbulnya riak-riak gelombang pada permukaan. Pada saat

riak-riak gelombang berjalan ke arah hulu dan pada saat riak-riak

gelombang berjalan ke arah hilir. Riak-riak gelombang berjalan dengan ,

dan diperoleh tinggi gelombang sebesar 0.2194.

72

3.3 Kajian Keagamaan

Model gelombang permukaan yang dihasilkan dalam bentuk persamaan

forced KdV pada persamaan (3.89) adalah

Persamaan (3.89) diturunkan dari persamaan Laplace beserta kondisi batas pada

permukaan fluida dan kondisi batas pada dasar fluida, sehingga membuktikan

bahwa terdapat model matematika untuk fenomena alam yang terkait dengan

gelombang permukaan. Adanya model matematika ini, dapat meningkatkan

keimanan dan ketaqwaan kepada Allah SWT, sebab Allah SWT telah menciptaan

alam semesta ini dengan perhitungannya masing-masing. Sebagaimana Allah

berfirman dalam surat Al-Furqan ayat 2:

Artinya: “ Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai

anak, dan tidak ada sekutu baginya dalam kekuasaan(Nya), dan Dia telah menciptakan

segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya”.

Selain itu, Allah berfirman dalam surat Al-Hijr ayat 21:

Artinya: “Dan tidak ada sesuatupun melainkan pada sisi Kami-lah khazanahnya dan

Kami tidak menurunkannya melainkan dengan ukuran yang tertentu”.

Namun demikian, perlu diingat bahwa apa yang diketahui sekarang,

hanyalah sebagian kecil dari apa yang tidak diketahui. Oleh karena itu, Allah tidak

73

membolehkan untuk bersikap sombong. Sebab sungguh amat luas apa yang

diciptakan Allah SWT.

Allah berfirman dalam surat Al-Isra’ ayat 37:

Artinya: “Dan janganlah kamu berjalan di muka bumi ini dengan sombong, karena

Sesungguhnya kamu sekali-kali tidak dapat menembus bumi dan sekali-kali kamu tidak

akan sampai setinggi gunung”.

Selain itu, firman Allah di atas juga dipertegas dengan surat Lukman ayat 18:

Artinya: “Dan janganlah kamu memalingkan mukamu dari manusia (karena sombong)

dan janganlah kamu berjalan di muka bumi dengan angkuh. Sesungguhnya Allah tidak

menyukai orang-orang yang sombong lagi membanggakan diri”.

74

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Skripsi ini membahas penurunan model matematika untuk gelombang

permukaan yang dihasilkan oleh aliran yang melalui suatu gundukan. Model

tersebut dihasilkan dengan menyederhanakan persamaan-persamaan

kesetimbangan yang diturunkan dari hukum-hukum kekekalan yang terjadi pada

aliran fluida, kemudian dilakukan penskalaan, aproksimasi variabel, peninjauan

tiap-tiap orde dengan deret asimtotik, menyederhanakan solusi ke dalam sebuah

model matematika. Berdasarkan pembahasan diperoleh model gelombang

permukaan dalam bentuk persamaan ketinggian permukaan yang disederhanakan

ke dalam persamaan forced KdV sebagai berikut

dimana adalah ketinggian permukaan fluida, adalah representasi dari

gundukan pada dasar saluran, adalah perbedaan kecepatan aliran.

Hasil simulasi untuk dasar tidak rata dengan menggunakan metode beda

hingga skema eksplisit menunjukkan perambatan gelombang mengalami

perubahan pada ketinggian gelombang. Perubahan pada ketinggian gelombang

berjalan seiring dengan perubahan waktu. Selain itu, dalam simulasi tersebut

digunakan perbedaan kecepatan aliran yaitu , , dan .

75

Hasil simulasi untuk dasar rata ( dengan menggunakan metode

koefisien tak tentu menunjukkan gelombang berjalan mengalami perubahan pada

ketinggian gelombang. Selain itu, dalam simulasi tersebut digunakan perbedaan

kecepatan aliran yaitu , , dan . Untuk menunjukkan

perambatan gelombang berjalan menuju ke hilir dengan kecepatan fase sebesar

, sedangkan untuk menunjukkan perambatan gelombang menuju ke

arah hilir dengan kecepatan fase sebesar 0.9167 dan untuk menunjukkan

perambatan gelombang ke arah hulu dengan kecepatan fase sebesar -1.0833.

4.2 Saran

Dalam penelitian ini dilakukan aproksimasi/hampiran dalam bentuk deret

asimtotik sampai orde ketiga, sehingga peneliti menyarankan untuk melakukan

aproksimasi deret asimtotik sampai orde kelima. Bertambahnya orde maka orde

erornya semakin besar dan akurasinya semakin meningkat sehingga didapatkan hasil

aproksimasi yang lebih baik.

76

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang

Press.

Chorlton, F.. 1967. Textbook of Fuid Dynamics. London: D.Van Nostrand

Company LTD London.

Douglas, G.. 2001. Fisika Edisi kelima. Jakarta: Erlangga.

Grimshaw, R.H.J., Zhang, D.H., & Chow, K.W.. 2007. Generation of Solitary

Waves by Transcritical Flow Over a Step. J.Fluid Mech. Hal.235-254.

Hakim, A.. 2009. Prediksi Kecepatan Phase Gelombang Soliter Terganggu.

Thesis. Tidak diterbitkan. Bogor: Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian

Bogor.

Olson, R.. 1993. Dasar-dasar Mekanika Fluida. Jakarta: PT Gramedia Pustaka

Utama.

Purwanto. 1998. Matematika Diskrit . Malang: IKIP Malang.

Streeter, V.L.. 1986. Mekanika Fluida Edisi Delapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Wiryanto, L.. 2010. A Solitary-like Wave Generated by Flow Passing a Bump.

ICMSA 2010. Hal.1176-1183.

Lampiran 1

Program MATLAB untuk persamaan (3.100) , , pada Gambar

3.1, Gambar 3.2, dan Gambar 3.3

clc,clear,clf

c=0 [x,t] = meshgrid(-150:0.6:150,0:0.2:50); z = (1/2)*sech((1/2)*x+(((1/12)-(c*(1/2)))*t)+2).^2; surf(x,t,z) xlabel('x') ylabel('t') zlabel('tinggi permukaan')

Lampiran 2

Program MATLAB untuk solusi persamaan (3.90) , , pada

Gambar 3.4, Gambar 3.5, dan Gambar 3.6

clc,clear,clf

dx=0.5; dt=0.2; x=-150:dx:150; t=0:dt:50;

c=-2;

Mx=length(x); Nt=length(t); z=sparse(Mx,Nt);

figure(1), clf

k=0; for n=1:Nt for j=1:Mx z(j,n+1) = (1/2).*sech((1/2).*x(j)+(((1/12)-

c.*(1/2)).*t(n))+2).^2;

end

if mod(n,10)==0 k=k+1; plot(x,z(:,n)+k), hold on pause(0.01) n end

end

Lampiran 3

Program MATLAB untuk solusi persamaan (3.89) , ,

pada Gambar 3.7, Gambar 3.8, dan Gambar 3.9

clc,clear,clf

dx=0.5; dt=0.2; x=-300:dx:300; t=0:dt:300; A=dt/dx; B=dt/(6*(dx.^3));

FM=0.1; gama=0.25; L=50; c=0; s=abs((dt/dx)*(gama-0.5)-dt/(3*(dx^3)))

F=(FM/2)*(tanh(gama*x)-(tanh(gama*(x-L)))); Fx= diff(F);

Mx=length(x); Nt=length(t); u=sparse(Mx,Nt);

figure(1), clf

k=0; for n=2:Nt-1 for j=3:Mx-2 C=(B*(u(j+2,n)-(2*u(j+1,n))+(2*u(j-1,n))-u(j-2,n)));

D=(A*(((u(j+1,n)+u(j,n)+u(j-1,n))/3)-c)*(u(j+1,n)-u(j-

1,n)));

u(j,n+1)=u(j,n-1)+C+D+(dt*Fx(j)); end

if mod(n,30)==0 k=k+1; plot(x,u(:,n)+0.2*k), hold on pause(0.01)

end end

KEMENTERIAN AGAMA RI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG


Jl. Gajayana No. 50 Dinoyo Malang Telp./Fax.(0341)558933

BUKTI KONSULTASI SKRIPSI

Nama : Farida Masluchah

NIM : 10610016

Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/ Matematika

Judul Skripsi : Model Gelombang Soliter yang Dihasilkan oleh Aliran

yang Melalui Sebuah Gundukan

Pembimbing I : Mohammad Jamhuri, M.Si

Pembimbing II : Dr. Abdussakir, M.Pd

No Tanggal Hal Tanda Tangan

1. 31 Oktober 2013 Konsultasi BAB I dan BAB II 1.

2. 05 Nopember 2013 Revisi BAB I BAB II

Konsultasi BAB III

2.

3. 14 Nopember 2013 ACC BAB I BAB II

Revisi BAB III

3.

4. 12 Nopember 2013 Konsultasi Keagamaan 4.

5. 20 Nopember 2013 Revisi Keagamaan 5.

6. 03 Desember 2013 ACC Keagamaan 6.

7. 16 Januari 2014 Revisi BAB III 7.

8. 30 Januari 2014 Revisi BAB III

Konsultasi BAB IV

8.

9. 20 Februari 2014 Revisi BAB IV

ACC BAB III

9.

10. 27 Februari 2014 ACC Bab IV 10.

11. 05 Maret 2014 Konsultasi Abstrak 11.

12. 13 Maret 2014 Konsultasi Keagamaan BAB III 12.

13. 02 April 2014 ACC Keseluruhan 13.

Malang, 03 April 2014

Mengetahui,



NIP. 19751006 200312 1 001

model gelombang soliter yang dihasilkan oleh aliran...

Documents