model akhir fungsi transfer.doc

TRANSFER FUNCTIONS MODELSModel Fungsi Transfer adalah suatu model yang

menggambarkan bahwa nilai prediksi masa depan dari suatu time series (disebut output series atau Yt) adalah berdasarkan pada nilai-nilai masa lalu dari time series itu sendiri dan berdasarkan pula pada satu atau lebih time series yang berhubungan (disebut input series atau Xt) dengan output series tersebut. Contoh :

1. Model antara total sales (Yt) dan advertising expenditure (Xt) yang diamati per bulan. (Makridakis, Wheelwright, and McGee, 1983)

2. Model antara sales (Yt) dan leading indicator (Xt) yang telah dianalisis oleh Box dan Jenkins (1976).

3. Model antara debit air di suatu bendungan (Yt) dan curah hujan (Xt) yang diamati dalam interval waktu yang sama. (Gusman, 2000).

Bentuk umum dari model fungsi transfer untuk single-input (xt) dan single-output (yt) adalah

…… (1)

dimana : = konstantayt = representasi dari deret output yang stasionerxt = representasi dari deret input yang stasionert = representasi dari komponen error (deret noise) yang

mengikuti suatu model ARIMA tertentuv(B) = v0 – v1B – v2B2 – … infinite order

Bentuk (1) diatas dapat pula dituliskan dalam bentuk sebagai berikut

……(2)

atau ……(3)

U71 : Time Series Analysis “Transfer Function Model” page - 1

dimana :

C = suatu “unknown scale parameter”.b = banyaknya periode sebelum deret input (xt) mulai

berpenga-ruh terhadap deret output (yt). adalah operator dari order s,

yang merepresentasikan banyaknya pengamatan masa lalu xt yang berpengaruh terhadap yt .

adalah operator dari order r, yang merepresentasikan banyaknya pengamatan masa lalu dari deret output itu sendiri yang berpengaruh terhadap yt .

A Three-Step Procedure For Building A Transfer Function Model (Bowerman and O’Connell, 1993)

Pada bagian ini akan dipaparkan tahap-tahap pembentukan model fungsi transfer dengan ilustrasi seperti yang telah dilakukan oleh Makri-dakis, Wheelwright, dan McGee (1983) untuk pembentukan model antara total sales (yt) dan advertising expenditure (xt). Data terdiri dari 100 bulan pengamatan dan dapat dilihat pada tabel 1 berikut ini.

Tabel 1. Total sales (ribu unit) dan advertising expenditure (ribu dollar)per bulan

tAdvertising

InputXt

SalesOutput

Yt

tAdvertising

InputXt

SalesOutput

Yt

0123456789

1011121314

116.44119.58125.74124.55122.35120.44123.24127.99121.19118.00121.81126.54129.85122.65

202.66232.91272.07290.97299.09296.95279.49255.75242.78255.34271.58268.27260.51266.34

1516171819202122232425262728

127.24132.35130.86122.90117.15109.47114.34123.72130.33133.17134.25129.75130.05133.42

286.19271.97265.01274.44291.81290.91264.95228.40209.33231.69281.56327.16344.74324.74


121.64 281.24 29 135.16 289.36

Lanjutan Tabel 1.

tAdvertising

InputXt

SalesOutput

Yt

tAdvertising

InputXt

SalesOutput

Yt

3031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364

130.89123.48118.46122.11128.75127.09114.55113.26111.51111.73114.08114.32115.03124.28132.69134.64133.28128.00129.97128.35123.90122.45122.85129.28129.77127.78134.29140.61133.64135.45130.93118.85120.34120.35117.09

262.92263.65276.38276.34258.27242.89255.98278.53273.21246.37221.10210.41222.19245.27262.58283.25311.12326.28322.04295.37266.69253.07249.12253.59262.13279.66302.92310.77307.83313.19312.80301.23286.64257.17229.60

6566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

117.56121.69128.19134.79128.93121.63125.43126.80131.56126.43116.19112.72109.53110.38107.3193.5989.8088.7086.6489.2696.51

107.35110.35102.6697.5698.06

103.93115.66112.91116.89116.84109.55110.63111.32117.09

227.62238.21252.07269.86291.62314.06318.56289.11255.88249.81268.82288.24281.26250.92222.26209.94213.30207.19186.13171.20170.33183.69211.30252.66286.20279.45237.06193.40180.79215.73264.98294.07299.08271.10230.56


STEP I : IDENTIFICATION OF A MODEL DESCRIBING Xt AND “PREWHITENING” OF Xt AND Yt

Tahap ini dilakukan untuk mendapatkan model ARIMA yang se-suai untuk deret input (Xt) sehingga diperoleh deret input yang sudah white noise (t). Hal ini yang disebut “prewhitening of Xt”. Dengan mengimplementasikan paket program SAS diperoleh hasil seperti pada output 1.

Output 1. Sample ACF dari Data Advertising Expenditure

ARIMA Procedure

Name of variable = X.Mean of working series = 120.0466Standard deviation = 11.46453Number of observations = 100

Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 131.435 1.00000 | |********************| 1 117.728 0.89571 | . |****************** | 2 95.672535 0.72791 | . |*************** | 3 79.480004 0.60471 | . |************ | 4 69.643942 0.52987 | . |*********** | 5 64.348499 0.48958 | . |********** | 6 55.019333 0.41860 | . |********. | 7 43.934387 0.33427 | . |******* . | 8 37.440361 0.28486 | . |****** . | 9 33.280996 0.25321 | . |***** . | 10 29.686404 0.22586 | . |***** . | 11 26.149272 0.19895 | . |**** . | 12 22.079968 0.16799 | . |*** . | 13 19.620559 0.14928 | . |*** . | 14 16.005101 0.12177 | . |** . | 15 10.519759 0.08004 | . |** . | 16 6.260995 0.04764 | . |* . | 17 3.583029 0.02726 | . |* . | 18 4.523625 0.03442 | . |* . | 19 4.555514 0.03466 | . |* . | 20 -0.225377 -0.00171 | . | . | 21 -5.274575 -0.04013 | . *| . | 22 -8.242792 -0.06271 | . *| . | 23 -12.451149 -0.09473 | . **| . | 24 -17.662418 -0.13438 | . ***| . | "." marks two standard errors

Sampel ACF dari data asli ini menunjukkan bahwa “advertising expenditure” masih belum stasioner sehingga langkah selanjutnya adalah melakukan differencing agar diperoleh data yang stasioner. Operasi ini menghasilkan deret input baru, yaitu


.Identifikasi untuk memperoleh model ARIMA dari deret input dapat di-lihat pada output 2 berikut ini.

Output 2. Sampel ACF dan PACF data hasil differencing 1

ARIMA Procedure

Name of variable = X.Period(s) of Differencing = 1.

Mean of working series = 0.006566 Standard deviation = 5.241413 Number of observations = 99 NOTE: The first observation was eliminated by differencing.

Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 27.472406 1.00000 | |********************| 1 8.374609 0.30484 | . |****** | 2 -5.717160 -0.20811 | ****| . | 3 -6.495288 -0.23643 | *****| . | 4 -4.448553 -0.16193 | . ***| . | 5 4.006612 0.14584 | . |*** . | 6 1.757341 0.06397 | . |* . | 7 -4.381307 -0.15948 | . ***| . | 8 -2.955141 -0.10757 | . **| . | 9 -0.860676 -0.03133 | . *| . | 10 0.067429 0.00245 | . | . | 11 0.863753 0.03144 | . |* . | 12 -1.274626 -0.04640 | . *| . | 13 0.816844 0.02973 | . |* . | 14 1.529904 0.05569 | . |* . | 15 -1.248964 -0.04546 | . *| . | 16 -1.485827 -0.05408 | . *| . | 17 -3.645085 -0.13268 | . ***| . | 18 0.662939 0.02413 | . | . | 19 4.766662 0.17351 | . |*** . | 20 0.401108 0.01460 | . | . | 21 -1.832647 -0.06671 | . *| . | 22 1.569929 0.05715 | . |* . |

"." marks two standard errors Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.30484 | . |****** | 2 -0.33187 | *******| . | 3 -0.06290 | . *| . | 4 -0.14360 | .***| . | 5 0.21096 | . |**** | 6 -0.19511 | ****| . | 7 -0.09257 | . **| . | 8 -0.01810 | . | . | 9 -0.01993 | . | . | 10 -0.10743 | . **| . | 11 -0.00276 | . | . | 12 -0.06276 | . *| . | 13 0.08650 | . |** . | 14 -0.07673 | . **| . | 15 -0.04273 | . *| . | 16 -0.04771 | . *| . | 17 -0.13972 | .***| . | 18 0.09976 | . |** . | 19 0.01709 | . | . | 20 -0.07206 | . *| . |


21 -0.02570 | . *| . | 22 0.19226 | . |**** |

Lanjutan Output 2.

Autocorrelation Check for White Noise

To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob 6 25.23 6 0.000 0.305 -0.208 -0.236 -0.162 0.146 0.064 12 29.74 12 0.003 -0.159 -0.108 -0.031 0.002 0.031 -0.046 18 33.02 18 0.017 0.030 0.056 -0.045 -0.054 -0.133 0.024 24 38.76 24 0.029 0.174 0.015 -0.067 0.057 0.049 -0.069

Hasil identifikasi untuk deret input berdasarkan bentuk ACF dan PACF menghasilkan suatu kesimpulan bahwa model yang sesuai adalah ARIMA(1,1,1), yaitu :

, dimana .

Estimasi parameter dan hasil diagnostic checking untuk model ini dapat diamati pada output 3 berikut ini.

Output 3. Estimasi parameter dan diagnostic checking model deret input

Conditional Least Squares Estimation

Approx. Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag MA1,1 -0.78424 0.10024 -7.82 1 AR1,1 -0.29627 0.15530 -1.91 1

Variance Estimate = 22.317041 Std Error Estimate = 4.72409155 AIC = 590.359056* SBC = 595.549296* Number of Residuals= 99 * Does not include log determinant.

Correlations of the Estimates

Parameter MA1,1 AR1,1

MA1,1 1.000 0.777 AR1,1 0.777 1.000

Autocorrelation Check of Residuals

To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob 6 8.71 4 0.069 -0.008 -0.066 -0.185 -0.143 0.142 0.061 12 12.23 10 0.270 -0.157 -0.035 -0.025 -0.008 0.043 -0.060 18 17.87 16 0.331 0.017 0.093 -0.095 0.039 -0.160 0.041 24 21.83 22 0.470 0.132 -0.007 -0.067 0.058 0.038 -0.064


Dari output 3 dapat disimpulkan bahwa model ARIMA(1,1,1) ada-lah model yang sesuai untuk deret input karena telah memenuhi “signifi-kansi parameter” dan syarat cukup model, yaitu residual sudah meme-nuhi white noise proses. Dengan demikian “prewhitening” deret input dan output dapat dilakukan sehingga diperoleh “prewhitening” deret input melalui persamaan

.

Persamaan ini ekuivalen dengan .

Pada identifikasi deret output dengan differencing 1 diperoleh nilai ACF dan PACF seperti pada output 4.

Tahapan selanjutnya pada identifikasi ini adalah “prewhitening” deret output untuk men-dapatkan

.

Persamaan ini ekuivalen dengan.

Output 4. Sampel ACF dan PACF dari deret output (yt)


Name of variable = Y.

Period(s) of Differencing = 1.Mean of working series = 0.281818Standard deviation = 21.82479Number of observations = 99

NOTE: The first observation was eliminated by differencing.

Autocorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 476.322 1.00000 | |********************| 1 303.041 0.63621 | . |************* | 2 -28.857099 -0.06058 | . *| . | 3 -245.140 -0.51465 | **********| . | 4 -245.277 -0.51494 | **********| . | 5 -105.615 -0.22173 | . ****| . | 6 15.898855 0.03338 | . |* . | 7 45.645825 0.09583 | . |** . | 8 25.136097 0.05277 | . |* . | 9 4.217799 0.00885 | . | . | 10 8.244209 0.01731 | . | . | 11 29.503349 0.06194 | . |* . | 12 38.877353 0.08162 | . |** . | 13 23.165214 0.04863 | . |* . | 14 -13.281993 -0.02788 | . *| . | 15 -53.558082 -0.11244 | . **| . | 16 -68.040715 -0.14285 | . ***| . | 17 -41.020108 -0.08612 | . **| . | 18 15.122377 0.03175 | . |* . | 19 54.383887 0.11417 | . |** . | 20 46.644940 0.09793 | . |** . | 21 23.071591 0.04844 | . |* . | 22 15.722235 0.03301 | . |* . | 23 7.249698 0.01522 | . | . | 24 -21.618543 -0.04539 | . *| . |

"." marks two standard errors

Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.63621 | . |************* | 2 -0.78178 | ****************| . | 3 0.22211 | . |**** | 4 -0.20950 | ****| . | 5 -0.02212 | . | . | 6 -0.29173 | ******| . | 7 0.03021 | . |* . | 8 -0.06045 | . *| . | 9 -0.12780 | .***| . | 10 0.04011 | . |* . | 11 -0.02373 | . | . | 12 0.00489 | . | . | 13 -0.04282 | . *| . | 14 -0.05545 | . *| . | 15 -0.07121 | . *| . | 16 -0.03324 | . *| . | 17 -0.00990 | . | . | 18 0.02351 | . | . | 19 -0.12122 | . **| . | 20 0.02621 | . |* . | 21 0.12204 | . |** . | 22 -0.01638 | . | . | 23 -0.12123 | . **| . | 24 -0.00990 | . | . |

STEP II : Calculation Of The Sample Cros-Correlation Function Between The t Values and t


Values, And Identifi-cation Of A Preliminary Transfer Function Model

Pada tahap ini dilakukan pemeriksaan nilai sample cross-correlation antara t dan t (dinotasikan CCF) untuk pendugaan order b, s, dan r dari model fungsi transfer. Secara umum sampel CCF dapat diperoleh melalui rumus berikut ini.

dimana :

dan .

Hasil perhitungan sampel CCF dengan mengimplementasikan SAS adalah seperti pada output 5. Hasil nilai sampel CCF ini selanjutnya dapat diverifikasi dengan bentuk-bentuk CCF untuk beberapa kombinasi b, s, dan r seperti pada Wei (1990) halaman 292-293. Dugaan order untuk model fungsi transfer ini adalah

b = 2; s = 2; dan r = 2 .Sehingga dugaan sementara model fungsi transfernya adalah

atau, jika parameter dikeluarkan dari model, diperoleh

dimana dan .

Output 5. Sampel CCF antara “prewhitening” nilai advertising expenditure dan “prewhitening” nilai total sales

Correlation of Y and X


Variable X has been differenced. Period(s) of Differencing = 1. Both series have been prewhitened. Variance of transformed series = 271.5571 and 21.86582 Number of observations = 99 NOTE: The first observation was eliminated by differencing.

Crosscorrelations

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-12 -1.543819 -0.02003 | . | . |-11 4.416292 0.05731 | . |* . |-10 4.821462 0.06257 | . |* . | -9 1.750208 0.02271 | . | . | -8 1.484007 0.01926 | . | . | -7 -4.805080 -0.06236 | . *| . | -6 -4.157221 -0.05395 | . *| . | -5 -7.937054 -0.10300 | . **| . | -4 -5.985919 -0.07768 | . **| . | -3 4.616228 0.05991 | . |* . | -2 7.042409 0.09139 | . |** . | -1 -3.391449 -0.04401 | . *| . | 0 -9.090825 -0.11797 | . **| . | 1 -7.481215 -0.09709 | . **| . | 2 26.287777 0.34115 | . |******* | 3 48.886897 0.63442 | . |************* | 4 22.239073 0.28860 | . |****** | 5 -14.714534 -0.19096 | ****| . | 6 -35.746059 -0.46389 | *********| . | 7 -31.187480 -0.40473 | ********| . | 8 -2.682080 -0.03481 | . *| . | 9 10.213246 0.13254 | . |***. | 10 8.512591 0.11047 | . |** . | 11 3.974266 0.05158 | . |* . | 12 -0.570605 -0.00740 | . | . |


Crosscorrelation Check Between Series

To Chi Crosscorrelations Lag Square DF Prob 5 65.54 6 0.000 -0.118 -0.097 0.341 0.634 0.289 -0.191 11 106.39 12 0.000 -0.464 -0.405 -0.035 0.133 0.110 0.052 17 106.47 18 0.000 -0.007 -0.004 -0.005 -0.017 -0.014 -0.014 23 111.43 24 0.000 -0.033 -0.057 -0.070 0.068 0.171 0.084

STEP III : Identification Of A Model Describing t And Of A Final Transfer Function Model

Setelah dugaan order b, r, dan s diperoleh maka estimasi parameter dan diagnostic checking untuk model fungsi transfer


sementara dapat dilakukan dan hasilnya dapat dilihat pada output 6 di bawah ini.

Output 6. Estimasi parameter model sementara dan diagnostic checking

ARIMA Procedure


Iteration SSE SCALE1 NUM1,1 NUM1,2 DEN1,1 DEN1,2 Lambda0 36256.9 1.2022 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.000011 25665.2 1.2005 -1.9799 -0.9290 0.1000 -0.5435 0.00012 12810.8 1.4392 -1.3908 -1.2593 -0.05098 -0.1743 0.00001

...7 336.16865 1.2976 -0.4624 0.6198 1.2064 -0.7054 1E-68 336.16566 1.2973 -0.4629 0.6207 1.2064 -0.7053 1E-79 336.16566 1.2973 -0.4629 0.6207 1.2064 -0.7053 10000000

ARIMA Estimation Optimization Summary

Estimation Method: Conditional Least SquaresParameters Estimated: 5Termination Criteria: Maximum Relative Change in EstimatesIteration Stopping Value: 0.001Criteria Value: 1.5197E-14Maximum Absolute Value of Gradient: 0.44911635R-Square (Relative Change in Regression SSE) from Last IterationStep: 0.000095

Objective Function: Sum of Squared ResidualsObjective Function Value: 336.165658Marquardt's Lambda Coefficient: 10000000Numerical Derivative Perturbation Delta: 0.001Iterations: 9


Approx. Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag Variable Shift SCALE1 1.29732 0.04203 30.86 0 X 2 NUM1,1 -0.46294 0.06449 -7.18 1 X 2 NUM1,2 0.62070 0.06171 10.06 2 X 2 DEN1,1 1.20640 0.0071284 169.24 1 X 2 DEN1,2 -0.70526 0.0063097 -111.78 2 X 2

Variance Estimate = 3.86397308 Std Error Estimate = 1.96569913 AIC = 390.299715* SBC = 402.908658* Number of Residuals= 92

* Does not include log determinant.


To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob 6 27.05 6 0.000 0.355 -0.149 -0.186 -0.228 -0.206 -0.050 12 31.77 12 0.002 0.023 -0.046 -0.017 0.121 0.118 0.113 18 44.59 18 0.000 0.003 -0.069 -0.240 -0.070 0.180 0.113 24 48.15 24 0.002 0.039 -0.072 -0.131 -0.045 -0.034 -0.046

Lanjutan Output 6.

Autocorrelation Plot of Residuals

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1


0 3.863973 1.00000 | |********************| 1 1.371301 0.35489 | . |******* | 2 -0.576614 -0.14923 | . ***| . | 3 -0.716978 -0.18555 | .****| . | 4 -0.882066 -0.22828 | *****| . | 5 -0.796449 -0.20612 | .****| . | 6 -0.191272 -0.04950 | . *| . | 7 0.089842 0.02325 | . | . | 8 -0.179109 -0.04635 | . *| . | 9 -0.067441 -0.01745 | . | . | 10 0.465974 0.12059 | . |** . | 11 0.456636 0.11818 | . |** . | 12 0.437642 0.11326 | . |** . | 13 0.010991 0.00284 | . | . | 14 -0.266776 -0.06904 | . *| . |



Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 0.35489 | . |******* | 2 -0.31483 | ******| . | 3 -0.00532 | . | . | 4 -0.23715 | *****| . | 5 -0.09709 | . **| . | 6 -0.03567 | . *| . | 7 -0.07584 | . **| . | 8 -0.14257 | .***| . | 9 -0.02750 | . *| . | 10 0.06668 | . |* . | 11 -0.00480 | . | . | 12 0.10024 | . |** . | 13 -0.09411 | . **| . | 14 0.04918 | . |* . |

Crosscorrelation Check of Residuals with Input X

To Chi Crosscorrelations Lag Square DF Prob 5 2.02 1 0.155 0.025 -0.110 -0.025 0.050 0.036 -0.072 11 2.58 7 0.921 -0.013 -0.027 -0.045 -0.057 -0.006 0.004 17 4.70 13 0.981 -0.057 0.101 0.046 0.010 0.078 -0.041 23 6.35 19 0.997 -0.009 0.004 -0.004 0.011 0.004 -0.135

Ringkasan hasil dari output 6 adalah sebagai berikut :1. Hasil estimasi parameter untuk model sementara

menunjukkan bahwa semua parameter dugaan adalah signifikan. Hal ini ditunjuk-kan dengan lebih besarnya nilai t secara harga mutlak dibandingkan dengan t-tabel.

2. Nilai p-value untuk Uji Ljung-Box (Q) untuk cross-correlation antara komponen error (t) dengan “prewhitening” deret input (t) adalah semuanya lebih besar dari 5%, sehingga dapat disimpulkan bahwa kedua series itu secara statistik adalah independen. Kondisi ini adalah sangat penting untuk validitas model fungsi transfer.


3. Nilai p-value untuk Uji Ljung-Box (Q) untuk sampel ACF komponen error (residual) semuanya sangat kecil dan kurang dari 5%, hal ini me-nunjukkan bahwa komponen error (1, 2, …) adalah dependen secara statistik. Sehingga error ini dapat dimodelkan dengan model ARIMA. Hasil identifikasi menunjukkan bahwa nilai sampel ACF turun secara cepat menuju nol dan PACF-nya mempunyai peak pada lag 1, 2, dan 4. Dugaan sementara model yang sesuai adalah ARMA(1,2) berdasar-kan “Guideline 5 pada tabel 12.1” di Bowerman dan O’Connel (1993).

Akhir dari ringkasan penjelasan output 6 merekomendasikan bahwa model untuk komponen error adalah ARMA(2,1), yaitu

.

Sehingga secara umum model fungsi transfer yang diperoleh adalah

Model I :

dimana dan .

Hasil estimasi parameter dan diagnostic checking untuk Model I ini dapat dilihat pada output 7 berikut ini.

Output 7. Estimasi parameter dan diagnostic checking Model I


Approx.


Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag Variable Shift MA1,1 -0.32545 0.30331 -1.07 1 Y 0 AR1,1 0.17425 0.30180 0.58 1 Y 0 AR1,2 -0.20819 0.16700 -1.25 2 Y 0 SCALE1 1.31732 0.03954 33.31 0 X 2 NUM1,1 -0.43597 0.05611 -7.77 1 X 2 NUM1,2 0.59631 0.05370 11.11 2 X 2 DEN1,1 1.20701 0.0088523 136.35 1 X 2 DEN1,2 -0.70667 0.0073663 -95.93 2 X 2



To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob 6 5.96 3 0.113 -0.010 -0.033 -0.048 -0.175 -0.157 -0.040 12 11.81 9 0.224 0.028 -0.044 -0.030 0.158 -0.000 0.162 18 24.33 15 0.060 -0.117 0.074 -0.228 -0.064 0.187 -0.018 24 27.02 21 0.170 0.062 -0.026 -0.120 0.005 -0.056 0.007


Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 3.134766 1.00000 | |********************| 1 -0.031697 -0.01011 | . | . | 2 -0.103678 -0.03307 | . *| . | 3 -0.150351 -0.04796 | . *| . | 4 -0.549989 -0.17545 | ****| . | 5 -0.490794 -0.15656 | .***| . | 6 -0.126438 -0.04033 | . *| . | 7 0.087396 0.02788 | . |* . | 8 -0.137790 -0.04396 | . *| . | 9 -0.094068 -0.03001 | . *| . | 10 0.494967 0.15790 | . |***. | 11 -0.0005755 -0.00018 | . | . | 12 0.508459 0.16220 | . |*** . | 13 -0.367819 -0.11734 | . **| . | 14 0.233043 0.07434 | . |* . |


Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.01011 | . | . | 2 -0.03318 | . *| . | 3 -0.04870 | . *| . | 4 -0.17827 | ****| . | 5 -0.17164 | .***| . | 6 -0.07196 | . *| . | 7 -0.01136 | . | . | 8 -0.10557 | . **| . | 9 -0.11290 | . **| . | 10 0.10098 | . |** . | 11 -0.01967 | . | . | 12 0.15364 | . |***. |

Lanjutan Output 7.


To Chi Crosscorrelations Lag Square DF Prob 5 1.99 1 0.158 -0.012 -0.116 0.035 0.016 0.027 -0.079


11 2.80 7 0.903 0.034 -0.047 -0.039 -0.060 0.016 -0.015 17 6.85 13 0.910 -0.057 0.156 -0.034 0.046 0.083 -0.084 23 9.25 19 0.969 0.050 -0.032 0.000 0.017 -0.011 -0.151

Model for variable Y No mean term in this model. Period(s) of Differencing = 1. Autoregressive Factors Factor 1: 1 - 0.17425 B**(1) + 0.20819 B**(2) Moving Average Factors Factor 1: 1 + 0.32545 B**(1) Input Number 1 is X with a shift of 2. Period(s) of Differencing = 1. Overall Regression Factor = 1.317322 The Numerator Factors are Factor 1: 1 + 0.43597 B**(1) - 0.59631 B**(2) The Denominator Factors are Factor 1: 1 - 1.207 B**(1) + 0.70667 B**(2)

Forecasts for variable Y

Obs Forecast Std Error Lower 95% Upper 95% 101 209.1308 1.7705 205.6607 212.6010 102 218.9617 3.1914 212.7067 225.2168 103 252.4699 7.4075 237.9516 266.9883 104 281.9678 20.9627 240.8817 323.0539 105 291.4021 34.8938 223.0116 359.7927 106 282.7102 43.9008 196.6661 368.7542 107 265.3211 48.1770 170.8958 359.7463 108 250.5365 49.7467 153.0347 348.0383 109 244.9610 50.4346 146.1110 343.8111 110 248.6861 51.1496 148.4348 348.9374

Secara ringkas hasil output 7 dapat dijelaskan bahwa walaupun Model I telah memenuhi syarat cukup yaitu residual white noise (lihat uji Ljung-Box), tetapi dari uji signifikansi parameter menunjukkan bahwa model untuk komponen error ini tidak ada parameter yang signifikan (dari uji t). Nilai t yang kecil ini dapat digunakan untuk menduga bahwa model ini adalah OVERFITTING atau terlalu komplek, sehingga langkah yang diambil adalah dengan menduga model yang lebih sederhana dengan mengabaikan PACF lag ke 4. Model dugaan menjadi AR(2) ka-rena begitu PACF lag ke 4 diabaikan maka dapat dikatakan bahwa PACF cut off setelah lag 2.

Dengan demikian model ARIMA dugaan untuk komponen error adalah

.


Sehingga secara umum model fungsi transfer yang diperoleh adalah

Model II :

dimana dan .

Nilai estimasi parameter dan diagnostic checking untuk Model II ini dapat dilihat pada output 8. Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa model ini juga memenuhi syarat cukup, dan memenuhi signifikansi parameter taksirannya serta memberikan nilai standar error sebesar 1.76103577 dan ini relatif lebih kecil dibanding yang diperoleh pada Model I. Sebagai tambahan, nilai ramalan dari Model II ini diperoleh dengan menggunakan persamaan

Ouput 8. Estimasi parameter, diagnostic checking dan ramalan dari Model II


Approx. Parameter Estimate Std Error T Ratio Lag Variable Shift AR1,1 0.47060 0.10297 4.57 1 Y 0 AR1,2 -0.32658 0.10424 -3.13 2 Y 0 SCALE1 1.31770 0.03922 33.60 0 X 2 NUM1,1 -0.43791 0.05552 -7.89 1 X 2


NUM1,2 0.59778 0.05253 11.38 2 X 2 DEN1,1 1.20706 0.0089359 135.08 1 X 2 DEN1,2 -0.70673 0.0075732 -93.32 2 X 2



To Chi Autocorrelations Lag Square DF Prob 6 7.03 4 0.135 -0.002 -0.075 0.042 -0.159 -0.190 -0.050 12 11.76 10 0.301 0.031 -0.059 -0.021 0.155 0.014 0.124 18 23.75 16 0.095 -0.092 0.082 -0.222 -0.070 0.187 -0.039 24 26.06 22 0.249 0.050 -0.012 -0.118 -0.001 -0.046 -0.016


Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 3.101247 1.00000 | |********************| 1 -0.0072989 -0.00235 | . | . | 2 -0.234069 -0.07548 | . **| . | 3 0.131492 0.04240 | . |* . | 4 -0.492002 -0.15865 | .***| . | 5 -0.588600 -0.18979 | ****| . | 6 -0.154470 -0.04981 | . *| . | 7 0.096507 0.03112 | . |* . | 8 -0.181901 -0.05865 | . *| . | 9 -0.064081 -0.02066 | . | . | 10 0.482164 0.15547 | . |***. |



Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 -0.00235 | . | . | 2 -0.07548 | . **| . | 3 0.04227 | . |* . | 4 -0.16550 | .***| . | 5 -0.18858 | ****| . | 6 -0.08686 | . **| . | 7 0.00907 | . | . | 8 -0.08880 | . **| . | 9 -0.08729 | . **| . | 10 0.08570 | . |** . |


To Chi Crosscorrelations Lag Square DF Prob 5 1.69 1 0.194 -0.014 -0.109 0.033 0.018 0.018 -0.071 11 2.57 7 0.922 0.038 -0.042 -0.050 -0.060 0.013 -0.017 17 6.82 13 0.911 -0.065 0.156 -0.026 0.035 0.100 -0.081 23 9.17 19 0.971 0.047 -0.020 -0.013 0.017 -0.010 -0.151

Lanjutan Output 8.

Model for variable Y

No mean term in this model. Period(s) of Differencing = 1.

Autoregressive Factors Factor 1: 1 - 0.4706 B**(1) + 0.32658 B**(2)

Input Number 1 is X with a shift of 2. Period(s) of Differencing = 1.


Overall Regression Factor = 1.317702

The Numerator Factors are Factor 1: 1 + 0.43791 B**(1) - 0.59778 B**(2)

The Denominator Factors are Factor 1: 1 - 1.2071 B**(1) + 0.70673 B**(2)

Forecasts for variable Y

Obs Forecast Std Error Lower 95% Upper 95% 101 209.1091 1.7610 205.6576 212.5607 102 218.9380 3.1318 212.7998 225.0762 103 252.5525 7.3716 238.1044 267.0006 104 282.1419 20.9493 241.0821 323.2018 105 291.5843 34.8946 223.1921 359.9764 106 282.8587 43.9074 196.8018 368.9157 107 265.4352 48.1823 170.9997 359.8707 108 250.6285 49.7456 153.1289 348.1281 109 245.0442 50.4249 146.2132 343.8753 110 248.7739 51.1311 148.5589 348.9889

Tabel 2. Ringkasan Program Fungsi Transfer di SAS untuk fitting

Model II

data sales; input x y; label x='Advertising expenditure' y='Total sales'; cards;


116.44 202.66119.58 232.91125.74 272.07………110.63 299.08111.32 271.10117.09 230.56

;

proc arima data=sales;

/*--- Look at the input process -------------------*/ identify var=x(1) nlags=24; run;

/*--- Fit a model for the input -------------------*/ estimate p=1 q=1 noconstant; run;

/*--- Crosscorrelation of prewhitened series ------*/ identify var=y(1) crosscorr=(x(1)) nlags=24; run;

/*--- Estimate full model -------------------------*/ estimate p=(1,2) input=( 2$ (1,2) / (1,2) x ) noconstant printall altparm maxit=30 backlim=-3 plot; forecast lead=10;

run;


model akhir fungsi transfer.doc

Documents