2 fungsi dan model - handout

FUNGSI DAN MODEL

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63

Topik Bahasan

1 Fungsi

2 Jenis-jenis Fungsi

3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama

4 Model Matematika


Fungsi

Pengertian Fungsi

Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain.

Contoh

1 Populasi manusia P bergantung pada waktu t.

2 Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w.

3 Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r.

Definisi (Fungsi)

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturanyang memadankan setiap elemen x ∈ A dengan tepat satu elemeny = f (x) ∈ B.


Fungsi

Ilustrasi Fungsi

Notasi: f : A→ B


Fungsi

Catatan:

1 Dalam kalkulus biasanya A, B ⊂ R.2 Aturan pemadanan fungsi: y = f (x)

x variabel bebasy variabel takbebas, bergantung pada x

3 Daerah asal fungsi:

Df = A = {x : fungsi f terdefinisi}

4 Daerah hasil fungsi:

Wf ={

y ∈ B : y = f (x) , x ∈ Df}

5 Grafik fungsi: {(x, y) : x ∈ Df , y = f (x)

}


Fungsi

Ilustrasi Grafik Fungsi


Fungsi

ContohSketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerahhasilnya.

1 y = 2x+ 1.2 y = x2 − 1.


Fungsi

Uji Garis Tegak

Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jikatidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.


Fungsi

Contoh

Diberikan sketsa grafik persamaan y = x+ 1 dan x = y2 − 2y.

Periksa grafik manakah yang merupakan grafik suatu fungsi menggunakanuji garis tegak.


Fungsi

Penyajian Fungsi

Secara verbal: dengan uraian kata-kata

Secara numerik: dengan tabel

Secara visual: dengan grafik

Secara aljabar: dengan aturan/rumusan eksplisit


Fungsi

Contoh (Penyajian fungsi secara verbal)

Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B (w). Aturan yangdigunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalahRp 1.000,- untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,- untuk setiapons tambahan sampai 5 ons.

Contoh (Penyajian fungsi secara numerik)

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Berat w (ons) Biaya B (w) (rupiah)0 < w ≤ 1 1.0001 < w ≤ 2 1.2502 < w ≤ 3 1.5003 < w ≤ 4 1.7504 < w ≤ 5 2.000


Fungsi

Contoh (Penyajian fungsi secara visual)

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.


Fungsi

Contoh (Penyajian fungsi secara aljabar)

Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.

B (w) =

1.000, jika 0 < w ≤ 1,1.250, jika 1 < w ≤ 2,1.500, jika 2 < w ≤ 3,1.750, jika 3 < w ≤ 4,2.000, jika 4 < w ≤ 5.


Fungsi

ContohSalah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan aturan pemberiantingkat diskon (D) dalam persen atas banyaknya belanja iklan (x) dalamjuta rupiah sebagai berikut. Belanja iklan kurang dari 500 juta rupiahdiberi diskon 5%, belanja iklan dari 500 juta rupiah sampai dengan 1 miliarrupiah diberi diskon 10%, dan belanja iklan lebih dari 1 miliar rupiah diberidiskon 30%. Nyatakan hubungan D dengan x secara numerik, visual(grafik fungsi D), dan aljabar.


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Polinom

Aturan fungsi:

y = f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0

an, . . ., a1, a0 konstanta, (an 6= 0), n = derajat polinom

Daerah asal: Df = R

Daerah hasil bergantung pada bentuknya


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi PolinomFungsi Konstan (Polinom Berderajat 0)

Aturan fungsi: y = f (x) = aa konstantaDaerah asal: Df = R

Daerah hasil: Wf = {a}Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi PolinomFungsi Linear (Polinom Berderajat 1)

Aturan fungsi: y = f (x) = ax+ ba dan b konstanta, (a 6= 0)a = kemiringan garis (gradien/slope)b = perpotongan garis dengan sumbu-y (intersep)Daerah asal: Df = R

Daerah hasil: Wf = R

Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Contoh


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi PolinomFungsi Kuadratik (Fungsi Polinom Berderajat 2)

Aturan fungsi: y = f (x) = ax2 + bx+ ca, b, dan c konstanta, (a 6= 0)Diskriminan: D = b2 − 4ac

Titik maksimum/minimum: (x, y) =(−b

2a,−D4a

)Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

ContohTentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

1 y = x2 + 2x− 1.2 y = −2x2 + 2x− 4.3 y = x2 + 4x+ 5, −6 ≤ x ≤ 7.


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Pangkat

Aturan fungsi:y = f (x) = xn, n ∈N

Daerah asal: Df = [0, ∞)Daerah hasil:Jika n ganjil (misalnya, f (x) = x dan f (x) = x3), Wf = R

Jika n genap (misalnya, f (x) = x2 dan f (x) = x4), Wf = [0, ∞)


Jenis-jenis Fungsi

Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Akar

Aturan fungsi:

y = f (x) = n√

x, n = 2, 3, 4, . . .

Jika n genap (misalnya, f (x) = 2√

x =√

x dan f (x) = 4√

x)Daerah asal: Df = [0, ∞)Daerah hasil: Wf = [0, ∞)Jika n ganjil (misalnya, f (x) = 3

√x dan f (x) = 5

√x)

Daerah asal: Df = R

Daerah hasil: Wf = R


Jenis-jenis Fungsi

Grafik:

ContohTentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

1 y =√

x− 1.

2 y =√−x2 + 3x− 2.


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Rasional

Aturan fungsi:

y = f (x) =P (x)Q (x)

P dan Q adalah fungsi polinomDaerah asal: Df = R− {x : Q (x) = 0}Daerah hasil bergantung pada bentuknya

Contoh

1 Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi rasional berikut.

y =x+ 1x− 1

2 Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut.

y =x− 2x2 − 1


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi RasionalFungsi Kebalikan

Aturan fungsi:

y = f (x) =1x, x 6= 0

Daerah asal: Df = R− {0}Daerah hasil: Wf = R− {0}Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Aljabar

Definisi (Fungsi aljabar)

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat denganmenggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan,perkalian, pembagian, dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

ContohBerikut merupakan fungsi-fungsi aljabar.

1 f (x) =√

x+ 1x− 1

2 f (x) =√

x− 2x2 − 1

+ (x− 2) 3√

x+ 1

Catatan:Fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, dan fungsi rasionalmerupakan fungsi aljabar.


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi TrigonometriFungsi Sinus

Aturan fungsi:

y = f (x) = sin x, x dalam radian

Daerah asal: Df = R

Daerah hasil: Wf = [−1, 1]Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi TrigonometriFungsi Kosinus

Aturan fungsi:

y = f (x) = cos x, x dalam radian

Daerah asal: Df = R

Daerah hasil: Wf = [−1, 1]Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi TrigonometriFungsi Tangen

Aturan fungsi:

y = f (x) = tan x =sin xcos x

, x dalam radian

Daerah asal: Df = R−{

π2 + nπ : n ∈ Z

}Daerah hasil: Wf = R

Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi TrigonometriFungsi Sekan, Kosekan, dan Kotangen

Fungsi sekanAturan fungsi:

y = f (x) = sec x =1

cos x, x dalam radian

Fungsi kosekanAturan fungsi:

y = f (x) = csc x =1

sin x, x dalam radian

Fungsi kotangenAturan fungsi:

y = f (x) = cot x =1

tan x, x dalam radian


Jenis-jenis Fungsi

Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri

1 −1 ≤ sin x ≤ 12 −1 ≤ cos x ≤ 13 sin x = sin (x+ 2π)

4 cos x = cos (x+ 2π)

5 tan x = tan (x+ π)


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Eksponen

Bentuk:y = f (x) = ax, a > 0

Daerah asal: Df = R

Daerah hasil: Wf = (0, ∞)Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Logaritma

Bentuk:y = f (x) = loga x, a > 0

Daerah asal: Df = (0, ∞)Daerah hasil: Wf = R

Grafik:


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Transenden

Definisi (Fungsi transenden)

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.

Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, inverstrigonometri, eksponen, dan logaritma.

ContohGolongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

1 f (x) = 4√

x+ 1

2 f (x) =x− 6x+ 6

3 f (x) = log10 x4 f (x) = 10x

5 f (x) = x10 +log10 x2x− x2


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Sesepenggal (Piecewise Function)

Definisi (Fungsi sesepenggal)

Fungsi sesepenggal adalah fungsi dengan banyak aturan dengan setiapaturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dan g berikut,kemudian buatlah sketsa grafiknya.

f (x) = |x| ={

x, x ≥ 0−x, x < 0

Catatan: f disebut fungsi nilaimutlak.

g (x) =

x+ 4, −5 ≤ x < −31, −3 ≤ x < −1x2, −1 ≤ x < 3


Jenis-jenis Fungsi

ContohDidefinisikan untuk setiap bilangan real x:[[x]] = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dengan

f (x) = [[x]] ,

kemudian buatlah sketsa grafiknya.Catatan: f disebut fungsi bilangan bulat terbesar.


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Definisi (Fungsi genap)

Jika fungsi f memenuhi f (−x) = f (x) untuk setiap x di dalam daerahasalnya, maka fungsi f disebut fungsi genap.

Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 63

Jenis-jenis Fungsi

Definisi (Fungsi ganjil)

Jika fungsi f memenuhi f (−x) = −f (x) untuk setiap x di dalam daerahasalnya, maka fungsi f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.


Jenis-jenis Fungsi

Contoh

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi genap, fungsi ganjil, ataubukan keduanya.

1 f (x) = 1− x4.

2 f (x) = x2 + cos x.3 f (x) = x+ sin x.4 f (x) = 2x− x2.


Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi (Fungsi naik dan fungsi turun)

1 Fungsi f disebut naik pada interval I jika

f (x1) < f (x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

2 Fungsi f disebut turun pada interval I jika

f (x1) > f (x2) untuk setiap x1 < x2 di I.


Jenis-jenis Fungsi

Contoh

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun padainterval I.

1 f (x) = x2, I = [0, ∞).2 f (x) = sin x, I = [π, 2π].


Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1 Transformasi fungsiPergeseran, peregangan, dan pencerminan

2 Operasi aljabar fungsiPenjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

3 Komposisi fungsi



Transformasi FungsiPergeseran (Translasi)

Misalkan c > 0. Untuk memperoleh grafik:

1 y = f (x) + c, geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke atas2 y = f (x)− c, geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke bawah3 y = f (x− c), geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kanan4 y = f (x+ c), geser grafik y = f (x) sejauh c satuan ke kiri



Transformasi FungsiPeregangan (Dilatasi)

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:

1 y = cf (x), regangkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c

2 y =1c

f (x), mampatkan grafik y = f (x) secara tegak dengan faktor c

3 y = f (cx), mampatkan grafik y = f (x) secara mendatar denganfaktor c

4 y = f(

1c

x), regangkan grafik y = f (x) secara mendatar dengan

faktor c



Transformasi FungsiPencerminan (Refleksi)

Untuk memperoleh grafik

1 y = −f (x), cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-x2 y = f (−x), cerminkan grafik y = f (x) terhadap sumbu-y



Contoh

Gambarkan grafik fungsi f berikut dengan menggunakan sifat transformasifungsi.

1 f (x) = |x− 1|.2 f (x) = sin 2x.3 f (x) = x2 + 2x+ 1.4 f (x) = 1− cos x.



Operasi Aljabar Fungsi

Definisi (Aljabar fungsi)

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsif + g, f − g, fg, dan f /g didefinisikan sebagai berikut

1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; Df+g = Df ∩Dg

2 (f − g) (x) = f (x)− g (x) ; Df−g = Df ∩Dg

3 (fg) (x) = f (x) g (x) ; Dfg = Df ∩Dg

4 (f /g) (x) = f (x) /g (x) ; Df /g = Df ∩Dg − {x : g (x) = 0}



Contoh

Tentukan f + g, f − g, fg, dan f /g beserta daerah asal dan daerahhasilnya, jika

f (x) = x2; g (x) = 2x

Contoh

Tentukan f + g, f − g, fg, dan f /g beserta daerah asalnya, jika

f (x) =√

1+ x; g (x) = x− 1



Komposisi Fungsi

Definisi (Komposisi fungsi)

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsikomposit f ◦ g didefinisikan sebagai berikut:

(f ◦ g) (x) = f (g (x))

dengan Df◦g ={

x : x ∈ Dg dan g (x) ∈ Df}.



Ilustrasi Komposisi Fungsi



Ilustrasi Komposisi Fungsi (2)



Contoh

Tentukan f ◦ g, g ◦ f , dan f ◦ f beserta daerah asalnya, jika

1 f (x) = x2; g (x) =√

x

2 f (x) =1x

; g (x) = x+ 1

Contoh

Tentukan f ◦ g dan g ◦ f beserta daerah asalnya, jika

f (x) = x2 + 1 ; x < 0g (x) = 2− x ; 0 < x ≤ 5


Model Matematika

Model Matematika

Definisi (Model matematika)

Model matematika adalah representasi dari fenomena dunia nyata yangmelibatkan konsep atau formulasi matematik (sering kali menggunakanfungsi atau persamaan).

Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat perkiraantentang perilakunya di masa depan.


Model Matematika

Proses Pemodelan


Model Matematika

ContohTempat penampungan air berbentuk silinder tanpa tutup. Jika tinggisilinder 2 kali garis tengah alas silinder, maka tentukan luas permukaantempat penampungan air sebagai fungsi dari jari-jari alas.


Model Matematika

ContohKapal tanker yang bermuatan minyak mentah menabrak karang, sehinggakapal bocor. Tumpahan miyak membentuk lingkaran. Jari-jari tumpahanminyak berkembang dengan laju tetap 2 km/jam.

1 Rumuskan jari-jari r sebagai fungsi dari waktu t.2 Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari jari-jari r.3 Rumuskan luas tumpahan minyak L sebagai fungsi dari waktu t.(Tentukan fungsi komposisi (L ◦ r) (t)).

4 Tentukan luas tumpahan minyak pada hari ke-10 setelah kapal bocor.


Model Matematika

ContohPada suatu medium, banyaknya bakteri mula-mula adalah 500 satuan.Perkembangan bakteri tersebut dipengaruhi oleh suhu t (dalam ◦C)sebagai berikut. Pada 0 < t ≤ 10, setiap penambahan 1◦C, bakteribertambah sebanyak 50 satuan. Tetapi pada 10 < t ≤ 30 bakteri hanyabertambah 10 satuan setiap penambahan 1◦C, bahkan pada t > 30 bakterimati dengan laju konstan 5 satuan per 1◦C. Rumuskan banyaknya bakteriP sebagai fungsi dari suhu t dan gambarkan grafiknya.


Model Matematika

Contoh

Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30+ v/2) $/mil jikadikemudikan dengan kecepatan konstan v mil/jam. Pengemudi trukmendapatkan upah 1400 $/jam. Rumuskan total biaya pengiriman barangdengan menggunakan truk tersebut ke kota A yang berjarak k mil, sebagaifungsi dari kecepatan v.


Model Matematika

ContohAturan pembayaran biaya berlangganan air PDAM sebagai berikut.Dikenai biaya Rp 7.000,- untuk pemakaian 10 m3 pertama. Tambahanbiaya Rp 1.000,- per m3 untuk pemakaian di atas 10 m3 sampai 20 m3 dantambahan biaya Rp 2.600,- per m3 untuk pemakaian di atas 20 m3.

1 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 16 m3,maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?

2 Jika seorang pelanggan air PDAM menggunakan air hingga 57 m3,maka berapa biaya berlangganan yang harus dibayar?

3 Rumuskan biaya berlangganan air B sebagai fungsi dari banyaknyapemakaian air x, kemudian gambarkan grafik fungsinya.


2 fungsi dan model - handout

Documents