Minggu 13MA2151 Simulasi dan Komputasi Matematika

10.2 Difusi

Difusi Panas

Energi panas ditransfer oleh konduksi panas di dalam atau antarobjek di mana terdapat perbedaan suhu.

Partikel atau kelompok partikel dengan suhu yang lebih tinggi(lebih banyak energi kinetik) mentransfer sebagian dari energimereka ke partikel dengan suhu yang lebih rendah (lebih sedikitenergi kinetik) pada saat terjadi tabrakan. Ini disebut difusi energi.

Akan dibangun model untuk difusi panas melalui lempenganlogam yang tipis (Cunningham 2007).

Asumsi

Beberapa simplifikasi:

• Suhu logam ditentukan oleh suhu pada lapisan atas logam, sehingga lempengandapat dimodelkan secara 2 dimensi.

• Lempengan berada pada ruangan di mana lingkungan di sekitar lempenganmemiliki suhu yang sama dengan lempengan tersebut.

• Suhu berdifusi di dalam lempengan, tetapi keadaan di luar lempengan tidakmempengaruhi suhu.

Inisialisasi

Kita dapat menginisialisasi setiap sel dengan suhu lingkungan (ambient), misalkan AMBIENT = 25 °C, kecuali untuk sel-sel panas dan dingin, misalkanHOT = 50 °C and COLD = 0 °C.

Inisialisasi (2)

Inisialisasi (3)

Ketetanggaan

Ketetanggaan von Neumann Ketetanggaan Moore

Model

Model didasarkan pada Hukum Newton untuk pemanasan dan pendinginanyang menyatakan bahwa laju perubahan suhu suatu objek terhadap waktusebanding dengan perbedaan antara suhu objek dengan suhu lingkungan.

Dengan demikian, perubahan suhu suatu sel, Δsite, dari waktu t ke waktu t + Δt adalah parameter difusi (r) dikalikan jumlah beda suhu tetangga(neighbori) dan suhu sel (site):

Suhu pada saat t + Δt adalah:

Parameter Difusi

Koefisien difusi dapat berbeda untuk setiap tetangga. Namun demikian, jumlah koefisien untuk ke-9 sel dalam ketetanggaan haruslah 1.0 atau 100%.

Contoh.

Misalkan parameter difusi adalah 0.1 dan suhu dalam sel seperti dalamgambar berikut. Hitung suhu dalam sel tengah untuk iterasi waktu berikut.

Algoritma Fungsi Difusi

Kondisi Batas

Untuk dapat mengaplikasikan algoritma difusi kita perlu memperluas batasdengan menambahkan 1 sel di setiap arah. Sel hasil perluasan tersebutdisebut ghost cell.

Beberapa cara perluasan:

1. Memberikan suhu yang sama untuk semua ghost cell. absorbing boundary condition

2. Menggunakan suhu tetangga terdekat untuk suhu di ghost cell. reflecting boundary condition

3. Menghubungkan north-south dan east-west sehingga diperoleh bentukseperti donat. periodic boundary condition

Kondisi Batas (2)

Kondisi Batas (3)

Algoritma Reflecting Boundary Condition

Koordinat

Algoritma Difusi

Display

Biasanya digunakan warna merah untuk panas dan biru untuk dingin.

Digunakan model warna red-green-blue (RGB) color model, di mana ditentukan persentasi (bilangan antara 0.0 dan 1.0) dari red dan blue pada setiap sel.

Contoh Simulasi

10.3 Penyebaran Api

Penyebaran Api

Akan dibangun 2D simulasi untuk penyebaran api.

Teknik ini dapat dikembangkan untuk permasalahan lain yang melibatkan penyebaran seperti penyebaran penyakit menulardan distribusi polusi.

Model

Suatu daerah dimodelkan secara dinamisdengan menggunakan n x n matriks.

Setiap sel memuat nilai yang merepresentasikan keadaan dalam daerahyang bersesuaian.

Suatu sel dapat memuat nilai 0 (EMPTY), 1 (TREE), atau 2 (BURNING) yang merepresentasikan sel kosong, sel denganpohon yang tidak terbakar, dan sel denganpohon yang terbakar.

Digunakan ketetanggaan von Neumann dan periodic boundary condition.

Inisialisasi Sistem

Untuk menginisialisasi sistem, didefinisikan 2 peluang berikut.

• probTree — peluang suatu pohon terletak dalam sel.

probTree adalah kepadatan pohon di awal simulasi.

• probBurning — peluang suatu pohon dalam terbakar jika sel tersebut memuat pohon.

probBurning adalah presentasi pohon yang terbakar di awal simulasi.

Aturan Penyebaran

• Jika suatu sel kosong (nilai sel EMPTY) pada saat t, sel tersebutakan tetap kosong pada saat t+1.

• Jika terdapat suatu pohon dalam sel (nilai sel TREE) pada saat t, pada saat t+1 pohon tersebut dapat terbakar atau tidak (nilai selBURNING atau TREE), bergantung pada adanya api di sel tetanggaatau adanya petir yang menyambar.

• Sel yang memuat pohon yang terbakar (nilai sel BURNING) padasaat t akan selalu terbakar habis, meninggalkan sel kosong padasaat t+1 (nilai sel EMPTY)

Peluang Lainnya

• probImmune — peluang imunitas suatu pohon terbakar.

Jika pada saat t suatu sel memuat pohon (nilai sel TREE) dan terdapat api yang mengancam pohon tersebut, probImmuneadalah peluang pohon tersebut tidak akan terbakar padasaat t+1.

• probLightning — peluang petir menyambar suatu sel

Pohon Terbakar

1. Karena sel tetangga

2. Karena petir menyambarPetir dapat mengakibatkan suatu pohon terbakar jika dengan peluangyang merupakan hasil kali dari

probLightning * (1 − probImmune).

Algoritma Penyebaran Api

1. Inisialisasi sistem

2. Perluasan batas berdasarkanPeriodic Boundary Condition

3. Penyebaran api berdasarkanaturan penyebaran

Contoh Simulasi

Simulasi dengan parameter n = 50, probTree = 0.8, probBurning = 0.0005,

probLightning = 0.00001, probImmune = 0.25, dan t = 50.

Contoh Simulasi 2

Contoh Simulasi 3

Contoh Simulasi 4

10.4 Pergerakan Semut

Masalah

Semut mengkomunikasikan gerakan mereka ketikamembawa makanan dengan meninggalkan jejak yang berupa bahan kimia pheromone.

Semut yang lain dapat menemukan lokasi sumbermakanan dengan mengikuti bau pheromone tersebut.

Jumlah pheromone akan berkurang seiring waktu.

Akan disimulasikan gerakan semut dengan adanya jejakpheromone dengan menggunakan cellular automata.

Langkah Pembuatan Model

1. Pengumpulan data

2. Pembuatan asumsi yang menyederhanakan

3. Penentuan variabel

Pengumpulan Data

Observasi empirik:• Di setiap langkah, semut cenderung berbalik dan bergerak menuju

arah di mana terdapat pheromone dalam jumlah yang banyak.• Apabila tidak ada semut di suatu lokasi, pheromone akan

berkurang sampai kemudian habis.

Untuk model yang profesional:

Perlu dikumpulkan data eksak:• Jumlah rata-rata pheromone yang dikeluarkan seekor semut.• Laju peluluhan pheromone.

Asumsi yang Menyederhanakan

• Semut hidup dalam suatu daerah berbentuk persegi.• Di setiap langkah, semut cenderung bergerak menuju sel tetangga yang

kosong dan memuat pheromone dalam jumlah terbanyak. • Jika tidak memungkinkan untuk melakukan pergerakan, semut akan diam

di tempat.• Untuk menghindari tabrakan, dilakukan strategi avoidance-or-wait.• Pada saat melakukan pergerakan, semut mengeluarkan pheromone.• Pheromone akan menghilang seiiring waktu.• Kita akan menginisialisasi dengan jejak lurus pheromone dalam jumlah

yang bertambah banyak.• Kita tidak mempertimbangkan sumber makanan atau sarang semut.

Penentuan Variabel

Setiap sel dipetakan pada suatu pasangan terurut yang memberikan informasi mengenai:

• Banyaknya pheromone dalam sel

• Ada atau tidaknya semut

• Arah semut

Koordinat kedua berisi: Konstanta yang mengindikasikan tetangga von Neumann yang akan ditujusemut (sebelum pergerakan) dan arah dari mana semut datang (setelah pergerakan). STAY menyatakan semut tetap berada dalam selnya pada suatu iterasi.

Contoh: (3,EMPTY), (0,SOUTH)

Peluang seekor semut akan menempati suatu sel adalah probAnt

Kondisi Batas

Biasanya digunakan absorbing boundary condition dengan batasmemiliki nilai pheromone bilangan negatif, misal -0.01.

Dengan demikian, semut tidak akan bergerak keluar dari daerahmatriks persegi.

Penentuan Relasi dan Submodel

• Pergerakan semut dalam satu langkah meliputi dua hal: sensing danwalking

• Langkah pertama, semut memeriksa sel tetangga dan berbalik ke arahsel dengan pheromone terbanyak

• Langkah kedua, jika dimungkinkan untuk bergerak tanpa bertabrakandengan semut lain, semut akan pindah ke lokasi tersebut

• Setelah reaksi semut (sensing dan walking), terjadi difusi pheromone

• Ini merupakan simulasi tipe reaksi-difusi

Fungsi Sensing

Sel tetangga adalah dalam arah von Neumann neighborhood: Utara, Timur, Selatan, dan Barat

Aturan untuk fungsi sense:

• Sel kosong tidak dapat melakukan sense dan tidak menunjuk pada arahmanapun

• Seekor semut tidak akan menghadap ke sel darimana ia baru datang

• Seekor semut tidak akan menghadap ke sel batas

• Seekor semut tidak akan menghadap ke sel yang memuat semut lain

• Seekor semut berbalik ke arah sel tetangga (bukan sel seblum, sel yang berisisemut lain, atau sel batas) dengan pheromone terbanyak. Jika ada lebih darisatu sel, semut akan memilih secara random.

• Jika tidak ada sel yang tersedia, maka semut tidak akan pindah

Algoritma Sense

Fungsi Walking

Pada langkah berikutnya, jumlah pheromone akan berubah sebagai berikut:

• Untuk sel yang tetap EMPTY, jumlah pheromone akan berkurang sebanyakEVAPORATE, tetapi tidak pernah negatif.

• Seekor semut yang menghadap suatu sel, akan pindah ke sel tersebut, jika tidakada semut lain dalam sel. Jika ada semut lain, semut akan tidak melakukanperpindahan.

• Jika seekor semut meninggalkan sel yang memiliki pheromone di atas ambangbatas THRESHOLD, jumlah pheromone bertambah sebanyak DEPOSIT.

• Jika seekor semut tetap di suatu sel, jumlah pheromone tetap.

• Jika seekor semut pindah ke sel lain, jumlah pheromone dalam sel barutersebut tetap

• Ketika semut pindah ke sel baru, semut tersebut akan menghadap ke arah selasal.

Algoritma Walk

Algoritma

Hasil Simulasi

Dengan parameter MAXPHER = 50.0, EVAPORATE = 1, DEPOSIT = 2, THRESHOLD = 0, n = 17, probAnt = 0.1, diffusionRate = 0.01, and t = 11.