metode statistika (stk211)
DESCRIPTION
Metode Statistika (STK211). Pertemuan IV Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution). Konsep Peubah Acak. Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Metode Statistika (STK211)
Pertemuan IVKonsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)
Konsep Peubah Acak
Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).
Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.
Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian dengan tepat ke satu bilangan riil.kejadian dengan tepat ke satu bilangan riil.
Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. enam yang seimbang. Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai berikut:berikut:R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:X = jumlah sisi dadu yang bermata genapX = jumlah sisi dadu yang bermata genap = 0 jika sisi dadu ganjil= 0 jika sisi dadu ganjil
=1 jika sisi dadu genap=1 jika sisi dadu genap
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:sebagai berikut:
Daerah fungsiDaerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi
S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.
X(ei)
. 0
. 1
Sebaran Peluang Peubah Acak Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.peluang kejadiannya.
Sehingga sebaran peubah Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: sebagai berikut: p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
Sisi yang munculSisi yang muncul
Kejadian SS11 SS22 SS33 SS44 SS55 SS66
Peluang Peluang kejadiankejadian
1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6
XX 00 11 00 11 00 11
LatihanLatihanDua buah mata uang dilempar bersama-Dua buah mata uang dilempar bersama-sama. Jika masing-masing memiliki sisi sama. Jika masing-masing memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang yang seimbang, senaraikanlah ruang kejadiannya. Jika kita ingin melihat kejadiannya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata uang, munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka definisikan peubah acak tersebut. maka definisikan peubah acak tersebut. Lengkapi dengan sebaran peluang dari Lengkapi dengan sebaran peluang dari peubah acak tersebut.peubah acak tersebut.
Nilai Harapan Peubah AcakNilai Harapan Peubah Acak
Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.
Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:sebagai berikut:
kontinu p.a X jika ,)(
diskret p.a X jika ),(
)(1
dxxfx
xpx
X
ii
n
iix
Ε
Sifat-sifat nilai harapan:Sifat-sifat nilai harapan: Jika c konstanta maka E(c ) = cJika c konstanta maka E(c ) = c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c
maka E(cX) = c E(X)maka E(cX) = c E(X) Jika X dan Y peubah acak maka E(XJika X dan Y peubah acak maka E(XY) = Y) =
E(X) E(X) E(Y) E(Y)
Contoh:Contoh: Jika diketahui distribusi Jika diketahui distribusi
peluang dari peubah acak X peluang dari peubah acak X seperti tabel disampingseperti tabel disamping
Dengan demikian nilai Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:harapan p.a X adalah:E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Nilai peubah Acak XNilai peubah Acak X
XX 00 11 22 33 44 55
P(X=xP(X=xII)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6
XXiip(xp(xii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6
Ragam Peubah AcakRagam Peubah Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:V(X) = E(X-E(X))V(X) = E(X-E(X))22
= E(X= E(X22) - E) - E22(X) tunjukkan !(X) tunjukkan ! Sifat-sifat dari ragamSifat-sifat dari ragam
– Jika c konstanta maka V(c ) = 0Jika c konstanta maka V(c ) = 0– Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = cJika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c22 V(X) V(X)– Jika X dan Y peubah acak maka, Jika X dan Y peubah acak maka,
V(XV(XY) = V(X) + V(Y) Y) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y) Cov(X,Y)Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0bebas maka Cov(X,Y) = 0
Contoh (Gunakan contoh sebelumnya)Contoh (Gunakan contoh sebelumnya)V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)22
= 55/6 - 225/36 = 105/36= 55/6 - 225/36 = 105/36
Sebaran Peluang Populasi
Sebaran Peluang Diskret– Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak
yang nilai-nilainya diperoleh dengan cara mencacah (counting)
– Beberapa sebaran peluang diskret, antara lain: Bernoulli Binomial Poisson
Sebaran peluang kontinu– Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak
yang nilai-nilainya diperoleh dengan menggunakan alat ukur
– Beberapa sebaran yang tergolong dalam sebaran peubah acak kontinu antara lain:
Normal Weibull Gamma Betha
Sebaran Peluang Diskret
Bernoulli– Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner
yaitu sukses atau gagal– Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian
sukses dan 0 jika kejadian gagal– Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi
peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1
Binomial– Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas– Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari
kejadian sukses, X=0,1,2,….,n– Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat
dituliskan sebagai:
P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n
dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!
Contoh: Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?
Sebaran Peluang Kontinu
Sebaran Normal– Bentuk sebaran simetrik– Mean, median dan modus berada
dalam satu titik– Fungsi kepekatan peluang dapat
dituliskan sebagai berikut: P ( - < x < + ) = 0.683 P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954
– Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:
– Peubah acak (X) dengan mean () dan ragam (2) menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)
2
2
12
2
1),,(
x
exf
b
a
aFbFdxxfbxap )()()()(
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500
X
Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-bedayang berbeda-beda perhitungan peluang akan perhitungan peluang akan sulitsulit
Lakukan transformasi dari X Lakukan transformasi dari X N( N( , , 22) menjadi ) menjadi peubah acak normal baku Z peubah acak normal baku Z N(0 , 1) dengan N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasimenggunakan fungsi transformasi
Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z peubah acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal bakupeluang normal baku
X
Z
Cara penggunaan tabel normal baku
– Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)
– Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).
Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03
-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004
-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006
-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008
P(Z<-2.42)=0.008
Contoh: Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 5 mm2. Hitunglah,
1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai
20 mm?3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?
TUGAS 2
Seorang peternak menetaskan dua butir telur untuk menghitung keuntungan dari usaha menetaskan telur ayam petelur. Ada tiga kemungkinan hasil yaitu telur menetas dengan jenis kelamian jantan dengan peluang 0.45, menetas dengan jenis kelamin betina dengan peluang 0.45 dan kemungkinan terakhir adalah telur tidak menetas. Harga telur Rp 1000/butir, biaya tetas Rp 300/butir, harga jual anak ayam jantan Rp 800/ekor dan harga anak ayam betina Rp 3000/ekor.
1. Tentukan ruang contohnya 2. Definisikan peubah acaknya agar dapat menghitung keuntungan 3. Tentukan peluang untuk tiap nilai peubah acak 4. Hitung nilai harapan dari peubah acaknya! 5. Apakah untung atau rugi?
Tugas 3
Lima ibu akan melahirkan bayi tunggal. Peluang seorang ibu akan melahirkan bayi laki-laki sebesar 0.5
a. Tentukan ruang contohnya b. Tentukan semua bayi yang dilahirkan laki-
laki. c. Tentukan peluang paling banyak 3 bayi
dilahirkan berjenis kelamin perempuan.
Tugas 4
Berat badan mahasiswi menyebear normal dengan mean sebesar 50 Kg dan standar deviasi 10 Kg. Seorang mahasiswi menimbang berat badannya
a. Berapa peluang berat badan mahasiswi tersebut antara 48 Kg sampai 55 Kg
b. Jika berat badan mahasiswi tersebut tergolong 5 % terkurus berapa berat maksimum berat badan mahasiswi tersebut?