Metode Sensor Sampel dan Fungsi Reliabilitas

Dalam Analisis Data Waktu Kerusakan

DISUSUN OLEH:

ENDAH BUDIYATI

ERNI RIHYANTI

JANUARI 2017

1

Metode Sensor Sampel dan Fungsi Reliabilitas Dalam Analisis Data

Waktu Kerusakan

Endah Budiyati, Erni Riyanti

Universitas Gunadarma

Jalan Margonda Raya No. 100 Depok, Jawa Barat

ABSTRAKSI

Analisis data waktu kerusakan dengan data pada umumnya adalah dapat

ditetapkannya metode sensor sampel dalam analisis data waktu kerusakan. Dalam

penerapannya analisis statistic untuk data waktu kerusakan pada umumnya data

yang diperoleh dari pengamatan / peengujian diasumsikan distribusinya.

Distribusi yang dipakai dalam analisis data waktu kerusakan adalah distribusi

eksponensial.

Kata Kunci: Fungsi, Reliabilitas, Analisis, Data

2

BAB I

PENDAHULUAN

Perbedaan antara analisis data waktu kerusakan dengan data pada umumnya

adalah diterapkan Metode Sensor Sampel dalam analisis data waktu kerusakan.

Definisi data waktu kerusakan adalah data yang diperoleh karena pencatatan

waktu masa pemakaian suatu barang/komponen hingga rusak. Pada prosedur

sensor sampel, waktu kerusakan yang sebenarnya dari sampel yang diambil hanya

diketahui sebagian saja, sisanya hanya diketahui bahwa waktu kerusakannya telah

melewati suatu nilai tertentu. Dalam hal ini dikatakan waktu kerusakannya

disensor, sehingga untuk sampel yang disensor waktu kerusakan yang sebenarnya

tak diketahui secara tepat. Prosedur yang sebenarnya tak diketahui secara tepat.

Prosedur pengujian/pemeriksaan terhadap sampel yang diambil, dapat dilakukan

sampai semua sampel yang diuji mengalami kerusakan (sampel lengkap) atau

pengujian dihentikan sesudah sampai waktu yang ditentukan (sensor tipe satu)

atau pengujian dihentikan sesudah mencapai sejumlah kerusakan yang ditetapkan

(sensor tipe dua). Dua prosedur pengujian yang terakhir diatas disebut dengan

prosedur sensor sampel. Diterapkannya sensor sampel pada data waktu

kerusakan adalah untuk tujuan praktis dan ekonomis yaitu menekan biaya tinggi

dan mengurangi waktu lama dalam pemeriksaannya/pengujiannya.

3

BAB II

KONSEP DASAR SAMPEL

Sensor Tipe 1

Misalkan dalam suatu eksperimen terdapat n item yang akan diuji, suatu

keputusan dibuat untuk mengakhiri pengujian sesudah mencapai waktu yang

ditentukan. Prinsip penyensoran tipe 1 adalah jika n item yang diambil sebagai

sampel dan diuji dengan waktu kerusakan yang dicatat adalah t1, t2, ......, tn dan

waktu penyensoran yang didapatkan adalah l1, l2, ....... l3 untuk masing-masing item.

Dalam hal ini waktu kerusakan masing-masing item yang diamati hanya jika ti ≤

li. Adanya perbedaan waktu penyensoran dari n item tersebut dalam pengujiannya

tidak dimulai pada saat yang sama. Disini T diasumsikan saling bebas dan

berdistribusi identik dengan pdf f(t) dan dungsi Realibilitas R(t). Waktu

kerusakan disajikan dengan n pasangan data (Ti, ai) dimana

Ti = min (ti , li) dan ai ={1, t𝑖 ≤ l𝑖 ; pengamatan tak disensor

0, t𝑖 > l𝑖 ; pengamatan di sensor

ai menunjukkan apakah ti disensor atau tidak.

Item 1 + x

2 + − →

3 + x

n-1 + x

n + − →

0 batas waktu pengujian

+ menunjukkan saat pengujian dimulai

− menunjukkan saat item yang mengalami kerusakan

→ menunjukkan item masih “survive” setelah melewati batas waktu pengujian

Sekarang akan dicari fungsi likelihood dari pasangan Ti dan ai. Dalam hal ini Ti merupakan variabel random campuran dengan komponen diskrit dan kontinu. Pandang untuk Ti untuk nilai Ti = li dapat diperoleh

Pr(T𝑖 = l𝑖 , a𝑖 = 0) = Pr(T𝑖 > l𝑖) = R(l𝑖)

Untuk nilai T𝑖 < l𝑖

4

Pr(T𝑖 = t𝑖| T𝑖 < l𝑖) = f(t𝑖) / (1 − R(l𝑖))

Pr(T𝑖 = t𝑖| T𝑖 < l𝑖) menyatakan probabilitas bersyarat dari T𝑖 diberikan T𝑖 < l𝑖 . Dari

Pr(T𝑖 = l𝑖 , a𝑖 = 0) = R(l𝑖) , T𝑖 = l𝑖

Pr(T𝑖 = l𝑖 , a𝑖 = 1) = Pr(T𝑖 = t𝑖| a𝑖 = 1) Pr(a𝑖 = 1) = f(t𝑖) , T𝑖 ≤ l𝑖

dapat digabung menjadi

Pr(T𝑖 , a𝑖) = f(t𝑖)a𝑖 , R (l𝑖)t−a𝑖

dan jika pasangan (T𝑖 , a𝑖) saling bebas maka fungsi kemungkinan adalah

L = ∏ f

𝑛

𝑖=𝑡

(t𝑖)a𝑖 , R (l𝑖)t−a𝑖 2 . 4 . 2

Jika dalam pengujiannya dilakukan dengan menganggap semua waktu penyensorannya sama (kasus l𝑖 = l) bentuk fungsi likelihood-nya akan mirip dengan penyensoran tipe 2, tetapi sifat berbeda.

L =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!f(t(1)) … f(t(𝑚)) [R(t(𝑚))]𝑛−𝑚 2 . 4 . 3

Dalam hal ini t(𝑚) menyatakan batas waktu pengujian jika semua item duji pada

saat yang sama.

Sensor Tipe 2

Misalkan dalam suatu eksperimen diuji sebanyak n item. Suatu keputusan dibuat untuk mengakhiri pengujian setelah r item pertama mengalami kerusakan (failure). Hal ini dilakukan daripada meneruskan pengujian hingga semua n item rusak tetapi memerlukan biaya yang besar dan waktu yang cukup lama. Prinsip penyensoran tipe 2 adalah jika r menyatakan jumlah item pertama yang rusak dari keseluruhan item yang diuji (n item) dan t(1) , t(2) , .... , t(n) menyatakan waktu kerusakan yang sebenarnya masing-masing item. Dalam hal penyensoran tipe 2 berlaku

T(𝑖) = {t(𝑖) untuk i = 1, … , r ; pengamatan tak disensor

t(𝑖) untuk i = r + 1, … , n ; pengamatan disensor

5

Item 1 x 2 x r x n-1 → n → 0 t(r) (waktu)

x menunjukkan item yang diuji telah rusak pada waktu t.

Jika T(1) , T(2) , ....... T(n) menyatakan order statistik dari sampel random waktu kerusakan T1, T2, ..... Tn dengan pdf f(t) dan fungsi Reliabilitas R(t). Fungsi likelihood dari T(1), ..... T(r) (r ≤ n)

L =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!f(t(1)) … f(t(𝑟)) [R(t(𝑟))]𝑛−𝑟 2 . 4 . 1

6

BAB III

TAKSIRAN PARAMETER DAN FUNGSI RELIABILITAS DALAM DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Dalam penerapan analisis statistik untuk data waktu kerusakan pada umumnya data yang diperoleh dari pengamatan/pengujian diamsusikan distribusinya. Selanjutnya dari distribusi yang diasumsikan tersebut dapat ditaksir parameter-parameter distribusi waktu kerusakan (Failure Time Distribution)-nya.

Distribusi yang dipakai dalam analisis data waktu kerusakan, antara lain adalah distribusi eksponensial dengan melibatkan metode sensor tipe 1 dan 2, penggunaan metode Taksiran Maximum Likelihood (Maximum Likelihood Estimate) untuk menaksir parameter-parameter dari fungsi distribusi serta pemakaian tekhnik sampling acak tanpa pengembalian (without replacement) untuk mengambil sampelnya.

Distribusi Eksponensial

Distribusi yang paling sederhana dan secara luas digunakan sebagai distribusi waktu kerusakan distribusi eksponensial dengan pdf

f(t; θ) =1

θ exp (−

t

θ) ; t > 0, θ > 0

Dalam hal ini parameter 𝜃 disebut mean distribusi eksponensial. Distribusi ini dapat digunakan sebagai distribusi waktu kerusakan jika diketahui tingkat kerusakannya (failure rate) adalah konstan. Beberapa sifat dari distribusi eksponensial yaitu

1. Jika suatu item telah hidup t satuan waktu maka probabilitas item tersebut akan hidup dengan tambahan h satuan waktu sama dengan probabilitas suatu item baru akan hidup h waktu satuan atau

Pr(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ | T ≥ t) = Pr (T ≥ h) Bukti: Tinjau pdf distribusi Eksponensial

f(t; θ) = (1

θ) exp (−

𝑡

𝜃) ; t > 0, θ > 0

Pr(𝑇 ≥ 𝑡 + ℎ | T ≥ t) =∫ (

1θ

)∞

t+hexp (−

tθ

) 𝑑𝑡

∫ (1θ

)∞

texp (−

tθ

) 𝑑𝑡

= exp (−hθ

) = Pr(𝑇 ≥ ℎ)

2. Jika n item diambil sebagai sampel secara random tanpa pengembalian dan

pengujian dilakukan sehingga semua item yang diuji mengalami kerusakan. Misalkan T(1), ....., T(n)) menyatakan order statistik dari sampel random waktu

7

kerusakan T1, ......, Tn yang berdistribusi Eksponensial dengan mean θ maka (Z1, Z2, ...., Zn) adalah sampel random baru yang saling bebas dan berdistribusi

identik (i. i. d) dengan g(z; θ) = (1

θ) exp (−

z

θ) ; z > 0, θ > 0 di mana

Z1 = n T1 . . .

Z𝑖 = (𝑛 − 𝑖 + 1) {T(𝑖) − T(𝑖−1)} ; 𝑖 = 2, … , 𝑛

Bukti: Pengujian dimulai pada waktu t = 0, sistem dijalankan sehingga terjadi

kerusakan item pertama pada T1 = t1, kerusakan kedua pada T2 = t2. Proses ini dijalankan sampai semua item (n item) rusak jumlah item yang diuji pada:

T1 = t1 adalah (n-1) item . . . Tk = tk adalah (n-k) item Pdf bersama (T(1), ...., T(n))

g(t(1), … , t(𝑛); θ) = (n!

θ𝑛) exp(∑ t(𝑖)/θ)𝑛

𝑖=1 .

Misalkan

Z1 = 𝑛 t(1)

.

. . .

Zk = (𝑛 − 𝑘 + 1)(t(𝑘) − t(𝑘−1)); 𝑘 = 2, … . , 𝑛;

𝜕 (z1, z2,….,z𝑛)

𝜕(t(1), t(2),….,t(𝑛))=

|

|

𝑛 θ … . θ−(𝑛 − 1) (𝑛 − 1) θ θ − (n − 2) θ

. . . . θ θ

|

|

= 𝑛 (𝑛 − 1) (𝑛 − 2) … . . 1 = 𝑛!

Transformasi Jacobian = 1

𝑛! dan diperoleh

∑ z𝑖 =𝑛𝑖=1 ∑ t(𝑖)

𝑛𝑖=1

g (z1, z2, … , z𝑛; θ) = f(t(1), t(2), … . t(𝑛); θ) | J |

= (𝑛!

θ𝑛) exp (− ∑ z𝑖/θ) 1/n! 𝑛

𝑖=1

= ∏ (1

θ) exp(−

z𝑖

θ)

𝑛

𝑖=1

8

Taksiran untuk sampel lengkap

Andaikan dalam suatu ekspeimen diambil sebanyak n item sebagai sampel lalu diuji/diperiksa waktu kerusakannya dan suatu keputusan dibuat untuk mengakhiri pengujian sesudah semua item yang diambil sebagai sampel mengalami kerusakan. Misalkan T(1), ....., T(n)) menyatakan order statistik sampel random dari waktu kerusakan yang diasumsikan waktu kerusakannya berdistribusi eksponensial dengan pdf

f(t; θ) = (1

θ) exp (−

𝑡

𝜃) ; t > 0, θ > 0

dimana θ menyatakan meannya, dari pdf distribusi eksponensial dapat diperoleh fungsi likelihood

L(θ; t(1), t(2), … , t(𝑛)) = 𝑛! ∏ f(t(𝑖); θ)

𝑛

𝑖=1

= (𝑛!) (1

θ𝑛) exp [− ∑(

t(𝑖)

θ)

𝑛

𝑖=1

] 3 . 1 . 1

In L(θ) = C + In (1

θ𝑛) − ∑ (

t(𝑖)

θ)𝑛

𝑖=1

dengan melalukan proses diferensiasi terhadap (*) dapet diperoleh

d In L(θ)

dθ= − (

𝑛

θ) + ∑(t(𝑖)/θ2)

𝑛

𝑖=1

Taksiran maximum likelihood dari θ adalah

θ̂ = ∑(t(𝑖)

𝑛)

𝑛

𝑖=1

3 . 1 . 2

Satuan dari θ̂ sama seperti satuan dari t, yaitu jam, hari atau putaran (cycle). Meskipun salah satu sifat taksiran kemungkinan maksimum (MLE) adalah taksiran yang diperoleh belum tentu tak bias (unbiased), tetapi dalam hal diatas θ merupakan taksiran yang tak bias. Sehingga diperoleh

E(θ̂) = θ

dan

Var (θ̂) = θ2/𝑛

Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari taksiran interval kepercayaan parameter untuk sampel lengkap dapat dilakukan sebagai berikut. Melalui sifat 2

dari distribusi Eksponensial dan transformasi 𝑦 = (z

θ), akan ditunjukkan bahwa

variabel random Y berdistribusi Gamma-1 atau r(1). Jika pdf distribusi Eksponensial

9

f(z) = (1

θ) exp (−

z

θ) , z > 0, θ > 0

Maka pdf dari variabel random Y adalah

g(y) = f(z) dz/dy

= (1

θ) exp (−

yθ

θ)θ

= exp(−𝑦)

Dari pdf distribusi Gamma

f(x) =1

𝑟(𝛼)𝛽𝛼exp (−

𝑥

𝛽) 𝑥𝛼−1; 𝑥 > 0

Dimana 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0. Dengan mengambil 𝛼 = 1 dan β = 1 akan diperoleh pdf

distribusi Gamma-1 atau r(1). Karena zi juga saling bebas, jika W= ∑ (T(𝑖)

θ) =𝑛

𝑖=1

∑ (Z(𝑖)

θ) 𝑛

𝑖=1 maka variabel random W akan berdistribusi Gamma dengan 𝛼 =

𝑛 dan β = 1.

Jika 𝛼 = (r

2) dan 𝛽 = 2 maka berdistribusi Gamma dipandang sebagai distribusi

khi-kuadrat dengan derajat bebas (degree of freedom) r, dimana r merupakan bilangan bulat positif. Untuk r = 2𝑛 akan ditunjukkan dengan 2W berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas 2𝑛. dengan memasukkan harga r = 2𝑛 pada pdf

distribusi khi-kuadrat dan transformasi w =1

2𝑥 diperoleh

h(w) = f(x) dx/dw

= 1

𝑟(𝑛)2𝑛exp(−

2w

2) w𝑛−12𝑛−12; w > 0

= 1

𝑟(𝑛)exp(−w) w𝑛−1; w > 0 3 . 1 . 3

Jadi jika variabel W berdistribusi r(𝑛) maka variabel random 2W berdistribusi 𝑥2

(2𝑛). Sehingga 100𝛾% interval kepercayaan dari θ adalah

Pr (𝑥2(2𝑛),

1−𝛾2

≤ 2W ≤ 𝑥2(2𝑛),

1+𝛾2

) = 𝛾

𝑥2(2𝑛),

1−𝛾2

≤ 2 ∑ t(𝑖)/θ

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑥2(2𝑛),

1+𝛾2

2 ∑ t(𝑖)

𝑛𝑖=1

𝑋(2𝑛),(1+𝛾)/2

≤ θ ≤2 ∑ t(𝑖)

𝑛𝑖=1

𝑋(2𝑛),

1−𝛾2

3 . 1 . 4

Taksiran fungsi reliabilitas 𝑡 = 𝑡θ untuk sampel lengkap dengan diasumsikan waktu kerusakannya berdistribusi eksponensial adalah

10

R̂(tθ) = exp (𝑡𝜃

𝜃) 3 . 1 . 5

Jika

A(t) = 2 ∑ t(𝑖)

𝑛𝑖=1

𝑥2(2𝑛),(1+𝛾)/2

dan

B(t) = 2 ∑ t(𝑖)

𝑛𝑖=1

𝑥2(2𝑛),(1−𝛾)/2

Maka 100𝛾% interval kepercayaan untuk R(t) pada waktu 𝑡 = 𝑡θ adalah

exp (−tθ

A(t)) ≤ R(tθ) ≤ exp (−

tθ

B(t)) 3 . 1 . 6

Taksiran untuk sampel tersensor

Pada bagian ini akan dibahas taksiran parameter untuk sampel tersensor tipe 1 dan tipe 2.

1. Taksiran untuk sampel tersensor tipe 2

Taksiran untuk sampel tersensor tipe 2 ini sebenarnya merupakan bentuk umum dari taksiran sampel lengkap. Misalkan sejumlah n item yang diambil sebagai sampel. Setelah sejumlah kerusakan yang diinginkan ditetapkan (misalkan ditetapkan sebanyak r item yang pertama) kemudian dilakukan pengujian terhadap n item tersebut. Pengujian diakhiri bilamana telah diperoleh sejumlah kerusakan yang diinginkan (sebanyak r). Andaikan t(1) < t(2) < .... t(r) menyatakan nilai-nilai sampai random waktu kerusakan dari r item yang pertama dan sebanyak (n-r) item masih bertahan setelah melewati waktu t(r). Fungsi likelihood untuk sampel tersensor tipe 2 dengan diasumsikan waktu kerusakannya berdistribusi eksponensial dapat diperoleh dari (2.4.2)

L(θ; t(1), t(2), … , t(𝑛)) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! ∏ f(t(𝑖); θ)

𝑟

𝑖=1

R(t(𝑟); θ)𝑛−𝑟

=𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!(

1

θ𝑟) exp [− (

∑ t(𝑖) + (𝑛 − 𝑟)t(𝑟)𝑛𝑖=1

θ)] 3 . 1. 7

Taksiran maximum likelihood dari θ dapat diperoleh

11

θ̂ = (∑ t(𝑖) + (𝑛 − 𝑟)t(𝑟)

𝑛𝑖=1

r) 3 . 1 . 8

Pandang fungsi likelihood

L(θ) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! ∏ f(t(𝑖); θ)

𝑛

𝑖=1

R(t(𝑟); θ)𝑛−𝑟

Dengan transformasi

Z1 = 𝑛 t(1)

.

. . .

Zk = (𝑛 − 𝑖 + 1)(t(𝑖) − t(𝑖−1)); 𝑘 = 2,3, … . , 𝑟.

∑ t(𝑖) + (𝑛 − 𝑟)t(𝑟)

𝑛

𝑖=1

= ∑ z(𝑖)

𝑛

𝑖=1

Analog sifat 2 dari distribusi eksponensial maka diperoleh

g(z1, z2, … , zr; θ) = f(t(1), t(2), … , t(r); θ) |J|

= ∏ (1

θ) exp(−

z𝑖

θ)

𝑟

𝑖=1

Analog untuk taksiran interval kepercayaan untuk θ dari sampel lengkap. Karena z𝑖 untuk 𝑖 = 1, … . , 𝑟 saling bebas, jika W = ∑ Z𝑖

𝑟𝑖=1 berdistribusi Gamma r(𝑟) maka

2W akan berdistribusi khi-kuadrat 𝑥2(2𝑟). 100𝛾% interval kepercayaan untuk

θ adalah

Pr (𝑥2(2𝑟),

1−𝛾2

≤ 2W ≤ 𝑥2(2𝑟),

1+𝛾2

) = 𝛾

𝑥2(2𝑛),

1−𝛾2

≤ (2 ∑ z(𝑖))/θ

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑥2(2𝑟),

1+𝛾2

2 ∑ z(𝑖)

𝑟𝑖=1

𝑋(2𝑟),(1+𝛾)/2

≤ θ ≤2 ∑ z(𝑖)

𝑟𝑖=1

𝑋(2𝑟),

1−𝛾2

3 . 1 . 9

Taksiran fungsi reliabilitas pada t = tθ untuk sampel tersensor tipe 2 dengan diasumsikan waktu kerusakannya berdistribusi eksponensial adalah

R̂(tθ) = exp (−𝑡𝜃

𝜃) 3 . 1 . 10

Jika

12

A(t) = 2 ∑ z(𝑖)

𝑟𝑖=1

𝑥2(2𝑟),(1+𝛾)/2

dan

B(t) = 2 ∑ z(𝑖)

𝑟𝑖=1

𝑥2(2𝑟),(1−𝛾)/2

100𝛾% interval kepercayaan untuk R(t) pada t = tθ adalah

exp (−tθ

A(t)) ≤ R(tθ) ≤ exp (−

tθ

B(t)) 3 . 1 . 1 1

2. Taksiran untuk sampel tersensor tipe 1

Misalkan dalam populasi diambil n sampel secara random dan setelah dilakukan pengujian terhadap n item diatas, dicatatat waktu kerusakan adalah t1, t2, … , tn. Tetapi dalam hal ini masing-masing t1, t2, … , tn dihubungkan dengan waktu penyensoran l1, l2, … , ln. Pengamatan terhadap waktu kerusakan t𝑖 dilakukan jika t𝑖 ≤ l𝑖 dan setiap datanya dinyatakan dengan pasangan (T𝑖 , a𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑛 dimana

T𝑖 = min(t𝑖 , l𝑖) dan a𝑖 = {1, t𝑖 ≤ l𝑖

0, t𝑖 > l𝑖

Dalam kasus l𝑖 = l untuk setiap i = 1,2, … , n bentuk fungsi likelihood sampel tersensor tipe 1 akan sama seperti bentuk sampel tersensor tipe 2 dengan mengganti t(r) = t(m), dimana t(m) menyatakan akhir waktu pengujian.

Bentuk umum fungsi likelihood dari sampel tersensor tipe satu (1) adalah

L(θ) = ∏ f(t(𝑖); θ)a𝑖𝑛𝑖=1 R(l𝑖 , θ)1−a𝑖

= ∏ [1

θexp(−

t𝑖

θ)]

a𝑖

[exp (−l𝑖

θ)]

1−a𝑖𝑛

𝑖=1

= (1

θ𝑟) exp [− (∑

a𝑖 t𝑖 + (1 − a)𝑖 l𝑖

θ

𝑛

𝑖=1

)] 3 . 1 . 12

dimana r = ∑ a𝑖 menyatakan jumlah item yang waktu kerusakan diamati. Taksiran maximum likelihood dari θ adalah

θ̂ = ∑a𝑖 t𝑖 + (1 − a)𝑖 l𝑖

r 3 . 1 .13

𝑛

𝑖=1

Prosedur untuk memperoleh taksiran interval kepercayaan θ dari bentuk umum dapat dilakukan sebagai berikut. Pandang fungsi likelihood dibawah ini

13

L(θ) = (1

θ𝑟) exp [− (∑

a𝑖 t𝑖 + (1 − a)𝑖 l𝑖

θ

𝑛

𝑖=1

)]

d (In L)

dθ= − (

r

θ) + (

1

θ2) ∑ a𝑖 t𝑖 + (1 − a)𝑖 l𝑖 3 . 1 . 14

𝑛

𝑖=1

d2 (In L)

dθ2= − (

r

θ2) + (

2

θ3) ∑ a𝑖 t𝑖 + (1 − a)𝑖 l𝑖 3 . 1 . 15

𝑛

𝑖=1

Melalui sifat fungsi likelihood dengan pendekatan sampel besar, dapat diperoleh Informasi Fisher

I (θ) = 𝐄 (−d2 (In L)

dθ2)

Pandang pasangan mata (T𝑖 , a𝑖)

Pr(a𝑖 = 0) = exp (−l𝑖

θ) = R(l𝑖)

Pr(a𝑖 = 1) = 1 − Pr(a𝑖 = 0) = 1 − R(l𝑖)

E(T𝑖|a𝑖 = 0) = E(T𝑖|T𝑖 > l𝑖) = l𝑖

E(T𝑖|a𝑖 = 1) = E(T𝑖|T𝑖 ≤ l𝑖) = ∫ 𝑥(

1θ

) exp(−𝑥θ

)

1 − exp (−l𝑖

θ)

l𝑖

θ

𝑑𝑥

Jika r = ∑ a𝑖 menyatakan jumlah item yang waktu kerusakannya diamati E(r) =

E(∑ a(𝑖)) = ∑ E(a𝑖) = ∑ (1 − exp (−1𝑖

θ))𝑛

𝑖=1𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

Prosedur yang digunakan untuk mencari taksiran interval kepercayaan θ, melalui pendekatan

Untuk menghitung 𝐈 (θ̂) diperlukan waktu penyensoran l𝑖 untuk setiap item. Tetapi seringkali tak setiap l𝑖 itu ada, oleh karena itu waktu penyensoran yang sebenarnya dari setiap item tak diketahui semuanya. Sebagai alternatif dari perhitungan 𝐈(θ) digunakan pendekatan

Taksiran fungsi reliabilitas pada t = tθ untuk sampel tersensor tipe 1 bentuk umum dengan diasumsikan distribusi eksponensial adalah

14

BAB IV

KESIMPULAN

1. Analisis statistik dengan pengunaan metode penyensoran, baik tipe 1 atau 2, ditujukan untuk analisis kumpulan data individu dan tidak berlaku untuk data yang disajikan dalam bentuk kumpulan interval kelas

2. Pada umumnya taksiran parameter dan fungsi parameter (dalam hal ini fungsi relilabilitas) dalam analisis statistik data waktu kerusakan dilakukan dengan pendekatan Metode Kemungkinan Maksimum untuk sampel besar

3. Dengan adanya sifat invarian dari taksiran parameter yang diperoleh dengan Metode Kemungkinan Maksimum, akan mempermudah untuk memperoleh taksiran fungsi reliabilitas setalah taksiran untuk parameternya telah ditemukan

4. Dengan dapat diketahui fungsi reliabilitas dari komponen-komponen elektrik dan mekanik melalui suatu uji waktu kerusakan, akan dapat membantu produsen dalam menjaga kualitas produksi agar sesuai dengan standar yang diinginkan dan menentukan garansi yang harus diberikan pada konsumen

15

DAFTAR PUSTAKA

Balagurusamy, E. 1984. Reliability Engineering. New Delhi: Tata McGraw-Hill, Inc.

Grant, E.L. dan R.S. Leavenworth. 1980. Statistical Quality Control. Edisi ke-6. New York: McGraw-Hill, Inc.

Hogg, R.V. dan A.T. Craig. 1978. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi ke-4. New York: Macmillan Publishin Co.

Kakiay, T. 1989. “Distribusi Probabilitas Weibull untuk Analisis Kerusakan Peralatan” Matematika dan Komputer, No. 24/V, 36-38.

Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. New York: John Wiley & Sons.

Mann, N.R., R.E. Schafer dan N.D. Singpurwalla. 1974. Methods for Statistical Analysis of Reliability and Life Data. New York: John Wiley & Sons.

Nelso, W. 1982. Applied Life Data Analysis. New York: John Wiley & Sons.

Norusis, M.J. 1988. SPPS/PC+ Ver 3.10. Chicago, IL: SPPS Inc.

Sinha, S.K. dan B.K. Kale. 1980. Life Testing and Reliability Estimation. New Delhi: Wiley Eastern Limited.

Spiegel, M.R. 1981. Theory and Problem of Statistic. New York: McGraw-Hill, Inc.