metode kekakuan langsung

7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung

1/22

1

4 Metode Kekakuan Langsung

K L 3 1 0 1 K E L A S 0 1

S E M E S E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4

Pengantar

Pada metode kekakuan langsung, matriks kekakuan

elemen.

Matriks kekakuan dan vektor beban struktur dirakit

dari komponen matriks kekakuan dan vektor bebanmasing-masing elemen pada derajat kebebasan yangsesuai.


2/22

2

Derajat Kebebasan Elemen

Setiap struktur balok/portal 2-D disusun olehelemen-elemen an masin -masin memiliki 6derajat kebebasan.

d1

d2d5

d6

d4d5 d6

d34 d1d2

d3

Matriks Kekakuan Elemen

0 0 0 0EA EA

L L

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

EI EI EI EI

L L L L

EI EI EI EIL L L L

kEA EA

L L

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

EI EI EI EI

L L L L

EI EI EI EI

L L L L


3/22

3

Gaya-gaya Ujung Elemen

Persamaan keseimbangan di tingkat elemen:

{f} = vektor gaya-gaya ujung elemen

[k] = matriks kekakuan elemen

{d} = vektor perpindahan ujung elemen

{f0} = vektor gaya ujung jepit akibat beban

f4f5 f6

0f k d f

yang bekerja pada bentang elemen.

f1

f2

f3

f4

f5f6

f1f2

f3

Matriks Kekakuan Struktur

Matriks kekakuan struktur, [K], dirakit dari, ,

derajat kebebasannya sesuai.

Contoh:

A B C

D1D2 D3D4

matriks kekakuan [K] = (4 4)


4/22

4

Derajat kebebasan struktur D1D2 D3D4

matriks kekakuan [K] = (4 4)

AB C

Derajat kebebasan elemen ABd1

d2

d3

d4

d5d6

matriks kekakuan [k] = (6 6)

d1d2

d3

d4

5d6

Derajat kebebasan elemenBC

matriks kekakuan [k] = (6 6)

matriks kekakuan struktur

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

K K K K

K K K K K

K K K K

41 42 43 44

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

k k k k k k k k k k k k

k k k k k k k

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k k

matriks kekakuan elemen AB matriks kekakuan elemen BC

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

k k k k k k

k k k k k k

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

k k k k k k

k k k k k k


5/22

5

matriks kekakuan struktur

0 0

0 0

0 0 0 0K

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k k

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

k k k k k k

k k k k k k

k k k k k k k

k k k k k k

matriks kekakuan elemen AB matriks kekakuan elemen BC

5

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

k k k k k k

k k k k k k

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

k k k k k k

k k k k k k

Transformasi Koordinat

Pemetaan nomor derajat kebebasan elemen ke

dilakukan apabila derajat kebebasan tersebutdinyatakan dalam koordinat yang sama.

Sampai saat ini, perpindahan {d} dan gaya ujung {f}masih dinyatakan dalam koordinat lokal elemen.Sedangkan derajat kebebasan struktur dinyatakandalam koordinat global.

Oleh karena itu, perlu dilakukan transformasi untukmengubah perpindahan dan gaya ujung darikoordinat lokal ke koordinat global, atau sebaliknya.


6/22

6

Transformasi Koordinat

Mengubah vektor perpindahan {d} dan gaya ujungan berorientasi ada koordinat lokal elemen

menjadi vektor {dG} dan {fG} yang berorientasi padakoordinat global (struktur), atau sebaliknya.

d4d5 d6

dG4dG6

dG5

d1d2

d3

transformasi

dG1

dG2

dG3

dG2

y

yG

d1

d2

dG1

x

xG

cos sind d d

2 1 2

3 3

sin cosG G

G

d d d

d d

Sudut adalah sudut yang diukur dari sumbu xGke sumbux, atau dari dG1 ke d1.


7/22

7

Matriks Transformasi

Gd T d

Gf T f

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

T

Transformasi Matriks Kekakuan

1

G G

G G

f k dT f k T d

f T k T d

G G G

T

Gk T k T


8/22

8

Vektor Beban

Vektor beban join {F} ditentukan dari beban luaryang sesuai dengan vektor perpindahan struktur{D}.

Vektor gaya ujung jepit {F0} disusun denganmenjumlahkan {F0}isumbangan dari masing-masingelemen. Gaya ujung jepit akibat beban pada elemen dimasukkan ke

dalam vektor beban elemen {f0}.

{f0} kemudian ditransformasikan ke koordinat global menjadi{f0G}.

Elemen dari {f0G} yang sesuai dengan derajat kebebasanstruktur dimasukkan ke dalam vektor beban {F0}i.

Tabel Insidens

Menyajikan hubungan antara derajat kebebasan

kebebasan struktur.

Nomorelemen

Nomor derajat kebebasan elemen, dGi

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 0 2

2 1 0 2 5 0 7

3

nomor derajat

kebebasan

struktur yang

sesuai, Di.


9/22

9

Tabel Insidens

Contoh:Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, dGi

Elemen 1 d , d , d tidak digunakan sebagai derajat kebebasan struktur.

elemen 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 0 2

2 1 0 2 5 0 7

dG4 =D1, dG6 =D2.

Elemen 2 dG2 dan dG5 tidak digunakan sebagai derajat kebebasan struktur.

dG1 =D1, dG3 =D2, dG4 =D5, dG5 =D7.

Implikasi terhadap Matriks Kekakuan

Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, dGi

[K]1, matriks kekakuan struktur sumbangan elemen 1 K = k ,K = k ,K = k ,K = k

e emen 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 0 2

2 1 0 2 5 0 7

Kij lainnya = 0.

[K]2, matriks kekakuan struktur sumbangan elemen 2 K11 = kG11,K12 = kG13,K15 = kG14,K17 = kG16 K21 = kG31,K22 = kG33,K25 = kG34,K27 = kG36 dst.


10/22

10

Implikasi terhadap Vektor Beban

Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, dGi

{Fo}1, vektor beban sumbangan elemen 1

e emen 1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 0 2

2 1 0 2 5 0 7

o1 = oG4, o2 = oG6 Foi lainnya = 0.

{Fo}2, vektor beban sumbangan elemen 2 Fo1 =foG1,Fo2 =foG3,Fo5 =foG4,Fo7 =foG6 Foi lainnya = 0.

Prosedur Metode Kekakuan Langsung

Persiapan ,

Tentukan derajat kebebasan masing-masing elemen dalamkoordinat lokal {d}idan koordinat global {dG}i. Kemudian

tentukan besarnya i, sudut antara sumbu global dengansumbu lokal.

Susun tabel insidens.


11/22

11


Matriks kekakuan elemen, [k]idan [kG]i

untuk masing-masing elemen.

Transformasi matriks kekakuan elemen ke koordinat global

Perakitan matriks kekakuan struktur, [K]

Susun matriks kekakuan struktur sumbangan dari masing-

[kG]i= [T]iT[k]i[T]i

masing elemen [K]i. Gabungkan (jumlahkan) [K]idari setiap elemen menjadi

matriks kekakuan struktur [K].

[K] = [K]1 + [K]2 + [K]3 + ...


Penyusunan vektor beban, {F} dan {Fo} .

Susun vektor gaya ujung jepit {f0}iakibat beban luar untukmasing-masing elemen

Transformasi {f0}ike koordinat global menjadi {f0G}i. Susun vektor gaya ujung jepit sumbangan dari masing-masing

elemen, {F0}i.

0 0 .

{Fo} = {Fo}1 + {Fo}2 + {Fo}3 + ...


12/22

12


Persamaan keseimbangan struktur = o

untuk memperoleh nilai vektor perpindahan struktur {D}.

Vektor perpindahan elemen, {dG}idan {d}i Masukkan nilai perpindahan yang sesuai dari {D} ke vektor

perpindahan elemen {dG}i.

Transformasi {dG}ike koordinat lokal menjadi {d}i.

aya-gaya u ung e emen, i Hitung gaya-gaya ujung elemen menggunakan persamaan

keseimbangan elemen:

{f}i= [k]i {d}i+ {fo}i

Contoh 1

Tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam di ujung elemenpada struktur seperti tergambar. Perhitungkan semuaperpindahan, termasuk perpindahan aksial.

Diketahui:E= 200 GPa,A = 80 mm2,I= 60 106 mm4.

25 kN/m

CB60 kN

A

1.5 m 1.5 m 3 m


13/22

13

Derajat kebebasan struktur: D2

D1

D3

Elemen 1: Elemen 2:d4d5 d6

dG4dG6

dG5d1

d2d4

d5d6

d1d2

d3dG1

dG2

dG3

3dG5

dG4dG6

dG2dG1

dG3

cos 1 = 0.6sin 1 = 0.8

cos 2 = 1sin 2 = 0

Matriks kekakuan elemen

1

3.2 0 0 3.2 0 0

0 1.152 2.88 0 1.152 2.88

0 2.88 9.6 0 2.88 4.81000

3.2 0 0 3.2 0 0k

0 1.152 2.88 0 1.152 2.88

0 2.88 4.8 0 2.88 9.6

5.33 0 0 5.33 0 0

0 5.33 8 0 5.33 8

2

10005.33 0 0 5.33 0 0

0 5.33 8 0 5.33 8

0 8 8 0 8 16

k


14/22

14

Matriks transformasi

1

0.6 0.8 0 0 0 00.8 0.6 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0.6 0.8 0T

2

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0T

Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global

0 0 0 0.8 0.6 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1.8893 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.304

0.983 2.4627 1.728 0.983 2.4627 1.728

1

2.304 1.728 9.6 2.304 1.728 4.81.8893 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.304

0.983 2.4627 1.728 0.983 2.4627 1.728

2.304 1.728 4.8 2.304 1.728 9.6

Gk

1000

Tabel insidens

Nomor

elemen

Nomor derajat kebebasan elemen, dGi

1 2 3 4 5 6

1 0 0 0 1 2 3

Matriks kekakuan struktur

2 1 2 3 0 0 0

1 2

1.8893 0.983 2.304 5.33 0 0

0.983 2.4627 1.728 0 5.33 8 1000K K K

. . .

7.2226 0.983 2.304

0.983 7.7961 6.272 1000

2.304 6.272 25.6


15/22

15

Vektor beban

0

0

0

F

60 kN

f06

f05

0

0

37.5

25 kN/m

f02

f06

f05f03

f02f03 0 1

30

37.5

0

30

37.5

f

0 218.75

0

37.5

18.75

f

24

0 02 2Gf f

0 01 1 137.5

24

18

37.5

T

Gf T f

0 0 01 2

24 0 24

18 37.5 55.5

37.5 18.75 18.75

F F F

Persamaan keseimbangan struktur

1

2

3

7.2226 0.983 2.304 0 24

0.983 7.7961 6.272 1000 0 55.5

2.304 6.272 25.6 0 18.75

D

D

D

1

2

3

0.0038

0.0099

0.0028

D

D

D

1

1

2

0 0

0 0

0 0

0.0038

0.0099

Gd

D

D

1

2

3

2 2

0.0038

0.0099

0.0028

0 0

0 0

G

D

D

Dd d

0

3 0.0028D 0 0

1 1 1

0

0

0.0056

0.0089

0.0028

Gd T d


16/22

16

Gaya-gaya ujung elemen

01 1 1 1

17.9871

48.3676

76.6818

17.9871f k d f

02 2 2 2

20.09827.4102

15.1561

20.0982f k d f

11.6324

15.1561

67.5898

75.1132

60 kN11.63 kN

17.99 kN15.16 kN-m

25 kN/m15.16 kN-m 75.11 kN-m

20.10 kN 20.10 kN

48.37 kN76.68 kN-m

17.99 kN

. .

Elemen Rangka Batang

Dalam koordinat lokal, elemen rangka batang hanya

masing-masing ujungnya.

d1d2

d

d2


17/22

17

Elemen Rangka Batang

Dalam koordinat global, setiap elemen memiliki duadera at kebebasan di masin -masin u un n a.

dG1

dG2 dG4

dG3

dG4

dG3

dG1

dG2

Matriks Kekakuan dan Matriks Transformasi

EA EA

1 1

1 1

EAL Lk

EA EA L

L L

0 0 cos sin

T


18/22

18

Transformasi

Hubungan antara besaran dalam koordinat lokalden an besaran dalam koordinat lobal teta samaseperti sebelumnya.

G

G

d T d

f T f

T

G

Metode Kekakuan Langsung: Rangka Batang

Tentukan derajat kebebasan struktur, {D}

-dalam koordinat lokal {d} dan koordinat global {dG}.Kemudian tentukan besarnya , sudut antara sumbu

global dengan sumbu lokal.

Susun tabel insidens.

transformasi [T]ipada masing-masing elemen.


19/22


20/22

20

Contoh 2

Tentukan gaya-gaya batang pada struktur rangka batangseperti tergambar.

Diketahui:E= 200 GPa,A = 80 mm2.

CB

60 kN

4 m

A

3 m 3 m

Derajat kebebasan struktur: D2

D1CB

Elemen 1: Elemen 2:d2

dG3

dG4 d1 d2

A

d1

dG1

dG2

dG4

dG3

dG2dG1cos 1 = 0.6

sin 1 = 0.8

cos 2 = 1sin 2 = 0


21/22

21

Matriks kekakuan elemen

1

3.2 3.21000

3.2 3.2k

2

5.33 5.331000

5.33 5.33k

Matriks transformasi

1

0.6 0.8 0 0

0 0 0.6 0.8T

1

1 0 0 0

0 0 1 0T

Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global

1152 1536 1152 1536

1536 2048 1536 2048

5333.3 0 5333.3 0

0 0 0 0

1 1152 1536 1152 1536

1536 2048 1536 2048

G

2 5333.3 0 5333.3 0

0 0 0 0

G

Tabel insidensNomor

elemen

dGi

1 2 3 4

1 0 0 1 2

2 1 2 0 0

Matriks kekakuan struktur

1 21152 1536 5333.3 0

1536 2048 0 0

6485.3 1536

1536 2048

K K K

Vektor beban

0

60F


22/22

Persamaan keseimbangan struktur

1

2

6485.3 1536 0

1536 2048 60

D

D

1

2

0.0084

0.0356

D

D

Vektor perpindahan elemen

1

1

2

0 0

0 0

0.0084

0.0356

Gd

D

D

1

2

2

0.0084

0.0356

0 0

0 0

G

D

Dd

1 1 1 0.0234Gd T d

2 2 2 . 0G

d T d

Gaya-gaya ujung elemen

1 1 1

75

75f k d

2 2 2

45

45f k d

75 kN45 kN 45 kN

75 kN

metode kekakuan langsung

Documents