METODE ELEMEN HINGGA Metode elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima oleh rekayasawanPada umumnya metode elemen hingga dapat digunakan untuk memperoleh suatu solusi numerik. Banyak masalah dalam analisis tegangan, transfer panas, aliran fluida, medan listrik dan sebagainya yang telah diselesaikan dengan menggunakan metode elemen hingga. Keberhasilan dalam pemanfaatan metode elemen hingga sangat tergantung pada program komputer yang dibuat. Keunggulan metode elemen hingga adalah adanya arti fisik yang cukup dekat antara jaring elemen dengan struktur aktualnya.Jaring elemen yang dimaksud bukan merupakan abstrak matematis yang divisualisasikan. Metode elemen hingga juga memiliki kekurangan. Hasil yang diperoleh dengan metode ini untuk masalah tertentu adalah berupa hasil numerik. Selain itu struktur yang dianalisa dapat mempunyai bentuk, beban dan kondisi batas yang sembarang. Jaring-jaring elemen dapat terdiri atas elemen yang berbeda jenis, bentuk dan besaran fisiknyaPrinsip Utama dari Metode Elemen Hingga adalah PROSES DISKRITASI PROSES DISKRITASI adalah Proses pembagian benda utuh (kontinum) menjadi elemen kecil (mesh). Elemen segi empat Gambar 1. Diskritasi elemen Gambar 1 memperlihatkan sebuah elemen balok yang dianalisis menurut mesh elemen segi empat. Titik hitam adalah titik simpul (node) di mana elemen yang satu berhubungan dengan lainnya. Suatu jaring (mesh) adalah susunan titik simpul dan elemen. Bentuk jaring pada gambar tersebut di atas juga dapat berupa bilinear rectangle. Untuk memformulasikan suatu elemen, kita harus menghitung gaya-gaya titik simpul (nodal forces yang menghasilkan berbagai ragam deformasi elemen). Peralihan atau rotasi sumbu titik kumpul disebut sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan Balok Titik node/nodal 1 2 3 4 Titik node/nodal Elemen Batang/ Bar Element Metode Elemen Hingga UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan Gaya nodal/nodal force 2 Peralihan nodal/nodal displacement 1 2 3 4 P1 P3 P2 P4 Gaya nodal/nodal force 1 2 3 4 1 4 3 Peralihan nodal/nodal displacement Metode Elemen Hingga UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan 1 2 3 4 Body force Metode Elemen Hingga UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan Tinjaulah Elemen Balok dengan panjang L, Momen Inersia I dan Modulus Elastisitas E. P adalah gaya yang bekerja pada titik nodal dan adalah peralihan titik nodal 1 2 3 4 P1, 1P3, 3 P2, 2P4, 4 L Elemen Balok Metode Elemen Hingga UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan : peralihan titik nodal | | | || | o k P =P : gaya yang bekerja pada titik nodal k : matrik kekakuan Di mana : Metode Elemen Hingga UNIMAL UNIMAL UNIMAL UNIMAL Bentuk jaring elemen yang digunakan dalam suatu analisa metode elemen hingga dapat berupa : Constant-Strain triangle (CST),linear-strain triangle (LST),bilinear rectangle (Q4),bilinear rectangle-imcompatible mode (Q6),quadratic rectangle (Q8, Q9) danisoparametric elemen.Bentuk jaring elemen Segi-3 CST Segi-4 Q4 Segi-4 Q8 Segi-3 LST Segi-4 Q9 Isoparametrik elemen CA B OD E L = 3000 mm y b a a q = 10 N/mm 500 mm 500 mm 1500 mm1500 mm 1 mm h = 1000 mm E = 200 GPa u = 0.3 x Gambar 5. Balok kantilever sebagai model analitis Element meshing 125 x 125 mmElement meshing 125 x 125 mm Element meshing 250 x 250 mmElement meshing 250 x 250 mm Element meshing 500 x 500 mm Element Type LST Element Type Q4 and Q6Element meshing 500 x 500 mm | |{ } { } r d k =| | k{ } d{ } r: matrik kekakuan elemen: vektor peralihan titik simpul elemen;: vektor beban titik simpul = 0.032 Bentuk jaring elemen Segi-3 CST Constan Strain Triangle (CST) Constan strain triangle yang mempunyai 6 derajat kebebasan untuk setiap elemen. CST memiliki fungsi peralihan baik dalam arah sumbu x maupun sumbu y.Tegangan dan regangan elemen dapat dihitung dengan menggunakan persamaan : { } | || |{ } d B E = o{ } o| | B| | E: tegangan elemen: matrik hubungan tegangan-regangan: matrik modulus elastisitasUntuk isotropik elemen dan adalah poisson rasio, matrik modulus elastisitas diberikan oleh persamaan : | |( ) ( )(((((

=210 010 112vEE u uuuMatrik hubungan tegangan regangan diberikan oleh persamaan : ||2 3 3 1 1 23 2 1 3 2 13 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 20 0 010 0 02tY Y Y Y Y YB X X X X X XAX X Y Y X X Y Y X X Y Y ( (= ( ( Matrik N untuk elemen CST diberikan oleh persamaan : ||((

=3 2 13 2 10 0 00 0 0N N NN N NN( ) ( ) ( ) { }2 3 3 2 2 3 3 2 121y x y x x x y y y xANt + + =( ) ( ) ( ) { }3 1 1 3 3 1 1 3 221y x y x x x y y y xANt + + =( ) ( ) ( ) { }1 2 2 1 1 2 2 1 321y x y x x x y y y xANt + + =Sebuah balok kantilever seperti tergambar dibebani beban momen M. Hitunglah tegangan dengan menggunakan rumus {}=[E][B]{d} pada masing-masing elemen : (a) CST dengan nodal ADF (b) CST dengan nodal AFC C A B F D E c c L y,v x,u M Element #1NODE A NODE DNODE F X1Y1X2Y2X3Y3 00L0L2c ||2 3 3 1 1 23 2 1 3 2 13 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 20 0 010 0 02tY Y Y Y Y YB X X X X X XAX X Y Y X X Y Y X X Y Y ( (= ( ( Hitung Shape Function ||0 2 0 2 0 0 0 0 010 0 0 0 020 2 0 2 0 0 0 0c cB L L L LLCL L c L c L ( (= ( ( Matrix Modulus Elastisitas, [E] ||( )( )21 01 0110 02EEuuuu ( ( (= ( ( ( ( Untukv = 0,| |( )( )(((((

=20 10 00 1 00 0 10 12EE| |(((((

=210 00 1 00 0 1E E{ })`=)`=EIMLEIMLvuvuvudFFDDAA20200022Tegangan pada elemen # 1 {}=[E][B]{d} { })`(((((((

(((((

=EIMLEIMLc L c Lc cL LEEE202000021 121 10210210 0 00 0 010120 00 00 022o)`=)`IMLY XYX400too